易学通-重难点一本过高二数学(人教版选修2-1)：参考答案与解析 Word版含解析

第一章 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．A 【解析】
考点：1、元素与集合关系的判断；2、集合的确定性、互异性、无序性.
【思路点睛】根据题中条件：“当x S ∈时，有2
x S ∈”对三个命题一一进行验证即可，对于
①1m =，得2,1,n n n ⎧≤⎨≥⎩，②12m =-，得2
,1,
4n n n ⎧≤⎪
⎨≤⎪⎩，对于③若12n =，则221
,2,1,
2m m m m ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩
最后解出不
等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个.本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决. 2．D 【解析】
试题分析：根据子集的定义知A 正确；由对数的定义及性质知B ，C 正确，对于D ，当零点左右符号相同时不能用二分法，故D 错，故选D.
考点：1、子集的定义及对数的定义与性质；2、二分法的基本含义. 3．A
【解析】
试题分析：①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有1))((=x f f ；②根据函数奇偶性的定义，可得)(x f 是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的
性质；④取331-
=x ，02=x ，333=x ，可得)0,33(
A ，)1,0(
B ，)0,3
3
(-C ，三点恰好构成等边三角形． 考点：分段函数的应用． 4．C 【解析】
试题分析：否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：若2015x ≤，则0x ≤ 考点：四种命题 5．B 【解析】
考点：四种命题． 6．A 【解析】 试题分析：由112x <，得2x >或0x <，所以“2x >”是“11
2
x <”的充分不必要条件，故选A.
考点：充分条件与必要条件. 7．A 【解析】
试题分析：两直线垂直，所以1,24
a
a a -⋅=-=±，所以是充分不必要条件. 考点：充要条件. 8．B 【解析】
试题分析：由题意得，由函数12-+=m y x
有零点可得，1<m ，而由函数x y m log =在),0(+∞上为减函数可得10<<m ，因此是必要不充分条件，故选B ．
9．A 【解析】
考点：解三角形．
【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力．解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了．解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案． 10．A 【解析】
试题分析：由125a a a ，，成等比数列，得2
111()(4)a d a a d +=+，即2
(2)2(24)d d +=+，
解得0d =或4d =，所以“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的充分不必要条件． 考点：1、充分条件与必要条件；2、等差数列的通项公式；3、等比数列的性质．
第二章 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．D 【解析】
试题分析：11lg x x x =-≥时，所以命题
:,1lg p x R x x ∃∈-≥为真
；
1(0,),sin 0,sin 2sin x x x x π∀∈>+
≥=，当且仅当sin 1x =时取等号，所以命
题
1
:(0,),sin 2sin q x x x π∀∈+
>为假；因此p q ∨是真命题，p q ∧是假命题 ，()p q ∨⌝是
真命题 ，()p q ∧⌝是真命题，选D, 考点：命题真假 2．A 【解析】
试题分析：因为特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，然后否定结论，所以特称命题p ：
考点：1、存在量词与全称量词；2、特称命题的否定形式. 3．B 【解析】
考点：1.命题的否定；2.四种命题的真假关系. 4．A 【解析】
试题分析：当“1a >”时，
1a =-，则“1>a ”不成立，所以R a ∈，
”是“1>a ”的必要不充分条件，即A 正确；
“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件，故B 错；命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，
2230x x ++≥”，故C 错；命题p ：“R x ∈∀，”是真命题，所以p ⌝是
假命题，故D 错，所以选A.
考点：1.逻辑词与命题；2.充分条件与必要条件；3.特称命题与全称命题. 5．C
【解析】当命题p 为真时，∵函数()f x 图象的对称轴为直线x m =，∴2m ≤；
当命题q 为真时，当0m =时，原不等式为410x -+>，该不等式的解集不为R ，则这种情况不存在；
当0m ≠时，则有()2
0,4240,
m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩解得14m <<. 又∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴p 与q 一真一假，若p 真q 假，则2,
14,
m m m ≤⎧⎨
≤≥⎩或
解得1m ≤；若p 假q 真，则2,
14,
m m >⎧⎨
<<⎩解得24m <<.
综上所述，m 的取值范围是1m ≤或24m <<.
