利用导数研究函数的图像

o
f(x)的 图 像 为 凹 弧
切线的斜率 越来越大
yf(x)
x
-
观察右图：
当x从小变大时，
y
f ( x)从大变小.
切线的斜率越 来越小
f(x)单 调 减 少 f (x) 0
yf(x)
o
x
f(x)的 图 像 为 凸 弧
二阶导数为正，曲线开口向上，是凹弧； 二阶导数为负，曲线开口向下，是凸弧；二
阶导数为零，且两侧异- 号，是拐点.
例 1判 断 曲 线 y x 3的 凹 凸 性 .
解 y 3x2 , y 6x, D:(,). 当x0时，y 0, 曲 线 在 ( ,0]为 凸 的 ； 当x0时，y 0, 曲 线 在 [0, )为 凹 的 .
注 意 到 点 ( 0 ,0 ) 是 曲 线 由 凸 变 凹 的 分 界 点 .
。
最小值： 一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数m满足：
⑴任意的x属于I,都有f(x) ≥M
⑵存在某个X满足f（x）=m，则称m是函数f（x）的最小值 。 对于一段在闭区间上连- 续的函数，通过把极值和两个端
曲线弯曲方向—凹凸性
观察右图：
当x从小变大时，
y
f (x)也从小变大.
f(x)单 调 增 加 f (x) 0
切线斜率
k 的正负
y
f (x) x2 在 (,0)上 递 减
负
导数的正负
负
o x 在 (0,)上 递 增 正
正
y f (x)
y
在区间(a,b)
上递增
正
正
oa
bx
y y f (x) 在区间(a,b) 上递减
负
负
oa
bx
-
由上我们可得以下的结论: 定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
y=f(x) Q
Δy
倾斜角. 则:MPx,MQy,
y tan.
x
请 问 ： y是 割 线 PQ的 什 么 ?
x
-
Pβ Δx
O
斜 率!
M x
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点
P逐渐转动的情况y .
y=f(x)
割
线 Q
T 切线
P
o
x
-
函数及图象 单调性
-
函数的极值定义
y
、
y
a
已知
函o数y=f(xx0 )，b设xX0是定义a 域o（a,bx)0内任b一点x，
•如果对X0附近的所有点X，都有f(x)<f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极大值， 记作y极大值= f(x0)；并把 X0称为函数f(x)的一个极大植点。
•如果对X0附近的所有点X，都有f(x)>f(x0),
则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值= f(x0)；并把X0称 为函数f(x)的一个极小植点。
◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小 值点统称为极值点
-
函数的最值
最大值：
一般的，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足： ⑴任意的x属于I,都有f(x) ≤M ⑵存在某个X满足f（x）=M，则称M是函数f（x）的最大值
有导数,如果在 这个区间内 f (x) >0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 f (x)<0, 那么函数y=f (x) 在为这个区间内的减函数.
y
y=f(x)
y
y=f(x)
百度文库
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
拐点
-
凹 弧
y x3
凸 弧
分界 点
-
谢谢
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利用导数研究函数的性质
主要内容：
一、函数的单调性，极值，最 值
二、利用导函数的单调性研究函数图 像的凹凸性
在研究函数特性时往往需要 知道函数的直观图形，利用函 数的一阶、二阶导数可以绘制 出函数的较精细的图形.
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下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 y 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,