工程数学1
工程数学作业1
第三章作业练习题1：设两点边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+ε1)1( ,0)0()10( 22y y a a dx dy dx y d的精确解为ax e e a y x +---=ε-ε-)1(11/1 现以h 为步长划分区间]1,0[为100等份，用差分近似代替微分，将微分方程离散化为线性方程组，代入初始条件后，得到如下的方程组问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-h ah ahah ah y y y y h h h h h h h εεεεεεεεεεε222299321)2()2()2()2(其中1=ε，2/1=a ，100/1=h 。
(1) 分别用J 迭代法，G-S 迭代法和SOR 迭代法求解，并与精确解进行比较；(2) 如果1.0=ε，001.0=ε，再求解该问题解：输出结果为精确值 J 迭代值 GS 迭代值 sor 迭代值0.0526 0.0501 0.0500 0.05040.1006 0.0961 0.0960 0.09660.1446 0.1384 0.1382 0.13910.1848 0.1774 0.1771 0.17820.2217 0.2132 0.2129 0.21420.2556 0.2462 0.2458 0.24740.2867 0.2767 0.2763 0.27800.3153 0.3049 0.3044 0.30630.3417 0.3309 0.3305 0.33250.3661 0.3551 0.3546 0.35680.3886 0.3775 0.3770 0.37930.4094 0.3984 0.3979 0.40020.4288 0.4178 0.4173 0.41970.4467 0.4359 0.4354 0.43790.4635 0.4528 0.4523 0.45480.4791 0.4687 0.4682 0.47070.4937 0.4836 0.4830 0.4856 0.5074 0.4976 0.4970 0.4996 0.5202 0.5107 0.5102 0.5128 0.5324 0.5232 0.5227 0.5252 0.5438 0.5349 0.5344 0.5370 0.5546 0.5461 0.5456 0.5481 0.5649 0.5567 0.5562 0.5587 0.5747 0.5668 0.5663 0.5688 0.5840 0.5765 0.5760 0.5784 0.5929 0.5857 0.5853 0.5876 0.6014 0.5946 0.5941 0.5965 0.6096 0.6031 0.6027 0.6049 0.6175 0.6113 0.6109 0.6131 0.6251 0.6192 0.6188 0.6210 0.6325 0.6269 0.6265 0.6286 0.6396 0.6343 0.6339 0.6360 0.6466 0.6415 0.6411 0.6432 0.6533 0.6485 0.6482 0.6501 0.6599 0.6554 0.6550 0.6569 0.6664 0.6620 0.6617 0.6636 0.6727 0.6686 0.6683 0.6700 0.6788 0.6750 0.6747 0.6764 0.6849 0.6812 0.6810 0.6826 0.6909 0.6874 0.6871 0.6887 0.6967 0.6935 0.6932 0.6947 0.7025 0.6994 0.6992 0.7007 0.7082 0.7053 0.7051 0.7065 0.7139 0.7111 0.7109 0.7123 0.7195 0.7169 0.7167 0.7180 0.7250 0.7226 0.7224 0.7236 0.7305 0.7282 0.7280 0.7292 0.7359 0.7337 0.7336 0.7347 0.7413 0.7393 0.7391 0.7402 0.7467 0.7447 0.7446 0.7456 0.7520 0.7502 0.7500 0.7510 0.7573 0.7556 0.7554 0.7564 0.7625 0.7609 0.7608 0.7617 0.7678 0.7663 0.7662 0.7670 0.7730 0.7716 0.7715 0.7723 0.7782 0.7769 0.7768 0.7775 0.7833 0.7821 0.7820 0.7828 0.7885 0.7874 0.7873 0.7880 0.7937 0.7926 0.7925 0.7931 0.7988 0.7978 0.7977 0.79830.8039 0.8030 0.8029 0.8035 0.8090 0.8081 0.8081 0.8086 0.8141 0.8133 0.8132 0.8137 0.8192 0.8184 0.8184 0.8189 0.8243 0.8236 0.8235 0.8240 0.8293 0.8287 0.8286 0.8291 0.8344 0.8338 0.8337 0.8341 0.8395 0.8389 0.8389 0.8392 0.8445 0.8440 0.8440 0.8443 0.8496 0.8491 0.8490 