矩阵乘法的运算规律

构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
性质 AA A A A E.
证明 设 A aij , 记 AA bij , 则
bij ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn A ij ,
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4.
3 3 6 2 8 1 6 8 9
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
解
b1
b2
b3
a11 a21
a31
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12 a13 b1 a22 a23 b2 a32 a33 b3
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
n
An1
An A
0
nn1 n
nn 1n2
2
nn1
0
1
0 1 ,
0
0
n
0
0
n1
0
0
n 1n
n1
0
n 1n n1
2
n 1n
,
n1
所以对于任意的k 都有
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
.
k
四、矩阵的其它运算
１、转置矩阵
定义 把矩阵A 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 A aij 是一个m s 矩阵，B bij 是一个
s n 矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积
是一个m n 矩阵 C cij ，其中
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 i 1,2, m; j 1,2, ,n,
证明 HT E 2XX T T ET 2 XX T T
E 2 XX T H , H是对称矩阵.
HHT H 2 E 2XX T 2 E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XT X XT
E 4XX T 4XX T E.
例7 证明任一 n 阶矩阵 A 都可表示成对称阵
1 1
0
A3 A2 A 0 2 2 0 1
0 0 2 0 0
3
0
0
k
Ak
0
0
32 3
3 32 0 3
由此归纳出
kk 1 k
kk 1k2
2
kk 1
k 2
0
k
用数学归纳法证明
当 k 2 时，显然成立. 假设 k n 时成立，则 k n 1时，
2、方阵的行列式
定义 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 A 的行列式，记作 A 或 det A.
例 A 2 6
3 8
则A2
3 2.
68
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
3 AB A B; AB BA .
3、对称阵与伴随矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即
例 A 1 2 2, 4 5 8
1 4
AT
2
5 ;
2 8
B 18 6,
BT 18. 6
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
例5 已知
1 7 1
A 2 1
0 3
1, 2
B 4
2
2 0
3
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11 a12
A
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
.
amn
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A;
2 A B C A B C .
a11
3
A
a21
am1
a12 a22 am1
a1n
a2n
aij
,
amn
称为矩阵A的负矩阵.
4 A A 0, A B A B.
二、数与矩阵相乘
1、定义
并把此乘积记作 C AB .
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA, ABk Ak Bk .
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
但也有例外，比如设
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n矩阵 A aij , B bij , 那末矩阵
A 与 B 的和记作A B，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
3
3 2
1 3 2 2
3 1
10.
1
２、矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ;
2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
4 AE EA A;
5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
1 0
例4
设A
0
1 求Ak .
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2 2
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1
0 3
21
1 4 2
7 2 0
1 3
AB T
0 14
1
3
17 13. 10
0 14 3, 17 13 10
解法2
ABT BT AT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 3 14 13.
1 3 1 1 2 3 10
与反对称阵之和.
证明 设C A AT
则CT
A AT
T
AT
A
C,
所以C为对称矩阵.
设B A AT , 则BT A AT T AT A B,
所以B为反对称矩阵.
A A AT A AT C B ,
2
2 22
命题得证.
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所
故 AA A ij A ij A E.
同理Leabharlann Baidu得
AA n Akiakj Aij A ij A E.
k1
4、共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij 的共轭 复数，记 A aij ， A 称为 A 的共轭矩阵.
运算性质
（设A, B 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:
故
1
C AB 1
0
0 1 5
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
1 2 3
例如
3 5
2 8
1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
1 2
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算 不同.
思考题
设A与B为n阶方阵,问等式
A2 B2 A BA B
成立的充要条件是什么?
思考题解答
答 A BA B A2 BA AB B2, 故 A2 B2 A BA B 成立的充要条件为
AB BA.
1 A B A B; 2 A A; 3 AB AB.
五、小结
加法
数与矩阵相乘
矩 阵
矩阵与矩阵相乘
运 转置矩阵
算 方阵的行列式
对称阵与伴随矩阵 共轭矩阵
注意
（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律.
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2 2
2 2
AB BA.
例3 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
2
b1
b2
b3
a11 a21
aij a ji i , j 1,2, ,n
那末 A 称为对称阵.
例如
12 A 6
6 8
1 0
为对称阵.
1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等. 如果 AT A 则矩阵A称为反对称的.
例6 设列矩阵 X x1, x2 , , xn T满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T ,证明H是对称矩 阵,且HH T E.