空间直线的方向向量和平面的法向量
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
课件直线的方向向量与平面的法向量
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
3.2.1直线的方向向量与平面法向量
线线垂直
l ⊥ m ⇔ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0 ；
l ⊥α ⇔ a ∥ u ⇔ a = ku ；
线面垂直
面面垂直
α ⊥ β ⇔ u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
rr 的方向向量,根据下列 例1 (1)设a ‚ 分别是直线 l 1 ‚l 2 的方向向量 根据下列 设 b
的位置关系: 条件判断 l1 与 l2 的位置关系 r r r r ① a = (2,3, −1), b = (−6, −9,3) ② a = (5,0,2), b = (0,4,0)
r 1.若直线 u 若直线l的方向向量为 1.若直线 的方向向量为a = (1, 0, 2) ,平面 α 平面 r 的法向量为µ = (−2, 0, −4) ,则l与 α 的位置 则与
3.若平面 3.若平面 α、 β 的法向量分别 u r r β 为 µ = (1, 2, −2) ， = (−3, −6, 6) ，则α 、 v 的位置关系是
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直, 例3 一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直. 则该直线与此平面垂直 已知:直线 已知 直线m,n是平面 α 内的任意两条相交直线 直线 是平面 内的任意两条相交直线, 求证:l 且l⊥m,l ⊥n.求证 ⊥α ⊥ 求证
rr rr a rr rr rr rr rr rr ⊥ ⊥ ⋅⋅ = = ⊥ b , a ⋅⋅b = 0 ⊥ =
1、点的位置向量 、
在 空 间 中 ， 我 们 取 一 定 点 O作 为 基 点 ， 那 么 空 间 中 任 意 一 点 P的 位 置 就 可 以 用 uuu r uuu r 向 量 OP来 表 示 。 我 们 把 向 量 OP称 为 点 P的 位 置 向 量 。
直线方向向量与平面法向量的关系
直线方向向量与平面法向量的关系直线方向向量与平面法向量的关系直线和平面是几何中重要的概念，它们的性质及关系在计算几何和分析几何中都有广泛的应用。
在研究直线和平面的性质时，经常需要掌握直线方向向量和平面法向量的关系。
下面将从几何角度阐述它们的关系，希望能够帮助大家理解。
一、直线的方向向量通过两点可确定一个直线，其中的向量称为该直线的方向向量。
方向向量的模表示该向量长度，在几何中也称为线段长度或距离，方向向量的方向表示直线的方向。
二、平面的法向量平面是一个有无数个点组成的二维平面，其法向量表示平面的法线方向。
在三维空间中，一个平面有且只有一个法向量。
平面法向量和法线的概念相似，但是区别在于，平面法向量只考虑向量的方向而不考虑长度。
三、直线与平面的关系1. 垂直关系当直线的方向向量和平面的法向量互相垂直时，称直线与平面垂直。
此时，平面的法向量与直线上任一向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量垂直。
垂直关系是直线和平面的特殊关系，它在计算几何和物理中都有很多应用。
2. 平行关系当直线的方向向量与平面的法向量平行时，称直线与平面平行。
此时，平面的法向量与直线上的向量的内积等于零，即法向量与直线上的向量平行或反平行。
平行关系也是直线和平面的特殊关系之一，它在计算几何和工程中也很重要。
3. 斜交关系当直线的方向向量与平面的法向量既不垂直也不平行时，称直线与平面斜交。
此时，直线上的向量不能表示为平面法向量的倍数，也不能表示为平面任何二维向量的线性组合。
总之，直线方向向量与平面法向量的关系是几何中一个重要问题，它不仅涉及到几何，也与计算几何、物理、工程等学科有着深刻的关联。
有了对这一关系的深入理解，可以更好地掌握相关知识，并且应用到实际问题中去。
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量重点难点剖析1．空间直线的方向向量：如果一非零向量s平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量． 若),,(p n m s = ，那么s 的坐标p n m ,,称作这条直线的方向数， 而s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦．显然一条直线的方向向量有无穷多个，它们互相平行，从方向上可以分成两组，直线上任一向量都平行于该直线的方向向量． 2．利用向量求距离的方法(1) 利用|AB|=|AB AB AB ∙可以求解有关距离问题；求线段的长度：2AB AB x ===(2) 设e 是直线l 上的一个单位方向向量，线段AB 在l 上的投影是A ′B ′，则有|''A B |=|AB ·e |，由此可求点到线，点到面的距离问题。
其中以法向量的应用最常用。
求P 点到平面α的距离：||||PM n PN n ⋅=，（N 为垂足，M 为斜足，n 为平面α的法向量）。
