概率统计例题解析

第一章 随机事件和概率

一. 填空题

1. 设A, B, C 为三个事件, 且

=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____。

解.

)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=- =)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.07

2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______。

解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B

511)()()()()|(2102621024

=-===c c c c A P B P A P AB P A B P

注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品

所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A

3. 随机地向半圆

a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π

的概率为______。

解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆。 则

121)),((2==∈a k D Y X P π, k 为比例系数。 所以

22a k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π

的区域}

πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______。

解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3－0.6 = 0.1

3.01.0

4.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .

5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________。

解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B.

由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.

所以 P(AB) = P(A) + P(B)－P(A + B) = 0.5 + 0.65－0.85 = 0.3.

6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________.

解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3)。

则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,

)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1－0.9×0.8×0.7=0.496.

7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________。 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.

P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC 。 P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)－P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)－P(A)P(B)P(C)

= 0.7×0.8 +0.7×0.9－0.7×0.8×0.9 = 0.686.

所以 P(电路断路) = 1－0.686 = 0.314.

8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______。

解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.

P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)

=

+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅ ++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c

= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.

9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译

出的概率_____。

解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则

41)(,31)(,51)(===C P B P A P .

P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC) + P(ABC)

= P(A) + P(B) + P(C)－P(A)P(B)－P(A)P(C)－P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C)

=53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.

二．单项选择题.

1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为

(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”