高考数学试题赏析
2023年高考数学全国卷试题评析
2023年高考数学全国卷试题评析2023年高考数学全国卷试题评析据教育部教育考试院消息，2023年教育部教育考试院命制4套高考数学试卷，分别是全国甲卷(文、理科)、全国乙卷(文、理科)、新课标Ⅰ卷、新课标Ⅱ卷。
高考数学全国卷贯彻落实教育方针，落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展;反映新时代基础教育课程理念，落实考试评价改革、高中育人方式改革等相关要求，全面考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等学科核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求，突出理性思维，发挥数学学科在人才选拔中的重要作用。
一、发挥基础学科作用助力创新人才选拔高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，给考生搭建展示的舞台和发挥的空间，致力于服务人才自主培养质量提升和现代化建设人才选拔。
一是重点考查逻辑推理素养。
如新课标Ⅰ卷第7题，以等差数列为材料考查充要条件的推证，要求考生判别充分性和必要性，然后分别进行证明，解决问题的关键是利用等差数列的概念和特点进行推理论证。
又如新课标Ⅱ卷第11题，其本质是根据一元二次方程根的性质判定方程系数之间的关系，题中函数经过求导后既有极大值又有极小值的性质，可以转化为一元二次方程的两个正根。
再如全国乙卷理科第21题，要求考生根据参数的性质进行分类推理讨论，考查考生思维的条理性、严谨性。
二是深入考查直观想象素养。
如全国甲卷理科第15题，要求通过想象与简单计算，确定球面与正方体棱的公共点的个数。
又如全国乙卷理科第19题，以几何体为依托，考查空间线面关系。
再如新课标Ⅱ卷第9题，以多选题的形式考查圆锥的内容，4个选项设问逐次递进，前面选项为后面选项提供条件，各选项分别考查圆锥的不同性质，互相联系，重点突出。
三是扎实考查数学运算素养。
试题要求考生理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果。
如新课标Ⅰ卷第17题，以正弦定理、同角三角函数基本关系式、解三角形等数学内容，考查数学运算素养。
2021年高考数学全国卷试题评析
2021年高考数学全国卷试题评析2021年高考数学全国卷在延续了历年命题风格的基础上，进一步突出了对学生数学思维能力和应用能力的考查。
全卷试题设计科学，内容丰富，难度适中，较好地体现了数学学科的特色和高考选拔人才的功能。
本文将对2021年高考数学全国卷进行详细评析，以期为广大师生提供参考。
总体评价1.突出基础知识的掌握2021年高考数学全国卷在命题上依然注重考查学生对基础知识的掌握程度。
全卷涉及的知识点涵盖了高中数学的主干内容，如函数、数列、不等式、解析几何等。
试题在考查学生基础知识的同时，也强调了对知识点的综合运用能力。
2.强调数学思维能力与往年相比，2021年的数学全国卷更加注重对学生数学思维能力的考查。
许多题目设计得较为开放，需要学生具备一定的分析问题和解决问题的能力。
例如，一些题目要求学生根据题意自行设定变量、建立数学模型，进而求解未知数。
这些题目要求学生具备良好的数学思维品质，能够灵活运用所学知识解决实际问题。
3.体现应用能力的考查应用题是高考数学中的重要题型，2021年的数学全国卷在这方面也有所体现。
一些题目以实际生活为背景，要求学生运用数学知识解决实际问题。
这些题目不仅要求学生掌握基础知识，还要求他们具备一定的应用能力，体现了数学与生活实际的紧密联系。
具体题目评析1.选择题选择题部分主要考查学生对基础知识的掌握程度和运用能力。
例如，第5题考查了学生对排列组合知识的掌握情况；第10题则是一道数形结合的题目，要求学生具备一定的分析问题和解决问题的能力。
这些题目难度适中，适合大多数学生的水平。
2.填空题填空题部分涉及的知识点较为广泛，包括函数、数列、不等式等。
其中，第14题是一道函数题目，要求学生对函数的性质有较深的理解；第16题则是一道不等式题目，需要学生运用所学的放缩法进行求解。
这些题目难度较大，适合选拔高水平的学生。
3.解答题解答题部分是对学生综合运用能力的全面考查。
例如，第17题是一道解析几何题目，要求学生具备较好的计算能力和逻辑思维能力；第20题是一道应用题，要求学生能够将实际问题转化为数学模型进行求解。
2022年山东高考数学试卷评析
2022年山东高考数学试卷评析2022年高考山东卷数学试题严格遵循考试说明，以力量立意，在考察根底学问和根本技能的同时，注意考察考生的数学思想方法及学科力量，呈现了数学的科学价值和人文价值。
试题具备根底性和综合性，对学问和力量实现了多角度、多层次地考察，到达了全面考察数学素养的考试要求。
一、立足学科根底，突出主干学问试卷依据课程标准和考试说明，强调回归根底学问和根本技能的重要性，如文科第1—9题，理科第1—7题，文、理科第11—13题等着眼于考察概念和公式的理解和应用，着眼于考察考生对数学本质的理解。
文科第9题和理科第7题不仅考察旋转体体积公式的应用，而且考察了考生对旋转体的构造和生成过程的理解。
试卷中有的试题直接源自于课本中的例题和习题，通过适度的改编、整合而成，给人“似曾相识”的感觉，如理科第3，5，9题，文科第4，5，12题及20题第（Ⅲ）问等，充分表达出“源于教材，高于教材”的理念，对中学数学教学具有良好的导向作用。
