数列前n项和的求法总结

数列前n 项和的求法总结

核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式 的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观 察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。

-.公式法

+ fi ff )

n(n + L)

(1) 等差数列前n 项和：S f

'

(2)

等比数列前n 项和：H ， 几 门"1 ；

如〔1-旷〉

耳工1时，$n = —丄 —

1 ” .

(3)

其他公式：S

'

S n = I 2 + 22

+ 32

+ ...十 n 2

= 十 l)(2n 十 1)

6

1 2

S n = I 3 + 23 + 33 + …+ n 3

= |-n(n + 1)]

例题1:求数列

=1 — + 2 — + 3^ + *«»+ (n + —)

2 4 8 ■- =

+ 2+ 3 4-…,4nJ ^( — + 丄 + 】+ —) 2 4 8 Z

+ 1)丄 2 2"

— ------------- 十 -------------------

2 1-1

2 □5 + 1)

■ 14 ------- - —

2

点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列, 一个等差数

列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。 练习:

K 在等差数列｛%｝中，已知厲公差为2,求数列｛片｝前11项利。 2“在数列｛口」屮，已知—孑，餌—求数列化｝前口项和°

的前n 项和S

2fl

二.倒序相加法

如果一个数列｛a n｝，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例题1:设等差数列｛a n｝，公差为d，求证：｛a n｝的前n项和S=n(a i+a n)/2

解：S n=a i+a2+a3+...+a n ①

倒序得： S = 3n+a n-l+a n-2 ------- &1 ②

① + ②得：2S=(a i+a n)+(a 2+a n-i )+(a 3+a n-2)+ …+(a n+a i)

^又-a i+a n=a2+a n-i =a3+a n-2=^ —=a n+a i

2S=n(a2+a) S n=n(a i+a)/2

点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a计a n=a2+a n-i=a3+a n-2=—=a n+a i

即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。

练习：

(1)

求rin1r+sni22>+siii a3>+*-+sin18F+8in®W* 的值

解：+ sin2+sin a3,> + 4吕in'特9*.... 一一①

将①式右边反序fl 5 = an189' + sin2 88* +■ -+ain* 3* + sin1T+ sin1f... ②

又因为sin x=cos(9()D-x),sin2^+cos2x = 1 ①+②得(JS序相

2S= (sin31* 4-cos11*)4*(sin32* + cos32*)+ -* +(sin2眇+cos289*) =89.*. S—44.5

三.裂项相消法

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出

数列的前n项和。

1

1

1

I

■ ---- -------------------------- = _ [—―— ]

n(n + l)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + l)(n + 2)

(+ --- + ------- -- + ・・■ + ---- - *

例题3:求数列 1 + 2

1 +

2 +

3 1 + 2 +…+ n (n €N)的和

点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间 部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。

四. 错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在

数列｛a n •bn ｝中，｛a n ｝成等差数列，｛b n ｝成等比数列，在和式的 两边同乘以公比，再与原式错位 相减整理后即可以求出前n 项和。 例题4:求数列｛na n ｝(n €N)的和

解：设 S n = a + 2a 2 + 3a 3 + …+ na n ①

a

/? != (n 1)!- JI !

③:

⑤: ①：a

n + I

②: «(77 + ) ) X

I 1 1

---------------- - —( ------ iln - H(2n + 1) - 2 2n - 1

若 a = 1 贝U: S= 1 + 2 + 3 +

若 a 工 1 贝U ： aS = a 2 + 2a 3 + …+ (n -1)a n + na n+1 ②

s _a£l -a n

) na"^1

①-②得：(1-a)S n = a + a 2 + a 3 + …+ a n - na n+1 ③ 贝U ： ' ■' 31

1

-l

练习：（1）

求flh S n =\+3x+5x 2

-blx 1

+ -- + (2n-l)x" 1

................. ① 懈；由趣可知，的通顼是等差数列｛2口一盯的迪项与等比数列£耳1｝的適锁之积

设 = l^ + 3x 2 +5JC 3 + 7X 4

+*■■+ (In-】)兀" ...... …… ........ ② £设制琶恆〉 ①一②得(l-x)S n =1 + 2^ +2x 2

+2x 3

+2x* +* * + 2x^1

-(2n~r)x^

€错直楓减＞

i —yT

再利用等比数列的求和公武联(1-朗：=l+2x --------------- (2rt*l)jt"

1 —x

住 (2n-l)x**J

-(2n+\)x n

+(1 +x)

■ * 亠= ------------------ 5 ---------

°F

(2)

求如|，岛知磊…前顶的和

解:由題可知・{ ¥ }的適项是等差数＞1.-2n ；的逋刀二等L 匕数：「, 丄 的M 之积

(3)求：s i.' 一 1 v 2 I ... - M il ：； iA JJ ].

解：S n - L • 5x - W …• iM —] I ①两边同乘以x ，得

xS n = x + 5x 2 + 9x 3 + …+ (4n 一 3)x n

@

设S”

2

2

①一②得(I —2)左=-+4+4+4-|-,"+—=2

2 * 却 2 2 工 2) 2 " 2” 2