三角函数化简求值专题复习

三角函数化简求值专题复习

高考要求

1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）

3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析

1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.

2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题

3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

【例1】求值：

︒

+︒︒

⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.

解：原式的分子︒

︒

︒+︒︒+

︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2

︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒

︒

+︒=20cos 10cos 40sin

320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒

︒

︒=︒︒+︒=

，

原式的分母＝

︒

︒

+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒

︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos

310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒

︒

︒=︒︒+︒=

，

所以，原式＝１．

【变式】1、求值

()

︒

+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2

解：()()2

5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23

10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=︒

︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒

⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛︒+︒+︒=︒︒+︒+︒=·原式 【变式】2、求0

2

2

10sin 21)140

cos 1140

sin 3(

⋅-

。

分析：原式=

202020210sin 21

140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅

-

16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 4

1200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0

000002000

2000000=-=-=⋅⋅-=⋅

-+-= 【例2】（三兄弟）已知23523sin cos π

απαα<

<=-，且，求α

α

αtan 1sin 22sin 2

-+的值

解：原式=α

αααααsin cos cos sin 2cos 2sin 2-+=()αααααsin cos sin cos 2sin -+

∵5

2

3αsin αcos =-，上式两边平方，得：2518α2sin 1=-

∴2572sin =

α；又∵2

3π

απ<< ∴0sin cos 0sin 0cos <+<<αααα，，

∴()()ααααααcos sin 4sin cos sin cos 22+-=+()25

322sin 2sin cos 2=

+-=ααα ∴524sin cos -=+αα，∴原式5

2

3524257⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-

⨯=

7528-= 【变式】（05

天津）已知7sin()24

1025π

αα-

=

=，求sin α及tan()3

π

α+． 【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得

)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5

7

cos sin =-αα ①

由题设条件，应用二倍角余弦公式得

)sin (cos 5

7

)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51

sin cos -=+αα ②

由①和②式得53sin =α，5cos =α

因此，4

3

tan -=α，由两角和的正切公式

11325483

343344

33143

3tan 313tan )3tan(-=+-=+

-

=-+=+ααπα 【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2

π

]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。