实验五定积分的近似计算

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定积分的近似计算课件

梯形法
总结词
梯形法是另一种常见的定积分近似计算方法，它利用梯形的面积来近似代替曲线下方的面积。
详细描述
梯形法的基本思想是在积分区间[a, b]上选择n个点$x_0, x_1, ..., x_n$，其中$x_0=a$，$x_n=b$，然后在每个小区间上作一个梯形，梯形的上底为函数f(x)在小区间左端点处的值，下底为函数f(x)在小区间右端点处的值，高为小区间的长度。将这些梯形的面积加起来，就得到了定积分的近似值。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定积分的常数倍性质是指对于任意实数k ，有∫(a→b)k⋅f(x)dx=k⋅∫(a→b)f(x)dx。
定积分的几何意义
01
02
面积
体积
定积分在几何上表示曲线y=f(x)与直线x=a，x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
通过定积分可以计算某些平面图形的面积，也可以计算某些立体的体积。
02
定积分的近似计算方法
定积分来得到近似解。
近似计算在工程中的应用
结构分析中的受力分析
在工程结构分析中，需要计算结构的受力分布情况。通过近似计算定积分，可以求得结构的受力分布情况，从而为结构设计提供依据。
控制系统的稳定性分析
在控制系统的稳定性分析中，需要计算系统的传递函数。通过近似计算定积分，可以求得系统的传递函数，从而为控制系统的稳定性分析提供依据。
03
误差分析
矩形法误差分析
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，但误差较大。
详细描述
矩形法基于将积分区间划分为若干个等宽的小区间，每个小区间用矩形面积近似替代被积函数面积。由于矩形面积等于区间长度乘以函数值，所以误差主要来源于对曲线形状

《数学实验》实验报告——定积分的近似求解

３
2 梯形法程序如下： f=input('请输入被积函数 f(x)='); qujian=input('请输入积分区间[a,b]='); n=input('请输入子区间个数 n='); s=0; for i=1:n-1 x=qujian(1)+(qujian(2)-qujian(1))/n*i; y=eval(f); s=s+y; end x=qujian(1); y=eval(f); s=s+y/2; x=qujian(2); y=eval(f); s=s+y/2; disp('定积分的近似值是:'); s=s*(qujian(2)-qujian(1))/n
《数学实验》实验报告
班级试验内容 **** 学号 **** 姓名试验类别
自选试验
****
成绩试验时间 2011 年 5 月 20 日—22 日
定积分的近似求解
试验问题：
用梯形法与抛物法，通过 MATLAB,计算 x 2 dx 的近似值，取 n=10,比较结果的差异，研究
0 1
定积分的两种近似计算方法。
1 1 1 2 ph 3 6rh h(2 ph 2 6r ) h( y 0 4 y1 y 2 ) 3 3 3 。 ba n ，则上面所求的 S 等于区间 [ x0 , x2 ] 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积。同理可

取
以得到区间 [ xi 1 , xi 1 ] 上以抛物线为曲边的曲边梯形的面积：
试验目的：
通过分别用梯形法与抛物线法计算定积分的近似值，进而熟练掌握运用 MATLAB 来解决定积分的近似求解，体会 MATLAB 的强大功能。

5-6定积分的近似计算-PPT课件

n 由此可知组曲边梯形的面积为 2 1 1 A (y 4y (y 4y 1 h 0 1 y 2), A 2 h 2 3 y 4), 3 3 1 ba A (y 4y 其中 h . n h n 2 n 1 y n), 3 n 2
b a f ( x ) dx [( y y ) 2 ( y y y ) 0 n 2 4 n 2 a 3 n 4 ( y y y )]. ( 4 ) 1 3 n 1
2 M ( h , y ), 的抛物线 y px qx r为曲边的 2 2
抛物线方程中的 p ,q ,r 可由下列方程组确
y0 ph2 qh r , y1 r , 2 y ph qh r . 2
2 由此得 2 ph y 2 y y . 0 1 2
用分点 a x ,x , ,x b 将区间 [ a ,b ]n 等分， 0 1 n

b
a
f ( x )dx y i 1 x
i 1
n
yn
ba n y i 1 n i 1
y0 y1
y n 1
x n 1 x n b
(1 )
oa x x
0
1
x
取右端点的函数值 y i 1 , 2 , , n ) 作为窄矩 i( 的高，如图
b a
f (x)dx( f (x) 0) 在数值上表示曲边梯形
面积，就得到所给定积分的近似值．
常用方法：矩形法、梯形法、抛物线法．
的面积，只要近似地算出相应的曲边梯形的
二、矩形法
取小区间左端点的函数值 y i 0 , 1 , ,n ) 作为 i( 窄矩形的高，如图 y yf( x ) 则有

