微积分在大学物理的一些应

微积分在大学物理的一些应用摘要在大学物理中微积分有非常大的用处，随处可见给我们解题带来的方便。

即如在质点运动，力学，功，热学，电磁学等都有体现出了。

在习题解答中也处处能用到，也许是他们的特殊的性质和集合意义，让他们在物理应用中非常的全面。

如在质点运动中瞬时速度，用符号 “v ”表示，即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆。

微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。

大学物理中，我们常常研究始终都在变化的物理量，会觉得很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就就可以认为是常量处理，最终加起来就行了。

关键词：微积分，取极限，分割，求导引言微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，“无限细化”就是微分，“无限求和”就是积分。

在学习物理的过程中，我们常常是在研究不规则的物理量或物理状态。

有了这个思想，那我们就可以把问题细化，研究一个小的微元的变化量，然后相加，非常方便。

一、力学 1.1质点运动学1、若质点在t ∆时间内的位移r ∆，则定义r ∆与t ∆的比值为质点在这段时间内的平均速度，写为 rv t∆=∆ 其分量形式r x y z v i j k t t t t∆∆∆∆==++∆∆∆∆ 当0t ∆→时，平均速度的极限值叫做瞬时速度，用符号“v ”表示，即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆0t ∆→时，r ∆的量值r ∆可以看作和s ∆相等，此时瞬时速度的大小d rv dt=等于质点在该点的瞬时速率ds dt。

t 时刻质点的速度为();v t 在t t +∆时刻，质点位于下一点时其速度为()v t t +∆；则在时间t 内，质点的速度为()()v v t t v t ∆=+∆-。

定义质点在这段时间内的平均加速度为 v a t∆=∆ 平均加速度是矢量，方向与速度增量的方向相同。

0t ∆→时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，即220lim t v dv d ra t dt dt ∆→∆===∆这样在解题过程中就能用到。

微积分在题目中的用处十分的便捷。

如下例题例1、质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -⋅，x 的单位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值．解： ∵ xv v t x x v t v a d d d d d d d d ===分离变量： x x adx d )62(d 2+==υυ 两边积分得c x x v ++=322221 由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v2、在运动学中微积分同样可以发挥作用，就连在振动欲动中我们也能用微积分来解救问题，如：例2、如题1图所示，物体的质量为m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为θ，弹簧的倔强系数为k ，滑轮的转动惯量为I ，半径为R ．先把物体托住，使弹簧维持原长，然 后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．题1图解：分别以物体m 和滑轮为对象，其受力如题4-3图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x 时，有221d d sin txm T mg =-θ ①βI R T R T =-21 ②βR tx=22d d )(02x x k T +=③式中k mg x /sin 0θ=，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有kxR txR I mR -=+22d d )(令 ImR kR +=222ω则有0d d 222=+x txω 故知该系统是作简谐振动，其振动周期为)/2(22222K R I m kRI mR T +=+==ππωπ1.2牛顿定律物体的质量m 和其运动速度v 的乘积叫做物体的动量，用符号“p ”表示。

p 是矢量，其方向与速度的方向一致。

p mv =牛顿第二定律的内容是：动量为p 的物体，在合力()i F F ∑的作用下，其动量随时间的变化率应当等于作用与物体的合外力。

其微积分的表达式为()()()d p t d mv F t dt dt== 物体运动的速度小于光速时，物体的质量可以认为是常量，此时上式可写成()dvF t mma dt== 在直角坐标系中式可以沿着坐标轴分解，写成如下式y x z dv dv dv F mi m j m k dt dt dt=++ 即x y z F ma i ma j ma k =++物体在运动的过程中力一般的时刻在变的，那利用微积分学就能让变化的力变成一个简单的匀速直线运动，然后积分和变速运动。