0.8494 0.8546 0.8542 0.8541 0.8544 0.8596 0.8592 0.8592 0.8595 0.8647 0.8643 0.8643 0.8645 0.8697 0.8694 0.8693 0.8696 0.8747 0.8744 0.8744 0.8746 0.8798 0.8795 0.8795 0.8797 0.8848 0.8845 0.8845 0.8847 0.8898 0.8896 0.8895 0.8897 0.8948 0.8946 0.8946 0.8947 0.8999 0.8996 0.8996 0.8998 0.9049 0.9047 0.9047 0.9048 0.9099 0.9097 0.9097 0.9098 0.9149 0.9147 0.9147 0.9148 0.9199 0.9198 0.9198 0.9199 0.9249 0.9248 0.9248 0.9249 0.9299 0.9298 0.9298 0.9299 0.9349 0.9348 0.9348 0.9349 0.9399 0.9399 0.9399 0.9399 0.9450 0.9449 0.9449 0.9449 0.9500 0.9499 0.9499 0.9499 0.9550 0.9549 0.9549 0.9549 0.9600 0.9599 0.9599 0.9600 0.9650 0.9649 0.9649 0.9650 0.9700 0.9699 0.9699 0.9700 0.9750 0.9750 0.9750 0.9750 0.9800 0.9800 0.9800 0.9800 0.9850 0.9850 0.9850 0.9850 0.9900 0.9900 0.9900 0.9900 0.9950 0.9950 0.9950 0.9950达到相同精度J迭代的迭代次数为： 4024达到相同精度G-S迭代的迭代次数为：2000达到相同精度sor迭代的迭代次数为： 478 sor迭代最佳松弛因子：1.7000由结果可见对于此题达到相同精度迭代次数sor 迭代<G-S 迭代<J 迭代练习题2：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3113A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31b 对于线性方程组b Ax =建立迭代法 ),2,1,0()()()1( =+-=+k b x A I x k k ωω（1）求出ω的范围使迭代法收敛，（2）求出最优*ω使迭代法的渐进收敛速度最大。
工程数学1
工程数学1
摘要：
1.工程数学的定义和重要性
2.工程数学的基本概念
3.工程数学的应用领域
4.工程数学的发展趋势
正文：
工程数学1
工程数学是一门应用数学的学科，主要应用于各种工程领域，如机械工程、电气工程、土木工程等。
它在工程设计和解决问题中扮演着至关重要的角色，因此掌握工程数学的基本概念和应用方法是必要的。
工程数学的基本概念包括数学模型、微积分、线性代数、概率论和统计学等。
数学模型是用数学方法描述现实世界中的问题，包括建立方程、求解方程和分析结果等。
微积分是工程数学的核心概念，用于计算变化率、最大值和最小值等。
线性代数是用于解决线性方程组和矩阵运算的问题。
概率论和统计学用于分析数据的分布和规律。
工程数学的应用领域非常广泛，如机械工程中的力学和运动学、电气工程中的电路分析和信号处理、土木工程中的结构分析和流体力学等。
在实际应用中，工程师需要使用工程数学来解决复杂的问题，如计算结构的强度和刚度、分析电路的稳定性和响应、预测系统的可靠性和性能等。
随着科技的不断发展，工程数学也在不断地更新和拓展。
当前的发展趋势
包括计算机辅助设计、人工智能、数据科学和大数据分析等。
这些新技术为工程数学的应用提供了更广阔的领域和更多的可能性。
工程数学是一门重要的学科，它在工程领域中扮演着至关重要的角色。
掌握工程数学的基本概念和应用方法可以帮助工程师解决复杂的问题，提高工程设计的效率和质量。
工程数学1
工程数学1
工程数学1是一门基础课程，主要介绍工程领域中常用的数学方法和技巧。
该课程包括以下内容：
1. 微积分：研究函数的变化率和积分的概念和方法，包括导数、积分、常微分方程等。
2. 线性代数：研究向量空间、线性方程组以及线性变换的性质和运算规律，包括矩阵运算、特征值和特征向量等。
3. 微分方程：研究描述自然和工程现象的微分方程，包括一阶线性微分方程、高阶线性微分方程等。
4. 概率论与统计：研究随机现象的数学模型和统计分析方法，包括概率、随机变量、概率分布、统计参数估计与假设检验等。
5. 多元函数与偏微分方程：研究多元函数的导数和积分，以及描述物理和工程问题的偏微分方程。
6. 数值方法：研究利用计算机进行数值计算和近似计算的方法和技巧，包括数值积分、数值微分、差分方程、插值和拟合等。
工程数学1在工程专业中具有重要的应用价值，它为工程师提供了解决实际问题的数学工具和技能，可以应用于电子、机械、土木、化工、材料等各个工程领域。
工程数学1
工程数学1一、工程数学的概述工程数学是一门以应用为目的的数学分支，它以高等数学为基础，为各类工程技术人才提供必要的数学知识和方法。
工程数学在科学研究和工程技术领域中具有广泛的应用，它可以解决实际问题，优化工程设计，提高生产效率，降低成本，从而推动科学技术的发展和工程技术的进步。
