高中数学 第二章 平均变化率课件 北师大版选修2-2
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【数学】2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)
第二章 变化率与导数
§2.1 变化的快慢与变化率
问题提出
世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
问题1
物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程 , 显然 s是时间 t的函数 , 表示为 s s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
在第二个问题中我们用一段时间内体温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是: y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
抽象概括
对一般的函数 f ( x)来说,当自变量 从x1变为x2时,函数值从 ( x1 ) y x f 变为f ( x2 ), 它的平均变化率为 : f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
当时间x从0 min 到20 min时, 分析 由上图可看出:体温y从39c变为38.5c, 下降了0.5c;
当时间 x从20 min 到30 min时, 体温y从38.5c变为38c, 下降了0.5c;
两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s). 2 1
§2.1 变化的快慢与变化率
问题提出
世界上,变化无处不在,人们以常关心变化的 快慢问题,如何刻画事物变化的快慢呢?
实例分析
问题1
物体从某一时刻开始运 动, 设s表示此物体经过时间 t走过 的路程 , 显然 s是时间 t的函数 , 表示为 s s(t ).在运动的过 程中测得了一些数据 , 如下表 :
在第二个问题中我们用一段时间内体温 , 的平均变化率刻画了 体温变化的快慢当时间从x0变为x1时, 体温从 y ( x0 )变为y ( x1 ), , 这段时间内物体的平均 速度是: y ( x1 ) y ( x0 ) 平均速度 . x1 x0
抽象概括
对一般的函数 f ( x)来说,当自变量 从x1变为x2时,函数值从 ( x1 ) y x f 变为f ( x2 ), 它的平均变化率为 : f ( x2 ) f ( x1 ) . x2 x1
当时间x从0 min 到20 min时, 分析 由上图可看出:体温y从39c变为38.5c, 下降了0.5c;
当时间 x从20 min 到30 min时, 体温y从38.5c变为38c, 下降了0.5c;
两段时间下降相同的温度,而后一段时间比前 一段时间短,所以后一段时间的体温比前一段 时间变化快.
练习
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 h 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
o t
请计算
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
在0 t 0.5这段时间里 , h(0.5) h(0) v 4.05(m / s); 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h(2) h(1) v 8.2(m / s). 2 1
2015高中数学北师大版选修2-2课件：《变化的快慢与变化率》
f(x1)-f(x0) x1 -x0
f(x 0 +Δ x )-f(x 0 ) Δx
第八页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
问题4 平均变化率与瞬时变化率的关系是什么? (1)区别:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变
化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在点 x0 处变化的快慢. (2)联系:当 Δx 趋于 0 时,平均变化率Δy趋于一个常
1e -e12
ln
1e -ln
1 e2
e-1
e2
= e2 (-1+2)= e2 .
e-1
e-1
第十九页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
第二十页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的瞬时变化率.
【解析】∵Δy =f(2+Δx)-f(2)
Δx
Δx
=-(2+Δ x )2 +3(2+Δ x )-(-22 +3 × 2)
Δx
=-(Δ x )2 -Δ x=-Δx-1,
Δx
∴当 Δx 趋于 0 时,Δy趋于-1.
Δx
即函数 f(x)在 x=2 处的瞬时变化率为-1.
第十二页，编辑于星期五：十二点 十二分。
导.学. 固. 思
(1)当
x1=4,Δx=1
时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,Δy
Δx
=21=21.
1
(2)当
x1=4,Δx=0.1
时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=1.92,Δy
Δx
北师大版高中数学选修2-2：第二章 变化率与导数 复习课件
g
(
x)
(
g
(
x)
0)
当点Q沿着曲线无限接点
P即Δx→0时,割线PQ如果有一
个极限位置PT。则我们把直线
y
PT称为曲线在点P处的切线。
设切线的倾斜角为α,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜 率。
P o
即: k切线
f
' ( x0 )
lim
x0
y x
练习3：求下列函数的导数。
12 y
x x2
y 1 4 x2 x3
x y
1 x2
y 1 x2
1 x2 2
y tan x
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值， 再利用导数的运算法则(3)来计算。
y
1 cos2
x
练习4：求曲线
y
9 x
在点M(3，3)处的切线
x)－f(x0)，若极限
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
存在，
则此极限称为f(x)在点 x x0 处的导数，记为
f ’(x0)，或 y |xx0 。
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，
就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每
y 3x2 2
练习2：求下列函数的导数。
y x3 sin x cos x y 3 x 2 cos x sin x
y 2sin x cos x 2x2 1 y co s x 4 x
高中数学课件-2.1 变化的快慢与变化率 课件(北师大版选修2-2)
可以发现，随着气球内空气体积的增加，气球的半径增加得越
来越慢．从数学的角度，我们如何描述这种现象呢？
[解析]
气球的体积V与半径r之间的函数关系是V(r)＝
4 3
3 πr3，将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝
3V 4π.
