易学通-重难点一本过高二数学(人教版选修2-1)：参考答案与解析 Word版含解析

第一章 命题及其关系、充分条件与必要条件1．A 【解析】考点：1、元素与集合关系的判断；2、集合的确定性、互异性、无序性.【思路点睛】根据题中条件：“当x S ∈时，有2x S ∈”对三个命题一一进行验证即可，对于①1m =，得2,1,n n n ⎧≤⎨≥⎩，②12m =-，得2,1,4n n n ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，对于③若12n =，则221,2,1,2m m m m ⎧≥⎪⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个.本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决. 2．D 【解析】试题分析：根据子集的定义知A 正确；由对数的定义及性质知B ，C 正确，对于D ，当零点左右符号相同时不能用二分法，故D 错，故选D.考点：1、子集的定义及对数的定义与性质；2、二分法的基本含义. 3．A【解析】试题分析：①根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有1))((=x f f ；②根据函数奇偶性的定义，可得)(x f 是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取331-=x ，02=x ，333=x ，可得)0,33(A ，)1,0(B ，)0,33(-C ，三点恰好构成等边三角形． 考点：分段函数的应用． 4．C 【解析】试题分析：否命题需将条件和结论分别否定，所以否命题为：若2015x ≤，则0x ≤ 考点：四种命题 5．B 【解析】考点：四种命题． 6．A 【解析】 试题分析：由112x <，得2x >或0x <，所以“2x >”是“112x <”的充分不必要条件，故选A.考点：充分条件与必要条件. 7．A 【解析】试题分析：两直线垂直，所以1,24aa a -⋅=-=±，所以是充分不必要条件. 考点：充要条件. 8．B 【解析】试题分析：由题意得，由函数12-+=m y x有零点可得，1<m ，而由函数x y m log =在),0(+∞上为减函数可得10<<m ，因此是必要不充分条件，故选B ．9．A 【解析】考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力．解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了．解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案． 10．A 【解析】试题分析：由125a a a ，，成等比数列，得2111()(4)a d a a d +=+，即2(2)2(24)d d +=+，解得0d =或4d =，所以“4d =”是“125a a a ，，成等比数列”的充分不必要条件． 考点：1、充分条件与必要条件；2、等差数列的通项公式；3、等比数列的性质．第二章 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．D 【解析】试题分析：11lg x x x =-≥时，所以命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥为真；1(0,),sin 0,sin 2sin x x x x π∀∈>+≥=，当且仅当sin 1x =时取等号，所以命题1:(0,),sin 2sin q x x x π∀∈+>为假；因此p q ∨是真命题，p q ∧是假命题 ，()p q ∨⌝是真命题 ，()p q ∧⌝是真命题，选D, 考点：命题真假 2．A 【解析】试题分析：因为特称命题的否定是将存在量词改成全称量词，然后否定结论，所以特称命题p ：考点：1、存在量词与全称量词；2、特称命题的否定形式. 3．B 【解析】考点：1.命题的否定；2.四种命题的真假关系. 4．A 【解析】试题分析：当“1a >”时，1a =-，则“1>a ”不成立，所以R a ∈，”是“1>a ”的必要不充分条件，即A 正确；“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件，故B 错；命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，2230x x ++≥”，故C 错；命题p ：“R x ∈∀，”是真命题，所以p ⌝是假命题，故D 错，所以选A.考点：1.逻辑词与命题；2.充分条件与必要条件；3.特称命题与全称命题. 5．C【解析】当命题p 为真时，∵函数()f x 图象的对称轴为直线x m =，∴2m ≤；当命题q 为真时，当0m =时，原不等式为410x -+>，该不等式的解集不为R ，则这种情况不存在；当0m ≠时，则有()20,4240,m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩解得14m <<. 又∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴p 与q 一真一假，若p 真q 假，则2,14,m m m ≤⎧⎨≤≥⎩或解得1m ≤；若p 假q 真，则2,14,m m >⎧⎨<<⎩解得24m <<.综上所述，m 的取值范围是1m ≤或24m <<.考点：复合命题的真假，二次函数的图象和性质，一元二次不等式的解法. 6．[1,2]- 【解析】试题分析：220x x -->，因此为．考点：命题的否定． 7．①③考点：特称命题、全称命题真假判定. 8．15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【解析】试题分析：:01p a <<，()215:23400,22q a a a ∆=-->⇒<<>.,p q p q ∨∧真假，所以,p q 一真一假，分别求出“p 真q 假”和“p 假q 真”对应a 的值，再取并集就得到a 的取值范围. 试题解析：当01a <<时，函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减； 当1a >时，log (1)a y x =+在(0,)+∞不是单调递减．曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同两点等价于2(23)40a -->， 即12a <或52a >． ①若P 正确，且q 不正确，即函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减，曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴不交于两点，此时1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． ②若P 不正确，且q 正确，即函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内不是单调递减，曲线2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同两点，此时5(,)2a ∈+∞． 综上所述，a 的取值范围是15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭．考点：含有逻辑联结词命题真假性. 