第三章 2 岩石的破坏准则

五、岩石的破坏准则对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。

岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。

用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。

岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。

在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延性性质，同时它的强度极限也大大提高了。

许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准则主要有：最大正应力理论最大正应变理论最大剪应力理论（H.Tresca）八面体应力理论莫尔理论及库伦准则格里菲思理论（Griffith）伦特堡理论（Lundborg）经验破坏准则1、最大正应力理论这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力。

即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时，材料就破坏。

c R ≥1σ或t R -≥3σ适用条件： 单向应力状态。

对复杂应力状态不适用。

写成解析式：0))()((223222221=---R R R σσσ 0))()((223222221≥---R R R σσσ 破坏2、最大正应变理论该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。

则破坏准则为u εε≥max 式中 m ax ε——岩石内发生的最大应变值；u ε——单向拉、压时极限应变值；这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-+-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧)()()(1213312321321σσμσσσμσσσμσεεεE E R u =εR — R t 或R c0))()((223222221≥---u u u εεεεεε推出：{}{}{}0)]([)]([)]([222132231222321=-+--+--+-R R Rσσμσσσμσσσμσ {}{}{}0)]([)]([)]([222132231222321≥-+--+--+-R R Rσσμσσσμσσσμσ破坏实验指出，该理论与脆性材料实验值大致符合，对塑性材料不适用。

3、最大剪应力理论（H.Tresca ）该理论认为岩石材料的破坏取决于最大剪应力，即当最大剪应力达到单向压缩或拉伸时的危险值时，材料达到破坏极限状态。

其破坏准则为：u ττ≥max在复杂应力状态下，最大剪应力231max σστ-=单位拉伸或压缩时，最大剪应力的危险值2R u =τ 则有 R ≥-31σσ或写成 {}{}{}0)][)][)][221222232231=------R R R σσσσσσ {}{}{}0)][)][)][221222232231≥------R R R σσσσσσ破坏 {}{}{}0)][)][)][221222232231<------R R R σσσσσσ稳定这个理论适用于塑性岩石，不适用于脆性岩石。

该理论未考虑中间主应力的影响。

4、八面体剪应力理论（Von.Mises ）该理论认为岩石达到危险状态取决于八面体剪应力。

其破坏准则为s oct ττ≥已知单元体三个主应力1σ，2σ，3σ ，取坐标系平行于主应力。

作一等倾面（其法线N 与三个坐标轴夹角相同）。

八个象限的等倾面构成一个封闭的正八面体，此八面体上剪应力和法向应力即为八面体应力。

yzxABCN为研究等倾面上的应力，取一由等倾面与三个主应力面围成的四面体来研究。

N 与x 、y 、z 的夹角分别为γβα、、，且 γβα＝＝。

设：l =αcos ，m =βcos ，n =γcos 则有31===n m l设等倾面ABC 面积为S ，则三个主应力面(1σ，2σ，3σ面)的面积分别为3cos cos cos S S S S =⋅=⋅=⋅γβα根据力的平衡条件∑=0X , ∑=0Y , ∑=0Z推出：⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅=⋅=∑∑∑γσβσασcos 0cos 0cos 0321S S p Z S S p Y S S p X z y x ， 而 等倾面S 上合力：222z y x p p p p ++=所以：23222131σσσ++=p另，等倾面S 上的法向应力为各分力p x 、p y 、p z 在N 上的投影之和，即)(31cos cos cos 321σσσγβασ++=++=z y x oct p p pS oct ττ≥，推出：R 2)()()(212232221≥-+-+-σσσσσσ适用条件：塑性，5、莫尔理论及莫尔库伦准则该理论是目前应用最多的一种强度理论。

该理论假设，岩石内某一点的破坏主要取决于它的大主应力和小主应力，即σ1和σ3，而与中间主应力无关。

也就是说，当岩石中某一平面上的剪应力超过该面上的极限剪应力值时，岩石破坏。

而这一极限剪应力值，又是作用在该面上法向压应力的函数，即)(στf = 。

这样，我们就可以根据不同的σ1、σ3绘制莫尔应力图。

每个莫尔圆都表示达到破坏极限时应力状态。

一系列莫尔圆的包线即为强度曲线)(στf =由此可知，一方面与材料内的剪应力有关，同时也与正应力有关关于包络线： 抛物线：软弱岩石 双曲线或摆线：坚硬岩石στ直线：当σ＜10MPa 时为简化计算，岩石力学中大多采用直线形式：ϕστtg c f ⋅+=c ——凝聚力（MPa ） ϕ——内摩擦角。

