三角函数化简求值专题复习
专题01 三角函数中的化简求值(解析版)
专题01 三角函数中的化简求值一、题型选讲题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．例1、（2018年江苏高考题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1（因为4tan 3α=（sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=（ 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=（ 因此，27cos22cos 125αα=-=-（ （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈（又因为()cos αβ+=()sin αβ+==因此()tan 2αβ+=-（ 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--（ 因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+（ 例2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b .(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12的值．【解析】(1) 因为a ＝(6sin a ，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b . 所以6sin a ＋2cos α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64.2分因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，(4分)所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝104，故sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝155.(6分)(2) 由(1)得cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫1042－1＝14.(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝154.(10分)所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12＝cos ]＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫2a ＋π3sin π4(12分)＝2－308.(14分) 题型二 探究角度之间的关系在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
三角函数的化简求值(含答案)
三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中，不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简10.函数（）的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
三角函数式的化简求值训练
)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。
高中数学专题：三角函数的化简与求值
2＋3，
则常数 a＝________.
解析
1＋2cos2x－1 f(x)＝ 2cos x ＋sin
x＋a2sinx＋π4
＝cos x＋sin x＋a2sinx＋π4
＝ 2sinx＋4π＋a2sinx＋π4 ＝( 2＋a2)sinx＋4π. 依题意有 2＋a2＝ 2＋3， ∴a＝± 3.
答案 ± 3
α
＝2
2sin
α＝－2
5
5 .
答案 A
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4.已知f(x)＝sin2
x＋4π，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg
1 5
)，则(
)
A.a＋b＝0
B.a－b＝0
C.a＋b＝1
D.a－b＝1
解析 a＝f(lg 5)＝sin2(lg 5＋4π)
1－cos2lg
2 .
又∵cosπ4－β2＝ 33，－2π<β<0， ∴sinπ4－β2＝ 36，
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
∴cosα＋2β＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2 ＝13× 33＋232× 36＝593. 答案 C
＝－41＋34＋1＝23.
点评 熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角 函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律 技巧．
变式训练2 (1)(四川)已知sin α＋2cos α＝0， 则2sin αcos α－cos2α的值是________． 解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， 又∵2sin αcos α－cos2α＝2sinsiαn2cαo＋s αc－osc2αos2α
考点15 三角函数式的化简与求值(答案)
，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角 的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ） 正 弦 、 余 弦 和 （ 差 ） 与 积 的 互 化 ， 即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦 公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注 意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．
三角函数化简求值专题复习
三角函数化简求值专题复习基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=， 原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=， 所以，原式＝１．【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2 解：()()25cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 2310cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒+︒=︒︒+︒+︒=·原式 【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
高考数学-三角函数专题复习
高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。
解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。
解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。
解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。
解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。
解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。
解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。
三角函数化简求值练习题(超级好)
三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。
专题十一 三角函数式的化简与求值
综合复习专题十一三角函数式的化简与求值知识网络一、高考考点1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系：.②商数关系：.③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；；.推论2（万能公式）：；.推论3（半角公式）：；；.其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
三角函数式的化简与求值-高考数学复习
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[解析] 因为 tan(α＋2β)＝3， 所以 tan 2(α＋2β)＝1－2tatannα2＋α＋2β2β＝1－6 9＝－34， 所以 tan(t＋anta2nα2＋α2＋β2－βt·atannαα－－ββ ＝1＋－－34－34×2 2＝121.故选 B．
1
π
___7___，2α－β＝___3___.
[解析] 因为 cos α＝277， 所以 cos 2α＝2cos2 α－1＝17.
