第一讲-立体几何证明题

A
B
C
D
P E
F 第一讲：立体几何证明题
1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．
(I) 证明： PA ∥平面EDB ；
(II) 证明：PB ⊥平面EFD ；
(III) 求三棱锥DEF P -的体积．
2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。

3、如图，矩形A B C D 中，A B E AD 平面⊥，
2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且A C E
BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；
（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.
4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。

EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;
A
B
C
D
H
P
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
G
5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,
PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD A D ==.
(Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥;
(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --.
6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；
（2）求证：AE ∥平面BFD ；
（3）求三棱锥C-BGF 的体积。

7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。

（如图 所示） （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； （Ⅱ）求三棱锥的体积V S －AB C 。

8、如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BC
边中点 （1）求三棱锥D 1-DBC 的体积 （2）证明BD 1//平面C 1DE
G
Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｆ
Ｅ
A
B
C D A 1 B 1
C 1
D 1 E
9、如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。

10、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点， 证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。

11，如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。

12，如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的 交点，面CDE 是等边三角形，棱12
EF BC ∥。

（I ）证明FO ∥平面;CDE ；
（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面。

13、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝
90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。

14，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，E 是AC 中点，求证：111A ACC BEC 平面平面⊥
A
B C
D
E
A 1
B 1
C 1
O
F
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D
1
D
C
A
B
E
O
F
M
1
D 1
C
15，如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ， M 是EA 的中点，
求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA 。

16、如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别
为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G 。

（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1；
17、（1）如图，⊥SA 正方形ABCD 所在平面，过A 作与SC 垂直的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影．
18、如图1所示，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点。

（1）证明AB 1∥DBC 1；
（2）假设AB 1⊥BC 1，BC=2。

求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长。

19、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．
20、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,
1
1>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。

D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C
D C 1
B 1A 1
C
B A B
C A
D E
F
M
求证：E D 1⊥D A 1；
21、如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形， 且,22
1
==
AD AF G 是EF 的中点， （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。

22、如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC （Ⅰ）求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；
边的中点.
23，如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥BE ；
（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.
24、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面
ABC ，3AB BC CA ===，M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、
C
E
D C
B
A P S
都在球O 的球面上。

（1）证明：平面PAB ⊥平面PCM ；
25、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点
（1）求证：//AF 平面BCE ；
（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
26、如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。

（I ）求证：B 1C//平面A 1BD ； （II ）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A
（III ）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由。

27、如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==， E 是PC 的中点．
（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ．
28、如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°，PA =BC =
.2
1
AD （I ）求证：平面PAC ⊥平面PCD ；
_ M _ P _ C _ B _ A
（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面PAB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.
29、如图，在四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，22SB SD ==，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，
E 为CD 的中点．
（1）证明：CD ⊥平面SAE ；
（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．
30、P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点. （1）求证：PCD EO 平面// ； （2）图中EO 还与哪个平面平行？
31、在正三棱柱111C B A ABC - 中，E 是AC 中点， （1）
求证：11//BEC AB 平面 ；
（2）求证：111A ACC BEC 平面平面⊥ ；
31、如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的 中点 （1）求证：//MN 平面PAD ；
（2）（2）若4MN BC ==，43PA =， 求异面直线PA 与MN 所成的角的大小
32、如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN = 求证：//MN 平面CBE
33、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，
1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面11ADD A 。

H
T
A B C D
F E
M N
34、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为a 。

证明：平面ACD 1 ∥平面A 1C 1B 。

35、P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别 是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。

（1）求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ；
36、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；
（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；,
37、如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =， 点E 是PD 的中点.
（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；
（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；。