学情检测3

2012—2013学年度第二学期

如皋市****高三学情自主检测试卷（3）

数学（文科）

时间：120分钟 分值：160分

一、填空题：（每小题5分，共70分）

1．已知复数,2i z =则

z

i 31+的虚部为 。 2．关于x 的方程02cos cos cos 22=--C B A x x 有一根为1，则ABC ∆是 三角形。 3．数列{}n a 满足：212log 1log n n a a +=+，若310a =，则6a = 。

4．为了抗震救灾，现要在学生人数比例为2:3:5的A,B,C 三所高校中,用分层抽样方法抽取

n 名志愿者,若在A 高校恰好抽出了6名志愿者,那么n= 。

5．已知两条直线,m n ,两个平面βα， ,给出下列四个命题:

①n m n m //,⇒⊥⊥αα ； ② n m n m //,,//⇒⊂⊂βαβα；

③n m n m //,,//⇒⊥⊥βαβα ； ④βαβα⊥⇒⊥n m n m ,//,//。

其中所有真命题的序号是 。

6．若命题“()011,2

<+-+∈∃x a x R x ”是假命题，则实数a 的取值范围是 。 7．已知函数()f x 定义域为R ，且它的图象关于1x =对称，当1x ≥时，()31x f x =-，则13(),()32f f 和2()3f 的大小关系 。（按由小到大的顺序）

8．根据右图的算法，输出的结果是 。

9．如图所示，半圆的直径AB=4，O 为圆心， C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若

P 为半径OC 上的动点，则()

•+的最小值为 。

10．将函数()()03sin 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛

-=ωπωx x f 的图象向左平移ω

π3个单位，得到函数()x g y =的图象。若()x g y =在⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

4,0π上为增函数，则ω的最大值为 。 11．已知B ， A ，F 分别是椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的上、下顶点和右顶点，直线AF 与椭圆的右准线交于点M ，若直线MB//x 轴，则该椭圆的离心率为 。

12．已知两点A ()01，-，B ()20，，点P 是圆()1122

=+-y x 上的任意一点，则PAB ∆面积的最大值是 。

13．已知函数()x x x f sin =

。判断下列三个命题的真假：①()x f 是偶函数；②()x f 1<;③当2

3π=x 时，()x f 取得极小值。其中所有正确命题的序号是 。 14．已知函数()()32212113

f x x x a x a a =++-+-+，若()(]01,3f x '=在上有解，则实数a 的取值范围为 。

二、解答题（共6题，每题15分）

15．设ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足

()02=•+•+c c a 。

（1）求角B 的大小；

（2）若32=b ，试求CB AB •的最小值。

16．如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点，

求证：（1）D C AD 1⊥；

（2）//1B A 平面1ADC 。

A B

C D C 1 B 1 A 1

17．某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知6AB AC km ==，

现计划在BC 的高AO 上一点P 处建造一个变电站。记P 到三个村庄的距离之和为y 。

（1）若α=∠PBO ，把y 表示成α的函数关系式；

（2）变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小？

18．在等比数列{}n a 中，首项为1a ，公比为,n q S 为其前n 项和。

（1）记232,,n n n n n S A S S B S S C =-=-= ，证明;A,B,C 成等比数列；

（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=19491,201011a a ，63

9S S =,记数列{}2n log a 的前n 项和为n T ,当n 取何值时，n T 有最小值。

19. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22

12320x y x +-+=的圆心为Q ，过点()0,2P 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B 。

（1）求k 的取值范围；

（2）是否存在常数k ，使得向量OA OB PQ +与共线？若存在，求出k 的值；若不存

在，请说明理由。

20．已知函数()[]247,0,12x f x x x

-=∈-。 （1）求()f x 的单调区间和值域；

（2）设1a ≥，函数()[]32

32,0,1g x x a x a x =--∈，若对于任意的[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围。