经济数学基础(上)--导数与微分笔记整理
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经济数学基础（上）
数学笔记整理
第二章导数与微分（P49）
目录
一、导数的符号要清楚 (1)
二、导数的几何意义 (1)
三、可导与连续的关系 (1)
四、导数的基本公式与练习题 (1)
五、切线方程问题 (3)
六、复合函数的求导 (4)
七、隐函数的导数 (7)
八、高阶导数 (7)
九、微分 (8)
十、可微、可导和连续、极限的关系 (9)
一、导数的符号要清楚（P51，52都有），最简单的就是
二、导数的几何意义（P55）
函数y=f（x）在点处的导数就是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率，k=，∴切线的方程为y
三、可导与连续的关系（P56，2.1.5）
定理2.1和注意
可导连续（充分条件）
y=f（x）的图像在点处出尖，则f（x）在处不可导。例：y=，图像如下, 此时，当x=0时，图像出尖，不可导。
四、导数的基本公式与练习题（P65~66，2.2.6的1.，2.，
3.，）
就记书上的前8个就行了，其他的不用记
再多记2个：①②
【练习1：求导】
①
解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。
∴
∴【注意ln7为常数，常数的导数为0哦！】
=
②
解决此题有2种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。
方法一：直接求。要用到乘积的导数。（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。）
=2（）+
=10
=30
方法二：先打开，再求导。
=5
=10
∴
【练习2：求导】
①
解：【注意：ln6为常数，导数也为0哦！】
②
解：
③
解：
④
解：
⑤
很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。解：∵
=（）·
=
∴
⑥
这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。。。注意所有公式都必须要会背哦！
=
=
【书上的题P75，3，4】
P75,
3.求导
（2）
这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。
∵
=2
∴
（4）
此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。
如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。方法一：直接求导。
解：+
=+
方法二：
解：∵
=2·
∴
= 【写成这样就行了，不用再化成根号了】
（8）
这题化简也不容易，直接来商的导数吧！
解：
=
P75，4.求导
（3）
解：
=
【怎么样，这些导数还算简单？】
五、切线方程问题
从导数的几何意义可知，表示曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率。所以求切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。
例1：求曲线y=在点（3,9）处的切线方程
解：
∴k=
∴方程为，即
例2：求y=lnx在x=1处的切线方程
写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标，纵坐标很好找的嘛！
解：y（1）=0
∴切点为（1,0）
∴k=
∴方程为
六、复合函数的求导（P58，2.2.2）
学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且，你还别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？
【求导的方法：】
①分解复合函数（第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧）
②分别求导
③将导数相乘
④把中间变量（u、v、s、t……）代回来
下面有2道例题，每道题都分为“初级、中级、高级”，哈哈，请对号入座……你目前处于什么级别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。
例1：求导：
初级：按照上边的方法一步一步来的说
解：<1>分解：
<2>分别求导：
<3>将导数相乘:
<4>把中间变量（u、v）代回来：【如果不
知道余切公式，可以不用化成余切】
中级：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导
解：
=
=
=
高级：你懂的
=
例2：
你应该知道，
初级：一切从分解复合函数开始……
解：<1>分解：
<2>分别求导：
<3>将导数相乘:
<4>把中间变量（u、v）代回来：
=sin2【如果不会二倍角公式，这步可以不写】
= sin
中级：
解：
=
=
=sin2
= sin
高级：
解：
=sin2
= sin
复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。
【书上的题，P76，7（3）（21）（6）（12）（20）（22）。前2道是课堂练习，后4道为作业题】
P76，7.求导
（3）
解：
=2·
=