定积分近似计算方法

定积分的近似计算方法摘要本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词插值型积分龙贝格积分高斯积分误差分析近似计算1引言在计算定积分的值()b aI f x dx =⎰时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baI f x dx F b F a ==-⎰.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2bx ae dx ⎰,2sin ba x dx ⎰等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ϕ来近似代替()f x ,且()b a x dx ϕ⎰的值容易求的.这样就把计算复杂的()ba f x dx ⎰转化为求简单的积分值()bax dx ϕ⎰.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数()(0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式()()()nn i i i x f x l x ϕ==∑,其中 011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=----,将插值公式(1)1()()()()(1)!n n n f f x x x n ξϕω++=++.其中1012()()()()()n n x x x x x x x L x x ω+=----,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得(1)1()()()()(1)!n bb bn n aa af f x dx x dx x dx n ξϕω++=++⎰⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nb biiin aai f f x l x dx x dx n ξω++==++∑⎰⎰(1)(1)0()()()()(1)!n nbbi i n aai f f x b l x dx x dxn ξω++==++∑⎰⎰若记 (),(0,1,2,bi ia A l x dx i ==⎰….. )n (1)(1)1()[]()(1)!n bn af R f x dxn ξω++=+⎰, (2)则有()()[]nbi i ai f x dx A f x R f ==+∑⎰(3)称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数10012bb aa x x xb b aA dx dx x x a b ---===--⎰⎰,01102bb aa x x x ab a A dx dx x x b a ---===--⎰⎰.从而的求积公式()[()()]2bab a f x dx f a f b -≈+⎰. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.2梯形公式截断误差: 3*()[](),12b a R f f ξ-''=- *[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中 1(1)2bab adx b a x b a -=-=+=-⎰. 精确成立.2.1.2 辛普森求积公式1辛普森求积公式当选取节点为012,,2a bx a x x b +===时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===+----⎰⎰,0211002()()()()2()()()3()()22bb aa x x x x x a xb b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===++----⎰⎰.0122021()()()()2()()6()()22b b a a a bx a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +-----===++----⎰⎰ .从而求积公式()[()4()()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++⎰. （6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.2抛物线求积公式误差估计定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:5(4)**()[](),[,]2880b a R f f a b ξξ--=∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4()f x x =时,式(6)不能精确成立.2.1.3 牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b ah i n-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:10(1)(1)(1)()!(1)(1)!ni n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==--⎰10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!n nb a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-⎰ (8)则 ()()n i i A b a C =- (9) 于是差值求积公式为:()0()()()[]nbn i i ai f x dx b a C f x R f ==-+∑⎰(10)称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()n iC 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为(1)()[]()()()(1)!n b b bn aaaf R f f x dx x dx x dxn ξϕω+=-=+⎰⎰⎰牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成(2)*1()[]()((2)!n bn a f R f x dx n n ξω++=+⎰为偶数）(1)*1()[]()(1)!n bn a f R f x dx n ξω++=+⎰ (n 为奇数） (11) 其中*[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超过n 次多项式,均有(1)()0n fx +≡,因而[]0R f ≡,即0()()nbi i ai f x dx A f x ==∑⎰精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.2.1.4复化梯形求积公式将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b ah n-=),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得11111()()[(()()]2ii nnbx i i i i ax i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑⎰⎰11[()()]2ni i i hf x f x +=+=∑11[()2()()]2n i n i hf a f x f b T -=++=∑ (12)称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()2()()()12i n b a R f h f η-''=-(13) 2.1.5复化辛普森求积公式在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得11102()[()4()()]6n bi i ai i hf x dx f x f x f x -++==++∑⎰（14）111012[()4()2((6)]6n n i i i i hf a f x f x f --+===+++∑∑记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)式中,21+i x为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2121+=+.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为∑-=-=-=10)4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈故 ),(),()2(180)(R )4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k k x x -上用科茨求积公式得到复化求积公式:412()[7()7()32()45mbk ak hf x dx f a f b f x -≈++∑⎰14241411112()32()14()mmm k k k N k k k f xf x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)其中 4b a b a h n m--==, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)2()[,](),()945n b a R f C h f a b ηη-=-<. 2.1.7 变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:2"11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-<<再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则2222()()()122k b a b a I T f a b nηη--''=-<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .24kkI T I T -≈-于是 222211()()341n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为2()3n n T T - (19)2.2 龙贝格求积公式龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为23n nT T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~T .222141()333n n n n nT T T T T T =+-=- 2221(2)21n n T T =-- (20)式(20)左端1n =时记122121141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()]62b a a b f a f f b -+=++恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:11[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑121()112[()2()()2()]4n n n k k k k hT f a f x f b f x --===+++∑∑代入式(20)的左端得11111[()2()()2()32n nk k k k h f a f x f b f x -==+++--∑∑ 11[()2()()]2n k k h f a f x f b -++∑11111[()4()2()()]62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑n S =从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式2441n nn T T S -=- (21)类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式22242161151541n n n n n S S C S S -=-=- (22)可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过243431n nn C C R -=- (23)构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.2.3高斯求积公式由定理()()()baf x F b F a =-⎰知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式11()()ni i i f x A f x -==∑⎰(24)对任意积分区间[,]a b ,通过变 22ba t ab x ++-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时11()()222bab a b a a bf x dx f t dt ---+=+⎰⎰ 此时,求积公式写为0()()222n bii ai b a a b b af x dx A f t =-+-=+∑⎰若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.2.3.1 高斯求积公式的余项(2)2()[]()()()(22)!n nbb k k aa k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑⎰⎰ 其中01()()()...