3．平面与方程平面方程为三元一次方程0Ax By Cz D +++=；反之，一个这样的三元一方程也一定表示一个平面.这是因为，取方程的一组解000,,x y z ，则有0000Ax By Cz D +++=，从而有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=.它表示过点0M 000(,,)x y z 且以{,,}n A B C =为法向量的一个平面方程，这个方程与0Ax By Cz D +++=是同解的，故三元一次方程表示平面。
方程0Ax By Cz D +++=为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是平面的法向量的坐标，即平面法向量的法向量{,,}n A B C =.平面与三元一次方程之间有一一对应关系.不同的法向量对应三元一次方程表示不同的平面，它们的位置关系由系数,,A B C 和常数D 来确定。
当系数,,A B C 或常数D [中某些个]为零时，平面有明显的位特征： 如0Ax By Cz ++=确定的平面过坐标原点；0By Cz D ++=的法向量为{0,,},n B C =表明这平面垂直于与x 轴；类似地，0Ax Cz D ++=确定的平面垂直于y 轴，0Ax By D ++=确定的平面垂直于z 轴；再者，0Ax D +=表示平行于坐标面yOz 的平面；0By D +=表示平行于坐标面xOz 的平面，0Cz D +=表示平行于坐标面xOy 的平面； 而0(0)Ax x =⇔=是坐标面yOz 的方程，0(0)By y =⇔=是坐标面xOz 的方程，0(0)Cz z =⇔=是坐标面xOy 的方程.典例分析例1 已知(3,0,4)AB =，AC =（5，-2，-14），求BAC ∠角平分线上的单位向量．分析 欲求角平分线上的单位向量，由于0a a a=，我们只需先在角平分线上求出任一向量，它可以看作是菱形的对角线向量，由此就不难求出单位向量．解 ：在AB 、AC 上分别取'B 、'C ，使''AB AC =，以'AB 、'AC 为邻边作平行四边形''AC DB ，则''AD AB AC =+即为ABC ∠的平分线上的向量，特别的可取'AB 、'AC 为单位向量，'113,0,4)(3,0,4)5AB AB AB==-=-，'''112,14)(5,2,14)15AC AC AC ==--=--． 于是''11(3,0,4)(5,2,14)515AD AB AC =+=-+-- 352414(,0,)41515515=-+--2(2,1,1)15=-．AD 上的单位向量有两个向量，它们为(2,1,1)6AD AD±=点评：利用向量解决几何问题时，要与几何图形相联系．与向量a 平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.例2 求△ABC 所在平面的单位法向量，其中A （－1，－1，0）、B （1，1，1）、C （3，4，3） 分析：求出平面内的两个向量后，利用待定法求解.解：∵，，，，，AB AC →=→=()()221453 设，，n x y →=()1则由··n AB n AC x y x y →→=→→=⎧⎨⎪⎩⎪⇒++=++=⎧⎨⎩0022104530 ∴，，n →=-()1211于是单位法向量为±±，，＝±，，n n →→=--||()()231211132323点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.例3 设平面π过原点与点(6,3,2)M -，并且与平面1π：428x y z -+=垂直，求平面π的方程.解： 由π过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=，由过点M 得6320A B C -+=； 再由π⊥1π即1{,,}{4,1,2}n A B C n =⊥=-，得420A B C -+=；联立6320,420A B C A B C -+=⎧⎨-+=⎩解得,3.2B AC A =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以平面π的方程为302x y z +-=，即 2230x y z +-=.点评：平面0Ax By Cz D +++=的法向量为{,,}n A B C =.例4 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离分析：由题设可知CG 、CB 、CD 两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B 且垂直于平面EFG 的向量，它的长即为点B 到平面EFG 的距离解：如图，设CD =4i ，=4j ，=2k ， 以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系C －xyz ．