考点：复合命题的真假，二次函数的图象和性质，一元二次不等式的解法. 6．[1,2]- 【解析】
试题分析：2
20x x -->，因此为．
考点：命题的否定． 7．①③
考点：特称命题、全称命题真假判定. 8．15,1,22⎡⎫⎛⎫
+∞⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
.
【解析】
试题分析：:01p a <<，()2
15
:23400,22
q a a a ∆=-->⇒<<
>.,p q p q ∨∧真假，所以,p q 一真一假，分别求出“p 真q 假”和“p 假q 真”对应a 的值，再取并集就得到a 的取
值范围. 试题解析：
当01a <<时，函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减； 当1a >时，log (1)a y x =+在(0,)+∞不是单调递减．
曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同两点等价于
2
(23)40a -->， 即12a <
或52
a >． ①若P 正确，且q 不正确，即函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减，
曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴不交于两点，此时1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
． ②若P 不正确，且q 正确，即函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内不是单调递减，
曲线
2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同两点，此时5(,)2
a ∈+∞． 综上所述，a 的取值范围是15,1,22⎡⎫⎛⎫
+∞⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
．
考点：含有逻辑联结词命题真假性. 9．（1）45x <<；（2）5
23
m ≤≤． 【解析】
试题解析：解：（1）由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x << 又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<． 当4m =时，:412q x <<，又p q ∧为真，,p q 都为真，所以45x <<．
（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝⇒⌝，其逆否命题为
,p q q p ⇒⇒，
由（1）:25p x <<，:3q m x m <<，所以2
350
m m m ≤⎧⎪
≥⎨⎪>⎩
，即523m ≤≤．
考点：1．一元二次不等式；2．命题及其关系；3．充分必要条件．
【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为q p ,命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．
10．（1）见解析 （2）2m <
【解析】（1）p ⌝：2,10x mx ∃∈+≤R ；q ⌝：2,10.x x mx ∀∈++>R
（2）由题意知，p ⌝真或q ⌝真，当p ⌝真时，0m <，当q ⌝真时，2
40m ∆=-<，解得
22m -<<，因此，当p q ⌝∨⌝为真命题时，0m <或22m -<<，即2m <.
考点：全称命题、特称命题的否定及复合命题的判定.
第三章 圆锥曲线的概念及性质
1．A 【解析】
试题分析：椭圆2
2
1x my +=的焦点在y
1
24
m =∴= 考点：椭圆的简单性质 2．D. 【解析】
试题分析：由椭圆的性质可求出m 的值，故选D.
3．D
【解析】
考点：双曲线的离心率
【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
4．A.
【解析】
试题分析：由题意可知，双曲线
1
4
2
2=
-
y
x
的渐近线方程和离心率分别是
5
;
2=
±
=e
x
y，
故选A.
考点：双曲线的性质.
5．A
【解析】
考点：双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、双曲线的渐近线方程，以及直线的斜率与直线的倾斜角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析
出渐近线的斜率的取值范围是解答的关键，属于中档试题. 6．B 【解析】
试题分析：设Q 到l 的距离为d ，则|QF|=d ， ∵4FP FQ ， ∴|PQ|=3d ，
∴直线PF 的斜率为， ∵F （2，0），
∴直线PF 的方程为x-2）， 与y 2
=8x 联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3 考点：抛物线的简单性质 7．B. 【解析】
试题分析：由题意，可设过点(0,1)P 直线的斜率，需要分类讨论直线的斜率是否存在进行讨论，故选B.
考点：1直线与抛物线的交点问题；2.分类讨论. 8．A 【解析】
考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键. 9．A
试题分析：设),(m t P 由抛物线的定义可得52=+t ,故62,3±==m t ,又)0,2(),0,2(/
-F F ,故72425/
=+=
PF ,又||5PF =,则257/=-=-PF PF ,即122=⇒=a a ,因为
2=c ,所以该双曲线的离心率2=e ,故应选A ．
考点：双曲线抛物线的几何性质及运用．
【易错点晴】本题考查的是双曲线与抛物线的几何性质等有关知识和数学思想的综合问题,解答时先依据抛物线的定义求得交点P 的纵横坐标分别为62,3±==m t ,进而求得
72425/=+=PF ,再借助||5PF =,运用双曲线的定义可得257/=-=-PF PF ,求得
122=⇒=a a ,从而求得该双曲线的离心率2=e ,进而获得答案．
10．
1
2
【解析】
试题分析：设1F 到AB 的垂足为D ，因为0
190,F DA BOA A ∠=∠=∠为公共角，所以
1
ADF AOB ∆∆，所以
11AF DF AB OB =
7b
==
，因为222
b a
c =-，所以222
()127a c a c -=-，化简得到22
51480a ac c -+=，解得2a c =或45a c =（舍去），所以12
c e a ==
.