(),[,]n x x x x x x x a b ωη=---∈,且不依赖于x .2.3.2 复化高斯求积公式复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n 个等长小区间1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分()baf t dt ⎰的近似值m G ,即11111111()()[]222ii mmbt i i i i i i at i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑⎰⎰⎰1111[()]222m i h ha i h x dx-==+-+∑⎰101[()]222m n j j mi j h hA f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)其中mab h -=,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用3.1插值型积分的应用例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分12211I x =+⎰. 解 1n =时2210112[]0.4512101()2I -≈+=++2n =时22211112[4]0.463725116101()1()42I -≈++=+++4n =时2222111112[7321232]0.46363311390101()1()1()848I =++++≈++++例2 利用复化梯形求积公式计算积分 12211I dx x =+⎰解设211)(xx f +=,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 111[(()())],21,2(),.n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=⎧=++⎪⎪-⎪==⎨⎪=⎪⎪=+=⎩∑列表如下:n =1的计算结果见表1-1所列 n h0x 1x 0f1f1T10.50.00.51.00.80.45n =2的表格如下 n h0x1x2x0f1f 2f 2T20.250.000.250.501.000.941765 0.800.460294n =4时计算结果如下表 n h 0x1x2x3x4x40.1250.000.1250.250.3750.500f1f2f3f4f4T1.000.98461540.94117650.8767120.800.462813n = 5时计算结果如下 n h0x1x2x3x4x5x50.10.00.10.20.30.40.50f1f2f3f4f5f5T1.00.9900990.96153850.917430.8620690.80.463114例3 利用复化求积公式120x e dx ⎰,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？解由式（14）知322()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n--''''=-=- 有1(),(),2x xf x e f x e b a ''==-=,当]21,0[∈x 时,在12|()|f x e ''≤,所以122|[]|96n eR f n≤ 由于120x e dx ⎰的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足4242211048,102196⨯≥⨯≤-e n n e 或取对数有 19=n .即将区间]21,0[19等分可满足给定的精度要求.例4 利用复化抛物线求积公式计算 120211I dx x =+⎰. 解设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.)12(,2),(),(),(,,242[31221212221111,1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m当m =1,2,3时结果如下表所示当m =1时m h(0.0)f )25.0(f )5.0(f2S1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725当m =2时mh(0.0)f(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f4S20.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653当m =3时mh(0.0)f(0.08333)f (0.16667)f (0.35)f(0.33333)f (0.14166667)f )5.0(f4S30.83331.00.99310340.9729730.9411760.90.852070.80.4636例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分10sin xdx x ⎰的近似值.解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使6441021)1(28801|],[|-⨯≤≤M m S f R n ,只需.4642880102M m ⨯≥令10sin ()cos xf x txdt x==⎰, 则1()0sin ()()(cos )k kk k k d xd fx tx dt dx xdx ==⎰1cos().2k t tx kdt π=+⎰dt ktx t x f k k |)2cos(|max )(|max 10)(π+≤⎰11.1k t d t t≤=+⎰)10(≤≤x (4)1max |()| 5.f x ≤所以只要,9.13831288010264=⨯⨯≥-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T3.2 龙贝格积分公式应用例6 用龙贝格算法计算积分1241I dx x=+⎰的近似值,要求误差小于510-. 解 .3,0,14)(2==+=b a x x f 步骤如下:2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([211=+=f f T )2(计算,1.3)]21([21,516)21(12=+==f T T f 由此得 301333334121=-=T T S . (3)算出），（43),41(f f 从而,3013118)]43()41([412124=++=f f T T,14157.334242=-=T T S.30142121516121=-=S S C (4)计算),87(),85(),83(),81(f f f f 从而得到:13899.3)]87()85()83()81([812148=++++=f f f f T T ,,14159.334482=-=T T S,14059.31516242=-=S S C .1458.36364121=-=C C R(5)再计算),1615(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161(f f f f f f f f从而得到: 14094.316=T30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C 51210||-≤-R R , 所以12043.14159.1dx x ≈+⎰3.3高斯求积公式的应用例7 用两点复化高斯求积公式计算10,x I e dx =⎰要求允许误差.106-=ε解在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(mab h e x f x -== =++--=∑=)22(2201j jj b a x a b f A a b G.87189637800.1][21)32121()32121(=++-eem =2时, h =21, ]4121)21([4120202j i j j x i f A G +⨯-=∑∑==.57182571650.1)(41341333413341333413=+++=++--eeee m =3时, h =31. .37182769352.1]631)21([6130203=+⨯-=∑∑==j i j j x i f A G .101027.71||||56323--<⨯≈+-G G G3.4 几种方法的比较分析例8 计算积分211ln 2dx x =⎰，精确到0.001.(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有320()2f x x''<=<(如果1<x <2),所以按照公式0)2(S =+-dx b a x ba . 0<n R <2112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R -<<⨯,我们还必须加进由于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16⨯310-,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有1232527292132152172192 1.051.151.251.351.551.651.751.851.95x x x x x x x x x =========5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172152132927252321=========y y y y y y y y y 和6.928469284.0109284.6=(2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n<<在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.16001||-⨯<<n R ,纵坐标是9.18.17.16.15.14.13.12.11.1987654321=========x x x x x x x x x 5263.05556.05882.06250.06667.07143.07692.08333.09091.0987654321=========y y y y y y y y y和1877.669377.01877.621500101=+）（ (3) 用辛普森公式做同样的计算作公式 .0))(()2(180)()4(45<≤≤⨯--=n n R b a f n a b R ξξ 并且n =5时有55104.1||-⨯<R .实行计算到五位数字,精确到0.0000058.16.14.12.14321====x x x x 45636.555556.062500.071429.083333.04321和====y y y y 9.17.15.13.11.12927252321=====x x x x x83820.1352632.058824.066667.076923.090909.029********和=====y y y y y.20.150==x x 50000.150000.060000.150和==y y6931525.083820.345636.550000.1301=++）（. 由此可见，用辛普森公式计算得到的值误差最小，计算量相对一般；而用矩形公式计算得到的值误差较大，计算量也比较大；用梯形公式计算的值误差比用矩形公式得到的值要误差小，计算量也是如此.所以我们计算定积分时用辛普森公式往往得到的值误差小，而对没有要求误差大小的，则可以选择辛普森或者是梯形公式，因为这两种方法计算量相对较小.结束语本文只讨论了一些一维数值积分方法及其它们的应用,误差分析等有关内容.其中最常用的方法是插值型积分以及复化方法、龙贝格积分方法和高斯积分方法,并讨论了相关求积方法的代数精度和误差分析,并给出了一些例题,分析各种方法的近似值,得出误差分析最小的近似方法.由于篇幅有限,对于高维数值积分方法本文便不再讨论.参考文献[1] 华东师范大学数学系，数学分析（第一版）[M]，北京:高等教育出版社,2001. [2] 李庆阳,关治,白峰杉，数值计算原理（第二版）[M]，北京: 清华大学出版社, 2008. [3] 肖筱南，现代数值计算方法（第一版）[M]，北京: 北京大学出版社, 1999.[4] 菲赫金格尔茨，微积分学教程（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社, 2005. [5] 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法（第一版）[M] ，北京: 北京大学出版社,2004. [6] 李桂成，计算方法（第三版）[M]，北京: 高等教育出版社,2010.[7] Yin Y uezhu ,Yang Zhonglian.Calculating Skillfully the Curve Integral and Surface Integral Type 2 bySymmetry, SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION ,2008(30)The Approximate Numerical Method of the Definite IntegralAbstract This paper mainly discusses common numerical methods of unary function, such as approximate calculation method of interpolation integral, Lebesgue integral and Gauss integration. With these methods in calculating the integral, it will produce some error. In order to reduce the error, we can use after the formula for product and after the Gauss formula. This paper focus on these methods introducing formula of introduction and truncation errors .In addition they can provide examples to analysis size of the error and computation.Keywords interpolation integral Lebesgue integral Gauss integral error analysis approximate computation。