试卷对数学根底学问全面考察的同时，突出考察中学数学学科体系的核心内容，并到达了必要的深度，三角函数、立体几何、概率统计、数列、函数与导数、解析几何等主干学问在整份试卷中得到充分考察。
如函数与导数的内容文科有第3，7，8，10，20题等，理科第10，14，21题等。
立体几何的考察重点放在图形中线线关系、线面关系以及面面关系的识别、想象和推理上。
解析几何的考察重点放在圆锥曲线的几何意义与性质、数形结合和运动变换上。
题目设计以重点学问为核心，将学问和力量结合，数学味浓，力求从学科整体的高度在几个学问层面的交汇处设计试题，以检验考生是否具备一个有序的网络化学问体系，并能从中提取有关信息，敏捷地解决问题。
二、注意思想方法，深化力量立意数学思想方法是数学学问在更高层次上的抽象与概括，它蕴含在数学学问发生、进展和应用的过程中，是由学问向力量转化的重要桥梁。
中学数学中常见的数学思想，如函数与方程思想，分类整合思想，数形结合思想，转化与化归思想等，在今年数学试卷的考察中表达得淋漓尽致。
2022年新高考ⅱ卷数学试题评析
2022年新高考ⅱ卷数学试题评析一、试题整体评价2022年新高考ⅱ卷数学试题难度中等偏难，注重考查学生对于数学概念的理解和运用能力。
试题涉及的知识点较为广泛，包括函数、图形的性质、数列与数学归纳法、平面几何等多个方面。
另外，部分试题与实际生活或常见问题具有一定联系，考查了学生的数学思维和创新能力。
整体而言，本次数学试题的出题难度适中，很好地反映了考生的数学水平。
二、各题解析1. 第9题这道题考查了学生对于椭圆的性质的理解和运用能力。
需要运用到椭圆的标准方程，以及对于椭圆的焦点、直径等概念的掌握。
相对于其他题目而言，本题难度较为明显。
2. 第12题本题考查了学生的代数计算能力，在某种程度上需要一定的运算技巧。
需要学生将复杂的运算转化为乘方形式，最后得出正确的结果。
3. 第13题这道题考查了学生对于数列与数学归纳法的理解和运用能力。
需要学生从一般情况出发，证明存在一种特定的数列满足给定条件。
整个题目的难度不大，但需要学生有一定的抽象思维和推理能力。
4. 第15题本题考查了学生对于平面内多边形的性质的理解和应用能力。
需要学生利用平面几何中多边形对角线的公式计算，同时理解对角线的性质和作用。
整道题难度不大，但需要学生有一定的计算能力。
5. 第16题这道题考查了学生的创新能力和数学思维能力，问题的出发点是生活中经常遇到的问题。
需要学生运用数学方法和模型，解决实际问题，考查了学生的数学应用能力和推理能力。
整个题目的难度和趣味性比较好。
三、总结根据以上对于各题的评价和分析，可以看出2022年新高考ⅱ卷数学试题结构合理，考查重点明确，难度适当，试卷整体设计较为科学。
同时，有机地融入了实际问题，突出了数学的应用性和实用性，体现了新高考数学试题改革的思路。
但是，对于一些考查较深的概念和运算，还需要更加细致的解释，使得学生理解更加全面深入。
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析
教育部教育考试院：2023年高考数学全国卷试题评析2023年高考数学全国卷是中国教育部教育考试院组织的一项重要考试，对于广大高中生来说具有重要的意义。
本文将对这份试题进行评析，重点分析试题的难度、命题特点以及解题思路，帮助考生更好地理解数学试题，提高解题能力。
一、试题难度及命题特点的分析1.试题难度：在整体难度方面，2023年高考数学全国卷试题整体难度适中。
试题涵盖了基础知识与能力的考察，并融入了拓展性思维和创新性思考。
试题难度较往年有所提高，注重考查学生的综合应用能力和解决问题的能力。
2.命题特点：（1）综合性：试题涉及到数学各个领域的知识点，考查对基础知识的综合运用能力。
（2）拓展性：试题中设置拓展性的思考点，引导考生进行更深层次的思维拓展和推理。
（3）创新性：部分试题设置了新颖的解题思路和方法，考察学生的创造性思维。
二、试题解析及思路指导1.解析题目的要领：在解析试题时，我们要明确题目所给条件，分析题目的要求，并结合已有的知识和解题方法进行推理和运算。
同时，合理利用所给信息和相关定理或公式，将问题转化为数学语言描述，最终求出问题的解答。
2.常见题型及解题思路：（1）选择题：在选择题中，首先要审题仔细，理解题意。
根据所给条件，进行筛选，常用排除法来提高准确率。
（2）填空题：在填空题中，要注意被填空的位置对应的数学概念或表达方式。
可通过代入法或反证法来解答。
（3）计算题：应结合所给条件分析题目的要求，合理利用已有知识和定理进行计算，注意运算细节，避免粗心错误。
（4）证明题：在证明题中，要明确题目的要求，根据已有知识进行推理，合理巧妙地利用已知条件，通过逻辑推理和数学运算，得出结论。
接下来，我们以一道典型题目为例进行分析和解答，帮助考生更好地理解试题的解题思路。
例题：某数列的前三项分别为3，1，-2，则这个数列的通项公式为____。
首先，我们观察数列的前三项，发现每一项与前一项的差是递减的。
因此，我们可以猜测这个数列与等差数列存在一定的关系。
高考数学全国卷试题评析
高考数学全国卷试题评析高考数学是每年参加高考的学生必须面对的一门科目，也是考生们普遍认为难度较高的一门科目之一。
为了更好地帮助考生们备战高考数学，下面将对某年的高考数学全国卷试题进行评析，希望能对考生们有所帮助。