当空气体积V从0增加到1时，气球半径增加了r(1)－
r(0)≈0.62，气球的平均膨胀率为r11－－0r0≈0.62；
1 2
t2，则t＝2时，
此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C．12
1 D.4
• [答案] A
[解析] ∵ΔΔst＝122＋ΔtΔ2t－12×22＝12Δt＋2，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(12Δt＋2)＝2，故选A.
探索延拓创新
• 割线的斜率
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy) 作曲线的割线，求当Δx＝0.1时割线的斜率．
第二章 变化率与导数
第二章 §1 变化的快慢与变化率
1 知能目标解读 2 知能自主梳理 3 学习方法指导 4 思路方法技巧
5 探索延拓创新 6 易错辨误警示 7 课堂巩固训练 8 课后强化作业
知能目标解读
• 1．了解函数平均变化率的概念 • 2．掌握函数平均变化率的求法 • 3．理解瞬时变化率 • 本节重点：函数的平均变化率、瞬时变化率、
0.02×902＝262；生产90个到100个单位该产品时，成本的平
均变化率为c110000－－9c090＝3.8.
易错辨误警示
下列说法：①函数y＝4x＋1在x从1变到3时的平 均变化率ΔΔyx＝ΔΔxxxy＝yx；②函数y＝x2＋x在x从0变到2时，Δx＝2 －0＝2，Δy＝f(2)－f(0)＝6；③函数y＝ x 在x从4变到9时，Δy ＝f(9－4)＝f(5)＝ 5.其中正确的有________．
来越慢．从数学的角度，我们如何描述这种现象呢？
[解析]
气球的体积V与半径r之间的函数关系是V(r)＝
4 3
3 πr3，将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)＝
3V 4π.
当空气体积V从0增加到1时，气球半径增加了r(1)－
r(0)≈0.62，气球的平均膨胀率为r11－－0r0≈0.62；
1 2
t2，则t＝2时，
此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C．12
1 D.4
• [答案] A
[解析] ∵ΔΔst＝122＋ΔtΔ2t－12×22＝12Δt＋2，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(12Δt＋2)＝2，故选A.
探索延拓创新
• 割线的斜率
过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy) 作曲线的割线，求当Δx＝0.1时割线的斜率．
第二章 变化率与导数
第二章 §1 变化的快慢与变化率
1 知能目标解读 2 知能自主梳理 3 学习方法指导 4 思路方法技巧
5 探索延拓创新 6 易错辨误警示 7 课堂巩固训练 8 课后强化作业
知能目标解读
• 1．了解函数平均变化率的概念 • 2．掌握函数平均变化率的求法 • 3．理解瞬时变化率 • 本节重点：函数的平均变化率、瞬时变化率、
0.02×902＝262；生产90个到100个单位该产品时，成本的平
均变化率为c110000－－9c090＝3.8.
易错辨误警示
下列说法：①函数y＝4x＋1在x从1变到3时的平 均变化率ΔΔyx＝ΔΔxxxy＝yx；②函数y＝x2＋x在x从0变到2时，Δx＝2 －0＝2，Δy＝f(2)－f(0)＝6；③函数y＝ x 在x从4变到9时，Δy ＝f(9－4)＝f(5)＝ 5.其中正确的有________．
2019-2020高中北师版数学选修2-2 第2章 §1 变化的快慢与变化率课件PPT
2 [Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2， ∴ΔΔst＝2Δt＋ΔtΔt2＝2＋Δt，当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 2．]
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3．一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)从 x1 到 x2 的平均变化率为 ________．
a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固 定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变 化率都等于常数 a.]
