第3章 恒定电场 分界面上的边界条件
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E1t E2t
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
tan 1 1
tan 2 2
4
一、电流密度J的边界条件
考虑两个电导率分别为1和2的均匀导电媒质，
在其分界面上取微小闭合圆柱面S,其 轴线与分界面正交，上下两底面紧贴
1
J1
1
n
S
分界面两侧(h0)，底面积元S0。
将公式（3-20）应用于圆柱闭合面上， 2
所以 E1 sin1 E2 sin2
即 E1t E2t
1 E1
n
1
电场强度的切向分量：
2
A D
B C
在分界面两侧连续。
2
E2 9
E1t E2t
电场强度的切向分量： 在分界面两侧连续。 用电位表示：
1 2
10
J E
E
J
E1t E2t
J1t J 2t
1 2
即： J1t 1
J2t 2
17
(2)两种不同导电媒质的分界面上一般有自由电荷分布。
例：在第一媒质(1、1)和第二媒质 (2、2)的分界面上， 自由电荷面密度为：
D1n D2n 1E1n 2E2n
E1n E2n
2 1
E1n
2 1
E2n
1
2 1
2 E2n
(3-34)
也就是说，只有2/1= 2/1时，才会为0。 故分界面上一般是有自由面电荷存在的。
常求数：（和（2电1））导两极率种板分电间别介的为质电d中流1、的密d2电度、场J强；1、度E2、1和E1、2；2。
（3）极板上和介质分界面上的自由面电荷 。
S
1、 1
d1
U
2、 2
d2
20
解：（1）设通过电容器的电流为I，
电容器极板与有损电介质分别相当于 良导体与不良导体
故电介质中的电流应垂直于电极板， 又由电流密度的法向分量连续保证了 两种媒质中的电流密度相同，即
tan 1 1
tan 2 2
8
二、电场强度 E的边界条件
在电源外的恒定电场与静电场有相同的电场强度切向边界条件。
在分界面附近，作一极扁(BC0)的矩形回路ABCD，
由环路定理得 :
E dl E dl E dl E dl E dl
C
AB
BC
CD
DA
E1 sin1AB 0 E2 sin2CD 0 0
1 2
亦即 J1 sin1 J2 sin2
1
2
15
J1 sin1 J2 sin2
1
2
J1 cos1 J2 cos2
sin1 sin2 1 cos1 2 cos2
tan1 tan2
1
2
即 tan1 1 tan2 2
(3-33)
16
讨论：
(1) 2>>1。
tan1 1 tan2 2
18
若两种导电媒质都是金属导体，
则2=
1=
0，
2 1
10 E2n
由于21，即 0。
故恒定电场中不同导电媒质的分界面上
有自由面电荷。这些电荷是在电场、电
流进入稳恒之前的过度过程中积累的。
应用实例：导线的连接
19
例3-2 P101
电压U加于面积为S的平行板电容器上，两块极板之 间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度、介电
J1
J2
I S
J
J E
U
S 1 1
J1
d1
2 2
J2
d2
E1
J
1
,
E2
J
2
21
U
E1d1
E2d2
J1
1
d1
J2
2
d2
J
1
d1
J
2
d2
d1
1
d2
2
E的切线分量在界面上连续 J的切线分量在界面上突变
E1t E2t
D1t r1 D2t r 212
① 在导体的交界面上积聚着面电荷 ② 可以用在适当电导率的导电介质中形成的稳
恒电流场来模拟在相应介电常数的电介质中 形成静电场
13
§3-4 分界面上的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
tan 1 1
tan 2 2
2
§3-4 分界面上的边界条件
★恒定电场的边界条件：
当恒定电场通过不同电导率1和2的两 种导电媒质（12）的分界面时，
电流密度 J和电场强度 E在导电媒质
分界面上各自满足的变化关系。
3
§3-4 分界面上的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
第三章 恒定电场
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
电流密度 欧姆定律和焦耳定律 恒定电场的基本方程 分界面上的边界条件 恒定电场与静电场的比拟 接地电阻
§3-4 分界面上的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
