导数的概念及导数的几何意义

导数的概念及导数的几何意义

一．知识梳理

1、导数的概念及意义

求函数()y f x =在0x 处的导数的步骤：

（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=

+∆-； （2）求平均变化率=∆∆x

y ； （3）取极限，得导数y '= .

特别提醒：)(0/x f 的定义式并不唯一，=')(0x f 0lim →∆x x

x f x x f ∆-∆+)()(00，也可以写成0

0000)()(lim ,)()(lim 0x x x f x f x x x f x f x x x --∆∆--→→∆等形式. 特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别与联系

曲线)(:x f y C =在点（x 0，y 0）处的导数的几何意义是)(x f 在该点处的切线的 ，即=k .切线方程为 .

物理意义:设物体运动规律是),(t s s =则 表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度；设)(t v v =是速度函数，则 表示物体在t =t 0时刻的加速度.

2.常用导数公式

3.导数的运算法则 .

例1.用导数的定义求函数2

231y x x =+-在3x =处的导数.

例2.求下列函数的导数： （1）3

1sin 3y x x =+； （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan = ； （4）x e y x

ln = （5）1x

e y x =+ 例3. 已知曲线y=.3

4313+x （1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.巩固练习 1.知,)(2

x x f -=则x

f x f x ∆-∆+→∆)3()3(lim 0的值是________． 2.函数3x y =在1=x 处的导数为_______;

3.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a ________．

4.若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则直线l 的方程为________．

5.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为________．

6.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是22

1+=x y ,)1()1(/f f += . 7. 直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ．

8.已知函数.ln x x y =

（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.

5. 求双曲线1y x =过点1(2,)2

的切线方程。 6.已知函数()bx ax x x f 3323+-=在1=x 处的切线为0112=-+y x ，求函数()x f 的解析式．