一、题型分析该年高考数学全国卷试题包括选择题、填空题和解答题。
选择题占据了试题的一大部分，主要考察考生对知识点的掌握和运用能力；填空题主要考察考生对知识的综合运用能力；解答题则考察考生的解题思路和推理能力。
二、难度评析1.选择题选择题是高考数学中相对较容易得分的题型，但也有一些难度较高的题目。
这些题目往往需要考生对相关知识点的理解和应用能力较高。
考生在做选择题时，应先仔细阅读题目，理解题意，然后分析选项，找出正确答案。
在解题过程中，考生要注意排除干扰项，避免被迷惑。
2.填空题填空题主要考察考生对知识点的综合运用能力。
有些填空题需要考生将多个知识点结合起来进行推理和计算。
考生在做填空题时，应先将给定的信息整理清楚，然后有条不紊地填写答案。
在填空过程中，要注意计算精度和单位的正确性，避免因为粗心导致答案错误。
3.解答题解答题是高考数学中相对较难的题型，需要考生有较强的解题思路和推理能力。
解答题的答案不唯一，但要求考生给出详细的解题步骤和推理过程。
在解答题时，考生应先分析题目，确定解题思路，然后有条不紊地进行解题。
在解答过程中，要注意合理运用已学知识，避免过度推理和漏解等错误。
三、备考建议1.掌握基本知识点高考数学试题的出题依据是教材中的基本知识点，考生要牢固掌握教材中的基本知识点，熟练运用相关的公式和定理。
通过做大量的题目，加深对知识点的理解和应用能力。
2.多做模拟试题高考数学试题的题型和难度都与模拟试题相似，因此考生在备考过程中要多做模拟试题，加深对各个题型的理解和掌握。
通过做模拟试题，考生可以了解自己的薄弱环节，并有针对性地进行复习。
3.注重解题思路解答题的解题思路和推理能力是考生得高分的关键。
高考数学试题及答案解析
高考数学试题及答案解析高考数学试题及答案解析试题用于考试的题目，要求按照标准回答。
它是命题者按照一定的考核目的编写出来的。
以下是店铺为大家整理的高考数学试题及答案解析相关内容，仅供参考，希望能够帮助大家！1.集合{ 1，2，3}的真子集共有_____________ _。
(A)5个 (B)6个 (C)7个 (D)8个2.已知集合A={ } B={ }则A =______________。
3.已知A={1，2，a2-3a-1},B={1,3},A {3,1}则 =______________。
(A)-4或1 (B)-1或4 (C)-1 (D)44 .设U={0，1，2，3，4}，A ={0，1，2，3}，B={2，3，4}，则(CUA) (CUB)=_____________。
5.设S、T是两个非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S X=____________。
6.设A={x },B={x },若A B={2,3 ,5},A、B分别为____________。
7.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的.根的判别式，则不等式ax2+bx+c 0的解集为____________。
8.若M={ }，N={ Z}，则M N=________________。
9.已知U=N，A={ }，则CUA等于_______________。
10.二次函数的图像与x轴没有交点，则m的取值范围是_____ __________。
11.不等式12.设全集为，用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分。
13.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是14.设集合A={ },B={x },且A B，则实数k的取值范围是。
15.设全集U={1，2，3，4}，且={ x2-5x+m=0,x U}若CUA={1，4}，求m的值。
16.已知集合A={a 关于x的方程x2-ax+1=0,有实根}，B={a 不等式ax2-x+10 对一切x R成立},求A B。
2024年高考数学(新课标II卷)考试试题(附详细答案解析)
2024年高考数学试题（新课标II卷）一、选择题:本题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.1.已知z=-1-i，则z =A.0B.1C.2D.22.已知命题p:∀x∈R，x+1>1；命题q:∃x>0，x3=x，则A.p和q都是真命题B.¬p和q都是真命题C.p和¬q都是真命题D.¬p和¬q都是真命题3.已知向量a，b满足:a =1，a+2b=2，且b-2a⊥b，则b =A.12 B.22 C.32 D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并部分整理如下表所示.亩产[900，950)[950，1000)[1000，1050)[1050，1150)[1150，1200)频数612182410根据表中数据，下列结论正确的是A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过40%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg到300kg之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg到1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16y>0，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为A.x216+y24=1y>0B.x216+y28=1y>0C.y216+x24=1y>0D.y216+x28=1y>06.