9．（1）45x <<；（2）523m ≤≤． 【解析】试题解析：解：（1）由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x << 又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<． 当4m =时，:412q x <<，又p q ∧为真，,p q 都为真，所以45x <<．（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝⇒⌝，其逆否命题为,p q q p ⇒⇒，由（1）:25p x <<，:3q m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，即523m ≤≤．考点：1．一元二次不等式；2．命题及其关系；3．充分必要条件．【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为q p ,命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．10．（1）见解析 （2）2m <【解析】（1）p ⌝：2,10x mx ∃∈+≤R ；q ⌝：2,10.x x mx ∀∈++>R（2）由题意知，p ⌝真或q ⌝真，当p ⌝真时，0m <，当q ⌝真时，240m ∆=-<，解得22m -<<，因此，当p q ⌝∨⌝为真命题时，0m <或22m -<<，即2m <.考点：全称命题、特称命题的否定及复合命题的判定.第三章 圆锥曲线的概念及性质1．A 【解析】试题分析：椭圆221x my +=的焦点在y124m =∴= 考点：椭圆的简单性质 2．D. 【解析】试题分析：由椭圆的性质可求出m 的值，故选D.3．D【解析】考点：双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.4．A.【解析】试题分析：由题意可知，双曲线1422=-yx的渐近线方程和离心率分别是5;2=±=exy，故选A.考点：双曲线的性质.5．A【解析】考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、双曲线的渐近线方程，以及直线的斜率与直线的倾斜角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析出渐近线的斜率的取值范围是解答的关键，属于中档试题. 6．B 【解析】试题分析：设Q 到l 的距离为d ，则|QF|=d ， ∵4FP FQ ， ∴|PQ|=3d ，∴直线PF 的斜率为， ∵F （2，0），∴直线PF 的方程为x-2）， 与y 2=8x 联立可得x=1， ∴|QF|=d=1+2=3 考点：抛物线的简单性质 7．B. 【解析】试题分析：由题意，可设过点(0,1)P 直线的斜率，需要分类讨论直线的斜率是否存在进行讨论，故选B.考点：1直线与抛物线的交点问题；2.分类讨论. 8．A 【解析】考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键. 9．A试题分析：设),(m t P 由抛物线的定义可得52=+t ,故62,3±==m t ,又)0,2(),0,2(/-F F ,故72425/=+=PF ,又||5PF =,则257/=-=-PF PF ,即122=⇒=a a ,因为2=c ,所以该双曲线的离心率2=e ,故应选A ．考点：双曲线抛物线的几何性质及运用．【易错点晴】本题考查的是双曲线与抛物线的几何性质等有关知识和数学思想的综合问题,解答时先依据抛物线的定义求得交点P 的纵横坐标分别为62,3±==m t ,进而求得72425/=+=PF ,再借助||5PF =,运用双曲线的定义可得257/=-=-PF PF ,求得122=⇒=a a ,从而求得该双曲线的离心率2=e ,进而获得答案．10．12【解析】试题分析：设1F 到AB 的垂足为D ，因为0190,F DA BOA A ∠=∠=∠为公共角，所以1ADF AOB ∆∆，所以11AF DF AB OB =7b==，因为222b ac =-，所以222()127a c a c -=-，化简得到2251480a ac c -+=，解得2a c =或45a c =（舍去），所以12c e a ==.考点：椭圆的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的几何性质，其中解答中涉及到椭圆的标准方程、三角形相似与相似比的应用，以及椭圆中222b ac =-等知识点的综合考查，本题的解答中利用左焦点1F 到AB 的距离建立等式是解得的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.第四章 直线与圆锥曲线的位置关系1．A考点：点差法． 2．082=-+y x . 【解析】试题分析：由题意得，设直线的方程，与椭圆联立方程，用韦达定理即可求解. 考点：椭圆中平分弦的问题. 3．3 【解析】考点：1、直线与圆；2、直线与抛物线．【方法点晴】本题考查直线与圆和直线与抛物线，涉及数形结合思想、方程思想和转化思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，具有一定的综合性，属于较难题型．利用数形结合思想可得11||||||||||,|||'|22TF b PT PF TF MF b PO PF ==⇒=-=-=||||PO PT b ⇒-=-1||||(|||'|)2PO PT b MF MF b a ⇒-=--=-=3．4．（1）2212x y +=（2）S ≥【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，基本方法为待定系数法，根据题意可列两个独立条件c e ==22131+=PQ MN ⊥1||||2S MN PQ =，先根据抛物线定义可求焦点弦长||MN ，再根据直线与椭圆联立方程组，结合韦达定理求弦长||PQ ，最后根据一元函数解析式求值域试题解析：（1）由题意得：2c e a ==，222a b c -=，得,b c a ==，则方程222212x y c c +=因为椭圆过点2A ，解得1c =，所以a =所以椭圆C 方程为：2212x y +=.（2）当直线MN 斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，易得||4MN =，||PQ =S =当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠，与24y x =联立得 2222(24)0k x k x k -++= 令1122(,),(,)M x y N x y ，则12242x x k +=+，121x x =，24||4MN k ==+因为PQ MN ⊥，所以直线PQ 的方程为：1(1)y x k =--将直线与椭圆联立得：222(2)4220k x x k +-+-=， 令3344(,),(,)P x y Q x y ，34242x x k +=+，2122222k x x k -=+由弦长公式22)||2k PQ k +==+所以四边形PMQN的面积22221)||||2(2)k S MN PQ k k +==+，令21(1)t k t =+>上式22221)(1)(1)11S t t t t ===+>-+--所以综上，S ≥考点：直线与椭圆位置关系【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。