又 α，β 为锐角，sin β＝3143，
所以 sin α＝ 721，cos β＝1143，
第四章 三角函数、解三角形
高考一轮总复习 • 数学
因此 sin 2α＝2sin αcos α＝473，
第四章 三角函数、解三角形
高考一轮总复习 • 数学
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【变式训练】 1．(角度1)(多选题)下列各式正确的是( AC ) A．(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2
B．sin110°－cos 310°＝2 C．23－－csoins27100°°＝2 D．tan 70°·cos 10°( 3tan 20°－1)＝2
第四章 三角函数、解三角形
高考一轮总复习 • 数学
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名师点拨： 1．已知三角函数值求角的解题步骤： (1)求出角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围确定角．
第四章 三角函数、解三角形
高考一轮总复习 • 数学
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2．给值求角的原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2， 选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2， 选正弦较好．
专题12 三角函数的化简与求值
专 题 训 练三角函数的化简与求值知能目标1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式.2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明.综合脉络三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下:1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下:)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地,α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos si n 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cossi n,22cos 1cos,22cos 1si n2222=α+αα+=αα-=α 等,三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )t a n t a n 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等.(一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π<<时，函数x2sin xsin8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( )A. 2B. 32C. 4D. 34(2) 已知=α=αcos ,32tan 则 .例2. 已知22tan=α, 求: (1) )4tan(π+α的值; (2)α-αα+αcos 2sin 3cos sin 6的值.例3. 已知A 、B 、C 的坐标分别为A )0,3( , B )3,0( , C )sin ,(cos αα , )23,2(ππ∈α.(1) 若|AC ||BC | =, 求角α的值; (2) 若1C B AC -=⋅, 求α+α+αtan 12sin sin22的值.例4. 已知,0x 2<<π-51x cos x sin =+. (1) 求x cos x sin -的值;(2) 求xcot x tan 2x cos2xcos2xsin22x sin322++-的值.(二) 专题测试与练习: 一. 选择题1. =-15cot 15tan ( ) A. 2 B. 32+C. 4D. 32-2. 若,x 2sin )x (tan f = 则)1(f -的值为 ( ) A. 2sin - B. 1- C. 21 D. 13. 已知=π-β=π+α=β+α)4tan(,223)4tan(,52)tan(那么 ( ) A.51 B.1813 C. 41 D.22134. 若βα，均是锐角，且)cos(sin 2β-α=α, α与β的关系是 ( ) A. β>α B. β<α C. β=α D. 2π>β+α5. 化简:= .A. 0B. 1-C. 1±D. 16. 已知,1027)4sin(=π-α且432π<α<π, 求)42tan(π+α的值．A.3217 B.1731 C. 1731- D. 3117-二. 填空题 7. 若,31)6sin(=α-π 则=α+π)232cos(.8. 设α为第四象限的角, 若513sin 3sin =αα, 则=α2tan ___________.9. 已知α、β均为锐角, 且),sin()cos(β-α=β+α 则=αtan .10. 若71cos =α, )2,0(π∈α, 则=π+α)3cos(________ __.三. 解答题11. 已知α为第二象限的角, 53sin =α, β为第一象限的角, 135cos =β, 求)2tan(β-α的值.12. 化简:.)4(si n )4t a n (21co s 222α+π⋅α-π-α .13. 已知向量)sin ,(cos θθ= m , 和),2,(),cos ,sin 2(ππ∈θθθ-= n且.528||=+ n m 求)82cos(π+θ的值.三角函数的化简与求值解答(一) 典型例题例1. 解：1. (1) D ; (2) －54.例2. 解：(1) ∵22tan=α, ∴ 3441222tan12tan2tan 2-=-⨯=α-α=α;所以71341134tan 11tan 2tantan 14tan tan )4tan(=++-=α-+α=πα-π+α=π+α.(2) 由(1)34tan -=α, 所以672)34(31)34(62tan 31tan 6cos 2sin 3cos sin 6=--+-=-α+α=α-αα+α例3. 解：(1)∵|AC ||BC | =, ∴点C 在x y =上, 则α=αcos sin .),23,2(ππ∈α .45π=α∴ (2) ),sin ,3(cos AC α-α=),3sin ,(cos B C -αα=,1)3(sin sin )3(cos cos -=-αα+-αα∴ 则32cos sin =α+α原式＝.95cos sin 2-=αα例4. 解：(1) 25241251x cos x sin 251x cos x sin -=-=⇒=+，254925241)x cos x (sin 2=+=- ，又0x cos x sin 0x 2<-⇒<<π-，57x cos x sin -=-∴．(2) 原式125108)2512(59x cos x sin )]x sin x (cos 2[xcos x sin 1x sin 12x sin22-=-⨯=+-=-+=．(二) 专题测试与练习 一.二. 填空题 7. 97-; 8. 43-; 9. 1 ; 10. 1411-.三. 解答题11. 解：α是第二象限角，7242tan 43tan 54cos 53sin -=α⇒-=α⇒-=α⇒=α，β是第一象限角，253204)2tan(512tan 135cos =β-α⇒=β⇒=β12. 解：原式＝12cos 2cos )4cos()4sin(22cos )]4(2[sin )4tan(22cos 2=αα=α-πα-πα=α-π-πα-πα13. 解法一:)sin cos ,2sin (cos θ+θ+θ-θ=+ n m22)sin (cos )2sin (cos θ+θ++θ-θ=+ n m )sin (cos 224θ-θ+=)4cos(44π+θ+=)4cos(12π+θ+=由已知528||=+ n m ，得257)4cos(=π+θ又1)82(cos 2)4cos(2-π+θ=π+θ所以2516)82(cos 2=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π 54)82c o s (-=π+θ∴解法二:n mnm nn m m n m n m ⋅++=+⋅+=+=+22)(22222]cos sin )sin 2([cos 2)cos )sin2(()sincos (2222222θθ+θ-θ+θ+θ-+θ+θ=)82(cos 8)]4cos(1[4)sin (cos 2242π+θ=π+θ+=θ-θ+=由已知528||=+ n m ，得54|)82cos(|=π+θ0)82cos(898285,2<π+θ∴π<π+θ<π∴π<θ<π54)82cos(-=π+θ∴。