设函数f x =a x+12-1，g x =cos x+2ax(a为常数)，当x∈-1，1时，曲线y=f x 和y=g x 恰有一个交点，则a=A.-1B.12 C.1 D.27.已知正三棱台ABC-A B C 的体积为523，AB=6，A1B1=2，则AA 与平面ABC所成角的正切值为A.12 B.1 C.2 D.38.设函数f x =x+aln x+b，若f x ≥0，则a2+b2的最小值为A.18 B.14 C.12 D.1二、选择题:本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分.9.对于函数f x =sin2x和g x =sin(2x-π4)，下列正确的有A.f x 与g x 有相同零点B.f x 与g x 有相同最大值C.f x 与g x 有相同的最小正周期D.f x 与g x 的图象有相同对称轴10.抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点，过P作⊙A:x2+y-42=1的一条切线，Q为切点．过P作C的垂线，垂足为B，则A.l与⊙A相切B.当P、A、B三点共线时，PQ=15C.当PB=2时，P A⊥AB D.满足P A=PB的点A有且仅有2个11.设函数f x =2x3-3ax2+1，则A.当a>1时，f x 的三个零点B.当a<0时，x=0是f x 的极大值点C.存在a,b，使得x=b为曲线f x 的对称轴D.存在a，使得点1，f1为曲线y=f x 的对称中心三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分.12.记S n为等差数列a n的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=.13.已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sinα+β=.14.在下图的4*4方格表中有4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法；在符合上述要求的选法中，选中方格中的四个数之和的最大值是.12345678910111213141516四、解答题:本题共5小题，满分87分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sin A+3cos A=2.（1）求A；（2）若a=2，2b sin C=c sin2B，求△ABC的周长.16.(本题满分15分)已知函数f x =e x -ax -a 3.（1）当a =1时，求曲线y =f x 在点1，f 1 处的切线方程；（2）若f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围.17.(本题满分15分)如图，平面四边形ABCD 中，AB =8，CD =3，AD =53，∠ADC =90°，∠BAD =30°，点E ,F 满足AE =75AD ，AF =12AB ，将△AEF 沿EF 对折至△PEF ，使得PC =43.（1）证明:EF ⊥PD ；（2）求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值.AB CDE F P18.(本题满分17分)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立.（1）若p =0.4，q =0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；（2）假设0<p <q .(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛?19.(本题满分17分)已知双曲线C ：x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1，按照如下公式依次构造点P n n =2，3，⋯ :过点P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支点交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ，y n .（1）若k =12，求x 2,y 2；（2）证明:数列x n -y n 是公比为1+k 1-k的等比数列；（3）设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明:对于任意正整数n ，S n =S n +1.。
2024全国乙卷高考理科数学试题及答案解析
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另外，高考志愿是分批次录取的，本科和专科的填报时间不同，甚至不同的本科批次都有不同的志愿填报时间。
一般情况下都是一个批次录取结束后才开始进行下一个录取批次。