E1t E2t
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
电流密度的切向分量：
在分界面两侧突变。
11
均匀 导电介质
SJ
dS
0
CE
dl
0
J E
均匀 电介质
SD
dS
0
CE dl 0
D E
J1n J2n J的法线分量在界面上连续 D1n D2n
E1n 2 E2n 1
E的法线分量在界面上突变
E1n r 2 E2n r1
E1t E2t
J1t 1 J2t 2
J S
dS
J上1底 nJS10
dS
J2
下底 J 2 nS0
dS 0
即
J1
n
J2
n
J1n J2n
2 J2
表明：在分界面上电流密度的法向分量连续。
5
用电Baidu Nhomakorabea表示：
J1n J2n
因 E
J E
Jn
En
E
n
n
由(3-27)得：
1
1
n
2
2
E1t E2t
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
tan 1 1
tan 2 2
14
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
（电场强度和电流密度在分界面上的偏折）
电流密度 的法向分量连续:
J1n J2n
即 J1 cos1 J2 cos2
E E 电场强度
的切向分量连续: 1t
2t
即 J1t J 2t
J1
1
n
1
S
2
2
即第一种媒质为不良导体，第二种媒质的良导体。 J 2
例如：同轴线的内外导体是很大的铜或铝（~107），
而填充在内外导体之间的材料的很小。
（聚苯乙烯的~10-10 ）
除2=90外，在其它情况下， 2都很小，即电流从 导体进入不良导体时，在不良导体里的电流线近似 地与良导体表面垂直，良导体表面近似为等势面， 这与静电场相似。
n
n
即：
1
1
n
2
2
n
6
J E Jn En
J1n J2n
1E1n 2E2n
E1n 2 E2n 1
表明：电场强度的法向分量在分界面上突变。
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§3-4 恒定电场的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
E1t E2t
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
tan 1 1
tan 2 2
4
一、电流密度J的边界条件
考虑两个电导率分别为1和2的均匀导电媒质，
在其分界面上取微小闭合圆柱面S,其 轴线与分界面正交，上下两底面紧贴
1
J1
1
n
S
分界面两侧(h0)，底面积元S0。
将公式（3-20）应用于圆柱闭合面上， 2
所以 E1 sin1 E2 sin2
即 E1t E2t
1 E1
n
1
电场强度的切向分量：
2
A D
B C
在分界面两侧连续。
2
E2 9
E1t E2t
电场强度的切向分量： 在分界面两侧连续。 用电位表示：
1 2
10
J E
E
J
E1t E2t
J1t J 2t
1 2
即： J1t 1
J2t 2
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(2)两种不同导电媒质的分界面上一般有自由电荷分布。
例：在第一媒质(1、1)和第二媒质 (2、2)的分界面上， 自由电荷面密度为：
D1n D2n 1E1n 2E2n
E1n E2n
2 1
E1n
2 1
E2n
1
2 1
2 E2n
(3-34)
也就是说，只有2/1= 2/1时，才会为0。 故分界面上一般是有自由面电荷存在的。
常求数：（和（2电1））导两极率种板分电间别介的为质电d中流1、的密d2电度、场J强；1、度E2、1和E1、2；2。
（3）极板上和介质分界面上的自由面电荷 。
S
1、 1
d1
U
2、 2
d2
20
解：（1）设通过电容器的电流为I，
电容器极板与有损电介质分别相当于 良导体与不良导体
故电介质中的电流应垂直于电极板， 又由电流密度的法向分量连续保证了 两种媒质中的电流密度相同，即
tan 1 1
tan 2 2
8
二、电场强度 E的边界条件
在电源外的恒定电场与静电场有相同的电场强度切向边界条件。
在分界面附近，作一极扁(BC0)的矩形回路ABCD，
由环路定理得 :
E dl E dl E dl E dl E dl
C
AB
BC
CD
DA
E1 sin1AB 0 E2 sin2CD 0 0
1 2