高考数学二轮复习第1讲三角函数的化简与求值课件
.
5
5
答案 2 4
25
解析 两式平方相加得13-12sin αcos β-12cos αsin β= 3 7 , 则12sin(α+β)=13-3 7
25
25
= 2 8 8 ,sin(α+β)= 2 4 .
25
25
12/11/2021
x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=
例1 (2018高考数学模拟)如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边
与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈
6
,.将2 角α的终边按逆时针
方向旋转 ,交单位圆于点B,记A(x1,y1),B(x2,y2). 3
12/11/2021
(1)若x1=
1 3
,求x2;
(2)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D,记△AOC的面积为S1,△BOD的面
1tan2αtan(αβ) 1 1
12/11/2021
【方法归纳】 解决三角函数的给值求角问题的关键是角的变换和三角公 式的选择,对于角的变换,若已知角与所求角之间有2倍的关系,则利用二倍角 公式求解,在此过程中,要注意同角三角函数的基本关系式sin2α+cos2α=1与tan α= s i n 的α 应用;若已知角与所求角之间是和或差的形式,则先用已知角和特
3
5
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
12/11/2021
解析 (1)因为tan α= s i n =α 4 ,所以sin α= 4
cosα 3
3
因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α= 9 ,
人教A版数学必修第一册期末复习：三角函数的化简与求值课件
变式训练
变式1 tan(-945°)的值为
tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°
=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
-1
.
变式2
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,
则f(202X)的值为
高一必修一
三角函数的化简与求值
考情分析
202X年
Ⅰ Ⅱ卷
三角函 卷
数的化
简与求
值
T6,T15
202X年
202X年
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ卷 新高考Ⅰ
卷
卷
卷
卷
卷
T7 T10
T9
T9
本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为
基础，考查三角函数的化简与求值.利用同角三角函数基本关
系式、辅助角公式，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式
真题再现
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
3
3
D.
2 5
5
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
三角函数变换、化简、求值(全)
三角函数变换、化简、求值1同角三角函数 1. xx x x cos sin cos sin -+＝( ) A.tan(x-4π) B.tan(x+4π) C.cot(x-4π) D.cot(x+4π) 2.已知tan α=2，求(1)1sin cos sin 5cos 3cos sin sin 222++--ααααααα (2) 2sin 2α-sin αcos α+cos 2α3化简 (1)sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β(2)sin(-10710) sin(990)+ sin(-1710)sin(-2610) 4．化简：（1）αααααααcsc cot tan sin )sin (cos tan +++-； （2）ααααααcos sin 2cot cos tan sin 22++；（3）ααααααsin 1sin 1sin 1sin 1tan 1cos 12+---+++ 5．已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-；（2）2cos sin sin 2++ααα。
2诱导公式 1:sin(-617π)的值为 2:sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是3.函数式)2cos()2sin(21+-+ππ化简的结果是4.设cos(π+α)＝23,π＜α＜23π，那么sin(2π-α)的值是( ) 5.化简])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k 的值为( ) 6.已知f(n)＝cos 3πn (n ∈N +),则f(1)+f(2)+…+f(6)-［f(7)+f(8)+…+f(12)］＝( ) 7.lgtan1°+lgtan2°+…+lgtan89°＝ . 8.已知：0＜β＜4π,4π ＜α＜43π,且cos(4π-α)= 54,sin(43π+β)= 1312,求cos(α+β)的值. 9．已知54)540sin(-=+α ，则=-)270cos( α ； 若α为第二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα 10．已知α是第三象限角，且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα----+---=f 。
三角函数中的化简求值(经典版)
一、题型选讲
题型一灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值
通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．
求tan()
αβ
-的值．
题型二探究角度之间的关系
在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代
换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
．
题型三、运用构造法化简与求值
2、(2018南京、盐城一模）已知锐角α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β的值为________．。
三角函数的化简与求值 课件50张-2025届高三数学二轮复习
(3)公式T2α：tan 2α＝ 1－tan2α .