二、工程数学的主要内容工程数学主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计、数学建模等。
微积分是研究函数的极限、连续、微分、积分等性质的分支，它在物理、化学、生物等领域有广泛应用。
线性代数研究向量、矩阵、线性方程组等概念，它在电子电路、计算机科学、运筹学等方面具有重要意义。
概率论与数理统计是研究随机现象的规律性和应用的科学，它在金融、保险、医学等领域具有广泛的应用。
数学建模是将实际问题抽象为数学问题，并利用数学方法求解的过程，它在工程技术、经济管理等领域具有重要意义。
三、工程数学的应用领域工程数学在各类工程专业中都有广泛的应用。
电子信息工程中，工程数学可以帮助分析和设计电子电路、通信系统等。
机械工程中，工程数学可以优化机械设计，提高机械性能。
土木工程中，工程数学可以解决结构分析、水资源利用等问题。
此外，工程数学在经济管理等领域也有广泛的应用，如优化生产计划、预测市场趋势等。
四、如何学习工程数学学习工程数学需要掌握以下几点：一是要理解基本概念和方法，打下扎实的理论基础；二是要加强实践与应用，将所学知识运用到实际问题中；三是要培养数学思维能力，学会用数学方法解决实际问题；四是注重与其他学科的结合，拓宽知识面，提高综合素质。
五、工程数学的前景与展望随着科技的飞速发展，工程数学在人工智能、大数据等领域具有广阔的前景。
在新型基础设施建设中，工程数学可以帮助优化工程设计，提高建设效率。
同时，跨学科研究与创新也为工程数学的发展提供了新的机遇。
《工程数学(1)》教学大纲
《工程数学（1）》教学大纲课程编号：1000050 课程中文名称：工程数学（1）课程英文名称：Engineering Mathematics 学时：54 学分：3 基本面向：7专业本科 一、 本课程的教学目的的性质和任务本课程是高等院校电子专业的一门基础课，复变函数是研究复自变量复值函数的分析过程，积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个更为简单且易于处理的函数，通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数与积分变换的基本理论和方法，为学习工程力学、电工学，电磁学、振动力学、电子技术等课程奠定必要的基础。
二、 本课程的基本要求通过对本课程的学习，要求学生系统地获得复变函数和积分变换的基本知识，切实掌握所涉及的基本概念、基本理论和基本方法，具有较熟练的运算能力和初步解决实际问题的能力。
为后继课程的学习奠定良好的数学基础。
第一章 复数与复变函数1. 理解复数的概念及各种表示法2. 掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算3. 理解区域的有关概念4. 掌握用复数方程来表示常用曲线及用不等式表示区域的方法5. 理解复变函数及映射的概念，复变函数与一对二元实函数的关系6. 知道复变函数的极限与连续 第二章 解析函数1. 理解复变函数的导数的定义，掌握求导的方法2. 理解解析函数的定义，掌握函数解析的充要条件，会判断一个函数是否解析3. 了解指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数的定义，及它们的解析性质、运算性质第三章 复变函数的积分1. 了解复变函数积分的概念，积分的存在性及计算公式，复变函数积分与两个二维曲线积分的关系。
2. 理解柯西—古萨基本定理，掌握积分与路径无关的条件，了解原函数与不定积分的概念3. 理解复合闭路定理及柯西积分公式，会计算某些围道的积分4. 理解高阶导数公式，会应用高阶导数公式计算某些积分5. 了解调和函数的概念，掌握解析函数与调和函数的关系，能由解析函数实（虚）部求虚（实）部第四章 级数1. 知道复数列收敛的概念2. 了解复数项级数收敛的有关定理，能判断复数项级数的收敛性3. 理解阿贝尔定理，了解幂级数的收敛情况，掌握求幂级数收敛圆的方法，知道幂级数在收敛域的性质。
工程数学1
工程数学阶Ch1 矩阵一、判断题：(正确打+，错误打-)1. 两矩阵可加减的充分必要条件为同维矩阵。
( )2. 设A 为s p ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，如果B AC T 有意义，则C 是s m ⨯矩阵。
( )3. 设A 为n 阶方阵，则T A A －是对称阵。
（ ）4. 设矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=21232321－A ，有I A ＝6,则＝11A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21232321－ （ ） 5. 设,A B 均为n 阶可逆矩阵,则AB 必为可逆矩阵。
( )6.设101020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,满足AX I A X -=+,则矩阵102030201X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
( )二、 填空题1．[]1212,,m m b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦______________________________。
2．设12122121X X --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，则X =_______________________。