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合作探究 提素养
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求函数的平均变化率 【例 1】 (1)已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，
Δy 的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
(2)已知函数 f(x)＝x＋1x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和
从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
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1．函数 y＝x2＋1 在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
C [∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔyx＝2Δx＋ΔxΔx2＝2＋Δx，故选 C.]
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平均变化率的实际应用
【例 2】 甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如 图所示，试比较两人的速度哪个快？
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自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f55－ －f33＝5＋15－23＋31＝1154. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值 变化得较快．
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3．一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0)从 x1 到 x2 的平均变化率为 ________．
a [一次函数的图像为一条直线，图像上任意两点连线的斜率固 定不变，故一次函数在定义域内的任意两个自变量取值之间的平均变 化率都等于常数 a.]
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合作探究 提素养
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求函数的平均变化率 【例 1】 (1)已知函数 y＝f(x)＝x2＋1，则在 x＝2，Δx＝0.1 时，
Δy 的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
(2)已知函数 f(x)＝x＋1x，分别计算 f(x)在自变量 x 从 1 变到 2 和
从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
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1．函数 y＝x2＋1 在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2
B．2x
C．2＋Δx
D．2＋(Δx)2
C [∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔyx＝2Δx＋ΔxΔx2＝2＋Δx，故选 C.]
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平均变化率的实际应用
【例 2】 甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如 图所示，试比较两人的速度哪个快？
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自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 f55－ －f33＝5＋15－23＋31＝1154. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值 变化得较快．
高中数学选修2-2 北师大版 变化的快慢与变化率 课件 (18张)
������(������1 )-������(������0 ) ������1 -������0
=
率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
做一做 2
如果某物体作运动方程为 s=2(1-t2)的直线运动(s 的单位:m,t 的单位:s), 那么,物体在 1.2 s 末的瞬时速度为 ( ) A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s 解析:������ = -4.8 m/s. 答案:A
Δ��� )-������(������1 ) .我们用它来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的 ������2 -������1
温馨提示
1.
������ ������
=
������(������2 )-������(������1 ) ������2 -������1 ������ ������
第二章
变化率与导数
§2.1
变化的快慢与变化率
学习目标 思维脉络 1.理解函数在某点的平 均变化率的概念与意义. 2.理解运动物体在某时刻的 瞬时变化率(瞬时速度). 3.会求函数在某点的平均变 化率. 4.能正确地理解平均变化率 与瞬时变化率的区别与联 系.
1
2
1.函数的平均变化率 对一般的函数 y=f(x)来说,当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变 为 f(x2),它的平均变化率为
与 Δx 是相对应的“增量”,即当
Δx=x2-x1 时,Δy=f(x2)-f(x1).
1
2
做一做 1
一物体的运动方程是 s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速 度为( ) A.0.41 解析:������ = 答案:D
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件
f 解： (1) 4 表示该工人工作1h的时候，其生产速 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
表示该工人上班后工作3h的时候，其生 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。
或 y | x x0, 即
f ( x0 )
f ( x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 f f ( x0 x) f ( x0 ); f ( x0 x) f ( x0 ) f ; 2. 求平均变化率 x x f lim . 3. 求值 f ( x0 ) x0 x
h(t0 t ) h(t0 ) lim t 0 t 2 4.9(t ) (9.8t0 6.5)t lim t 0 t lim (4.9t 9.8t0 6.5)
t 0
9.8t0 6.5
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
2
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
h v t h(2 t ) h(2) 13.1 4.9t t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
f 解： (10) 1.5 表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μ g/（mL· min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μ g/（mL· min）。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选
提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.
北师大版高中数学选修2-2《2.1 变化的快慢与变化率》优秀课件
模块二：瞬时变化率
随堂练习
2.求f
(x)
1 x2
2
在x 1处的瞬时变化率.