5.半角公式(不要求记忆)
α
sin 2＝±
1－cos α
α
；cos
＝±
2
2
α
所在象限决定.
2
1＋cos α
α
；tan
＝±
2
2
1－cos α
.符号由
1＋cos α
6.二倍角公式的变形公式
2α
2α
(1)1－cos α＝2sin 2，1＋cos α＝2cos 2.(升幂公式)
2si n 2 -sin cos
α= si n 2 +co s 2
=
2ta n 2 -tan
ta n 2 +1
=
10
=2.故选
5
考点二
三角函数式的化简与求值
考向1给角求值
例2(1)(2024·四川成都期末)
计算:cos 20°·cos 40°-cos 40°cos 80°+cos 80°cos 20°=( C )
2
B.− 5
A.-1
4
C.5
cos
cos2 +1
=( D )
7
D.8
解析 由 cos(α+π)=-2sin α,得 cos α=2sin α,
π
2
si n 2 -3cos +
则 tan
1
α= ,所以
2
7
.故选
8
D.
cos2 +1
cos
=
si n 2 +3sin cos
2co s 2
2(si n 2 15°-co s 2 15°)
4.2 三角函数的化简与求值
cos =±
tan =±
θ 2
θ 2
1 cos θ , 2
1 cos θ , 1 cos θ
θ 其中符号“±”的选取由 角的范围确定. 2
用正余弦来表示正切的半角公式: tan =
α 2
1 cos α sin α = sin α 1 cos α
.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
现三角函数的代数结构,运用相应的三角公式一步一步地化
简为正弦型函数,在解三角方程中,要注意它的多解性,注意 题目只要寻找其中的一个钝角.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
x x sin 2 2 2 x x sin cos 2 2
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
2 1 【解析】f(x)= sin x 2
m
=
1 m2 m2 1 1 m2
2
m
=
2m 1 m 2 1 2m 2
.
【答案】C
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
2.cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)等于 ( (A)-sin 1. (B)sin 1. (C)-cos 1.
.