考点：椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、三角形相似与相似比的应用，以及椭圆中2
2
2
b a
c =-等知识点的综合考查，本题的解答中利用左焦点1F 到AB 的距离建立等式是解得的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
第四章 直线与圆锥曲线的位置关系
1．A
考点：点差法． 2．082=-+y x . 【解析】
试题分析：由题意得，设直线的方程，与椭圆联立方程，用韦达定理即可求解. 考点：椭圆中平分弦的问题. 3
．3 【解析】
考点：1、直线与圆；2、直线与抛物线．
【方法点晴】本题考查直线与圆和直线与抛物线，涉及数形结合思想、方程思想和转化思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于较难题型．利用数
形
结
合
思
想
可
得
11
||||||||||,|||'|22
TF b PT PF TF MF b PO PF ==⇒=-=-=||||PO PT b ⇒-=-
1
||||(|||'|)2
PO PT b MF MF b a ⇒-=--=-
=3．
4．（1）2
21
2x y +=（2
）S ≥【解析】
试题分析：（1
）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，根据题意可列两个独立条件
c e =
=2213
1+=PQ MN ⊥
1
||||2S MN PQ =
，先根据抛物线定义可求焦点弦长||MN ，再根据直线与椭圆联立方程组，
结合韦达定理求弦长||PQ ，最后根据一元函数解析式求值域
试题解析：（1）
由题意得：2c e a ==，222a b c -=，
得,b c a ==，则方程22
2212x y c c +=
因为椭圆过点
2A ，解得1c =
，所以a =
所以椭圆C 方程为：2
21
2x y +=.
（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得||4MN =
，
||PQ =
S =当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠，与
2
4y x =联立得 2222(24)0k x k x k -++= 令1122(,),(,)
M x y N x y ，则
1224
2x x k +=
+，121x x =，
24||4MN k ==+
因为PQ MN ⊥，所以直线PQ 的方程为：1
(1)
y x k =--
将直线与椭圆联立得：
222
(2)4220k x x k +-+-=， 令3344(,),(,)P x y Q x y ，3424
2x x k +=+，2122222k x x k -=+
由弦长公式22)
||2k PQ k +==+
所以四边形PMQN
的面积22
22
1)||||2(2)k S MN PQ k k +==+，令21(1)t k t =+>
上式22221
)(1)(1)11S t t t t ===+>-+--
所以综上，S ≥考点：直线与椭圆位置关系
【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法
涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。

涉及中点弦问题往往利用点差法. 5．（1）(0,4)m ∈；（2
）(1)k ∈-． 【解析】
试题分析：（1）化简得22122224
x y m m m m +=++-⇒220m m +>，22
04m m +<-⇒(0,4)m ∈；
（2）2m =⇒双曲线方程为2
2
3x y -=，由联立方程:223
2
x y y kx ⎧-=⎨=+⎩⇒22(1)470k x kx ---=⇒
122122
2
222
40170
(,1)1310164(1)(7)288120
k x x k x x k k k k k k ⎧
+=>⎪-⎪
-⎪=>⇒∈--⎨-⎪-≠⎪⎪∆=-⨯-⨯-=->⎩．
（2）2m =时，双曲线方程为2
2
3x y -=，
∴联立方程:2232
x y y kx ⎧-=⎨=+⎩,得：22
(1)470k x kx ---=．
∵交于右支两点，故得到以下不等式：
1221222
222
40170
(,1)1310164(1)(7)288120
k x x k x x k k k k k k ⎧
+=>⎪-⎪
-⎪=>⇒∈--⎨-⎪-≠⎪⎪∆=-⨯-⨯-=->⎩ 考点：1、双曲线的方程；2、直线与双曲线．
6．（Ⅰ）点P 的轨迹是以A 、B 为两焦点，长半轴为3的椭圆，方程为2219
x y +=；
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题意设动圆P 的半径为r ，则PA r =，又动圆P 内切于定
圆
22:(36B x y -+=，所以有6PB r =-，所以6PB r +=，即6PB PA +=
，又
6AB =<，所以P 点轨迹是以,A B 为焦点，长轴长为6的椭圆，26a =
，2c =，
所以222
1b a c =-=，所以轨迹方程为2
219x y +=；（Ⅱ）联立22
19x y y x m
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，消去未知数y 得：221018990x mx m ++-=，()()
2
218410990m m ∆=-⋅⋅->，解得210m <，所
以
0m <，设直线与椭圆交于()()1122,,,A x y B x y 两点，1295
m
x x +=-
，2129910
m x x -=
，则弦
长
12AB x =-==，所以有
(
)f m =0m =时，()f m
．
（Ⅱ）联立方程组2299
x y y x m
+=⎧⎨=+⎩，消去y ，整理得221018990x mx m ++-=5分
设交点坐标为()()1122,,,x y x y ，
则()2
218409(1)0m m ∆=-⨯->，解得210m <
，解得m 分
且()122
12959110m x x m x x ⎧
