高中数学数列基础知识上课讲义

栏
目 (4)等比中项：若 a，A，b 成等比数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项．值
开 关
得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中
项，且有两个，即为± ab.如已知两个正数 a，b(a≠b)的等差中项为 A，
等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为 A>B .
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n＝1 n≥2
.
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第5讲
2．等差数列的有关概念
(1)等差数列的判断方法：定义法 an＋1－an＝d(d 为常数)或 an＋1－an＝an
本
－an－1(n≥2)．
课 栏 目 开
(2)等差数列的通项：an＝a1＋(n－1)d 或 an＝am＋(n－m)d. (3)等差数列的前 n 项和：Sn＝na12＋an，Sn＝na1＋nn2－1d.
本
课 栏
A．7 B．15 C．20 D．25
目 开
解析 利用等差数列的性质求解．
关 ∵{an}是等差数列，
(B )
∴a2＋a4＝2a3＝1＋5，
∴a3＝3，∴S5＝5a12＋a5＝5×22a3＝5a3＝5×3＝15.
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第5讲
2．(2012·福建)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为( B )
关
(3)等比数列的前 n 项和：当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn
＝a11－－aqnq.
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第5讲
易错警示：由于等比数列前 n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列
前 n 项和时，首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式
的形式，当不能判断公比 q 是否为 1 时，要对 q 分 q＝1 和 q≠1 两种情 本 课 形讨论求解．
目 开
解析 ∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝
关 2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，
∴k＝5.
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第5讲
5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则 a20 等于( B )
A．－1 B．1 C．3 D．7
本
课 栏
解析 由已知得 a1＋a3＋a5＝3a3＝105，
目 开
a2＋a4＋a6＝3a4＝99，∴a3＝35，a4＝33，∴d＝－2.
关
∴a20＝a3＋17d＝35＋(－2)×17＝1.
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第5讲
6．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值为
log3a10＝___1_ 0 .
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6．数列求和的方法
(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；
本
(2)分组求和法；
课 栏
(3)倒序相加法；
目
(4)错位相减法；
开 关
(5)裂项法．
如：nn1＋1＝n1－n＋1 1；nn1＋源自文库＝1kn1－n＋1 k.
第5讲
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第5讲
1．(2012·重庆)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前 5 项和 S5 等于
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5数列
第5讲
本
课 1．数列的概念
栏 目
(1)数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的
开 关
特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．如(1)已知 an＝
n2＋n156(n∈N*)，则数列{an}的最大的项的值为
1 25
.
(2)前
n
项和
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，an＝SS1n－Sn－1
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 方法一 利用基本量法求解．
本 课 栏
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得2aa1＋1＋34dd＝＝71. 0，
目 开 关
解得ad1＝＝21.， ∴d＝2.
方法二 利用等差数列的性质求解．
∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. 又 a4＝7，∴公差 d＝7－5＝2.
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3．等差数列{an}的通项公式是 an＝1－2n，其前 n 项和为 Sn，则数列Snn的
前 11 项和为
(D )
A．－45 B．－50 C．－55 D．－66
本 课 解析 由等差数列{an}的通项公式得 a1＝－1， 栏
目 开 关
所以其前 n 项和 Sn＝na12＋an＝n－1＋21－2n＝－n2，则Snn＝－n.
课 栏
＋(a1－d2)n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.
目 开
(2)若公差 d>0，则为递增等差数列；若公差 d<0，则为递减等差数列；
关 若公差 d＝0，则为常数列．
(3)当 m＋n＝p＋q 时，则有 am＋an＝ap＋aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，
则有 am＋an＝2ap.
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4．等比数列的有关概念
(1)等比数列的判断方法：定义法aan＋n1＝q(q 为常数)，其中 q≠0，an≠0
本 课
或aan＋n 1＝aan－n1(n≥2)．如一个等比数列{a5n}共有 2n＋1 项，奇数项之积为
栏
100，偶数项之积为 120，则 an＋1＝ 6
.
目 开
(2)等比数列的通项：an＝a1qn－1 或 an＝amqn－m.
所以数列Snn是首项为－1，公差为－1 的等差数列，
所以其前 11 项的和为 11×(－1)＋11×2 10×(－1)＝－66.
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第5讲
4．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，公差 d＝2，Sk＋2－Sk＝24，
则 k 等于
(D )
本 A．8
B．7
课 栏
C．6
D．5
第5讲
5．等比数列的性质
当 m＋n＝p＋q 时，则有 am·an＝ap·aq，特别地，当 m＋n＝2p 时，则有
本 课
am·an＝ap2.如
栏
①在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比 q 是整数，则 a10
目 开
＝ 512 .
关
②各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5·a6＝9，则 log3a1＋log3a2＋…＋
关
(4)等差中项：若 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项，且
A＝a＋2 b.
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第5讲
3．等差数列的性质
(1)当公差 d≠0 时，等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d 是
本
关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和 Sn＝na1＋nn2－1d＝d2n2