定积分的近似计算

前面的做法
1 dx 0 1 x2

ba n
y0 2

y1

y2

yn1

yn 2

trapz 函数
>> x=0:1/100:1; >> y=1./(1+x.^2); >> trapz(x, y)
trapz(x,1./(1+x.^2))
20
quad
quad
抛物线法
b
a f ( x)dx
下面的命令运行结果和上面的一样吗？
>> dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2 , -1, 1 , 0, 2 )
25
int
b
a f (v)dv
f (v)dv
符号积分： int
int(f,v,a,b) 计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 [a, b]
int(f,v)
本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。
2
主要内容
数值积分的常见算法
矩形法梯形法抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad 符号积分函数：int
3
x2i f ( x)dx
a
i1 x2i2

n i 1
ba 6n
( y2i2
4 y2i1

y2i )
15
抛物线法
整理后可得：
b
f ( x)dx
a

ba 6n

概率统计定积分近似计算实验报告

概率统计定积分近似计算实验报告
实验五、定积分的近似计算实验序号：5
日期：xxx 年 5 月 15 日班级
学号
姓名
实验名称定积分的近似计算
问题的背景和目的：
加深对大数定律的理解，学会用 o Monte Carlo 方法近
似计算定积分的值．掌握利用随机投点法和平均值法近似计算定积分的方法．：
实验内容：
（随机投点法）
估计定积分11011xeJ dxe．(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).随机投点法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 2n 个服从(0，1)上均匀分布的随机数，
1 2 1 2, , , ; , , ,n nx x x y y y ； (2) 统计 ( )i iy
f x 的次数 k ； (3) 用kn来估计1J ．
（平均值法）
估计定积分1101.1xeJ dxe(当 0 1 x
时，10 ( ) 11xef xe).平均值法的具体步骤为：
(1) 独立地产生 n 个服从 (0,1) 区间上的均匀分布的随机数1 2, , ,nx x x ； (2) 计算 ( )if x ； (3) 用
11( )niif xn来估计1J ．（4）自己从《数学分析》教材中找一个“积不出来”的定积分，利用上述方法近似计算积分。

实验所用软件及版本：
Excel 2003 实验过程：
实验结果总结：
教师评语与成绩：
挺有创意的！
范文自然，朴实。

很受用的一篇范文，谢谢分享！。

定积分的近似运算

一．单调增函数
（1）y=x^2
矩形法inum1 =0.328350000000000 inum2 = 0.338350000000000
inum3 =0.333325000000000
integrate =1/3 integrate = 0.333333333333333
the relative error between inum1 and real-value is about: 0.01495
the relative error between inum2 and real-value is about: 0.01505
the relative error between inum3 and real-value is about: 2.5e-05
梯形法inum =0.333350000000000 integrate =1/3
the relative error between inum1 and real-value is about: 0.0199
the relative error between inum2 and real-value is about: 0.0201
the relative error between inum3 and real-value is about: 5e-05
fx1=subs(fx,x,x1);
fx2=subs(fx,x,x2);
si=(fx0+4*fx1+fx2)*(b-a)/(6*n);
inum=inum+si;
end
inum
integrate=int(fx,0,1);
integrate=double(integrate)