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2) ∴ (2,0,0)BE =，(4,2,0)BF =-， (0,4,2)BG =-，(2,4,2)GE =-，(2,2,0)EF =-设⊥BM 平面EFG ，M 为垂足，则M 、G 、E 、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a 、b 、c ，使得BM aBE bBF cBG =++)1(=++c b a ， ∴ (2,0,0)(4,2,0)(0,4,2)BM a b c =+-+-＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )由⊥BM 平面EFG ，得GE BM ⊥，EF BM ⊥，于是 0B M G E ⋅=，BM EF ⋅=∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-⋅--+=-⋅--+10)0,2,2()2,42,42(0)2,4,2()2,42,42(c b a c c b b a c c b b a整理得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-102305c b a c b a c a ，解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==1131171115c b a ．∴ BM ＝(2a +4b ,－2b －4c ,2c )＝)116,112,112(． ∴||11BM ⎛==故点B 到平面EFG 1111另法：∵(0,4,0B ， (2,4,0)E ，(4,2,0)F ，(0,0,2)G 设EFG 的方程为：0A x B y C z D +++=则240420,6220A B D D D A B D A B C C D ++=⎧⎪++=⇒==-=-⎨⎪+=⎩取D ＝－6，则A=B=1,C=3,所以EFG 的方程为：360x y z ++-=， 所以点(0,4,0)B 到平面EFG的距离为：11d ===. 点评：（1）向量法求解距离问题的步骤：① 建立适当的空间直角坐标系；② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。
高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量
a 例题3：已知所有棱长为 的正三棱锥 A BCD ，试建立空间
直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
课堂练习：
1、已知A(3,3,1) ，B(1, 0,5) ，求线段AB 所在直线的一个
方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
棱ACBCDD上，A1CB1GC1D11，4 CED,，F分H别是是C1GDD的1, D中B点中，点求线，段G 在
（1）向量 AA',OC, BC可以分别表示哪条空间直线的方向向量？
（2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
例题2：已知长方体ABCD A'B'C'D'的棱长AB 2, AD ，4, AA' 3
以长方体的顶点D为' 坐标原点，过D' 的三条棱所在的直线为坐标
3.3 空间直线的方向向量和平面的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 如何表示空间直线的方向？
方向向量 对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量。
空间直线的方向向量是唯一的吗？
一个空间向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 OABC OABC 中，F为棱上的中点，所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4、教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念 直线方向向量的不唯一 一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册
轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
(1) AA'; (2)B'C; (3) A'C; (4)DB'
直线的方向向量和平面的法向量
为n=(x，y，z ) 则 由n ⋅ DA = 0 ，n ⋅ DE = 0得
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F = (0, , −1) 2 所以 D1 F ⊥ 平 面ADE
x + 0+ 0 = 0 =0， 则x =0，不妨取y = 1，得z = −2 1 1， x + y + 2 z = 0 所以n=( 0， - 2)
或AP = ta
用向量来表示点、直线、 一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置
⑶平面 空间中平面 α 的位置可以由 α 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定. 条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 对于平面 α 上的任 存在有序 有序实数 一点 P ,存在有序实数 对 ( x , y ) ,使得
注意：这里的线线平行包括线线重合，线 注意：这里的线线平行包括线线重合， 面平行包括线在面内，面面平行包 面平行包括线在面内，面面平行包 括面面重合. 括面面重合.