该方程称为库伦定律，所以上述方法合称为：莫尔库伦准则。

当岩石中任一平面上f ττ≥ 时，即发生破坏。

即： ϕσττtg c f ⋅+=≥下面介绍用主应力来表示莫尔库仑准则。

任一平面上的应力状态可按下式计算ασσσσσ2cos 223131-++=① ασστ2sin 231-=②α—最大主应力面（σ1）与滑动面夹角。

根据莫尔应力圆，可建立任一滑动面的抗剪强度指标与主应力之间关系。

στφαφφαα2σ1τf σ1σ3σMTcc ·ctgφσ13+σ()/2-σσ132/)(1）c和ϕ值与σ1、σ3和α角关系在σ1~σ3的应力圆上，找出2α的应力点T（TM为半径为231σσ-）则，与直径TM垂直且与圆相切的直线即为ϕστtgc⋅+=根据几何关系，οοο902)2180(90-=--=ααϕ，得出 245ϕα+=ο代入ϕστtg c ⋅+=中，得到 )902(ο-⋅-=⋅-=αστϕστtg tg c 另由公式推导：将σ1、σ3表示的 σ 和 τ 代入ϕστtg c ⋅+=中，导出)2cos 1(2sin )]2cos 1(2[sin 231αϕααϕασσ+--++=tg tg c 或ααϕϕσσσ2sin )1(22331ctg tg tg c ⋅-+=-对α求导，01=ασd d 推出：245ϕα+=ο 破坏面与最大主应力面的夹角 245ϕα+=ο而与最大主应力方向的夹角 245ϕα-='ο2）．用主应力σ1、σ3表达的强度准则 将 σ 和 τ 的表达式代入 ϕστtg c ⋅+=中，ϕασσσσασσtg c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-2cos 222sin 2313131利用关系：ααϕ2sin )902cos(cos =-=ο ααϕ2cos )902sin(sin -=-=ο 化简得： ϕϕσϕϕσsin 1sin 1sin 1cos 231-++-=c当σ3=0时（单轴压缩）：ϕϕσsin 1cos 21-==c R c ，令ϕϕϕsin 1sin 1-+=N ，则，c R N +=ϕσσ31当σ1=0时（单轴抗拉）：ϕϕσsin 1cos 23+⋅='=c R t该值为 )(στf =直线在σ轴上的截距，但与实测的R t 有差别，需对σ＜0时的直线段进行修正。

στR t /R t2岩石破坏的判断条件：ϕsin >， 破坏ϕϕσσσσsin 23131=⋅++-ctg c ， 极限ϕsin < ，稳定6、格里菲思（Griffith）理论以上各理论都是把材料看作为连续的均匀介质，格里菲思则认为：当岩石中存在许多细微裂隙，在力的作用下，在缝端产生应力集中，岩石的破坏往往从缝端开始，裂缝扩展，最后导致破坏。

σ1方向成β角。

边壁就开始破裂。

1）.任一裂隙的应力。

假定：①椭圆可作为半元限弹性介质中的单个孔洞处理， ②二维问题处理，取0z σ椭圆参数方程：αcos a x =，αsin b y = 椭圆的轴比为：ab m =椭圆裂隙周壁上偏心角的α的任意点的切向应力 可用弹性力学中英格里斯（Inglis ）公式表示：xyxσxyτy στxyy σyxτyxτxσαba{}{}{}ααααταασαασσ222222222sin cos cos sin )1(2cos sin )21(sin cos )2(+++-++-+=m m m m m m xy x y b 由于裂缝很窄，轴比很小，形状扁平，所以最大应力显然发生在靠近椭圆裂隙的端部，即α很小的部位，当0→α时，αα→sin ，1cos →α{}{}{}222222)1(2)21()2(αατασασσ+++-++-+=m m m m m m xy x y b又由于m ，α很小，略去高次项，则有 2222αατσσ++=m m xyy bm 为定值，当1σ，2σ，3σ确定时，y σ、xy τ也为定值，则b σ仅随α而变。

这是任一条裂隙沿其周边的切向应力。

显然在椭圆周边上，随α不同b σ有不同的值，对α求导。

0)()2(2)()2)((2)(22222222222=+--=++-+=ατασατααατσατασm m m m m m d d xy y xy xy y xy b0222=--xy y xy m m τασατ 推出：xyxyy y m ττσσα22+±-=则，最大切向应力)(122max ,xy y y b m τσσσ+±=bxyστα=σxy σx σ3σ3σ11σy σxyτxyτyβ2）．岩块中的最大切向应力所在的裂隙上面导出了某一条裂隙上的最大切向应力，但在多条裂隙中，哪一条裂隙的b σ 最大？y σ，xy τ与1σ，3σ的关系为：βσσσσσ2cos 223131--+=y ， βσστ2sin 231--=xy代入 m ax ,b σ中，2/1232123213131max ,2cos )(21)(212cos )(21)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+±--+=βσσσσβσσσσσb m 显然m ax ,b σ与β有关，对其求导，便可求得b σ为最大的那条裂隙，即确定出β角。