3．设02003040000500A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A -=________________________。
4．设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2k ≥为正整数，则12k k A A --=_____________________。
5．若200010703A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则12(2)(4)A I A I ---=_____________________。
6．10____________m n n x A x A ⨯⨯==若对任意的矩阵均有，则矩阵。
7．16A B BA A BA A -=-设三阶矩阵和满足关系式，已知1300040007A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 B =_________。
三、选择题1．n A B C ABC I =设阶矩阵、、满足，则必有（ ）（A ）;ACB I = （B ）;BCA I = （C ）;BAC I = （D ）CBA I =。
工程数学1 -回复
工程数学1 -回复工程数学1 - 回答主题————————————————————工程数学1是大多数工程类专业的基础课程，它覆盖了数学的许多重要领域，如微积分、线性代数和概率统计。
在这篇文章中，我将逐步回答有关工程数学1的问题，并解释为什么它对工程学生来说如此重要。
在开始之前，让我们先来了解一下工程数学1的背景和意义。
工程数学是应用数学的一个分支，旨在解决实际问题并提供工程实践中的数学工具和技巧。
它为工程师提供了一种分析和解决工程问题的方法。
接下来，我们将探讨工程数学1中的几个关键主题。
首先是微积分。
微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化率和积分。
在工程数学1中，我们将学习导数和积分的基本概念，以及它们在实际问题中的应用。
例如，我们将探讨如何使用微积分来分析物体的运动、计算曲线下的面积和解决最优化问题。
其次，线性代数也是工程数学1的重要内容。
线性代数研究向量和线性变换的代数结构。
在工程领域，线性代数被广泛应用于解决线性方程组、矩阵运算、向量空间和最小二乘法等问题。
通过学习线性代数，工程学生将能够理解矩阵的概念和性质，掌握矩阵求逆、矩阵特征值和特征向量等重要技巧。
最后，概率统计也是工程数学1的重要组成部分。
概率统计是应用概率论和统计学的一个分支，它用于研究随机现象和数据分析。
在工程领域，概率统计被广泛应用于风险分析、可靠性工程和质量控制等领域。
通过学习概率统计，工程学生将能够理解概率的基本概念、随机变量的分布和数据的统计分析方法。
通过学习工程数学1，工程学生将能够获得以下几个重要的能力和技巧。
首先，他们将具备分析和解决实际工程问题的能力。
工程数学1教给学生如何将实际问题抽象为数学模型，并使用数学方法来解决这些问题。
其次，他们将具备数学建模的能力。
数学建模是将现实问题转化为数学问题的过程，它是工程实践中不可或缺的技巧。
通过学习工程数学1，学生将能够熟练地运用微积分、线性代数和概率统计来进行数学建模。
工程数学1
__
__
__
_______ __
__
z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 Re ( z1 z2 )
__
__
_______ __
__
__
§2 复数的几何表示
任意给定一个复数z=x+yi，它可由一个有序实 数对（x,y）唯一确定．因此可借用直角坐标系 来表示复数．这个建立了直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面．X轴叫做实轴，y轴除去 原点部分叫做虚轴
z1 z2 Re( z1 ) Re( z2 ) Im( z1 ) Im( z2 )
z 0 Re(z) Im( z) 0
一般来说，任意两个复数不能比较大小。
2．复数的代数运算
设z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2为两个复数
定义： 加、减法：
( x1 iy1 ) ( x2 iy 2 ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
__________
证 (1) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z2 z1 z2 z1 z1 z2 z2
2
z1 z2 z1 z2
2 2
2 2
(2) z1 z2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 ) z1 z1 z2 z2 z1 z2 z2 z1 z1 z2 2 Re ( z1 z2 )
定义 : z n z z z z n r n (cos n i sin n )
方程 n z 当z 0时, 有n个不同的值与它对应, 每一个称为z为n次根.记为n z
z n (cos
大一工程数学知识点
大一工程数学知识点工程数学是应用数学的一个分支，它主要研究数学在工程领域中的应用。
作为工程学专业的大一学生，了解和掌握一些基本的工程数学知识点对日后的学习和工作都是非常重要的。