解 : y f (1 x) f (1)
2x x2 (1 x)2
y x
2 x (1 x)2
当x 0时，y -2 x
即x 1处瞬时变化率为 - 2
变化的快慢与变化率
模块二：瞬时变化率
随堂练习
3.质点N按规律s at2 3(s为位移) 做直线运动，质点N在t 2时瞬时 速度为4，求a.
y 4 x x 当x 0时，y 4
x 即x 2处瞬时变化率为4
求瞬时变化率的步骤：
1.求自变量的改变量：x x2 x1 2.求函数值的改变量：y f ( x2 ) f ( x1) 3.计算f ( x)的平均变化率为 y
x 4.当x 0, y 常数M，即
x 瞬时变化率
变化的快慢与变化率
解：s s(2 t) s(2)
作用：刻画f (x)在区间[x1, x2 ]上变化的快慢
几何意义：曲线y f (x)在(x1, f (x1)), (x2, f (x2 ))连线的斜率
变化的快慢与变化率
模块一：平均变化率
随堂练习
1.y f (x)在A，B两点间的平均 变化率是__-_1___
求函数f (x)平均变化率的步骤:
1.求自变量的改变量：x x2 x1
v1, v2 ? (2)小球在t 5时的瞬时速度？
解：(1)v1
s(6) 6
s(5) 5
53.9
s(5.1) s(5) v2 5.1 5 49.49
变化的快慢与变化率 模块二：瞬时变化率
例2 一小球从高空自由下落，其走过的路程 s与时间t之间的函数关系是s 1 gt2
2018版数学北师大版选修2-2课件：第二章 变化率与导数
x＋3 ，－1≤x≤1， 2 由函数 f(x)的图像知，f(x)＝ x＋1，1<x≤3.
3 f2－f0 3－2 3 所以函数 f(x)在区间[0,2] 上的平均变化率为 ＝ 2 ＝4. 2－0 解析
答案
类型二 求瞬时速度 例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)
题型探究
类型一 函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率 Δy； Δx
解答
Δy ②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率 . Δx
解
当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
y(℃)
39
38.7 38.5
38
37.6 37.3 36.9
思考1
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？
答案 不相同．
答案
思考2
哪段时间体温变化较快？ 答案 从20分钟到30分钟变化最快．
答案
思考3
如何刻画体温变化的快慢？ 答案 用体温的平均变化率．
答案
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δs ∴当 Δt 趋于 0 时， Δt 趋于 1，
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.
解答
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
Δs st0＋Δt－st0 又 ＝ ＝(2t0＋1)＋Δt. Δt Δt
的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
(北师大版)数学选修2-2：第2章《变化的快慢与变化率》ppt课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发
北师版数学高二选修2-2课件 章末复习课第二章变化率与导数
跟踪训练1 求下列函数的导数. (1)y＝cos(2 018x＋8)； 解 y′＝－sin(2 018x＋8)·(2 018x＋8)′ ＝－2 018sin(2 018x＋8).
解答
(2)y＝21－3x； 解 y′＝21－3x·ln 2·(1－3x)′ ＝－3ln 2·21－3x.
解答
Байду номын сангаас
(3)y ＝ ln(8x ＋ 6) ； 解 y′＝8x＋ 1 6·(8x＋6)′ ＝8x＋8 6＝4x＋4 3.
⑦f(x)＝tan
x，则f′(x)＝
1 cos2x
；
⑧f(x)＝cot x，则f′(x)＝－sin12x . (2)导数四则运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
③[gfxx]′＝f′xgxg－2xfxg′x.
3.导数的运算 (1)基本初等函数的导数 ①f(x)＝c，则f′(x)＝0； ②f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1； ③f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；
1 ④f(x)＝logax，则f′(x)＝ xln a ； ______________
⑤f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； ⑥f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x ；
②计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值 ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
③当Δx无限趋近于0时，即Δx→0时，则
Δy Δx
无限趋近于某一常数A，这一
常数A就是函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0).
(2)利用导数公式及运算法则求函数的导数f′(x)，则函数在x＝x0点的导 数为f′(x0). 2.利用导数求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0). (2)利用直线方程的点斜式得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
高中数学北师大版选修2-2第二章《变化率与导数》ppt章末归纳总结课件
(2)显然Q(2,0)不在曲线y＝1x上， 则可设过该点的切线的切点为A(a，1a)(a≠0)， 则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－a12. 则切线方程为y－1a＝－a12(x－a)，① 将Q(2,0)代入方程①得0－1a＝－a12(2－a)， 解得a＝1，故所求切线方程为y＝－x＋2.
(3)设切点坐标为A(a，1a)，则切线的斜率为k2＝－
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x＝alnx，
由已知得 1 2
x＝ax，
解得a＝2e，x＝e2，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)，切线的斜率为k＝f′(e2)
＝21e，
∴切线的方程为y－e＝21e(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.
