经济数学基础线性代数综合练习题

2016《线性代数》综合练习

一、选择题

1、 若===),,(,3),,(,3),,,(3214324321ααααααααααr r r 则（ ）

（A ）2； （B ）3； （C ）1或2或3； （D ）2或3 2、设A 、B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；

（B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。

3、设A 为3阶方阵，将A 的第2行加到第3行后得到矩阵B ，则AB -1=（ ）。

（A ）⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110010001。

4、下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量； （C ）R n 中，坐标是整数的所有向量； （D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。

5、已知⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=y x A 6364221，B 为三阶矩阵，且AB =O ，则有( )

（A ）当y =3x 时，r(B )=1 （B ）当y =3x 时，r(B ) ≠2 （C ）当y ≠3x 时，r(B )=1 （D ）当y ≠3x 时，r(B ) ≠2

6、设A 的伴随矩阵A *≠O ，若α1，α2，α3，α4是非齐次线性方程组β=AX 的互不相等的解，则齐次线性方程组AX =O 的基础解系（ ）

（A ）不存在 （B ）仅含一个非零解向量, (C) 含有两个线性无关的解向量 (D) 含有三个线性无关的解向量 7、设非奇异矩阵A 的各行元素之和为2，则矩阵（

3

1A 2）-1

有一个特征值等于（ ）。 （A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）4

1

。

8、设矩阵 ，则 A 合同于( )

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000010001； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010001； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000010001； （D ）⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--100010001

二、判断题：

1、（ ）若向量组线性相关则线性表示可以被向量组s s αααβββααα,,,,,,,,,,211-s 2121 。

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛--=120210001A

2、（ ）若AB 为可逆矩阵，则A 、B 均为可逆矩阵。

3、（ ）设A 为n 阶可逆矩阵，则对任意n 维实向量b ，方程组AX=b 总有解。

4、（ ）若A 、B 均为n 阶矩阵，且A 与B 合同，则A 与B 有相同的特征多项式。

5、（ ）设A 为对称矩阵，且满足A 2－5A +4E =O ，则A 为正定矩阵。 三、填空题

1、设304

0223

20700532

2D =

--，ij a 的余子式为ij M ,代数余子式为ij A ,则41424322M A A -+= 。

2、计算行列式0111

1

011

1

10111

10

n D == . 3、设A , B 均为3阶方阵, 且 |A |=5, |B |=-3, 则**11

A B A B ---= 。

4、已知A ，B 为n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E ，其中E 是n 阶单位矩阵，（A-2E ）-1=

5、设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax =b 的三个解向量，且r （A ）=3，其中1231290

,,

4094⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

ααα则Ax =b 的通解为

6、设A =(a ij )3⨯3为实正交矩阵，且a 13=1，β=(1,0,0)T ，则非齐次线性方程组β=AX 的解为 。

7、设A 为3阶矩阵，321,,ααα为线性无关的3维列向量，已知01=αA ，21222ααα-=A ，

321332αααα++-=A ，则A 的所有特征值为 。

8、设矩阵A =⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛50413102x 可相似对角化，则x= 。

9、 若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的，则t 的取值范围是 。

10、二次型323121232221222x bx x x x ax x x x f +++++=经正交替换化为2

3222y y +，则a = ，b = 。

四、计算题

1、已知线性方程组⎪⎩⎪

⎨⎧-=++++=+-+=++)

12()3()1(12)12(1

23

2

1

3

21

321

λλλλλx x x x x x x x x ，讨论λ取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示出一般解。

2、讨论m 和n 各取何值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=-++=----=-++=-++1

682316420234

32143214

3214321x x x x m nx x x x x x x x x x x x

无解？有唯一解？有无穷多组解？在有无穷多组解时，用导出组的基础解系表示出一般解。

3、设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛=11

1110

011

A ，求矩阵X ，满足O E X A X =---12。 4、设⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-=30

1

001010010

0001A ，矩阵B 满足等式E BA BA A 3211+=--*, 求B 。 5、设三维向量空间R 3里的两组基分别为α1, α2, α3与β1, β2, β3, 且

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100,221,111,

110,121,101321321βββααα

(1)求由基β1,β2,β3到基α1, α2, α3的过渡矩阵；(2)若向量η=3α1-α2, 求η关于基β1,β2,β3的坐标。

6、设三维向量空间里的两组基分别为α1, α2, α3与β1,β2,β3, 且⎪⎩⎪

⎨⎧+-=++=+=3213

32123

1122β

ββαβββαββα

(1)求由基α1, α2, α3到基β1, β2, β3的过渡矩阵；

(2)若向量η=3β1-6β2+3β3, 求η在基α1, α2, α3下的坐标。

7、设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T 是属于λ1 = -2的特征向量。试求：（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量；（2）A 的伴随矩阵A *。

8、设矩阵A 与B 相似，且⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x A 10100002，⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=10000002y B ,

（1）求x,y 的值；（2）求正交矩阵Q ，使Q -1AQ =B

9、已知二次型212

322213212322),,(x ax x x x x x x f +++=，其中a >0，经正交替换化为标准形

2

3

222133y y y f ++=，求a 及所用的正交替换。 10、求正交替换将二次型322

322213212334),,(x x x x x x x x f +++=化为标准形，要求写出所用的正交替换

及所得的标准形。