费马小定理和欧拉定理1 PPT
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
费马小定理和欧拉定理
知识背景
费马小定理是初等数论四大定理 （威尔逊定理，欧拉定理（数论中的 欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子 定理)和费马小定理）之一，在初等数 论中有着非常广泛和重要的应用。实 际上，它是欧拉定理的一个特殊情况。
新知学习
我们知道模6的剩余类为： 0 mod 6,1 mod 6,2 mod 6, 3 mod 6,4 mod 6,5 mod 6.
故 7|3n n3.
典例分析
例2：由费马小定理知，对任意奇质数p，都有2p-1 1mod p， 问：是否存在合数n，使得2n-1 1mod n成立？
解： 这样的合数n存在，而且有无穷多个，其中
最小的满足条件的合数n=341=11×31 （是从两个不同奇质数作乘积去试算出来 的。） 事实上，由于210-1=1023=341×3 故 210≡1（mod341） 所以 2340≡134≡1（mod341）， 故341符合要求。
新知学习
定义 在于模m互素的全部剩余类中，每一 类中任取一数所组成的数的集合，叫作模m 的一个简化剩余系。
不难得到：与模m互素的剩余类的个数是ψ （m），模m的每一简化剩余系是由与m互素 的ψ（m）个对模m不同余的整数组成的。
新知学习
如果a1，a2，…，aψ（m）是模m的一个简化剩 余系，并且（a，m）=1，那么aa1，aa2，…， aaψ（m）是也是模m的一个简化剩余系。
说明：满足题中的合数n称为“伪质数”，如果
对任意a,n 1都有an-1 1mod n成立，那么合
数n称为“绝对伪质数”。
随堂练习
1、设x为整数，p是x2 1的奇质因子，证明：p 1mod 4.
证明：由于p为奇质数，若p 1mod 4，则p 3mod 4， 可设p=4k 3，此时，由x2 1mod p,得：
证明： 若7|3n n3，则7 / n，
于是，由费马小定理知，
n6 1mod 7，
从而，由7|3n n3 知，
7| 3n n3 n3，
故 7|3n n3 1.
典例分析
反过来，若 7|3n n3 1， 则 7 / n，
并且 7| 3n n3 1 n3，
即 7|3n n6 n3，
利用费马小定理知：n6 1mod 7，
典例分析
进一步，设a是一个符合要求的奇合数，
则2a 1是一个奇合数这一点利用因式分解可知。
再设2a1 1=a q, q为正奇数，则
22a11 1=222a1 1
22aq 1
2a
2q
1
12q 1
0mod 2a 1.
典例分析
因此2a 1也是一个符合要求的数， 依次类推，可知有无穷多个满足条件的合数。
新知学习
欧拉定理 设m是一个大于1的整数，a是一 个整数，且满足条件（a，m）=1，则有：
a ψ（m） ≡1（mod m）.
新知学习
在欧拉定理中，若m是素数p，由ψ（P）=P-1 便得到： 费马小定理 设p为素数，且（p，a）=1， 则有：
a P-1 ≡1（mod P）.
典例分析
例1：设n为正整数，证明：7|3n n3的充要条件是7|3n n3 1.
x p1 x4k2 x2 2k1 12k1 1 mod p .
而由费马小定理，应有：
x p1 1mod p.
结合上式将导出p | 2,矛盾。
所以，p 1mod 4.
谢谢欣赏！Fra Baidu bibliotek
其中剩余类1 mod 6,5 mod 6里的所有数均 与6互素，我们称这两个剩余类为与6互素的 剩余类。 给定模m，如果模m的一个剩余类里面的某个 数与m互素，就把这个剩余类叫作一个与模m 互素的剩余类。
新知学习
由此我们可知：在模3的剩余类中，1 mod 3,2 mod 3为与3互素的剩余类，在模4的剩 余类中，1 mod 4,3 mod 4为与4互素的剩余 类，等等。 我们已经知道，1 mod 6,5 mod 6为所有与6 互素的剩余类，那么我们在这两个剩余类中 任取一个数，例如1和5，则由这两个数组成 的集合｛1,5｝，称为模6的一个简化剩余系。
知识背景
费马小定理是初等数论四大定理 （威尔逊定理，欧拉定理（数论中的 欧拉定理），中国剩余定理(又称孙子 定理)和费马小定理）之一，在初等数 论中有着非常广泛和重要的应用。实 际上，它是欧拉定理的一个特殊情况。
新知学习
我们知道模6的剩余类为： 0 mod 6,1 mod 6,2 mod 6, 3 mod 6,4 mod 6,5 mod 6.