本文将介绍一些大一工程数学的基础知识点。
1.微积分微积分是工程数学的基础，它主要包括导数和积分两个部分。
导数用来研究函数的变化率和切线问题，而积分则用来求曲线下面的面积和曲线长度等问题。
在大一的工程数学中，主要学习一元函数的极限、连续性、导数和不定积分等内容。
2.线性代数线性代数是一门研究向量空间和线性映射的学科。
在工程数学中，线性代数主要用于解决多元线性方程组和矩阵运算等问题。
大一学生需要学习向量的基本运算、矩阵的代数性质、线性方程组的求解方法以及行列式的计算等内容。
3.概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机事件和随机现象的理论和方法。
在工程学中，概率论与数理统计被广泛地应用于可靠性分析、风险评估和数据处理等领域。
大一学生需要学习一些基本的概率分布（如二项分布、正态分布）、统计参数的估计和假设检验等内容。
4.复变函数复变函数是研究复数域上的函数的学科。
在工程数学中，复变函数被广泛地应用于电路分析、信号处理和振动理论等领域。
大一学生需要学习复数的基本运算、复变函数的导数和积分、留数定理以及柯西积分公式等内容。
5.离散数学离散数学是数学中的一个分支，它研究离散对象及其相互关系的学科。
在工程数学中，离散数学主要应用于信息科学和计算机科学中的算法和数据结构等问题。
大一学生需要学习集合论的基本概念、图论的基本概念和算法的基本原理等内容。
总结起来，大一工程数学的知识点主要包括微积分、线性代数、概率论与数理统计、复变函数和离散数学等。
这些知识点是工程学专业的基础，对于学好后续的专业课程和日后的工程实践都具有重要意义。
希望同学们在大一期间能够扎实掌握这些基础知识，为未来的学习和发展打下坚实的基础。
工程数学习题答案
f ( x ) = ∑ a k cos kx
k =0
∞
由正交性得
a0 =
1 2π
∫ π f ( x )dx = π ∫
−
π
1
π
0
(π − x )dx =
2
π
0
π 1 π [−(π − x ) 2 ] 0 = 2π 2
ak =
f ( x ) cos kxdx = ∫ π ∫π π
−
1
π
(π − x ) cos kxdx
u( x , t ) = [cos
πa
l
t+
πa π l sin t ] sin x πa l l
⎧ utt = a 2 u xx , (0 < x < l , t > 0) ⎪ ⎪ u x = 0 = u x x = l = 0, 4．求波动方程解 ⎨ ⎪ u t = 0 = 3 sin 3πx / 2l + 6 sin 5πx / 2l , ⎪u ⎩ t t =0 = 0
方程组有非零解的条件为系数矩阵行列式为零，即
[cos 2π λ − 1]2 + sin 2 2π λ = 0
整理得
cos 2π λ = 1
由余弦函数的最大值点得
2π λ = 2nπ
所以特征值和特征函数分别为 （A 和 B 不全为零） λ n = n 2 ， X n = A cos nx + B sin nx ，
《工程数学》习题一
y ⎧ dy ⎪ = ry (1 − ), x > 0 1．用分离变量法解常微分方程初值问题 ⎨ dx K ⎪ y ( 0) = y 0 ⎩
解：用常微分方程分离变量法
工程数学(本)形考一资料答案
工程数学（本）形考一资料答案一、选择题1.答案：B解析：选项 A 是指数函数，B是幂函数， C 是常数，D 是常数函数。
2.答案：C解析：通过计算得出，$\frac{{\ln 81}}{{\ln 3}}= 4 $3.答案：D解析：上面的系数矩阵 A 不是奇异的，所以行列式|A|AA0。
4.答案：A解析：根据题目给出的数据，化简得出 $\\frac{21}{40} = 0.525$。
5.答案：C解析：若 $f(x) = C\\text{e}^{\\lambda x}$ 是微分方程$f'(x) = \\lambda f(x)$ 的解，其中A是常数，则 $f(x) =C\\text{e}^{- x}$ 是所给微分方程的解。
6.答案：D解析：可以根据数据计算出$\\sqrt{\\frac{{\\sum\\limits_{i=1}^{n} x_i -\\overline{x}}^2}{n-1}} = 4.47$。
7.答案：C解析：能够观察到 $\\sin x$ 的周期为 $2\\pi$，所以$[\\sin(\\pi/2) - \\sin (pi/6)]^2$ 上周期相等，根据选项得出答案。
8.答案：B解析：根据几何級数公式，可知 $S = \\frac{4}{1 - 0.5} = \\frac{8}{0.5} = 16$。
9.答案：D解析：利用计算器或计算机程序计算得出结果为−1。
10.答案：C解析：经过计算得到 $\\cos 2\\alpha = -\\frac{4}{5}$，所以 $\\cos \\alpha = \\sqrt{\\frac{1}{2} -\\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{4}{5}}}$。
二、填空题1.答案：偏导数解析：题目描述了对多元函数的求导，输入输出都是多维的，因此可以判断出应为偏导数。
2.答案：1/2解析：这是一道求概率题，设 A 为事件“至少有一个 A 测试装置坏”，则 $P(A) = 1-P(\\overline{A})=1-P(\\text{A,\\text{B},\\text{C} 都正常工作})=1-0.4*0.6*0.8=0.488$。
工程数学1
工程数学1
工程数学1通常是指大学本科阶段工科专业学生学习的一门数学课程。