+=-⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩
7分 故()
f m =
==10
分
当0m =12分 考点：1．轨迹方程；2．直线与椭圆的位置关系；3．弦长公式．
7．（Ⅰ）2
214x y +=
；
（Ⅱ）2y x =±+. 【解析】
试题解析：（Ⅰ）设()P x y ，为所求曲线上任意一点，并且P ⊙与M ⊙相切于点B ， 则4PM PN PM PB +=+=．
所以点P 的轨迹方程为2214
x y +=；
（Ⅱ）经检验，当直线l x ⊥轴时，题目条件不成立，所以直线l 存在斜率，设直线:2l y kx =+．设()11C x y ，，()22D x y ，，则
()22
221
14161204
2x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
， ()()2
216414120k k ∆=-+⋅>，得234
k >
． 1221614k x x k +=-
+……①，122
12
14x x k =+……②， 又由35AC AD =，得123
5x x =，
将它代入①，②得21k =，1k =±（满足23
4
k >
）， 所以直线l 的斜率为1k =±，所以直线l 的方程为2y x =±+．
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 8．（1
（2）四边形OACB 的面积最小值为4. 【解析】
试题解析：（1）依题意可设直线:1AB x my =+，
将直线AB 与抛物线联立214x my y x
=+⎧⎨=⎩⇒2440y my --=
设11(,)A x y ，22(,)B x y 由韦达定理得121244
y y m
y y +=⎧⎨
=-⎩
∵1233AF FB y y =⇒=-，
21
3
m ⇒=
（2
）121212242
OACB AOB S S OF y y y y ∆==∙-=-==≥
当0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4. 考点：直线与抛物线的位置关系
9．（1）22
143
x y +=；（2）证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）设(,),(,0),(0,A B P x y A x B y ，则(,),(,)A A AP x x y AP x x y =-=-，根据
3
AP PB =
，得,A B x x x y y y =+=，由2|AB |=+即可求解点P 的轨迹E 的方程；（2）设:(
2)
K M y k x =+与2
2
34120x y +-=联立，得2
2
2
2
(34)1616120k x k x k +++-=，
然后由根与系数的关系能够导出直线MN 的方程，令0y =得直线MN 必过x 轴上的定点．
试题解析：（1）可求22
:143
x y E +=
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；直线过定点问题．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量数量积的运算、直线过定点问题，其中解答中涉及到轨迹方程的求解、把直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的的关系，转化为韦达定理的应用是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，同时注意题目隐含条件的挖掘．
10．（1）22
142x y +=（2）详见解析
【解析】
从而可得1|2M N N M S x y x y =-，最后根据2222+21+21M M N N x y x y ==，进行等量代换得+20
M N N M x x y y =，即
1
2OM ON k k =-
试题解析：解：
（1
）由题意得2
222222112a b c e a a b c ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭+=⎪⎪⎪==⎨
⎪=+⎪⎪⎪⎪
⎩，解得224
2a b ⎧=⎨=⎩
，
故椭圆C 的方程为22
1
42x y +=．
（2）
如图所示，设直线,OM ON 的方程为
,OM ON y k x y k x
==，
联立方程组22
142ON y k x
x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩
，解得
M ⎛⎫，
同理可得N ⎛⎫ ⎝，
作MM x '⊥轴，NN x '⊥轴，点,N M ''是垂足， OMN OMM ONN MM N N S S S S ''
∆∆∆''=--梯形
()()1
2M N M N M M N N y y x x x y x y =
+--+⎡⎤⎣⎦
(
)
21122M N N M k k x y x y ⎛
⎫-=-==
，
已知2OMN S ∆=
，化简可得1
2OM ON k k =-
，
设
()
,P P P x y ，则
22
42P P
x y -=，又已知
AP OM
k k =，
所以要证
BP ON
k k =，只要证明
1
2AP BP k k =-
，
而
2
212242P P P AP BP
P P P y y y k k x x x ===-+--，
所以可得//ON BP ． 考点：直线与椭圆位置关系
【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值
问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
第五章 空间向量及其应用
1．A
【解析】()()()123123123x y z x y z =++=++++-+-+d a b c e e e e e e e e e
()()()12312323x y z x y z x y z =++++-+-+=++e e e e e e ，
由空间向量基本定理，得1,
2,3,
x y z x y z x y z ++=⎧⎪
+-=⎨⎪-+=⎩
∴52x =，1y =-，12z =-.