所以考生一定要时刻关注高考志愿填报时间。
从每年的志愿填报时间上来看，一般高考结束后二十天左右成绩就会公布，而成绩公布几天后就会开始填报高考志愿了。
去年大部分的省市的提前批和本科填报志愿时间都是从6 月25号左右开始的，而专科志愿填报时间则是比较晚，可能会在7月末8月初，也可能会在7月份，主要还是要看各省市的安排。
高考志愿填报时间每年都会根据高考录取工作的实际情况来作出一些调整和变化，但是变化不会很大，考生想知道高考后多久填报志愿，也可以去本省市的考试院，参考一下去年的志愿填报时间。
2022高考填志愿流程是什么1、阅读招生计划特别提醒考生注意的是，有些高校对填报志愿的要求以及一些有特殊规定的院校和专业进行了提示，考生一定要全部阅读。
2、拟定志愿草表建议考生上网填报志愿前，先将选报的志愿填写到志愿草表上，再按志愿草表上的内容上网填报，可以减少在网上反复修改的次数，减少出错的可能性。
3、登录指定网页登录省招办指定网页，打开浏览器，输入网报网址，如果网络管理员已经将网报地址设置为浏览器的主页，打开浏览器就可以啦。
高考数学试题分析
高考数学试题分析数学是高考科目之一，也是很多学生感到头痛的学科之一。
为什么数学让人感到困扰呢？一方面是数学知识点众多，需要连贯而全面的掌握，另一方面就是数学试题的难度可能会超出学生预期。
本文将尝试分析高考数学试题的难度和解题思路，希望能够帮助广大考生更好地应对数学考试。
一、高考数学试题的总体特点从历年来的高考数学试题中可以看出，试题的难度和范围逐年扩大，但是题目的类型和结构相对稳定。
一般来说，高考数学试题都会涉及到基础知识的考察，同时也会考查学生的推理和解决问题的能力。
具体到试题的具体形式，一些典型的类型如下：（1）选择题：选择题是高考数学试题的常见类型，通常采用单选或多选形式。
每个选项有自己的加减值，同时正确答案也会获得特定分值。
除非明确知道答案，否则最好不要选择猜测的方式来回答选择题。
（2）填空题：填空题要求填写或者写出完整的表达式或计算过程。
一般来说，填空题需要考生使用合适的技巧和公式才能得到正确答案。
（3）解答题：解答题以自由形式的方式呈现，要求学生从整理思路、分析问题、解决方案、推理验证等方面来回答问题。
解答题一般会考察学生在数学应用方面的能力。
二、高考数学试题的难度分级高考数学试题在难度上通常可以分为三个层次：易、中、难。
在考试中，每个题目的分值都是根据难度评级和题目长度来确定的，通常在每个等级中，都会有一些标准的形式。
具体来说：（1）易型：这种试题一般是考查基础知识的，难度相对较低，掌握好基础知识和做题技巧，这些题目可以做到得满分。
（2）中型：中型难度的试题往往需要在基础知识的基础上，更多地发挥学生的推理能力。
可以通过巩固基础知识，多看、多做题目来解决。
（3）难型：试题难度最高的是难型试题，这些题目会涉及到更为深入的问题，需要学生具有强大的推理能力，对于掌握程度相对较低的学生来说，做好难型题目需要大量的时间。
实际上，不同考生的难度评价也可能略有不同，因为每个人的学习背景和能力都不完全相同。
2023年高考数学全国1卷试题评析
2023年高考数学全国1卷试题评析2023年全国1卷数学试题延续了全国卷的命题风格，注重基础知识的考查，强调数学思维和解决问题的能力。
从整体上看，试题呈现出以下几个特点：一、突出基础知识的考查全国1卷数学试题中，大部分题目都是对基础知识的考查，包括集合、函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等。
这些题目考查的是学生对基础知识的掌握程度和基本运算能力，要求考生能够熟练运用基础知识解决实际问题。
二、强调数学思维的运用全国1卷数学试题中，很多题目都需要考生运用数学思维来解决。
比如，第16题考查的是函数图像的平移变换，第17题考查的是数列的递推关系，第21题考查的是解析几何中的轨迹问题等。
这些题目要求考生能够运用数学思维分析问题，从而找到解决问题的方法。
三、注重应用能力的考查全国1卷数学试题中，很多题目都涉及到实际应用。
比如，第8题考查的是生活中的概率问题，第18题考查的是生产中的优化问题，第20题考查的是物理学中的力学问题等。
这些题目要求考生能够运用所学知识解决实际应用问题，体现了数学的应用价值。
四、创新题目的设计全国1卷数学试题中，有一些题目设计新颖，富有创意。
比如，第9题考查的是平面几何中的角度问题，第12题考查的是函数图像的对称性等。
这些题目要求考生能够打破常规思维，寻找解题的新思路。
五、控制难度和区分度全国1卷数学试题在命制过程中，严格控制难度和区分度，使得试题能够全面反映考生的学习水平。
同时，在题目难度的设置上，也注重了梯度的合理分布，从易到难逐步提高题目的难度，使得考生在解题过程中能够逐渐适应。
综上所述，2023年全国1卷数学试题在命制上注重基础知识的考查，强调数学思维和解决问题能力的运用，同时注重实际应用和创新题目的设计。
这些特点使得试题能够全面反映考生的学习水平，同时也为考生提供了一个展示自身数学素养的机会。
对于考生来说，要认真复习基础知识，培养数学思维和解决问题的能力，同时也要关注实际应用和创新题目的解答方法。
高考理科数学试题(带答案解析)