2 2
公式变形:①1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.(升幂公式) ②cos α=
2
1 cos 2α 2
,sin α=
2
1 cos 2α 2
.(降幂公式)
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
三、半角公式
1 cos θ θ sin =± , 2 2
高一数学。三角函数化简和求值超难方法汇总
高一数学。
三角函数化简和求值超难方法汇总第九讲三角函数式的恒等变形1.基本知识与基本方法1.1 基本知识介绍①两角和与差的基本关系式：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $$sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $$tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\a lpha\tan\beta}$$②和差化积与积化和差公式：sin\alpha+\sin\beta=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\co s\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha+\cos\beta=2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\c os\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$$sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\al pha-\beta)\right)$$cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right)$$cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\ alpha-\beta)\right)$$sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right)$$③倍角公式：sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$$④半角公式：sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$$cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$$tan\frac{\alpha}{2}=\pm\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\fra c{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$$⑤辅助角公式：如果$a,b$是实数且$a^2+b^2\neq0$，则：a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi)$$其中$\phi$满足：sin\phi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$cos\phi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$$1.2 基本方法介绍①变角思想：在三角化简、求值中，往往出现较多相异的角，可根据角与角之间的关系，通过配凑，整体把握公式，消去差异，达到统一角的目的，使问题求解。
第七节 三角函数的化简与求值(知识梳理)
第七节三角函数的化简与求值复习目标学法指导1.二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.简单的三角恒等变换(1)利用三角恒等变换研究三角函数的性质. (2)能把一些简单实际问题转化为三角函数问题,通过三角变换解决.了解和、差、倍角公式的特点,并进行变形应用. 理解三角变换的基本特点和基本功能.了解三角变换中蕴含的数学思想和方法. 1.在理解倍角公式推理的过程中掌握公式特征.2.熟练掌握余弦的二倍角公式,能正用、逆用.3.准确把握三角变换的题型的特征,能从“角、名、式”三个方面分析特点、选择公式、正确转化求解.二倍角的正弦、余弦和正切公式1.二倍角的正弦公式sin 2α=2sin αcos α.2.二倍角的余弦公式cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. 3.二倍角的正切公式tan 2α=22tan 1tan αα-.1.公式理解(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中当α=β时的特殊情况.(2)倍角是相对的,例如2α是4α的倍角,3α是32α的倍角. 2.与倍角公式有关的变形公式(1)升幂公式:1+cos α=2cos 22α;1-cos α=2sin 22α; 1+sin α=(sin 2α+cos 2α)2;1-sin α=(sin 2α-cos 2α)2. (2)降幂公式:sin 2α=1cos22α-;cos 2α=1cos22α+; sin αcos α=sin 22α. (3)半角公式:sin 2α=±1cos 2α-;cos 2α=±1cos 2α+;tan 2α=±1cos 1cos αα-+=sin 1cos αα+=1cos sin αα-.1.已知α∈R,sin α+2cos α10则tan 2α等于( C )(A)43 (B)34 (C)-34 (D)-43解析:法一 (直接法)由已知得(sin α+2cos α)2=52, 所以2222sin 4cos 4sin cos sin cos αααααα+++=52.化简得3tan 2α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-13,代入tan 2α=22tan 1tan αα-,得 tan 2α=-34.解析:法二 (猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sin αα这时sin α+2cos α,此时tan α=3,代入二倍角公式得到答案C.故选C.2.函数y=sin 2x+2sin xcos x+3cos 2x 的最小正周期和最小值为( C )(A)π,0 (B)2π,0 (C)π(D)2π解析:y=sin 2x+2sin xcos x+3cos 2x =1+sin 2x+(1+cos 2x)π4),最小正周期为π,当sin(2x+π4)=-1时,y 取得最小值为故选C.3.(2018·嘉兴测试)cos π9·cos 2π9·cos(-23π9)= . 解析:cos π9·cos 2π9·cos(-23π9) =cos 20°·cos 40°·cos 100°=-cos 20°·cos 40°·cos 80°=-sin 20cos 20cos 40cos80sin 20︒︒︒︒︒=-1sin 40cos 40cos802sin 20︒︒︒︒⋅⋅=-1sin80cos804sin 20︒︒︒⋅=-1sin1608sin 20︒︒=-1sin 208sin 20︒︒=-18.答案:-184.