定积分近似计算方法

定积分近似计算方法定积分的近似计算方法摘要本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等.关键词插值型积分龙贝格积分高斯积分误差分析近似计算1引言在计算定积分的值()b aI f x dx =时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()baI f x dx F b F a ==-?.但在实际应用中,这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2bx ae dx ?,2sin ba x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值.与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替()f x ,且()b a x dx ??的值容易求的.这样就把计算复杂的()ba f x dx ?转化为求简单的积分值()bax dx ??.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题.2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式.利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是：给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数()(0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式()()()nn i i i x f x l x ?==∑,其中 011011()()()()()()()()()i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----=----,将插值公式(1)1()()()()(1)!n n n f f x x x n ξ?ω++=++.其中1012()()()()()n n x x x x x x x L x x ω+=----,[,]a b ξ∈,依赖于变量x , 上式积分得(1)()()()(1)!n bb bn n aa af f x dx x dx x dx n ξ?ω++=++?(1)(1)0()()()()(1)!n nb biiin aai f f x l x dx x dx n ξω++==++∑??(1)(1)0()()()()(1)!n nbbi i n aai f f x b l x dx x dxn ξω++==++∑??若记 (),(0,1,2,bi ia A l x dx i =….. )n (1)(1)1()[]()(1)!n bn af R f x dxn ξω++=+?, (2)则有()()[]nbi i ai f x dx A f x R f ==+∑?(3)称式(3)为插值求型公式,其中(0,1,2,i A i =…. )n 与()f x 无关,叫求积系数, i x 为求积节点,[]R f 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定.2.1.1梯形求积公式1梯形公式当插值节点01,x x 分别选取区间端点,a b 时,由式(3)分别求出求积系数10012bb aa x x xb b aA dx dx x x a b ---===--??,01102bb aa x x x ab a A dx dx x x b a ---===--?.从而的求积公式()[()()]2bab a f x dx f a f b -≈+?. (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式.2梯形公式截断误差: 3*()[](),12b a R f f ξ-''=- *[,]a b ξ∈. (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当()1f x =时,式(5)中1(1)2bab adx b a x b a -=-=+=-?. 精确成立.2.1.2 辛普森求积公式1辛普森求积公式当选取节点为012,,2a bx a x x b +===时,由式(1)求下列求积系数 1200102()()()()2()()6()()2b b a a a b x x b x x x x b a A dx dx a b x x x x a a b +-----===+----??,0211002()()()()2()()()3()()22bb aa x x x x x a xb b a A dx dx a b a b x x x x a b -----===++----?.0122021()()()()2()()6()()22b b a a a bx a x x x x x b a A dx dx a b a b x x x x a b +-----===++----?? .从而求积公式()[()4()()]62bab a a bf x dx f a f f b -+≈++?. （6）称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式.2抛物线求积公式误差估计定理1.若()f x 在[,]a b 上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为:5(4)**()[](),[,]2880b a R f f a b ξξ--=∈. (7) 3抛物线公式的代数精度为3.易验证,当23()1,,,f x x x x =时,式(6)精确成立,而当4()f x x =时,式(6)不能精确成立.2.1.3 牛顿-科茨公式1牛顿-科茨公式在等距离节点i x a ih =+下,其中(0,1,2b ah i n-==…. )n .作为变量替换x a th =+,那么由求积公式(1),得系数:10(1)(1)(1)()!(1)(1)!ni n t t t i t i t n A h dt i n ---+---==--?10(1)(1)...(1)(1)...()(0,1,2,...)!(1)!n nb a t t t i t i t n dt i n n i n -----+---=-? (8)则 ()()n i i A b a C =- (9) 于是差值求积公式为:()0()()()[]nbn i i ai f x dx b a C f x R f ==-+∑?(10)称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中()n iC 称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 无关,它指依赖于n ,且为多项式积分.因此,只要给出n ,就能看出i A ,并写出相应地牛顿-科茨公式.2牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度.当1n =与2n =情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为(1)()[]()()()(1)!n b b bn aaaf R f f x dx x dx x dxn ξ?ω+=-=+牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成(2)*1()[]()((2)!n bn a f R f x dx n n ξω++=+?为偶数）(1)*1()[]()(1)!n bn a f R f x dx n ξω++=+? (n 为奇数） (11) 其中*[,]a b ξ∈,且不依赖于x ,101()()()...()n n x x x x x x x ω+=---,对()f x 为任何并不超过n 次多项式,均有(1)()0n fx +≡,因而[]0R f ≡,即0()()nbi i ai f x dx A f x ==∑?精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为n ,牛顿-科茨公式在n 为偶数时,至少具有1n +次代数精度,在n 为奇数情况时,至少具有n 次代数精度.2.1.4复化梯形求积公式将区间[,]a b 等分,节点为i x a ih =+ (步长b ah n-=),0,1,2...,i n =)在每个小区间1[,]i i x x -上采用梯形公式(4)得11111()()[(()()]2ii nnbx i i i i ax i i x x f x dx f x dx f x f x ---==-=≈+=∑∑?11[()()]2ni i i hf x f x +=+=∑11[()2()()]2n i n i hf a f x f b T -=++=∑ (12)称式(12)为复化梯形公式. 复化梯形公式余项为()2()()()12i n b a R f h f η-''=-(13) 2.1.5复化辛普森求积公式在每个小区间],[1+i i x x 上,辛普森公式(6)得11102()[()4()()]6n bi i ai i hf x dx f x f x f x -++==++∑?（14）111012[()4()2((6)]6n n i i i i hf a f x f x f --+===+++∑∑记 )]()(2)(4)([6111021b f x f x f a f hS n i i n i i n +++=∑∑-=-=+ (15)式中,21+i x为],[1+i i x x 的中点,即h x x i i 2121+=+.式(15)称为复化辛普森公式,其余项为∑-=-=-=10)4(4)()2(180)()(n i i n n f h h S f I f R η, 1(,).i i i x x η+∈故 ),(),()2(180)(R )4(4b a f h a b f n ∈--=ηη (16) 为复化辛普森的截断误差. 2.1.6复化科茨求积公式将区间[,]a b n 等分, 4n m =,m 为正整数,在每个子区间444[,]k kx x -上用科茨求积公式得到复化求积公式:412()[7()7()32()45mbk ak hf x dx f a f b f x -≈++∑?14241411112()32()14()mmm k k k N k k k f xf x f x C ---===+++=∑∑∑ (17)其中 4b a b a h n m--==, k x a kh =+ 其截断误差为6(6)2()[,](),()945n b a R f C h f a b ηη-=-<. 2.1.7 变步长复化求积方法复化求积公式虽然计算简单,也达到了提高精度的目的,但为了满足精度要求必须顾及误差,利用误差公式往往很困难,因为误差表达式中含有未知函数的导数,而估计各阶导数的最大值不太容易.我们可以采取把积分的区间[,]a b 细分的办法,在计算积分时将步长逐步折半,利用前后两次结果进行误差估计,如此继续,直到相邻两次结果相差不大,取最小的步长算出的结果为积分值,这种方法称为变步长积分法.以复化梯形公式为例,把区间[,]a b 分成n 等分,设复化梯形公式的近似值为n T ,原积分值为I ,由复化梯形公式误差公式(14)知:2"11()()()n b a b a I T f a b N N ηη--=-<<再把区间[,]a b 分成2n 等分,得近似值2n T ,则2222()()()122k b a b a I T f a b nηη--''=-<< 假定()f x ''在[,]a b 上变化不大,既有12()()f f ηη''''≈. 由上式得 .24kkI T I T -≈-于是 222211()()341n n n n n n I T T T T T T ≈+-=+-- (18) 式(18)表明若用2n T 作为I 的近似值,其截断误差约为2()3n n T T - (19)2.2 龙贝格求积公式龙贝格积分法的基本思想是采用复化梯形求积方法不断折半步长过程中,在积分结果中加入时候误差估计值进行补偿,使积分计算的收敛性加速,就可以加工出,,,...n n n S C R 精度较高的积分结果.