高考理科数学试题(带答案解析)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中,241,5a a ==,则{}n a 的前5项和5S =（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答．（2）不等式1021x x -≤+的解集为（A）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（D）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）8+的展开式中常数项为（A）3516（B）358（C）354（D）105【答案】B【解析】：8821881()2rrr r r r r T C C --+==令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则tan()αβ+的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,且,//a c b c ⊥ ,则||a b +=（C）（D）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数,又2为周期,所以[3,4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示,则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3)【答案】：A【解析】：2221()22BE =-=,BF BE <,22AB BF =<,【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题．（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π（B ）35π（C ）47π（D ）2π[【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=25115112lim lim 555n n n n nn n→∞→∞++++===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,n 都没有极限,可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos 513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =。
高考数学试卷(含答案解析)
江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD 上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x ∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”, 又是“P（3）数列”, 证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k 次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A ∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==, 故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=, =, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m, n ∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50, =（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n ∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD ⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面, 所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）,∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为,两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF 1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）, 由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=,∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F 1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l 1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或, 无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N 作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…+a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立, 则称数列{a n}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）,=2a n +2a n +2a n ,=2×3a n ,∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：由数列{a n }是“P （2）数列”则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , ① 数列{a n }是“P （3）数列”a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , ②由①可知：a n ﹣3+a n ﹣2+a n +a n +1=4a n ﹣1, ③a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n =6a n ﹣4a n ﹣1﹣4a n +1,整理得：2a n =a n ﹣1+a n +1,∴数列{a n }是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0, b ∈R ）有极值, 且导函数f′（x ）的极值点是f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a 的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P （A 2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=,k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A 2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）, D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。
历年高考数学试题解析
历年高考数学试题解析高考数学试题一直以来都是考生比较关注的重点，因为高考数学占比比较大，而且对于理科或工科上大学来说，数学更是一个非常重要的基础课程。
本文将结合历年高考数学试题，对一些重点和难点进行解析，帮助考生更好的备考。
一、数列与数列极限高考数学中的数列、数列极限是考试中的重点，也是难点，通过历年高考试题可以看出其在高考数学中所占内容比例较高，同时考察频率很高，因此在考前的复习备考中，这部分的知识点一定要重点复习。
以下是历年高考数学试题中的数列、数列极限题型：1. 2004年高考真题（安徽卷）已知 $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{n^2}$（$n∈N^*$）, 求$\lim\limits_{n→+∞} a_n$.解析：对这道题，我们发现一个比较显著的特点是数列递推公式比较特殊，没有固定的形式。
对于考生们来说，一定要避免死记硬背数列递推公式，要理解公式背后的本质含义。
对于这道题来说，首先不难发现，随着 $n$ 的增大， $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 之差逐渐趋近于 $0$ ，因此假设数列的极限为 $L$ 。
由数列极限的定义可得到：$$\lim\limits_{n→+∞} (a_{n+1}-a_n)=\lim\limits_{n→+∞}\frac{1}{n^2}=0$$因此有：$$L=\lim\limits_{n→+∞} a_n=\lim\limits_{n→+∞} (a_n-a_{n-1}+a_{n-1}·····+a_2-a_1+a_1)= \lim\limits_{n→+∞} (a_n-a_{n-1}) + a_{n-1}·····+1=\lim\limits_{n→+∞} \frac{1}{n^2} +\lim\limits_{n→+∞} \frac{1}{(n-1)^2}·····+ \lim\limits_{n→+∞}\frac{1}{2^2}+1=a$$2.2017年高考真题（福建卷）已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $a_1=2$，$a_{n+1}=3a^2_n-2$（$n∈N^*$）.（1）求 $S_n$；（2）试求 $\lim\limits_{n→+∞} \frac{S_n}{a_n}$.解析：这道题是康拓奇异形式题，考察点主要在于数列的和，和数列的递推公式之间的关系，以及对数列递推公式的转化。
2021新高考一卷数学试题评析
2021新高考一卷数学试题评析2021年新高考一卷数学试题评析如下：1.重视基础，突出能力：2021年的新高考一卷数学试题在考查基础知识的同时，更加注重考查学生的数学能力和思维品质。
许多题目都是以基础知识点为载体，通过创设新的情境和条件，要求学生灵活运用所学知识解决问题。
2.强调应用，注重实践：与往年相比，2021年的新高考一卷数学试题更加注重考查学生的数学应用能力。
许多题目都以实际问题为背景，要求学生通过分析和建模，将实际问题转化为数学问题，并运用数学知识解决。
这种强调应用和实践的命题思路，有助于培养学生的数学应用意识和实践能力。