这门课程旨在为工科学生提供数学基础知识，使他们能够在工程和科学领域中应用数学工具解决实际问题。
具体内容可能包括但不限于以下主题：
微积分：包括极限、导数、积分等基本概念，以及应用到工程问题的技能，如曲线的切线和曲率等。
线性代数：矩阵、行列式、线性方程组等内容，为工程问题的建模和求解提供数学工具。
常微分方程：解微分方程的基本方法，以及工程和科学领域中常见的微分方程建模问题。
多元统计：多变量函数、偏导数、多元积分等内容，为处理多变量工程问题提供数学支持。
复变函数：复数、复变函数的基本概念，以及在工程和科学中的应用。
离散数学：集合论、图论、逻辑等内容，为计算机科学等领域的学生提供数学基础。
这门课程的目标是培养学生具备将数学知识应用到实际工程问题中的能力，同时提供一个坚实的数学基础，以便他们在后续的工程专业课程中更好地理解和应用相关数学知识。
工程数学问题(一)
工程数学问题(一)工程数学问题1. 线性方程组一元线性方程•描述：一元线性方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知的实数，x是未知数。
•解释：求解一元线性方程的根即为找到使方程等式成立的未知数的值。
•求解方法：可使用基本的代数运算，如移项、消元和分式运算等进行求解。
多元线性方程组•描述：多元线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，每个方程都包含多个未知数。
•解释：求解多元线性方程组的解即为找到满足所有方程的未知数的值。
•求解方法：可使用高斯消元法、克拉默法则、矩阵法等进行求解。
2. 微分方程常微分方程•描述：常微分方程是涉及未知函数的导数和自变量的方程。
•解释：求解常微分方程即为找到使方程成立的函数表达式。
•求解方法：可使用分离变量法、变量代换法、特征方程法等进行求解。
偏微分方程•描述：偏微分方程是涉及未知函数的偏导数和多个自变量的方程。
•解释：求解偏微分方程即为找到满足方程的函数表达式。
•求解方法：可使用分离变量法、变量代换法、特征线法等进行求解。
3. 线性规划线性规划问题•描述：线性规划是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最优值的问题。
•解释：线性规划问题即为在满足一定限制条件下，求解最优解的问题。
•求解方法：常用的求解线性规划问题的方法有单纯形法、内点法等。
4. 概率统计概率•描述：概率是描述随机事件发生可能性的数值。
•解释：基于一定条件下的可能性推断和计算。
•应用：可用于风险评估、统计推断、决策分析等领域。
统计•描述：统计是对样本数据进行分析、推断总体规律的科学方法。
•解释：通过收集、整理、分析样本数据，了解总体特征和规律。
•方法：包括描述统计、推断统计和回归分析等方法。
1工程数学-复变函数
z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)
= r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)
+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]
= r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]
于是|z1z2|=|z1||z2|
(1.3.1)
Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)
(1.1.2) 称上面二式右端为z1,z2的和,差与积 当z1,z2为实数时, 上二式与实数的运算一致.
第4页，共62页。
4
称满足 z2z=z1 (z20)
的复数z=x+iy为z1除以z2的商,
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
z1+z2=z2+z1, z1z2=z2z1;
z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3), z1(z2z3)=(z1z2)z3;
x
15
y
y
Pz=x+iy
q
O
xx
利用直角坐标与极坐标的关系:
x = r cosq, y = r sinq,
可以将z表示成三角表示式:
z = r(cosq+sinq),
(1.2.7)
利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:
z=r eiq
(1.2.8)
第16页，共62页。
16
2. 复球面 N
P
SO
y
z
x
第17页，共62页。
17
除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上 的点来表示复数. 取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上 的一点S与原点重合. 通过S作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一点N. 称N为北极, S为 南极. 对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球 面相交于P点, 则球面上除N点外的所有点和 复平面上的所有点有一一对应的关系, 而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的球面称作复球面.