三、用方向向量和法向量判定位置关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ， 平面 α, β 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ；
课时小结
一、平行关系： 平行关系：
设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ， 平面
α1 , α 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线平行 l1 // l 2 ⇔ e1 // e 2 ⇔ e 1 = λ e 2 ；
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
高二数学空间直线的方向向量和平面的法向量
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
ABCD A1B1C1D1， E, F分别是 DD1, DB 中点 ，G 在
棱
CD上 ，CG
1 4
CD，
H是
C1G
的中点，求线段
，
B1C, EF,C1G, FH 所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4ห้องสมุดไป่ตู้教材P49 2
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念 直线方向向量的不唯一 一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册
； 猫先生 猫先生app ；
不咋大的不咋大的の凤舞城破仙阁,像毒蛇破仙这种神王巅峰の强者,最多属于中层人员,看情况和毒蛇差不多实力の破仙还有不少. 白重炙越想越心惊,这破仙阁の势力简直太庞大了,庞大得他都不敢想象了.想了一阵,白重炙却是苦笑一声,没有再多想. 破仙阁在强大又关自己什么事?自 己只是想赚够足够の神石,再想办法去龙阳府,将炽火位面购买下来.然后回炽火大陆去,带着自己几位漂亮の妻子,安安静静の度过漫长の岁月.等自己哪天烦了,腻了,或许才会想来神界寻找一些激动刺激の生活吧… 走进中央最大城堡内,白重炙发现里面装饰の很是简单,但是却又不缺乏 大气和庄严.里面大厅非常之大,比凤舞城家主府大多了.里面有着数十名身穿破仙袍の练家子,在里面玉石桌子上坐着.或是闲聊,或是喝茶饮酒. 一路上,遇到无数の破仙,这些人显然都认识毒蛇破仙三人,都含笑着对着三人打着招呼,也对三人背后の白重炙十一人,露出淡淡の微笑. 白重 炙十一人不敢多言,无比恭敬の跟着毒蛇破仙,朝里面走去,最后来到大厅右边一些房间门口.毒蛇破仙,示意众人在外面等一下,自己却独自走了进去.半个时辰之后却是再次出来了,递给众人一枚白色の刻着恶魔の徽章,说道： "这是临时徽章,正式の需要在五天之后才会
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
3.3空间直线的方向向量及平面的法向量
E
F B1
的边长为4, E是中点，F是四分 r
点，求平面BEF的法向量n.
B (4, 4,0) E (4, 2, 4) F (3, 4, 4)
uuur BE (0, 2, 4)
O
o'
D
y
C
uuur
BF (1,0, 4)
A
B
r uuur r uuur
n BE r
n BF x
例：在直三棱柱ABC A1B1C1中，ACB 90, AC BC,
M, N分别是C1 A, BB1的中点，
解： 如图，建立空间直角坐标系.
求证: MN
z
//
平
面ABC
设AC 2a,CC1 2c,
C1
B1
L
M
则C(0,0,0), A(2a,0,0),
A1
B(0,2a,0), C1 (0,0,2c),
设n (m, n, k)
2n 4k 0
r 令k 1 m 4 n 2 n (4, 2,1)
m 4k 0
三个基础命题
基础命题1 两条直线平行或重合 它们的方向向量互相平行 基础命题2 一条直线与一个平面平行或在一个平面内 这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量 基础命题3 两个平面平行或重合 它们的法向量互相平行.
A1(2a,0,2c), B1c), N (0,2a, c), MN (a,2a,0)
O
y
C
N
B
A
易知平面ABC的一个法向量为n (0,0,1)
x
MN • n 0 MN // 平面ABC
空间直线的方向向量和平面的法向量
空间直线的方向向量和平面的法向量
的．
要点二 平面的法向量 1．如果非零向量n所在直线与平面α___垂__直___，则称n为平面α的法 向量❷. 2．给定一点A和一个向量n，那么，过点A，且以向量n为法向量的 平面是完全___确_定____的． 批注❷ 一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共
解析：∵直线的方向向量平行， ∴ x ＝y＝8，
−5 3 2
∴x＝－20，y＝12.