由式(19), 2n T 的误差大致为23n nT T -,因此,可用这个误差值作为2n T 的一种补偿,加到2n T 上,则可得到积分准确值I ,比2n T 的更好近似值~T .222141()333n n n n nT T T T T T =+-=- 2221(2)21n n T T =-- (20)式(20)左端1n =时记122121141()333S T T T T T =+-=- 112()()332a b T b a f +=+- [()4()()] 62b a a b f a f f b -+=++恰好为[,]a b 上应用辛普生公式(16)的结果.在每个小区间应用辛普生公式:11[()2()()]2n n k k hT f a f x f b -==++∑121()112[()2()()2()]4n n n k k k k hT f a f x f b f x --===+++∑∑代入式(20)的左端得11111[()2()()2()32n nk k k k h f a f x f b f x -==+++--∑∑ 11[()2()()]2n k k h f a f x f b -++∑11111[()4()2()()]62n n k k k k f a f x f x f b -===+-++∑∑n S =从而复化辛普森公式与复化梯形公式公式有以下关系式2441n nn T T S -=- (21)类似也可以推证,在辛普森序列基础上,利用以下关系式22242161151541n n n n n S S C S S -=-=- (22)可以造出收敛速度更快的科茨序列12,...,...n C C C 将此推行下去,在科茨序列基础上,通过243431n nn C C R -=- (23)构造出收敛速度比科茨序列更快的龙贝格序列12,,......n R R R .以上这种通过逐步构造龙贝格序列的积分近似值法就称为龙贝格积分法.2.3高斯求积公式由定理()()()baf x F b F a =-?知,插值型求积公式的代数精度与求积节点的个数有关,具有1n +个节点的插值型求积公式至少具有n 次代数精度.不仅如此,代数精度与节点的选取有关,在构造牛顿-科茨求积公式时,为了简化处理过程,限定用等分节点作为求积节点,这样做,虽然公式确实得到简化,但同时也限制了公式的代数精度. 设积分,1,1=-=b a 本段讨论如下求积公式11()()ni i i f x A f x -==∑?(24)对任意积分区间[,]a b ,通过变 22ba t ab x ++-= 可以转换到区间]1,1[-上,这时11()()222bab a b a a bf x dx f t dt ---+=+?此时,求积公式写为0()()222n bii ai b a a b b af x dx A f t =-+-=+∑?若一组节点]1,1[.....,10-∈n x x x 使插值型求积公式(24)具有21n +次代数精度,则称此组节点为高斯点,并称相应求积公式(24)为高斯求积公式.2.3.1 高斯求积公式的余项(2)2()[]()()()(22)!n nbb k k aa k f R f f x dx A f x x dx n ηω+==-=+∑?? 其中01()()()...(),[,]n x x x x x x x a b ωη=---∈,且不依赖于x .2.3.2 复化高斯求积公式复化高斯求积公式的基本思想是:将积分区间[,]a b 分成n 个等长小区间1[,](1,...)i i t t i m -=,然后在低阶(2n =)高斯求积公式算出近似值,最后将他们相加的积分()baf t dt ?的近似值m G ,即11111111()()[]222ii mmbt i i i i i i at i i t t t t t t f t dt f t dt dt -----==-+-==+∑∑1111[()]222m i h ha i h x dx-==+-+∑?101[()]222m n j j mi j h hA f a i h x G ==≈+-+≈∑∑ (25)其中mab h -=,j A 与(0,1,2,...,)j t j n =可由书中表中查出. 3 应用3.1插值型积分的应用例1 用牛顿-科茨公式(1,2,4n =)计算积分12211I x =+?. 解 1n =时2210112[]0.4512101()2I -≈+=++2n =时22211112[4]0.463725116101()1()42I -≈++=+++4n =时2222111112[7321232]0.46363311390101()1()1()848I =++++≈++++例2 利用复化梯形求积公式计算积分 12211I dx x =+?解设211)(xx f +=,分点个数为n =1,2,4,5时,求出相应积分n T , 1 11[(()())],21,2(),.n n i i i i i T f a f b f h b a h n n f x f x a ih ih -=? =++??-?==??=??=+=?∑列表如下:n =1的计算结果见表1-1所列 n h0x 1x 0f1f1T10.50.00.51.00.80.45n =2的表格如下 n h0x1x2x0f1f 2f 2T20.250.000.251.000.941765 0.800.460294n =4时计算结果如下表 n h 0x 1x2x3x4x40.1250.000.1250.250.3750.500f1f2f3f4f4T1.000.98461540.94117650.8767120.800.462813n = 5时计算结果如下 n h0x2x3x4x5x50.10.00.10.20.30.40.50f1f2f3f4f5f5T1.00.9900990.96153850.917430.8620690.80.463114例3 利用复化求积公式120x e dx ?,问积分区间为多少等分才能得证有5位有效数字？解由式（14）知322()[],()()1212n b a b a R f h f n f n n--''''=-=- 有1(),(),2x xf x e f x e b a ''==-=,当]21,0[∈x 时,在12|()|f x e ''≤,所以122|[]|96n eR f n≤ 由于120x e dx ?的准确值具有一位整数,所以要使近似值具有5位有效数字,n 必须满足4242211048,102196?≥?≤-e n n e 或取对数有 19=n .即将区间]21,0[19等分可满足给定的精度要求.例4 利用复化抛物线求积公式计算 120211I dx x =+?. 解设11)(2+=x x f ,取m =1,2, 3时,公式()++=+=====-=+++=+---=-=+∑∑.)12(,2),(),(),(,,242[31221212221111,1222h i a x ih a x x f f x f f b f f a f f m a b n f f f f h S i i i i i i b a m i m i i b a m当m =1,2,3时结果如下表所示当m =1时m h(0.0)f )25.0(f )5.0(f2S1 0.25 1.0 0.9411765 0.80 0.463725当m =2时mh(0.0)f(0.125)f (0.025)f (0.35)f )5.0(f4S20.125 1.0 0.9846154 0.9411765 0.8767123 0.80 0.463653当m =3时mh(0.0)f(0.08333)f (0.16667)f (0.35)f(0.33333)f (0.14166667)f )5.0(f4S30.83331.00.99310340.9729730.9411760.90.852070.80.4636例5 用复化梯形公式,辛普森公式和科茨公式计算积分1 0sin xdx x ?的近似值.解按精度要求确定]1,0[分多少等分,即确定步长,要使6441021)1(28801|],[|-?≤≤M m S f R n ,只需.4642880 102M m ?≥令10sin ()cos xf x txdt x==?, 则1()0sin ()()(cos )k kk k k d xd fx tx dt dx xdx ==?1cos().2k t tx kdt π=+?dt ktx t x f k k |)2cos(|max )(|max 10)(π+≤?11.1k t d t t≤=+?)10(≤≤x (4)1max |()| 5.f x ≤所以只要,9.13831288010264=??≥-m 取m =4即可, 当4n =时,在每个子区间上用式(25）,或(14),或(17),结果.9460829.0,9460833.0,9456911.0888===C S T3.2 龙贝格积分公式应用例6 用龙贝格算法计算积分1241I dx x=+?的近似值,要求误差小于510-. 解 .3,0,14)(2==+=b a x x f 步骤如下:2)1(,4)0()1(==f f 得.3)]1()0([211=+=f f T )2(计算,1.3)]21([21,516)21(12=+==f T T f 由此得 301333334121=-=T T S . (3)算出），（43),41(f f 从而,3013118)]43()41([412124=++=f f T T,14157.334242=-=T T S.30142121516121=-=S S C (4)计算),87(),85(),83(),81(f f f f 从而得到: 13899.3)]87()85()83()81([812148=++++=f f f f T T ,,14159.334482=-=T T S,14059.31516242=-=S S C .1458.36364121=-=C C R(5)再计算),1615(),1613(),1611(),169(),167(),165(),163(),161(f f f f f f f f 从而得到: 14094.316=T30141598=S ,,14159.3,14159.324==R C 51210||-≤-R R , 所以12043.14159.1dx x ≈+?3.3高斯求积公式的应用例7 用两点复化高斯求积公式计算10,x I e dx =?要求允许误差.106-=ε解在本算法中取21=+n 时,,110==A A 其中;,)(mab h e x f x -== =++--=∑=)22(2201j jj b a x a b f A a b G.87189637800.1][21)32121()32121(=++-eem =2时, h =21, ]4121)21([4120202j i j j x i f A G +?-=∑∑==.57182571650.1)(41341333413341333413=+++=++--eeee m =3时, h =31. .37182769352.1]631)21([6130203=+?-=∑∑==j i j j x i f A G .101027.71 ||||56323--3.4 几种方法的比较分析例8 计算积分211ln 2dx x =?，精确到0.001.(1)利用矩形公式计算, 因为对于x x f 1)(=,有320()2f x x''<=<(如果1<2),所以按<="" bdsfid="825" p="">照公式0)2(S =+-dx b a x ba . 0<2<="" bdsfid="830" p="" r="">112n . 如果取n =10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R -<10-,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有12325272921321521721921.051.151.251.351.551.651.751.851.95x x x x x x x x x =========5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172 152132927252321=========y y y y y y y y y 和6.9284 69284.0109284.6=(2) 按照梯形公式作同样的计算,在这种情况下,作公式 210,||6n n R R n<<在这儿也试一试取n =10,虽然此时仅可以证3107.16001||-?<<n r="" ,纵坐标是<="" p="" bdsfid="853">。