《工程数学(本)》形考1
《工程数学（本）》作业1第1章n阶行列式第2章矩阵（一）单项选择题（每小题2分，共20分）⒈设，则（D）．A. 4B. －4C. 6D. －6⒉若，则（A）．A. B. －1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素（C）．A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ）．A. B.C. D.⒌设均为阶方阵，且，则下列等式正确的是（D）．A. B.C. D.⒍下列结论正确的是（A）．A. 若是正交矩阵，则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵，则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵，则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵，则⒎矩阵的伴随矩阵为（ C ）．A. B. C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是（B）．A. B. C. D.⒐设均为阶可逆矩阵，则（D）．A. B. C. D.⒑设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A）．A. B.C. D.（二）填空题（每小题2分，共20分） ⒈7 ．⒉是关于的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ．⒊若为矩阵，为矩阵，切乘积有意义，则为 5×4 矩阵．⒋二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051． ⒌设，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设均为3阶矩阵，且，则|B ||A |2-3）（= 72 ．⒎设均为3阶矩阵，且，则 －3 ．381271]|[|271|]|||1[27|||1|||27|]||[|)3()(3||||||||2132*32221321113-=⨯-=-=-='-='-='-⇒=⇒=-*---*-*B B B B B A B A B A A A A A n⒏若为正交矩阵，则0 ．⒐矩阵的秩为 2 ．⒑设是两个可逆矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A ． （三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设，求⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹．解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+813034115321B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+406613455321C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+73161739121510642134535321232C A⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+20177415205553215B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12237734115321AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'⎥⎦⎤⎢⎣⎡='16104510413451272371345122377)(C AB⒉设，求．解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+=+200123411)112301210121()(C B A BC AC⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10221046200123411102420 ⒊已知，求满足方程中的．解：由B X A =-23得，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=2/52/112/712/5112/3451172522382151172522381121112016129363039112111201243121013332X B A X⒋写出4阶行列式中元素的代数余子式，并求其值．解：45951900650021)1(350650021)1(350631021)1(032642)1()1(352634020)1(2424244221141441=⨯⨯=-=--=---==⨯--=--=++++++A A⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：⑴ ； ⑵ ； ⑶ ．解：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-12221222191.9/19/29/21009/29/19/20109/29/29/10019/19/29/210003/13/2210001221122900012630001221102360012630001221100122010212001221][1A I A（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---35-1-41001-201-010031-20517-00101762-6-225-00135-1-41001-201-01001-011-401021-1-25-0011-201-010035-1-410001-011-401021-1-25-001102-32500011-113001-011-401021-1-25-001102-325011-113000012-6-5-1-00001432110006201010011110010213200014321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (3)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-001000011-001000011-00100010001101-01100011-001000011-00100001000110001111010001110010001100010001，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A⒍求矩阵的秩．解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000000111000111011011110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r3)(=A R（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵，试证是对称矩阵．证明：'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴是对称矩阵⒏若是阶方阵，且，试证或．证明：是阶方阵，且∴12==='='I A A A A A ∴或1-=A⒐若是正交矩阵，试证也是正交矩阵．证明：是正交矩阵∴ A A '=-1，∴ )()()(111''==='---A A A A即是正交矩阵。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 定理1－2：两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的幅角等于它们被除数与除数的幅角差