•导数的物理意义
•
已知一个质量为1的物体的运动方程是
s(t)＝3t2－t＋2.试求物体在t＝10时的：(1)瞬时速
•导数的计算
•
需熟记导数公式，主要应用是求导函数
的函数值．对于复合函数求导的关键是明确函数的复
合过程，将其转化为基本初等函数的形式或直接能使
用导数的运算法则进行求导的形式．
• 函数和、差、积、商的导数运算法则可推广到有 限个导数运算的四则运算．
求下列函数的导数：
(1)y＝5－4x3；(2)y＝3x2＋xcosx；(3)y＝cos(
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C
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1 在区间[1， x1]上的平均
34 x 变化率为 f (x1) f (1) x1 1
7
y
C
f(34)
f(x2)
f(x1) A
f(1)
o1
y=f(x)
x1
x2 34
4
实例3分析
抚州市今年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温
气温变化曲线
T(oC) 33.4
3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4)
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o 1(3月18日为第一天)
探索思考
4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率.
y
C1 C3
答案：是0
B C2 A
平均变化率的缺点:
它不能具体说明函 数在这一段区间上的变 化情况.
O x1
x2 x
13
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
你能否类比归纳出 “函
数f(x)在区间[x1,x2]上的平均 变化率”的一般性定义吗？
[问题]如果将上述气温
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1 在区间[1， x1]上的平均
x 变化率为 f (x1) f (1) x1 1
3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：是k
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区
间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
12
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
2
实例1分析
银杏树
雨后春笋
树高:15米 树龄:1000年
高:15厘米 时间:两天
3
实例2分析
物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时 间t走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如 下表.
t(秒) 0 2 5 10 13 15 … s( 0 6 9 20 32 44 …
米)
物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内，哪一段 时间运动得更快？
=△y
0
x1 =△x x
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
2 平均变化率的几何意义：
曲线 y f (x) 上两点 (x1, f (x1))、(x2, f (x2 )) 连线的斜率.
9
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
在区间[x2，34]上的平 均变化率为 f (34) f (x2 )
34 x2
8
归纳概括
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上的平均变化率为:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
y B(x2,f(x2))
f(x2)-f(x1)
A(x1,f(x1)) x2-
y/(oC)
39
38
37
解：体温从0min到20min的平均变化率是：
38.5 39 0.5 0.025 20 0 20
(
C/min)
体温从20min到30min的平均变化率是：
38 38.5 0.05 30 20
( C/min)
36
0.05 0.025
0 10 20Βιβλιοθήκη 30 40 50 60 70 x/min ∴后面10min体温变化较快 11
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
探索思考
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平
均变化率.
答案：都是2
2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：还是2
32 34 t (d)
5
y
f(34)
A
f(1)
o1
y=f(x)
[问题]如果将上述气温
C
曲线看成是函数y = f(x) 的图象, 则函数y = f(x) 在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1
34 x
6
y f(34)
f(x1) A
f(1)
o1
y=f(x)
x1
[问题]如果将上述气温
x2 x1
探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1，3] , [1，2], [1，1.1] ,[1，1.01] ,[1，1.001]上的平均变化率.
答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、 2.1、2.01、2.001
规律： 当区间的右端点逐渐接近1 时，平均变化
率逐渐接近2.
x2 x1
数学 应用
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分
别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重
的平均变化率.
W(kg) 11
8.6 6.5
3.5
03
6
实际意义
婴儿出生后，体 重的增加是先快
后慢
解：婴儿从出生到第3个月的平均变化率是：
6.5 3.5 1 30
婴儿从第6个月到第12个月的平均变化率是：
14
回顾小结:
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上的平均变化率为:
北师大版高中数学选修2-2第二 章《变化率与导数》
1
一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并 能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化 的快慢。 二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度 的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上 变化的快慢的数量描述。 教学难点：对平均速度的数学意义的认识 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
11 8.6
0.4
12 6
12 T(月)
10
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
数学 应用
某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从0min到20min 和从20min到30min体温的变化情况，哪 段时间体温变化较快？
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1 在区间[1， x1]上的平均
34 x 变化率为 f (x1) f (1) x1 1
7
y
C
f(34)
f(x2)
f(x1) A
f(1)
o1
y=f(x)
x1
x2 34
4
实例3分析
抚州市今年3月18日到4月20日期间的日最高气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温
气温变化曲线
T(oC) 33.4
3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
C(34,33.4)
B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
o 1(3月18日为第一天)
探索思考
4.变式三:求函数f(x)=x2在区间[-1,1]上的平均变化率.
y
C1 C3
答案：是0
B C2 A
平均变化率的缺点:
它不能具体说明函 数在这一段区间上的变 化情况.