定积分的近似计算.

n x2 i
x2 n
x2 n 2
b
相加即得：

a
f ( x )dx
i 1 n
x2 i 2
f ( x )dx
ba ( y2i 2 4 y2i 1 y2i ) i 1 6n
14
数学软件与数学实验
抛物线法
整理后可得：

b
a
b a f ( x)dx [ y0 y2n 4( y1 y3 y2n1 ) 6n 2( y2 y4 y2n2 )]
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令：
x1 x2 xn
则 S

b a
b
a
h ba n n n n yi 1 yi yi 1 yi f ( x )dx Si xi h 2 2 i 1 i 1 i 1
==>

yn y0 f ( x)dx h y1 yn1 2 2
dx y0 y1 0 1 x 2 h 2
1
0.78539399673078
yn yn1 2
相对误差： 0.78539399673078 / 4 5.305 10-6 /4
11
数学软件与数学实验
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
数学软件与数学实验
专题定积分的近似计算
数学软件与数学实验
专题定积分的近似计算
问题背景和实验目的
定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。本实验主要研究定积分的几种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法；蒙特卡洛随机投点法和蒙特卡洛样本均值法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。

《定积分的近似计算》课件

03
梯形法与矩形法
梯形法的基本思想
01
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法。
02
基本思想是将积分区间[a, b]分成若干个小区间，每个小区间的长度记为Δx。
03
在每个小区间上，取一个梯形作为该小区间的近似面积，然后将所有梯形面积相加，得到定积分的近似值。
矩形法的基本思想
矩形法也是一种基于几何直观的定积分近似计算方法。
在积分区间上变化的，与被积函数有关。
02
牛顿-莱布尼兹公式
牛顿-莱布尼兹公式的推导
1 2
背景
牛顿和莱布尼兹时代，微积分的基础尚未完善，许多概念需要进一步明确。
推导过程
基于无穷小量的思想，通过连续函数的性质和极限理论，逐步推导出牛顿-莱布尼兹公式。
3
关键步骤
利用定积分的定义，将积分转化为求和的形式，再利用极限的性质，得到积分的近似值。
、[b, c]和[c, d]，有 ∫abf(x)dx+∫bcdf(x)dx=∫adf(x)dx；积分的可加性是指对于任意两个区间[a, b]和[b, c]，有∫abf(x)dx=∫abf(x)dx+∫bcf(x)dx。
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义是函数曲线与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的几何意义可以通过微元法来理解。微元法是将积分区间分成许多小的区间，每个小区间上取一个点，做函数在这些点的值的矩形，这个矩形的面积就是微元。所有微元的面积的和就是定积分的值。这个值也就是函数曲线与x轴所夹的面积。这个面积是
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梯形法和矩形法的区别在于对每个小区间上的近似形状选择不同，梯形法选择梯形作为近似形状，而矩形法选择矩形作为近似形状。