考点：空间向量基本定理. 2．D 【解析】
考点：共线向量的判定. 3．详见解析
【解析】∵PA AD AB ==，且PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，∴以,,DA DB DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示.设1DA =e ，2AB =e ，3AP =e ．
∵()
11
22
MN MA AP PN MA AP PC MA AP PA AD DC =++=++
=++++ ()23312131111
2222
=-++--+=-+e e e e e e e ，
∴11,0,22MN ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
，()20,1,0DC AB ===e ．
考点：空间向量的坐标表示.
4．（1）证明略（2）.3
. 【解析】
试题解析：（Ⅰ）证明：由已知得，
1
AB BB AD AB
==∴Rt △BAD ∽Rt △ABB 1 ∴∠BDA=∠B 1AB, ∴∠ABD+∠B 1AB=∠ABD+∠BDA=90º
∴在△AOB 中，∠AOB=180º -（∠ABO+∠OAB ） =90º,即BD ⊥AB 1 另BC ⊥AB 1，BD ∩BC=B ，∴AB 1⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD, ∴CD ⊥AB 1
（Ⅱ） 在Rt △ABD 中，AB=1，∴
在Rt △AOB 中, 得BO=3
222
BO CO BC ∴+= 即BO CO ⊥CO AOB ∴⊥平面 ----8分
建立如图坐标系，设BC 与平面ACD 所成的角为θ
(0,A B C D 设平面ADC 的法向量为n.解得n=()1,1,1.
2,sin n BC BC n BC θ⎛⋅=∴=
= ⎝⎭
即BC 与平面ACD 所成角的正弦值为.3 考点：线线垂直的证明，利用空间向量求线面角. 5．（1）证明见解析；（2）6
π
． 【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解．
（2）∵PQ AD ⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD 底面ABCD AD =，
∴PQ ⊥底面ABCD ，
以Q 为原点，QA 为x 轴，QB 为y 轴，QP 为轴z ，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)Q
，B
，(C -
，P ， 设(,,)M a b c ，则3
4
PM PC =
，
即33(,,((,)4444
a b c =
-=--， ∴3
4
a =-
，4b =
，4c =
，∴3(,
444M -，
3(4QM =-
，QF =，
设平面MQB 的法向量(,,)r x y z =
，则30444
30n QM x y z n QB y ⎧=-+
+=⎪⎨⎪==⎩
， 取1x =，得(1,0,3)r =，平面BQC 的法向量(0,0,1)n =． 设二面角M BQ C --的平面角为θ，则||3
cos ||||2
m n m n θ==
， ∴6
π
θ=
，
∴二面角M BQ C --的大小为
6
π
．………………12分
考点：空间线面的位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用． 6．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 60． 【解析】
试题分析：（1）由//DE BC ，可证；（2）由PD AB ⊥，DE AB ⊥，得AB ⊥平面PDE ，
∴AB PE ⊥；（3）以D 为原点建立空间直角坐标系，求平面PBE 的法向量(13,n =，又平面PAB 的法向量为()20,1,0n =，设二面角的A PB E --大小为
θ，则
2
1
,c o s c o s 21>=
<=n n θ，所以060θ=． 试题解析：（1）∵D 、E 分别为AB 、AC 中点， ∴//DE BC ．
∵DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴//DE 平面PBC ．
（3）∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面,,ABC AB PD AB PD =⊥⊥平面ABC ．
如图，以D 为原点建立空间直角坐标系
∴(
)(31,0,0,,0,
,02B P E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴(
)
31,0,3,0,
,2PB PE ⎛=-= ⎝．
设平面PBE 的法向量()
