工程数学1

– 分配律：
z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
14
2、复数的代数运算
• 复数的常用运算
– （1）z 0 z , 0 z 0 1 z 1 z , z 1 – （2） z – （3）若 z1 z 2 0，则 z1 与 z 2 至少有一个为零
• Argz有无穷多个值，每两个值相差2 的整数倍 • 只有一个值在（ ， ]的范围内，该值被称为主值， 记做argz arg z ） • Argz＝argz＋2k （k 0 , 1, 2 , , y • tan(Argz)=
x
当z＝0时，z的模值为0，幅角不定
n in
n
1 r
n
r e
34
（1）复数的乘幂
• 当r = 1时，则上述公式变为：
e
即：
(cos i sin )
n
i n
e
in
cos n i sin n
棣莫弗（De Moivre)公式
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2、复数的方根
• 称满足方程 n z 的复数 为该方程的n次方根
5
复变函数发展史
• 十六世纪引入 • 十七和十八世纪，复变函数得到了发展
– J.达朗贝尔（1717－1783）和L.欧拉（1707－1783）逐步阐明 了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并应用 复数和复变函数研究流体力学
• 十九世纪，奠定了复变函数的理论基础
– A. L. 柯西（1789－1857）和K.外尔斯特拉斯（1815－1897） 应用积分和级数来研究复变函数 – G.F.B.黎曼（1826－1866）研究了复变函数的映照性质
工程数学
复变函数与积分变换
1
主要意义
• 数学理论解决实际问题
– 信号与系统（复变函数） – 数字信号处理（积分变换） – 电磁场理论（数理方程）
• 培养推理、归纳、演绎和创新能力
2
复变函数与积分变换
• 主要内容
– 复变函数
• 内容与高等数学相对应
– 复数、复函数、复导数、复积分、级数
• 新添内容
– 留数和保形映射
– 积分变换
• 高等数学的内容
– 傅立叶变换
• 新添内容
– 离散傅立叶变换、离散沃而什变换、梅林变换、z变换
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主要要求
• 按时完成作业 • 学习态度认真 • 深入领会数学理论
– 掌握并能运用数学理论和方法解决实际问题
• 成绩
– 平时30％－40％ – 期末考试60％－70％
4
复变函数
z2
1 2
表示集合的相等，即对等式左端的任一值， 等式右端必有一值与之对应，反之亦然
x
• 例7：z1= -1, z2 = i, 求Arg（z1z2）＝？
( / 2 ) 2 k ' / 2 2 k
k 0 , 1, 2 ,
26
3、复数四则运算的几何意义
i ( 1 2 )
z1 z2

r1 r2
e
i ( 1 2 )
27
3、复数四则运算的几何意义
• 例8：z1= 1+ 3 i, z2＝－1－i, 求z1z2，z1/z2
z1 z 2 2 2 e
5 12 i
z1 z2


11 12
i
2e
28
3、复数四则运算的几何意义
由于
z re
• 除法：
z1 z2
x1 x 2 y1 y 2
2 x2

2 y2
i
x 2 y1 x1 y 2 x2 y2
2 2
13
代数运算
• 算律：
– 交换律：
z1 z 2 z 2 z1 z1 z 2 z 2 z1
– 结合律：
z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3
1 2z z
2
– 例2：求证：1 z 2
1 z 2 1 z 1 z
1 z z z 1 2z z
2 2
16
代数运算
• 共轭复数的运算性质： – （1） z z
– （2） z1 z 2 z1 z 2 – （3） z1 z 2 z1 z 2
• （3）复数
不等于0的有限复数 与

0 ,

的运算为：


0
0 0
那么关于
， 0 ，
以及
的运算呢？
无意义！
32
5. 复数的乘幂与方根
• 主要内容：
– 复数的乘幂 – 复数的方根
33
（1）复数的乘幂
x = Re(z)实部
虚数单位
x 0, y 0 y 0
z iy
z x
称为纯虚数
称为实数
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1、复数及其代数运算
• 两个复数相等的条件；
– 当且仅当实部与虚部分别相等
• 一个复数等于零的条件：
– 当且仅当实部与虚部同时等于零
• 共轭复数：
– x + iy和 x – iy – 记做 z
• 证明：若 z1 z 2 0
z1 z1 ( z 2 1 z2 z1 z3
z2 0
) ( z1 z 2 ) z2 z3
1 z2
0
– （4）
z1 z 2 z3

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代数运算
• 举例：
– 例1：
1 5 1 1 i 2 3 i 1 i 5 i 26 26 1
当
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
时：
z1 z1 z 2 z 2 z1 z 2 z 2
有： 当
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
时，同理有：
z1 z 2
22
z1 z 2 z 2 z1
所以： z1 z 2
复数的幅角
对两个非零复数：
• 定理1－2：两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的幅角等于它们被除数与除数的幅角差
– 即：
z1 z2 z1 z2
z1 Arg Arg z1 Arg z 2 z2
用指数表达式计算复数的乘积与商，可得：
z1 z 2 r1 r2 e
• 二十世纪，复变函数称为数学的重要分支
– 应用领域不断扩展
• 电学、热学、理论物理、空气动力学、流体力学 • 数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论和数论等等）
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主要内容
• • • • • 第一章、复数与复变函数 第二章、解析函数 第三章、复变函数的积分 第四章、级数 第五章、留数
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第一章、复数与复变函数
y arg z arctan x
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复数的幅角
• 例5：求Arg（2－2i）和Arg（－3＋4i）
Arg ( 2 2 i ) arg( 2 2 i ) 2 k arctan( 2 / 2 ) 2 k