O x1
x2 x
13
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
你能否类比归纳出 “函
数f(x)在区间[x1,x2]上的平均 变化率”的一般性定义吗？
[问题]如果将上述气温
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1 在区间[1， x1]上的平均
x 变化率为 f (x1) f (1) x1 1
3.变式二:函数f(x): =kx+b在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：是k
一般地，一次函数f(x)=kx+b（k≠0）在任意区
间[m,n](m<n)上的平均变化率等于k.
12
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
2
实例1分析
银杏树
雨后春笋
树高:15米 树龄:1000年
高:15厘米 时间:两天
3
实例2分析
物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时 间t走过的路程，在运动的过程中测得了一些数据，如 下表.
t(秒) 0 2 5 10 13 15 … s( 0 6 9 20 32 44 …
米)
物体在0～2秒和10～13秒这两段时间内，哪一段 时间运动得更快？
=△y
0
x1 =△x x
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
2 平均变化率的几何意义：
曲线 y f (x) 上两点 (x1, f (x1))、(x2, f (x2 )) 连线的斜率.
9
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
在区间[x2，34]上的平 均变化率为 f (34) f (x2 )
34 x2
8
归纳概括
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上的平均变化率为:
f (x2 ) f (x1) x2 x1
y B(x2,f(x2))
f(x2)-f(x1)
A(x1,f(x1)) x2-
y/(oC)
39
38
37
解：体温从0min到20min的平均变化率是：
38.5 39 0.5 0.025 20 0 20
(
C/min)
体温从20min到30min的平均变化率是：
38 38.5 0.05 30 20
( C/min)
36
0.05 0.025
0 10 20Βιβλιοθήκη 30 40 50 60 70 x/min ∴后面10min体温变化较快 11
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
探索思考
1.已知函数f(x)=2x+1,分别计算在区间[-1,1],[0,5]上的平
均变化率.
答案：都是2
2.变式一:求函数f(x)=2x+1在区间[m,n]上的平均变化率. 答案：还是2
32 34 t (d)
5
y
f(34)
A
f(1)
o1
y=f(x)
[问题]如果将上述气温
C
曲线看成是函数y = f(x) 的图象, 则函数y = f(x) 在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1
34 x
6
y f(34)
f(x1) A
f(1)
o1
y=f(x)
x1
[问题]如果将上述气温
x2 x1
探索思考
5.变式四:已知函数f(x)=x2,分别计算在区间 [1，3] , [1，2], [1，1.1] ,[1，1.01] ,[1，1.001]上的平均变化率.
答案：在这5个区间上的平均变化率分别是:4、3、 2.1、2.01、2.001
规律： 当区间的右端点逐渐接近1 时，平均变化
率逐渐接近2.
x2 x1
数学 应用
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分
别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重
的平均变化率.
W(kg) 11
8.6 6.5
3.5
03
6
实际意义
婴儿出生后，体 重的增加是先快
后慢
解：婴儿从出生到第3个月的平均变化率是：
6.5 3.5 1 30
婴儿从第6个月到第12个月的平均变化率是：
14
回顾小结:
1 平均变化率的定义:
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上的平均变化率为:
北师大版高中数学选修2-2第二 章《变化率与导数》
1
一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念； 2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并 能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化 的快慢。 二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度 的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上 变化的快慢的数量描述。 教学难点：对平均速度的数学意义的认识 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
11 8.6
0.4
12 6
12 T(月)
10
平均变化率
一般地,函数 f (x) 在 [x1, x2 ] 区间上
的平均变化率为: f (x2 ) f (x1)
x2 x1
数学 应用
某病人吃完退烧药，他的体温变化如图，比较时间x 从0min到20min 和从20min到30min体温的变化情况，哪 段时间体温变化较快？