第一讲-立体几何证明题
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A
B
C
D
P E
F 第一讲：立体几何证明题
1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．
(I) 证明： PA ∥平面EDB ；
(II) 证明：PB ⊥平面EFD ；
(III) 求三棱锥DEF P -的体积．
2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
3、如图，矩形A B C D 中，A B E AD 平面⊥，
2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且A C E
BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；
（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.
4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;
A
B
C
D
H
P
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
G
5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,
PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD A D ==.
(Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥;
(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --.
6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；
（2）求证：AE ∥平面BFD ；
（3）求三棱锥C-BGF 的体积。
7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。（如图 所示） （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； （Ⅱ）求三棱锥的体积V S －AB C 。
8、如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BC
边中点 （1）求三棱锥D 1-DBC 的体积 （2）证明BD 1//平面C 1DE
G
Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｆ
Ｅ
A
B
C D A 1 B 1
C 1
D 1 E
9、如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
10、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点， 证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
11，如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。
12，如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的 交点，面CDE 是等边三角形，棱12
EF BC ∥。 （I ）证明FO ∥平面;CDE ；
（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面。
13、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝
90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。
14，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，E 是AC 中点，求证：111A ACC BEC 平面平面⊥
A
B C
D
E
A 1
B 1
C 1
O
F
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D
1
D
C
A
B
E
O
F
M
1
D 1
C
15，如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ， M 是EA 的中点，
求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA 。
16、如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别
为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G 。
（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；
17、（1）如图，⊥SA 正方形ABCD 所在平面，过A 作与SC 垂直的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影．
18、如图1所示，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点。
（1）证明AB 1∥DBC 1；
（2）假设AB 1⊥BC 1，BC=2
。
求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长。
19、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．
20、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,
1
1>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C