【笔记】定积分的近似计算

【笔记】定积分的近似计算⽬标：加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想⽅法，了解定积分近似计算的矩形法、梯形法与抛物线法，会⽤MATLAB 语⾔编写求定积分近似值的程序，会⽤MALAB中的命令求定积分。

预备知识在许多实际问题中，常常需要计算定积分的值。

根据微分学基本定理，若被积函数f(x)在区间[a,b]上连续，只需要找到被积函数的⼀个原函数F(x)，就可以⽤⽜顿-莱布尼茨公式求出定积分值。

但在⼯程技术与科学实验中，有些定积分的被积函数的原函数可能求不出来，即使可求出，计算也可能相当复杂。

特别地，当被积函数是图形或表格时，更不能⽤⽜顿-莱布尼茨公式计算。

因此必须寻求定积分的近似计算⽅法。

⼤多数实际问题的积分需要⽤数值积分⽅法求出近似结果。

数值积分原则上可以⽤于计算各种被积函数的定积分，⽆论被积函数是解析形式还是数表形式，其基本原理都是⽤多项式函数近似代替被积函数，⽤对多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。

由于所选多项式的不同，可以有许多种数值积分⽅法，下⾯介绍最常⽤的⼏种差值型数值积分⽅法。

1、矩形法定积分的⼏何意义是计算曲边梯形的⾯积，如果将区间[a,b]n等分，每个⼩区间上都是⼀个⼩的曲边梯形，⽤⼀个个⼩矩形代替这些⼩曲边梯形，然后把所有⼩矩形的⾯积加起来就近似等于整个曲边梯形的⾯积，于是便求出了定积分的近似值，这就是矩形法的基本原理。

2、梯形法将积分区间[a,b]n等分，⽤线段依次连接各分点，每段都形成⼀个⼩的直⾓梯形。

如果⽤这些⼩直⾓梯形⾯积之和代替原来的⼩曲边梯形⾯积之和，就可求得定积分的近似值。

3、抛物线法在此不做说明4、相关的MATLAB命令命令：sum(a)，求数组a的和例1 调⽤命令sum求矩阵x的各列元素的累加和。

>> x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>> sum(x)ans =12 15 18命令：format long，长格式，即屏幕显⽰15位有效数字。

定积分的近似计算

xi=a+i*(b-a)/n;
fxj=subs(fx,'x',xj);%符号运算，替换
fxi=subs(fx,'x',xi);%符号运算，替换
sum=sum+(fxi+fxj)*(b-a)/(2*n);%求矩形面积
end
sum%如果没有这句话就算不出最后的积分
结果:sum =0.6932
（2）抛物线法：
fzz=subs(fx,'x',zz);
f=(fxx+4*fyy+fzz)*(b-a)/(6*n);
s=sum(f)
结果：s=0.7854
实验结果报告及实验总结：
1.实验结果报告：
(1)梯形法：结果:sum =0.6932
（2）抛物线法：结果：sum = 0.6931
（3）trapz（）法：结果：ans =0.6931
n=120;
a=1;
b=2;
sum=0;
syms x fx；
fx=1/x;
for i=1:n
xx=a+(2*i-2)*(b-a)/(2*n);%第一点的自变量取值后面是除2*n，不是n
yy=a+(2*i-1)*(b-a)/(2*n);%第二点的自变量取值后面是2*i-1
zz=a+(2*i-0)*(b-a)/(2*n);%复制后没改自变量的名字
且发现trapz()的调试结果与梯形法结果相同，故可猜测该Matlab中的数值积分命令函数trapz()采用了梯形法近似计算方法。
2.实验结果报告：
（1）使用int：结果：ans =pi/2
（2）使用函数trapz()：
结果：Maximum variable size allowed by the program is exceeded.

定积分的近似计算97786

数学实验报告实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日实验名称定积分的近似计算问题背景描述：利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．实验目的：本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。

对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。

实验原理与数学模型：1．矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同。

（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取。

（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。

（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。

2．梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，，即，称此式为梯形公式。

3．抛物线法将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式．实验所用软件及版本：Matlab 7.0主要内容（要点）：1．分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．2．试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求解吗？为什么？）3．学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum 改写附录1和附录3的程序，避免for 循环。

实验五定积分的近似计算

实验五定积分的近似计算实验五定积分的近似计算我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。

但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能是非初等函数。

本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数值积分”，即定积分的近似计算。

所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。

我们知道，定积分badxx f )(在几何上表示曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积。

定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。

1、观察黎曼和式的收敛性由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式ini ix f ?∑=1)(ξ的极限，因此可以用黎曼和式来近似计算定积分。

为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为n 段，并以小区间中点处的函数值作近似，于是黎曼和式为：∑=-+-+-n k nb k a f n a b 1))5.0)1(((，因而∑=-+-+-≈ba n k n ab k a f n a b dx x f 1))5.0)1((()(。

例1 计算dx x32ln 1的黎曼和。

解：输入命令如下：2、梯形法大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。

如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。

具体方法如下：将区间],[b a 用b x x x a n ==,,,10 等分为n 个小区间，小区间的长度为nab -。

设)()(n ab ia f x f y i i -+==),,1,0( n i =，则每个小梯形的面积为na b y y i i -?++21，从而得到梯形法的公式为：n ab y y y y y y dx x f n n b-++++++≈-?)](21)(21)(21[)(12110 ])(21[1210-+++++-=n n y y y y y n a b ])(2)()([1∑=-+++-=n i n a b i a f b f a f n a b 。

实验五 定积分的近似计算

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