亦即 J1 sin1 J2 sin2
1
2
15
J1 sin1 J2 sin2
1
2
J1 cos1 J2 cos2
sin1 sin2 1 cos1 2 cos2
tan1 tan2
1
2
即 tan1 1 tan2 2
(3-33)
16
讨论：
(1) 2>>1。
tan1 1 tan2 2
18
若两种导电媒质都是金属导体，
则2=
1=
0，
2 1
10 E2n
由于21，即 0。
故恒定电场中不同导电媒质的分界面上
有自由面电荷。这些电荷是在电场、电
流进入稳恒之前的过度过程中积累的。
应用实例：导线的连接
19
例3-2 P101
电压U加于面积为S的平行板电容器上，两块极板之 间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度、介电
J1
J2
I S
J
J E
U
S 1 1
J1
d1
2 2
J2
d2
E1
J
1
,
E2
J
2
21
U
E1d1
E2d2
J1
1
d1
J2
2
d2
J
1
d1
J
2
d2
d1
1
d2
2
E的切线分量在界面上连续 J的切线分量在界面上突变
E1t E2t
D1t r1 D2t r 212
① 在导体的交界面上积聚着面电荷 ② 可以用在适当电导率的导电介质中形成的稳
恒电流场来模拟在相应介电常数的电介质中 形成静电场
13
§3-4 分界面上的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
tan 1 1
tan 2 2
2
§3-4 分界面上的边界条件
★恒定电场的边界条件：
当恒定电场通过不同电导率1和2的两 种导电媒质（12）的分界面时，
电流密度 J和电场强度 E在导电媒质
分界面上各自满足的变化关系。
3
§3-4 分界面上的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
第三章 恒定电场
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
电流密度 欧姆定律和焦耳定律 恒定电场的基本方程 分界面上的边界条件 恒定电场与静电场的比拟 接地电阻
§3-4 分界面上的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
E1t E2t
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
电流密度的切向分量：
在分界面两侧突变。
11
均匀 导电介质
SJ
dS
0
CE
dl
0
J E
均匀 电介质
SD
dS
0
CE dl 0
D E
J1n J2n J的法线分量在界面上连续 D1n D2n
E1n 2 E2n 1
E的法线分量在界面上突变
E1n r 2 E2n r1
E1t E2t
J1t 1 J2t 2
J S
dS
J上1底 nJS10
dS
J2
下底 J 2 nS0
dS 0
即
J1
n
J2
n
J1n J2n
2 J2
表明：在分界面上电流密度的法向分量连续。
5
用电Baidu Nhomakorabea表示：
J1n J2n
因 E
J E
Jn
En
E
n
n
由(3-27)得：
1
1
n
2
2
E1t E2t
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
tan 1 1
tan 2 2
14
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系
（电场强度和电流密度在分界面上的偏折）
电流密度 的法向分量连续:
J1n J2n
即 J1 cos1 J2 cos2
E E 电场强度
的切向分量连续: 1t
2t
即 J1t J 2t
J1
1
n
1
S
2
2
即第一种媒质为不良导体，第二种媒质的良导体。 J 2
例如：同轴线的内外导体是很大的铜或铝（~107），
而填充在内外导体之间的材料的很小。
（聚苯乙烯的~10-10 ）
除2=90外，在其它情况下， 2都很小，即电流从 导体进入不良导体时，在不良导体里的电流线近似 地与良导体表面垂直，良导体表面近似为等势面， 这与静电场相似。
n
n
即：
1
1
n
2
2
n
6
J E Jn En
J1n J2n
1E1n 2E2n
E1n 2 E2n 1
表明：电场强度的法向分量在分界面上突变。
7
§3-4 恒定电场的边界条件
一、电流密度 J的边界条件
二、电场强度 E的J1边n 界J条2n件
E1t E2t
三、导体媒质分界面上电流线的折射关系