1,,n x y z =，
∴0
3
02
x y ⎧=
⎪⎨-=⎪⎩，令z = 得(13,n =． ∵DE ⊥平面PAB ，
∴平面PAB 的法向量为()20,1,0n =． 设二面角的A PB E --大小为θ， 由图知，121212
1
cos cos ,2
n n n n n n θ===
，所以
060θ=，即二面角的A PB
E --大小为60°．．．12分
考点：空间位置关系证明、空间向量的应用． 7．（Ⅰ）证明见解析；. 【解析】
试题解析：（Ⅰ）由题设：1AO =，1OA OB OD ===，2CD =， 由图1折起成图2后，AC ． 且CD OD ⊥，AO OD ⊥，①
在AOC △中，2226OA OC AC +==, ∴AO OC ⊥，② 又OC
OD O =，③
由①②③得，直线AO ⊥平面OBCD ．
（Ⅱ）以O 为坐标原点，分别为OD OB OA ，，为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()001A ，，，()010B ，，，()120C ，，， ()011AB =-，，，()121AC =-，，
设平面ABC 的一个法向量为()1n x y z =，，， 由1100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：020y z x y z -=⎧⎨+-=⎩，
取1y z ==，则1x =-，即()1111n =-，
，， 又OB ⊥平面AOD ，
所以，平面AOD 的一个法向量为()2010n OB ==，
，， 设平面AOD 与平面ABC 所成的角（锐角）为θ，
则1212
cos 3n n n n
θ⋅=
=
=
， 所以，平面AOD 与平面ABC
． 考点：空间位置（垂直）关系证明、空间向量． 8．（1) 详见解析（2) 详见解析（3) 60°. 【解析】
试题解析：
（1)证明如图所示，
连接AC，AC交BD于O，连接EO.
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点.
在△PAC中，EO是中位线，
∴PA∥EO.
而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
（3)解由（2)知，PB⊥DF.
故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角. 由（2)知DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，
则PD＝DC＝a，BD a，
PB，PC a，DE＝a，
在Rt △PDB 中，DF ＝ a.
在Rt △EFD 中，sin ∠EFD ＝，
∴∠EFD ＝60°.
∴二面角C －PB －D 的大小为60°.
考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理，二面角 【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. （1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 9．（1）32；（2）10
5
． 【解析】
试题解析：（1）在ABC ∆中，∵2AB =，4=AC ，090ABC ∠=， ∴32BC =，322
1
=⨯⨯=
∆BC AB S ABC ， ∴三棱柱111ABC A B C -的表面积3122444322342+=⨯+++=+=∆）（侧S S S ABC ． （2）连结1BC ，∵11AC C A ∥，
∴11C BA ∠是异面直线1A B 与AC 所成的角（或其补角）， 在△A 1BC 1中，521=B A ，72BC 1=，4C A 11=，
由余弦定理，得=∠11cos C BA =
⨯⨯-+4
522)72(4522
22
）（105． ∴异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为
10
5
．
考点：1、三棱柱的表面积；2、异面直线所成角． 10．（1）BM ⊥平面ADM;（2）
【解析】
试题分析：（1）根据平面几何知识得AM ⊥BM ，据面面垂直的性质得出BM ⊥平面ADM （2）以M 为原点，MA ，MB 为x,y 轴，以平面AMCD 的垂线为z 轴建立空间立体直角坐标系，设AD=1，求出和平面DM 的法向量，则><n AE ,cos 即为所求
（2）如图，以M 点为坐标原点，MA 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，则M （0，0，0），
，
，
，
∵E 为BD 中点，∴，
，
由（1）知，
为平面ADM 的一个法向量，
，
，
∴直线AE与平面ADM所成角的正弦值为
考点：1.直线与平面垂直的性质；2.直线与平面所成的角；。