经济数学基础(上)--导数与微分笔记整理

经济数学基础（上）

数学笔记整理

第二章导数与微分（P49）

目录

一、导数的符号要清楚 (1)

二、导数的几何意义 (1)

三、可导与连续的关系 (1)

四、导数的基本公式与练习题 (1)

五、切线方程问题 (3)

六、复合函数的求导 (4)

七、隐函数的导数 (7)

八、高阶导数 (7)

九、微分 (8)

十、可微、可导和连续、极限的关系 (9)

一、导数的符号要清楚（P51，52都有），最简单的就是

二、导数的几何意义（P55）

函数y=f（x）在点处的导数就是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率，k=，∴切线的方程为y

三、可导与连续的关系（P56，2.1.5）

定理2.1和注意

可导连续（充分条件）

y=f（x）的图像在点处出尖，则f（x）在处不可导。例：y=，图像如下, 此时，当x=0时，图像出尖，不可导。

四、导数的基本公式与练习题（P65~66，2.2.6的1.，2.，

3.，）

就记书上的前8个就行了，其他的不用记

再多记2个：①②

【练习1：求导】

①

解：有分式，商的导数不好算，可以先化简。

∴

∴【注意ln7为常数，常数的导数为0哦！】

=

②

解决此题有2种方法，方法一是直接求。方法二是先打开，再求。你觉得怎么简单就怎么来。一般情况是先打开再做比较容易，有时是怎么做都一样的。

方法一：直接求。要用到乘积的导数。（先打开再做就用不着乘积的导数，看过程就知道哪个方法简单了。）

=2（）+

=10

=30

方法二：先打开，再求导。

=5

=10

∴

【练习2：求导】

①

解：【注意：ln6为常数，导数也为0哦！】

②

解：

③

解：

④

解：

⑤

很容易能看出来，此题必须要化简了。你要是想用商的导数来求的话，是够麻烦的了。解：∵

=（）·

=

∴

⑥

这题就不能化简了，怎么着都是麻烦。商的导数会背吗？要用了。。。注意所有公式都必须要会背哦！

=

=

【书上的题P75，3，4】

P75,

3.求导

（2）

这题就是怎么做都行，你想用乘积的方法做就直接挑战吧。但是为了简单，我们的习惯就是先打开，再求导。

∵

=2

∴

（4）

此题也可以直接，前提是你必须会背两个公式。

如果这两个公式知道的话，就直接求导。若不知道，就要化成指数的形式。方法一：直接求导。

解：+

=+

方法二：

解：∵

=2·

∴

= 【写成这样就行了，不用再化成根号了】

（8）

这题化简也不容易，直接来商的导数吧！

解：

=

P75，4.求导

（3）

解：

=

【怎么样，这些导数还算简单？】

五、切线方程问题

从导数的几何意义可知，表示曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率。所以求切线方程就得先求斜率，再运用点斜式，方程就求出来了。

例1：求曲线y=在点（3,9）处的切线方程

解：

∴k=

∴方程为，即

例2：求y=lnx在x=1处的切线方程

写方程得知道斜率和一个点。而这题没给点，则需要先把该点找出来。题目中给了该点的横坐标，纵坐标很好找的嘛！

解：y（1）=0

∴切点为（1,0）

∴k=

∴方程为

六、复合函数的求导（P58，2.2.2）

学会了上边的基本的求导，接下来就要学习更难一点的复合函数的求导了。而且，你还别着急，导数这章可是咱们期中考试的重点呐，怎么着也得会点吧？

【求导的方法：】

①分解复合函数（第一章已经讲过了，不会的去看第一章吧）

②分别求导

③将导数相乘

④把中间变量（u、v、s、t……）代回来

下面有2道例题，每道题都分为“初级、中级、高级”，哈哈，请对号入座……你目前处于什么级别自己心里清楚，能把题做对就可以了嘛。

例1：求导：

初级：按照上边的方法一步一步来的说

解：<1>分解：

<2>分别求导：

<3>将导数相乘:

<4>把中间变量（u、v）代回来：【如果不

知道余切公式，可以不用化成余切】

中级：省掉了分解函数的步骤，一步一步的求导

解：

=

=

=

高级：你懂的

=

例2：

你应该知道，

初级：一切从分解复合函数开始……

解：<1>分解：

<2>分别求导：

<3>将导数相乘:

<4>把中间变量（u、v）代回来：

=sin2【如果不会二倍角公式，这步可以不写】

= sin

中级：

解：

=

=

=sin2

= sin

高级：

解：

=sin2

= sin

复合函数的导数学会了没？现在自己来做几道吧！下边的解题步骤有点高手级别了，不过基本上都是用公式做的，你应该能看懂吧。看不懂的话只能说你公式不会背哦，先把公式背会吧。考试时可是闭卷哦。

【书上的题，P76，7（3）（21）（6）（12）（20）（22）。前2道是课堂练习，后4道为作业题】

P76，7.求导

（3）

解：

=2·

=