下面用一个例子说明下，微积分用在这里很方便，给我们解题带来了很大的帮助。

见例题：例3、一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即d v /d t = -kv 2，k 为常数．（1）试证在关闭发动机后，船在t 时刻的速度大小为011ktv v =+；（2）试证在时间t 内，船行驶的距离为01ln(1)x v kt k =+．[证明]（1）分离变量得2d d vk t v =-，积分020d d v tv vk t v =-⎰⎰，可得 011kt v v =+．（2）公式可化为001v v v kt =+，由于v = d x/d t ，所以00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++积分00001d d(1)(1)xtx v kt k v kt =++⎰⎰． 因此01ln(1)x v kt k =+． 证毕．[讨论]当力是速度的函数时，即f = f (v )，根据牛顿第二定律得f = ma ．由于a = d 2x /d t 2， 而 d x /d t = v ， 所以 a = d v /d t ， 分离变量得方程d d ()m v t f v =1.3动量定理牛顿第二定律的积分形式为()()d p t d mv F dt dt== 即()()F t dt d p d mv ==在经典力学里，当物体运动的速度远远小于光速时，物体的质量可以认为是不依赖于速度的常量，此时上式变形为()F t dt d p mdv ==在()F t 作用下的一段时间21t t t ∆=-内，上式两端可积分，得212121t t Fdt p p mv mv =-=-⎰式中，1p 、1v 以及2p 、2v 分别对应1t 、2t 时刻的动量和速度。

式子左面21t t Fdt ⎰为力在这段时间内对时间的积累，叫做力的冲量，即21t t I Fdt =⎰显然我们就能利用上面的公式来求解题目，即使物体在做不规则运动，我们仍然也能求得到。

1.4功在以前我们知道用公式计算但当物体的路径是不规则的那我们在呢么办呢。

有了微积分学的帮助问题就简单多了，当质点有A 点运动到B 点，此过程中作用于质点上的力的大小和方向时刻都在变化。

为求的在此过程中变力所做的功，可以把A 到B 的路径分成很多小段，每一小段都看做是一个元位移，在每个元位移中，力可以近似看作不变。

因此我们就能用微积分式子表示它，即：.cos BBAAW F d r F ds θ==⎰⎰合力的功，等于各个分力的功的代数和。

我们可以把力F 和d r 看作是其在各个坐标轴上的分力的矢量和，即 x y z F F i F j F k =++d r dxi dy j dzk =++此时做功为.()BBx y z AAW F d r F dx F dy F dz ==++⎰⎰各个分力所做功为,,B B BAAAx y z x x y y z z x y z W F dx W F dy W F dz ===⎰⎰⎰同理，若有几个力1F 、2F 、、n F 同时作用在质点上，则其合力所做的功为12.().B B n AAW F d r F F F d r ==+++⎰⎰二，热学2.1气体分子的速率我用一个例题说明微积分在这里的一个简单的应用。

例4、 设有N 个粒子的系统，其速率分布如题2图所示．求(1)分布函数)(v f 的表达式； (2)a 与0v 之间的关系；(3)速度在1.50v 到2.00v 之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．(5)0.50v 到10v 区间内粒子平均速率．题2图解：(1)从图上可得分布函数表达式⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤≤=≤≤=)2(0)()2()()0(/)(00000v v v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v Na v v Nv av v f )(v f 满足归一化条件，但这里纵坐标是)(v Nf 而不是)(v f 故曲线下的总面积为N ， (2)由归一化条件可得⎰⎰==+0002032d d v v v v Na Nv a N v v avN (3)可通过面积计算N v v a N 31)5.12(00=-=∆ (4) N 个粒子平均速率⎰⎰⎰⎰+===∞∞00202d d d )(1d )(v v v v av v v av v v vNf Nv v vf v02020911)2331(1v av av N v =+=(5)05.0v 到01v 区间内粒子平均速率⎰⎰==0005.0115.0d d v v v v NNv N N N Nv v⎰⎰==00005.05.00211d d )(v v v v v Nv av N N v v vf N N 2471)243(1d 12103003015.002100av N v av v av N v v av N v v v =-==⎰ 05.0v 到01v 区间内粒子数N av v v a a N 4183)5.0)(5.0(210001==-+=三、电磁学3.1电磁学是研究电、磁和电磁的相互作用现象，及其规律和应用的物理学分支学科。

根据近代物理学的观点，磁的现象是由运动电荷所产生的，因而在电学的范围内必然不同程度地包含磁学的内容。

所以，电磁学和电学的内容很难截然划分，而“电学”有时也就作为“电磁学”的简称.早期，由于磁现象曾被认为是与电现象独立无关的，同时也由于磁学本身的发展和应用，如近代磁性材料和磁学技术的发展，新的磁效应和磁现象的发现和应用等等，使得磁学的内容不断扩大，所以磁学在实际上也就作为一门和电学相平行的学科来研究了。

和电磁学密切相关的是经典电动力学，两者在内容上并没有原则的区别。