4
2 k k 0 , 1, 2 ,
1
1
记做
n
z ，即
n
z ，或是记做 z n
，此时 z n
• 求解该方程：
– 设 z re i ， e i 则：
e
1பைடு நூலகம்
n in
re
i
rn
n 2 k ( k 0 , 1, 2 , )
y
z re
i
y x O
z z0 R
z
z0
O
z R
x
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4、复球面
• （1）复数的球面表示 N P O
Z：复平面上任意一点 N：球面与垂直于复平面的射线的交点 P：z和N的连线与球面的交点（异于N） 或者说，过N和球面上异于N的任意一点P 的直线，与复平面交与一点z
z
因此，球面上点P与复平面上点z一一对应，即 复数可以用球面上的点表示 30
y z1 |z1-z2| z2 x
• 复数模|z|的性质：
– – – – – – （1） 2 z z, zz z （2） （3） z x y , x （4） z1 z 2 z1 z 2 （5） z1 z 2 z1 z 2 （6） z1 z 2 z1 z 2
Arg ( 3 4 i ) ( 2 k 1) arctan 4 3
k 0 , 1, 2 ,
24
3、复数四则运算的几何意义
• 根据直角坐标系和极坐标系的关系
x r cos , y r sin
• 可得复数z的三角表达式：
z r (cos i sin )
8
主要内容
• 1.1 复数的概念与运算 • 1.2 复变函数
9
1.1 复数的概念与运算
• 主要内容：
– – – – – 1、复数及其代数运算 2、复数的几何表示 3、复数四则运算的几何意义 4、复球面 5、复数的乘幂与方根
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1、复数及其代数运算
• 什么是复数？
x iy
称为复数 虚部 y = Im(z)
2
z2
2
2 Re( z1 z 2 )
Re( z1 z 2 ) z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
2
( z1 z 2 )
2
所以：
z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z n z1 z 2 z n
21
复数的模
• 求证
i
r (cos i sin ) r cos( 2 k ) i sin( 2 k )
i
re
i
re
e
2 k i
k 0 , 1, 2 ,
因此：当 增加或减少2 时， z点沿圆周移动一圈回到
出发点，因此，两者表示同一个复数
• n为正整数
z
n 1
z z
数学归纳法
n
z
n
r e
n in
• n为正整数
– 约定 z
0
1 ，因此
z
n
r e
n in
• n为负整数
– 定义 z
1

1 z
，因此：
z
n
z

1 n
1 z e
in
n
1 i e r
4、复球面
• （2）扩充复平面 – 当P点无限逼近于N点时
• 复平面上没有复数与之对应 • z点无限远离原点：该点就被称为“无穷远点” • 包含了无穷远点在内的平面称为扩充复平面
– 为了使扩充复平面的点与球面上的点一一对 应，规定“无穷远点”是唯一的
• 无特殊情况，只考虑有限复数及复平面
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4、复球面
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代数运算
• 复数的和、差、积、商
– 对复数 z1
• 和、差：
z1 z 2 ( x1 x 2 ) i ( y1 y 2 ) x1 iy 1和 z 2 x 2 iy 2
：
• 乘法：
z1 z 2 ( x1 x 2 y1 y 2 ) i ( x1 y 2 x 2 y1 )
• 根据欧拉公式： i cos i sin e • 可得复数z的指数表达式：
z re
i
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3、复数四则运算的几何意义
对两个非零复数：
• 定理1－1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积； 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和
y z1 O
– 即：
z1 z 2 z1 z 2
Arg z1 z 2 Arg z1 Arg z 2
表示复数z的平面被称为复平面或z平面
复数的第一种表示方法
18
2、复数的几何表示
• 复数z与从原点O到z = x + iy 所引向量构成一一对 应关系
复数的第二种表示方法
y
z＝x+iy
argz
O
|z|：向量z的长度，称为复数z的模 Argz：由实轴的正向到向量之间的夹角， 称为复数z的幅角
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x
复数的模
z x y
2 2
O
z, y z
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复数的模
• 求证
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
2
( z1 z 2 ) z1 z 2 ( z1 z 2 ) z1 z 2 z1 z1 z 2 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
z1 z1 – （4） z2 z2
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2、复数的几何表示
• 实数（x,y）与x轴和y轴构成的二维实数平面一一对应 • 那么复数呢？
– 复数 z x iy 由一对有序实数（x，y）唯一确定
– x轴上的点对应实数，因此x轴被称为实轴 – y轴上的点对应虚数，因此y轴被称为虚轴