故 7|3n n3.
典例分析
例2：由费马小定理知，对任意奇质数p，都有2p-1 1mod p， 问：是否存在合数n，使得2n-1 1mod n成立？
解： 这样的合数n存在，而且有无穷多个，其中
最小的满足条件的合数n=341=11×31 （是从两个不同奇质数作乘积去试算出来 的。） 事实上，由于210-1=1023=341×3 故 210≡1（mod341） 所以 2340≡134≡1（mod341）， 故341符合要求。
新知学习
定义 在于模m互素的全部剩余类中，每一 类中任取一数所组成的数的集合，叫作模m 的一个简化剩余系。
不难得到：与模m互素的剩余类的个数是ψ （m），模m的每一简化剩余系是由与m互素 的ψ（m）个对模m不同余的整数组成的。
新知学习
如果a1，a2，…，aψ（m）是模m的一个简化剩 余系，并且（a，m）=1，那么aa1，aa2，…， aaψ（m）是也是模m的一个简化剩余系。
说明：满足题中的合数n称为“伪质数”，如果
对任意a,n 1都有an-1 1mod n成立，那么合
数n称为“绝对伪质数”。
随堂练习
1、设x为整数，p是x2 1的奇质因子，证明：p 1mod 4.
证明：由于p为奇质数，若p 1mod 4，则p 3mod 4， 可设p=4k 3，此时，由x2 1mod p,得：
证明： 若7|3n n3，则7 / n，
于是，由费马小定理知，
n6 1mod 7，
从而，由7|3n n3 知，
7| 3n n3 n3，
故 7|3n n3 1.
典例分析
反过来，若 7|3n n3 1， 则 7 / n，
并且 7| 3n n3 1 n3，
即 7|3n n6 n3，
利用费马小定理知：n6 1mod 7，
典例分析
进一步，设a是一个符合要求的奇合数，
则2a 1是一个奇合数这一点利用因式分解可知。
再设2a1 1=a q, q为正奇数，则
22a11 1=222a1 1
22aq 1
2a
2q
1
12q 1
0mod 2a 1.
典例分析
因此2a 1也是一个符合要求的数， 依次类推，可知有无穷多个满足条件的合数。
新知学习
欧拉定理 设m是一个大于1的整数，a是一 个整数，且满足条件（a，m）=1，则有：
a ψ（m） ≡1（mod m）.
新知学习
在欧拉定理中，若m是素数p，由ψ（P）=P-1 便得到： 费马小定理 设p为素数，且（p，a）=1， 则有：
a P-1 ≡1（mod P）.
典例分析
例1：设n为正整数，证明：7|3n n3的充要条件是7|3n n3 1.
x p1 x4k2 x2 2k1 12k1 1 mod p .
而由费马小定理，应有：
x p1 1mod p.
结合上式将导出p | 2,矛盾。
所以，p 1mod 4.
谢谢欣赏！Fra Baidu bibliotek
其中剩余类1 mod 6,5 mod 6里的所有数均 与6互素，我们称这两个剩余类为与6互素的 剩余类。 给定模m，如果模m的一个剩余类里面的某个 数与m互素，就把这个剩余类叫作一个与模m 互素的剩余类。
新知学习
由此我们可知：在模3的剩余类中，1 mod 3,2 mod 3为与3互素的剩余类，在模4的剩 余类中，1 mod 4,3 mod 4为与4互素的剩余 类，等等。 我们已经知道，1 mod 6,5 mod 6为所有与6 互素的剩余类，那么我们在这两个剩余类中 任取一个数，例如1和5，则由这两个数组成 的集合｛1,5｝，称为模6的一个简化剩余系。