山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考数学(理)

山西省临汾一中、忻州一中、康杰中学、长治二中2013届高三第三次四校联考

数学(理)试题

命题：临汾一中 忻州一中 康杰中学 长治二中

（考试时间120分钟 满分150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项.

1. 集合{}|02P x Z x =∈≤<，{}

4|2

≤∈=x Z x M ，则P M 等于

A.{}1

B. {}1,0

C. )2,0[

D. ]2,0[

2. 某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有 A. 474种 B. 77种 C. 462种 D. 79种

3. 复数z 1=3+i,z 2=1-i,则复数2

1

z z 的虚部为 A. 2

B. -2i

C. -2

D. 2i

4. 过点(2,0)M 作圆2

2

1x y +=的两条切线MA ,MB (A ,B 为切点)，则MA MB ⋅=

B.

52 D.3

2

5. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛

⎫

=+><

⎪⎝

⎭

的最小正周期是π，若其图像向右平移

3

π

个单位后得

到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像

A.关于点,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称

B.关于直线12

x π

=

对称

C.关于点5,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称

D.关于直线512

x π

=

对称 6. 如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为-55，则判断框中的条件为

A.?11

B. ?11≥n

C.?10

D. ?10≥n

7. 点P 为双曲线1C ：和圆2C ：

2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其

中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为

D.2 8. 若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形， 则该几何体的外接球的表面积为 A.10π B.50π C.25π D.100π

9. 对于下列命题：①在△ABC 中，若sin2sin2A B =,则△ABC

为等腰三角形；②已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若2a =，5b =，6

A π

=,则△ABC 有两组解；

③设2012sin

3

a π

=，2012cos 3b π=，2012tan 3c π=,则a b c >>；④将函数2sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象

向左平移

6π

个单位，得到函数2cos 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝

⎭图象.其中正确命题的个数是

A.0

B.1

C. 2

D.3

10. 已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，

， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC

的体积为 A

．

B.

C.

D. 1

11. 函数()cos f x x π=与函数()2log 1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和为 A ．2

B. 4

C. 6

D. 8

12. 函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）

对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当

41≤≤x 时，OM ON ⋅

的取值范围为 （ ）

A ．[)+∞,12

B ．[]3,0

C ．[]12,3

D ．[]12,0

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在正三角形3AB =中，D 是AB 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=

.

14. 实数对(,)x y 满足不等式组20,

250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩

则目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，

y=1时取最大值，则k 的取值范围是 .

15．已知x

x

x f ln )(=

，在区间[]3,2上任取一点0x ，使得0'()0f x >的概率为 . 16．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()2

3

(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足

11-=a ，且

21n n S a

n n

=⨯+（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17．（本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,2

1

成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n b n

a )2

1

(2

=，设n n n a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .

18．（本小题满分12分）

某中学参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示． （1）求合唱团学生参加活动的人均次数；

（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（3）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．

19．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，PM ∥BC ，

1,2PM BC ==．又1AC =，120,ACB AB PC ∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒． （1）求证：PC AC ⊥；

（2）求二面角M AC B --的余弦值.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆,22

)0(1:2222=>>=+e b a b

y a x C 的离心率左、右焦点分别为F 1、F 2，点)3,2(P ，点F 2在线段PF 1的中垂线上。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线m kx y l +=:与椭圆C 交于M 、N 两点，直线F 2M 与F 2N 的倾斜角互补，

求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标.

21．（本小题满分12分） 已知函数.ln )2()(2

x x a ax x f ++-= （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1f （处的切线方程；

（2）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围； （3）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈，且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，

求a 的取值范围.

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