3.创新题型，增加难度：与往年相比，2021年的新高考一卷数学试题在题型和难度上都有所创新。
一些题目在设问方式、解题思路和解题技巧上都具有一定的新颖性和挑战性，要求学生具备更强的思维能力和综合素质。
这些创新题型的出现，既有助于提高学生的数学素养，也有助于培养学生的创新能力和思维能力。
4.注重细节，强调规范：在2021年的新高考一卷数学试题中，许多题目都涉及到细节和规范方面的要求。
比如在解题过程中要求写出必要的步骤和过程，注意表达的准确性和规范性等。
这些细节和规范方面的要求，有助于培养学生的严谨性和精确性，提高学生的数学成绩和数学能力。
2021年的新高考一卷数学试题在考查学生数学基础的同时，更加注重考查学生的数学能力和思维品质。
通过创新题型和强调细节规范等方式，提高了试题的难度和挑战性。
这有助于选拔具有数学潜力和素质的优秀学生，为他们提供更好的发展机会和平台。
这种命题思路也有助于促进中学数学教学的改革和创新，推动数学教育的持续发展。
2023年高考数学1卷试题第21题解读
2023年高考数学1卷试题第21题解读一、题目背景2023年高考数学1卷试题第21题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
二、题目分析本题主要考查了导数的应用，包括利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。
同时，题目还要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
首先，题目给出了一个函数式：$f(x) = x^{3} - 3x + 2$，并要求求出该函数的单调区间和极值。
然后，根据求导公式，我们可以求出该函数的导数：$f^{\prime}(x) = 3x^{2} - 3$。
接下来，我们需要根据导数判断函数的单调性。
当$f^{\prime}(x) > 0$时，函数单调递增；当$f^{\prime}(x) < 0$时，函数单调递减。
根据导数方程，我们可以得出函数的单调递增区间为$x > 1$或$x < - 1$，单调递减区间为$- 1 < x < 1$。
最后，我们需要求出函数的极值点。
根据极值的定义，当函数在某一点的导数为零且在这一点两侧的导数符号相反时，该点为函数的极值点。
根据导数方程，我们可以得出函数的极值点为$x = 1$，且为极小值点。
三、解题方法本题的解题方法主要是利用导数研究函数的单调性、极值等知识点。
同时，还需要根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。
具体来说，可以按照以下步骤进行解题：1. 求出函数的导数；2. 根据导数判断函数的单调性；3. 求出函数的极值点；4. 根据实际问题的需要，利用函数图象的变化趋势进行分析。
四、结论与启示本题是一道关于函数与导数的问题，考查了利用导数研究函数的单调性、极值等知识点，同时要求考生能够分析函数图象的变化趋势，理解并解决实际问题。
通过本题的解答，我们可以得出以下结论和启示：1. 利用导数研究函数的单调性和极值是一种有效的数学方法；2. 在解题过程中要善于利用导数方程进行分析和推理；3. 要注意导数在实际问题中的应用，能够将实际问题转化为数学问题进行分析和解决；4. 在解题过程中要细心审题，注意细节的处理，避免因粗心而犯错；5. 要善于总结解题方法和思路，以便在以后的解题中能够更加高效地解决问题。
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高考数学试题赏析
以下是07年高考湖卷北理科第10题： 已知直线1=+b
y a x （a,b 是非零常数）与圆x 2+y 2=100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 （ ）
A.60条
B.66条
C.72条
D.78条 对于这道题，山里人——汪跃中老师提出如
下“猜”法：
一猜圆上有几个整点.
如图，我们称横坐标和纵坐标均为整数为整
点.圆上的整点都是x 2+y 2=100的整数解.由勾股
定理知这些点分别是：（10，0），（8，6），（6，8），
（0，10），（-6，8），（-8，6），（-10，0），…， （8，-6）共12个点.
二猜过圆上一个整点的切线有多少？——12条.
三猜过圆上两个整点的直线（即割线）有多少？ ——2121211662
C ⨯==条. 以上共计12+66=78条.
四猜原题有什么陷阱，即以上这些直线中有哪些不合条件？ 由于1=+b
y a x 是直线的截距式，要求其纵、横截距均不为零，故在上述直线中，以下直线不合条件：
（1） 过原点的直线，也就是圆的直径所在直线，有6条；
（2） 与坐标轴平行的割线，有8条；
（3） 与坐标轴平行的切线，有4条.
以上共计18条.
因此，符合条件的直线共有78-18=60条，故选A.
汪跃中老师最后说：
本题涉及的基础知识，数的方面有：圆的方程、截距不为零的直线方程、勾股数、组合数等；形的方面有：整点、过圆上一个整点的切线、过圆上两个整点的直线、去掉过原点的直线、平行于坐标轴的直线等.
解本题的基本功体现在综合分析本题涉及的数与形的特点及其运用的能力上. 因为本题虽然涉及的知识面广，但什么样的考生都能动手，但要不犯一点错误却是很不容易的，题不难而区分度高，所以我们认为本题是一道难得的好题.。