化简sin 2(α-π6)+sin 2(α+π6)-sin 2α的结果是 . 解析:法一原式=π1cos 232α⎛⎫-- ⎪⎝⎭+π1cos 232α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-sin 2α=1-12[cos(2α-π3)+cos(2α+π3)]-sin 2α =1-cos 2α·cos π3-sin 2α =1-cos 22α-1cos22α- =12. 法二 令α=0,则原式=14+14=12. 答案:12考点一 三角函数式的化简与给角求值[例1] (1)已知a=sin 15°cos 15°,b=cos 2π6-sin 2π6,c=2tan 301tan 30︒︒-,则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a<b<c (B)a>b>c (C)c>a>b (D)a<c<b 22cos8+1sin8-的化简结果为 .(3)1cos202sin 20︒︒+-sin 10°(1tan 5︒-tan 5°)= . 解析:(1)a=sin 15°cos 15°=12sin 30°=14,b=cos 2π6-sin 2π6=cos π3=12,c=2tan 301tan 30︒︒-=12tan 60°=3,由14<12<3,可知a<b<c.故选A.(2)原式=24cos 4+2()2sin4cos4-=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,因为54π<4<32π, 所以cos 4<0,且sin 4<cos 4,所以原式=-2cos 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.(3)原式=22cos 1022sin10cos10︒︒︒⨯-sin 10°(cos5sin 5︒︒-sin 5cos5︒︒) =cos102sin10︒︒-sin 10°·22cos 5sin 5sin 5cos5︒︒︒︒-=cos102sin10︒︒-sin 10°·cos101sin102︒︒=cos102sin10︒︒-2cos 10°=cos102sin 202sin10︒︒︒-=()cos102sin 30102sin10︒︒︒︒--=13cos102cos10sin1022sin10︒︒︒︒⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭=3sin10︒=3.答案:(1)A (2)-2sin 4 (3)3(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则①一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;③三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等.(2)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.1.若函数f(x)=5cos x+12sin x在x=θ时取得最小值,则cos θ等于( B )(A)513 (B)-513(C)1213(D)-1213解析:f(x)=5cos x+12sin x=13(513cos x+1213sin x)=13sin(x+α),其中sin α=513,cos α=1213,由题意知θ+α=2kπ-π2(k∈Z),得θ=2kπ-π2-α(k∈Z),所以cos θ=cos(2kπ-π2-α)=cos(π2+α)=-sin α=-513.故选B.2.化简:sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12cos 2α·cos 2β.解:法一 原式=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12·(2cos 2α-1)·(2cos 2β-1)=sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12(4cos 2α·cos 2β-2cos 2α-2cos 2β+1)=sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β-12 =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β-12 =sin 2β+cos 2β-12 =1-12 =12. 法二 原式=sin 2α·sin 2β+(1-sin 2α)·cos 2β-12cos 2α· cos 2β=cos 2β-sin 2α(cos 2β-sin 2β)- 12cos 2α·cos 2β =cos 2β-sin 2α·cos 2β-12cos 2α·cos 2β =cos 2β-cos 2β·(sin 2α+12cos 2α) =1cos22β+-cos 2β·[sin 2α+12(1-2sin 2α)] =1cos22β+-12cos 2β =12. 法三 原式=1cos22α-·1cos22β-+1cos22α+·1cos22β+-12cos 2α·cos 2β =14(1+cos 2α·cos 2β-cos 2α-cos 2β)+14(1+cos 2α· cos 2β+cos 2α+cos 2β)-12·cos 2α·cos 2β=12.法四 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α· sin β·cos α·cos β-12cos 2α·cos 2β=cos 2(α+β)+12sin 2α·sin 2β-12cos 2α·cos 2β=cos 2(α+β)-12cos(2α+2β) =cos 2(α+β)- 12[2cos 2(α+β)-1]=12. 考点二 三角函数的给值求值与给值求角问题[例2] 已知tan 2θ=3,则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++= . 解析:因为tan 2θ=3, 所以原式=222sin sin 22cossin 2θθθθ++=222sin 2sin cos2222cos 2sin cos222θθθθθθ++=2tan tan221tan2θθθ++=tan 2θ =3. 答案:3已知三角函数值,求三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.1.(2019·台州高三模拟)在斜△ABC 中,sinBcos C,且tanB ·则角A 的值为 .解析:由已知所以所以又tan B ·所以tan(B+C)=tan tan 1tan tan B CB C+-=-1, 所以tan A=1, 又0<A<π,所以A=π4. 答案:π42.已知方程x 2+4ax+3a+1=0(a 为大于1的常数)的两根为tan α,tanβ,且α,β∈(-π2,π2),则tan 2αβ+的值是 . 解析:因为a>1,所以tan α+tan β=-4a<0,tan α·tan β=3a+1>0, 所以tan α,tan β是方程x 2+4ax+3a+1=0的两个负根,又α,β∈(-π2,π2), 所以α,β∈(-π2,0), 即2αβ+∈(-π2,0), 由tan (α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=()4131aa --+= 43,可得tan 2αβ+=-2. 