– 即：
z1 z2 z1 z2
z1 Arg Arg z1 Arg z 2 z2
用指数表达式计算复数的乘积与商，可得：
z1 z 2 r1 r2 e
• n为正整数
z
n 1
z z
数学归纳法
n
z
n
r e
n in
• n为正整数
– 约定 z
0
1 ，因此
z
n
r e
n in
• n为负整数
– 定义 z
1
1 z
，因此：
z
n
z
1 n
1 z e
in
n
1 i e r
z1 z1 – （4） z2 z2
17
2、复数的几何表示
• 实数（x,y）与x轴和y轴构成的二维实数平面一一对应 • 那么复数呢？
– 复数 z x iy 由一对有序实数（x，y）唯一确定
– x轴上的点对应实数，因此x轴被称为实轴 – y轴上的点对应虚数，因此y轴被称为虚轴
8
主要内容
• 1.1 复数的概念与运算 • 1.2 复变函数
9
1.1 复数的概念与运算
• 主要内容：
– – – – – 1、复数及其代数运算 2、复数的几何表示 3、复数四则运算的几何意义 4、复球面 5、复数的乘幂与方根
10
1、复数及其代数运算
• 什么是复数？
x iy
称为复数 虚部 y = Im(z)
i
r (cos i sin ) r cos( 2 k ) i sin( 2 k )
i
re
i
re
e
2 k i
k 0 , 1, 2 ,
因此：当 增加或减少2 时， z点沿圆周移动一圈回到
出发点，因此，两者表示同一个复数
z2
1 2
表示集合的相等，即对等式左端的任一值， 等式右端必有一值与之对应，反之亦然
x
• 例7：z1= -1, z2 = i, 求Arg（z1z2）＝？
( / 2 ) 2 k ' / 2 2 k
k 0 , 1, 2 ,
26
3、复数四则运算的几何意义
• Argz有无穷多个值，每两个值相差2 的整数倍 • 只有一个值在（ ， ]的范围内，该值被称为主值， 记做argz arg z ） • Argz＝argz＋2k （k 0 , 1, 2 , , y • tan(Argz)=
x
当z＝0时，z的模值为0，幅角不定
i ( 1 2 )
z1 z2
r1 r2
e
i ( 1 2 )
27
3、复数四则运算的几何意义
• 例8：z1= 1+ 3 i, z2＝－1－i, 求z1z2，z1/z2
z1 z 2 2 2 e
5 12 i
z1 z2
11 12
i
2e
28
3、复数四则运算的几何意义
由于
z re
1 2z z
2
– 例2：求证：1 z 2
1 z 2 1 z 1 z
1 z z z 1 2z z
2 2
16
代数运算
• 共轭复数的运算性质： – （1） z z
– （2） z1 z 2 z1 z 2 – （3） z1 z 2 z1 z 2
y arg z arctan x
23
复数的幅角
• 例5：求Arg（2－2i）和Arg（－3＋4i）
Arg ( 2 2 i ) arg( 2 2 i ) 2 k arctan( 2 / 2 ) 2 k
4
2 k k 0 , 1, 2 ,
当
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
时：
z1 z1 z 2 z 2 z1 z 2 z 2
有： 当
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
时，同理有：
z1 z 2
22
z1 z 2 z 2 z1
所以： z1 z 2
复数的幅角
• 二十世纪，复变函数称为数学的重要分支
– 应用领域不断扩展
• 电学、热学、理论物理、空气动力学、流体力学 • 数学的其他分支（如微分方程、积分方程、概率论和数论等等）
6
主要内容
• • • • • 第一章、复数与复变函数 第二章、解析函数 第三章、复变函数的积分 第四章、级数 第五章、留数
7
第一章、复数与复变函数
n in
n
1 r
n
r e
34
（1）复数的乘幂
• 当r = 1时，则上述公式变为：
e
即：
(cos i sin )
n
i n
e
in
cos n i sin n
棣莫弗（De Moivre)公式
35
2、复数的方根
• 称满足方程 n z 的复数 为该方程的n次方根
4、复球面
• （2）扩充复平面 – 当P点无限逼近于N点时
• 复平面上没有复数与之对应 • z点无限远离原点：该点就被称为“无穷远点” • 包含了无穷远点在内的平面称为扩充复平面
– 为了使扩充复平面的点与球面上的点一一对 应，规定“无穷远点”是唯一的
• 无特殊情况，只考虑有限复数及复平面
31
4、复球面
• 除法：
z1 z2
x1 x 2 y1 y 2
2 x2
2 y2
i
x 2 y1 x1 y 2 x2 y2
2 2
13
代数运算
• 算律：
– 交换律：
z1 z 2 z 2 z1 z1 z 2 z 2 z1
– 结合律：
z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) ( z1 z 2 ) z 3
– 留数和保形映射
– 积分变换
• 高等数学的内容
– 傅立叶变换
• 新添内容
– 离散傅立叶变换、离散沃而什变换、梅林变换、z变换
3
主要要求
• 按时完成作业 • 学习态度认真 • 深入领会数学理论
– 掌握并能运用数学理论和方法解决实际问题
• 成绩
– 平时30％－40％ – 期末考试60％－70％
4
复变函数
• 根据欧拉公式： i cos i sin e • 可得复数z的指数表达式：
z re
i
25
3、复数四则运算的几何意义
对两个非零复数：
• 定理1－1：两个复数乘积的模等于它们模的乘积； 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和
y z1 O
– 即：
z1 z 2 z1 z 2
Arg z1 z 2 Arg z1 Arg z 2
工程数学
复变函数与积分变换
1
主要意义
• 数学理论解决实际问题
– 信号与系统（复变函数） – 数字信号处理（积分变换） – 电磁场理论（数理方程）
• 培养推理、归纳、演绎和创新能力
2
复变函数与积分变换
• 主要内容
– 复变函数
• 内容与高等数学相对应
– 复数、复函数、复导数、复积分、级数
• 新添内容
z x y
2 2
O
z, y z
20
复数的模
• 求证
z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
2
( z1 z 2 ) z1 z 2 ( z1 z 2 ) z1 z 2 z1 z1 z 2 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
12
代数运算
• 复数的和、差、积、商
– 对复数 z1
• 和、差：
z1 z 2 ( x1 x 2 ) i ( y1 y 2 ) x1 iy 1和 z 2 x 2 iy 2
：
• 乘法：
z1 z 2 ( x1 x 2 y1 y 2 ) i ( x1 y 2 x 2 y1 )
2
z2
2
2 Re( z1 z 2 )
Re( z1 z 2 ) z1 z 2 z1 z 2
z1 z 2
2
( z1 z 2 )
2
所以：
z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z n z1 z 2 z n
21
复数的模
• 求证
y z1 |z1-z2| z2 x
• 复数模|z|的性质：
– – – – – – （1） 2 z z, zz z （2） （3） z x y , x （4） z1 z 2 z1 z 2 （5） z1 z 2 z1 z 2 （6） z1 z 2 z1 z 2
1
1
记做
n
z ，即
n
z ，或是记做 z n
，此时 z n
• 求解该方程：
– 设 z re i ， e i 则：
e
1
n in
re
i
rn
n 2 k ( k 0 , 1, 2 , )