第十章第三节

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(2)第r＋1项，Tr＋1＝Cr an－rbr. n
r (3)第r＋1项的二项式系数为 Cn
.
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10－2r (2)根据通项公式，由题意 ∈Z，且0≤r≤10. 3 令 10－2r 3 ＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－ k. 3 2
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【尝试解答】
(1)通项公式为
因为第6项为常数项， n－2r 所以r＝5时，有 ＝0，即n＝10. 3 n－2r 1 1 令 ＝2，得r＝ (n－6)＝ ×(10－6)＝2， 3 2 2 1 45 ∴所求的系数为C2 (－ )2＝ . 10 2 4
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1．解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件 (特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系 数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第二步是根 据所求的指数，再求所求解的项；
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(见学生用书第 199 页)
3 1 n 已知在( x－ ) 的展开式中，第6项为常数项． 3 2 x (1)求含x2的项的系数； (2)求展开式中所有的有理项．
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【思路点拨】 (1)写出通项Tr＋1，先求n，再求含x2的项的系 数． (2)寻找使x的指数为整数的r值，从而确定有理项．
an－ kbk，(b＋a)n的第k＋1项
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2．二项式系数与项的系数有什么区别？
【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项 式系数是指C 0 ，C 1 ，„，C n ，它只与各项的项数有关，而与a，b的 n n n 值无关；而项的系数是指该项中除变量外的部分，它不仅与各项的 二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．
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2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公 式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整 除性来求解．
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(2011· 浙江高考)设二项式(x－
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1．二项式定理 (1)(a＋b)n＝C0an＋C1an－1b＋„＋Cr an－rbr＋„＋Cnbn(n∈N*)． n n n n
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(2011· 安徽高考改编)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2 ＋„＋a21x21，则 (1)a10＋a11＝________；(2)a1＋a2＋„＋a21＝________.
【解析】 (1)由二项展开式知Tr＋ 1＝Cr x21－ r(－1)r， 21
∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝129. 【答案】 B
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4．(2011· 山东高考)若(x－ 值为________．
a x2
) 展开式的常数项为60，则常数a的
6
【解析】 (x－ Cr x6－3r(－1)r· a)r. ( 6
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等，而(3＋2x)7展开各项系数均为正数． 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|即为(3＋2x)7的展开式的各项系数 和， 故|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|＝57＝78 125.
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1．对于展开式中的系数和、隔项系数和、系数的绝对值和等问 题，通常运用赋值法进行构造(构造出目标式)．赋值时要注意根据目 标式进行灵活的选择，常见的赋值方法是使字母因式的值为1，－1 或目标式的值．
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2．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 (ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之 和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式 子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
10 ∴a10＋a11＝C11(－1)11＋C10(－1)10＝－C11＋C21＝－C10＋C10＝0. 21 21 21 21 21
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(2)令x＝0，得a0＝－1， 令x＝1得a0＋a1＋a2＋„＋a21＝0， 所以a1＋a2＋„＋a21＝1.
【解析】
在(1＋x)2n的展开式中，各项的系数和其二项式系数相
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等，故系数最大的项是第n＋1项． 【答案】 B
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2．(2011·福建高考)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( A．80 B．40
a x
2
)6展开式的通项Tr＋ 1＝C r x6－r(－1)r( a )r·－ 2r＝ x 6
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令6－3r＝0，得r＝2. 故C2( a)2＝60，解得a＝4. 6
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【答案】 4
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【答案】 (1)0 (2)1
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(1)1－90C 1 ＋902C 2 －903C 3 ＋„＋(－1)k90kC k ＋„＋ 10 10 10 10 9010C10除以88的余数是( 10 A．－1 C．－87 ) B．1 D．87
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(2)令x＝－1得a0－a1＋a2＋„－a7＝57，② ①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－78 124，故a1＋a3＋a5＋a7＝－39 062. (3)①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝1＋57， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝39 063. (4)因为(3＋2x)7与(3－2x)7的展开式中对应项的系数的绝对值相
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3．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋„＋a1x＋a0，则a7＋a6＋„＋a1的值 为( )
A．1
C．128
B．129
D．127
【解析】 令x＝1得a0＋a1＋„＋a7＝128.
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令x＝0得a0＝(－1)7＝－1，
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＝31(31n－ 1＋C1· n－ 2＋„＋Cn－ 1)． n 31 n 显然括号内的数为正整数， 故原式能被31整除．
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1．解答本题时，首先要对和式进行正确转化，然后化为(a＋b)n 的形式展开求解． 2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除 数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只
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【答案】 2
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已知(3－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋„＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6；
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第三节
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二项式定理
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(见学生用书第 198 页) 1.能用计数原理证明二项式定理． 考纲传真 2．会用二项式定理解决与二项展开式 有关的简单问题.
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Hale Waihona Puke Baidu
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(2)证明：1＋2＋22＋„＋25n－1(n∈N*)能被31整除．
【思路点拨】 (1)转化为(a＋b)n的形式，调整a，b的值，再展 开求解；(2)先求和，再用二项式定理求解．
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1．(教材改编题)(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是 ( ) A．第n项 C．第n＋2项 B．第n＋1项 D．第n－1项
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∵r∈N，∴k应为偶数．
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∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8. 所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为 1 1 1 C2 (－ )2x2，C5 (－ )5，C8 (－ )8x－2. 10 10 10 2 2 2
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【尝试解答】 (1)原式＝(1－90)10＝(88＋1)10 ＝8810＋C889＋„＋C88＋1
∵前10项均能被88整除，∴余数是1.
【答案】 B
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a 6 ) (a＞0)的展开式 x
中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
【解析】 a 6 (x－ ) 展开式的通项 x
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∴A＝(－a)2C2，B＝(－a)4C4， 6 6
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由B＝4A，得(－a)4C4＝4(－a)2C2， 6 6 解之得a＝± 2. 又a＞0，所以a＝2.
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(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|.
【思路点拨】 利用赋值法构造等式求解．
【尝试解答】 (1)令x＝0得a0＝37，令x＝1得a0＋a1＋a2＋„＋ a7＝1，① 所以a1＋a2＋„＋a7＝1－37＝－2 186.
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1．在公式中，交换a，b的顺序对各项是否有影响？
【提示】 从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项 是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项Tk＋1＝C T′k＋1＝Ck bn－ kak. n
k n
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)
C．20
D．10
【解析】 (1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋ 1＝Cr (2x)r＝2rCr xr， 5 5 令r＝2，得x2的系数为22· 2＝40. C5
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【答案】 B
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1－25n 5n (2)∵1＋2＋22＋„＋25n－ 1＝ ＝2 －1＝32n－1 1－2 ＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1· n－ 1＋C2· n－ 2＋„＋Cn－ 1· 31＋1－1 n 31 n 31 n
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