答案:-2考点三 三角恒等变换的应用[例3] (2018·金华十校模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A,B,x 轴正半轴与单位圆交于点M,已知S△OAM=5,点B的纵坐标是2.(1)求cos (α-β)的值;(2)求2α-β的值.解:(1)根据题意知,OA=OB=1.由S△OAM5和α为锐角,得sin α25,cos α5,又点B2,β为钝角,所以sin β2,cos β72所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β5×7225210解: (2)因为cos 2α=2cos2α-1=2×52-1=-35,sin 2α=2sin α·cos α=225545,且0<α<π2,所以2α∈(π2,π).因为β∈(π2,π),所以2α-β∈(-π2,π2).sin(2α-β)=sin 2α·cos β-cos 2α·sin β2,故2α-β=-π4.三角恒等变换的综合应用主要是将三角恒等变换与三角函数的性质相结合,通过变形,将复杂的函数式子化为y=Asin(ωx+ϕ)+b 的形式再研究性质,在研究性质时注意利用整体思想解决相关问题.已知函数f(x)=cos 2x+sin xcos x,x ∈R. (1)求f(π6)的值; (2)若sin α=35,且α∈(π2,π),求f(2α+π24). 解:(1)f(π6)=cos 2π6+sin π6cos π632+12333+.解: (2)因为f(x)=cos 2x+sin xcos x=1cos 22x ++12sin 2x =12+12(sin 2x+cos 2x) =122sin(2x+π4), 所以f(2α+π24)=122sin(α+π12+π4) =122sin(α+π3) =122(12sin α3cos α).又因为sin α=35,且α∈(π2,π), 所以cos α=-45, 所以f(2α+π24)=122(12×353×45)=102246+-.类型一三角函数式的化简与给角求值1.cos85sin25cos30cos25+o o oo等于( C )32(C)12(D)1解析:原式=3sin5252cos25o oo=3sin(3025)252cos25-o o oo=1cos252cos25oo=12.故选C.2.cos π5·cos 2π5的值是( B )(A)4 (B)14(C)2 (D)12解析:原式=ππ2πsin cos cos555πsin5=14πsin45πsin5=14.故选B.3.若θ是第二象限角,且cos2θ<0,1sinsin cos22θ--的值是.解析:θ是第二象限角,且cos2θ<0,所以2kπ+54π<2θ<2kπ+32π,k∈Z,1sinsin cos22θ--22cos2sin cos sin2222sin cos22θθθθθθ-+-=cos sin 22sincos22θθθθ--=-1. 答案:-14.化简sin 41cos 4x x +·cos 21cos 2x x +·cos 1cos xx += . 解析:原式=22sin 2cos22cos 2x x x ·cos 21cos 2x x +·cos 1cos x x+ =sin 21cos 2x x +·cos 1cos x x + =22sin cos 2cos x x x ·cos 1cos x x+ =sin 1cos x x+ =tan 2x . 答案:tan 2x类型二 三角函数求值5.若0<α<π2,-π2<β<0,cos(π4+α)=13,cos(π4-2β,则cos(α+2β)等于( C )(解析:cos(α+2β) =cos[(π4+α)-(π4-2β)] =cos(π4+α)cos(π4-2β)+sin(π4+α)sin(π4-2β), 因为0<α<π2, 所以π4<π4+α<3π4, 所以sin(π4+α又-π2<β<0,所以π4<π4-2β<π2, 所以sin(π4-2β.故cos(α+2β)=13故选C.6.已知sin x+cos x=1,则221sin 2cos sin xx x--= . 解析:由于221sin 2cos sin x x x --=2(sin cos )(sin cos )(cos sin )x x x x x x -+-=cos x-sin x,因为(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=1,故sin 0,cos 1x x =⎧⎨=⎩或cos 0,sin 1,x x =⎧⎨=⎩ 代入解得221sin 2cos sin x x x--=cos x-sin x=±1. 答案:±17.已知cos 2α-cos 2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于 .解析:sin(α+β)·sin(α-β)=(sin αcos β+cos αsin β)·(sin αcos β-cos αsin β) =sin 2αcos 2β-cos 2αsin 2β =(1-cos 2α)cos 2β-cos 2α(1-cos 2β) =cos 2β-cos 2α =-a. 答案:-a8.已知α∈(0,π2),β∈(π2,π),cos 2β=-79,sin(α+β)= 79,则sin α的值为 .解析:cos 2β=1cos22β+=7192⎛⎫+- ⎪⎝⎭=19,又因为β∈(π2,π),所以cos β=-13.于是sin β由α∈(0,π2),β∈(π2,π),得 α+β∈(π2,3π2).cos(α+βsin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=79×(-13=13. 答案:13类型三 三角恒等变换的应用9.在△ABC 中,A,B,C 是△ABC 的内角,设函数f(A)=2sin 2B C +sin(π-2A )+sin 2(π+2A )-cos 22A ,则f(A)的最大值为 . 解析:f(A)=2cos 2A sin 2A +sin 22A -cos 22A =sin A-cos Aπ4),因为0<A<π,所以-π4<A-π4<3π4. 所以当A-π4=π2,即A=3π4时,f(A)答案10.定义一种运算a ⊗b=,,,.a ab b a b ≤⎧⎨⎩＞令f(x)=(cos 2x+sin x)⊗ 54.当x ∈[0,π2]时,函数f(x-π2)的最大值是 .解析:依题意得,当x ∈[0,π2]时,y=cos 2(x-π2)+sin(x-π2)=sin 2x-cos x=-cos 2x-cos x+1=-(cos x+12)2+54的值域是[-1,1],此时函数f(x-π2)的值域是[-1,1],所以f(x-π2)的最大值是1.答案:1。
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三角函数化简求值专题复习高考要求1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.解：原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=，原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=，所以，原式＝１．【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2解：()()25cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 2310cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒+︒=︒︒+︒+︒=·原式 【变式】2、求02210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
分析：原式=202020210sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅-16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(00000020002000000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-= 【例2】（三兄弟）已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值解：原式=ααααααsin cos cos sin 2cos 2sin 2-+=()αααααsin cos sin cos 2sin -+∵523αsin αcos =-，上式两边平方，得：2518α2sin 1=-∴2572sin =α；又∵23παπ<< ∴0sin cos 0sin 0cos <+<<αααα，，∴()()ααααααcos sin 4sin cos sin cos 22+-=+()25322sin 2sin cos 2=+-=ααα ∴524sin cos -=+αα，∴原式523524257⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=7528-= 【变式】（05天津）已知7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+． 【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ②由①和②式得53sin =α，5cos =α因此，43tan -=α，由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
解：f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1 =a (1－cos2x )－3a sin2x +a +b －1 =－2a sin 12)6π2(-+++b a x∵0≤x ≤π2 ∴π6≤2x +π6≤π67 ∴1)6π2sin(21≤≤+-x∵a <0 ∴a ≤－2a sin ()26x +π≤－2a∴3a +b －1≤－2a sin ()26x +π+2a +b －1≤b －1∵值域为[－3,1] ∴⎩⎨⎧-=-+=-31311b a b ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=234b a 【变式】已知00<α<β<900，且sin α，sin β是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 21=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。
解：由韦达定理得sin α+sin β=2cos400，sin αsin β=cos 2400-21 ∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β040sin 2= 又sin α+sin β=2cos400∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=α=+=β0000005sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin∵ 00<α<β< 90∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=α=β00585 ∴ sin(β-5α)=sin600=23【例4】（最值二次型）已知 αβαβαπβπ2222sin 21sin sin 2sin 2sin 346-=-<≤-，试求，的最值。
解：∵4πβ6π<≤-∴-22sin 21<≤β，21sin 02<≤β ∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=- ∴03212≤-<sin sin αα即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-1sin 310sin 1sin 3201sin 2sin 30sin 2sin 322ααααααα或 ∴ 1αsin 320αsin 31<≤≤<-或y=41)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21sin 22222--=--=-αααααβ 当sin α∈[32，1]时函数y 递增，∴当sina=23时 y min =92-； 当sin α∈(31-，0)时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min =21∴ 故当)sin 21(sin ,92)sin 21(sin 32sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值【变式】设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.【例5】（角的变换）已知2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________. 解：∵2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4π3, ∴sin(α－β)=.54)βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+=-- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=【变式】（1）已知8cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。
解：（1）从变换角的差异着手。
∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得：tan(α+β)tan α=313（1）以三角函数结构特点出发 ∵3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ ∴ 53tan 1tan 2-=-θ+θ ∴ tan θ=2∴ 57tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ+θ+θ-=θ+θθθ+θ-θ=θ+θ 【例6】已知奇函数f (x )的定义域为实数集,且f (x )在[0,)+∞上是增函数，当02πθ≤≤时，是否存在这样的实数m ，使2(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的[0,]2πθ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，说明理由。