题型探究·课堂解透
题型 1 直线的方向向量及其求法 例1 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，BB1 ＝5，建立空间直角坐标系，分别求直线DA1与AC的方向向量．
方法归纳
求直线l的一个方向向量，只需在直线l上找两点A，B，则AB即为直 线l的一个方向向量．
线．
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线上任意两个不同的点A，B表示的向量AB都可作为该直线的 方向向量．( √ )
(2)若向量n1，n2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两 条不重合直线一定平行．( √ )
(3) 若 AB，CD 都 是 直 线 l 的 方 向 向 量 ， 则 AB ∥ CD ， 所 以 AB∥CD.( × )
2．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向
量为( )
A．(1，2，3)
B．(1，3，2)
C．(2，1，3)
D．(3，2，1)
答案：A
解析：AB＝(2，4，6)＝2(1，，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中
是平面α的法向量的是( )
(1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量．
高中数学课件-空间直线的方向向量和平面的法向量
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
向量 叫做直线l的一个方向向量。 z
O
y
x
例1 已知正四面体ABCD的棱长为a，建立适当的空间直角
坐标系。 （1）确定各棱所在直线的一个方向向D
y
C x
问题1：如何确定一个平面的方向呢？ 结论1：垂直于同一平面的两直线平行。 结论2：垂直于同一直线的两个平面平行。
垂直，那么向量 叫做平面 的一个法向量。
（1）平面ABCD； （2）平面ACC1A1； （3）平面ACD1.
z
D
C
A
B
D1
A1
x
C1
y
B1
5.求平面法向量的方法： ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z) ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
待定系数法
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 1：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的 单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .
∴
( (
x, x,
y, y,
p＝0，取m＝1，则n＝－ 3，从而n1＝(1，－ 3，0)． 同理可得平面A1DE的一个法向量为n＝( 3，1，2a)， 直接计算知n1·n2＝0， 所以平面A1AE⊥平面A1DE.
11
空间直线的方向向量 对于空间任意一条直线l，我们把与直线l平行的非零
北师大版选择性必修第一册第3章44.1 直线的方向向量与平面的法向量课件(44张)
1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平 行直线的方向向量共线．
2．在空间中，过点 A，方向向量为 n 的直线可以表示为O→P＝O→A ＋tn．
[跟进训练] 1．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以顶点为向量端点的 所有向量中，直线 AB 的方向向量有( )
A．8 个 B．7 个 C．6 个 D．5 个
当堂达标·夯基础
必备素养 学以致用
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所 在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向 量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它 是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求 法．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 直线的方向向量及应用 【例 1】 在空间直角坐标系 O-xyz 中，已知直线 l 过点 A(－1， 0，2)，其方向向量为 n＝(2，1，3)． (1)求直线 l 的向量表达式； (2)求直线 l 与坐标平面 xOy 的交点 B 的坐标．
[解] (1)直线 l 的向量表达式为O→P＝O→A＋tn(t∈R)． (2)由(1)知，O→P＝(－1＋2t，t，2＋3t)，令 2＋3t＝0，得 t＝－23， 所以，点 B 的坐标为－73，－23，0．
[解] A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)． ∵AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝(1，0，0)是平面 SAB 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)，则 n·D→C＝(1，y，z)·(1， 2，0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－12．又 n·D→S＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，∴z ＝12．
3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
4 根据法向量定义解方程组
nnab00,,取其中一组解,即为法向量.
典 例 剖 析 (学生用书P77)
题型一 判断线与线、面与面的位置关系
例1:解答下列问题: (1)设a、b分别是l1、l2的方向向量,根据下列条件判断l1与l2的
位置关系. ①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); ②a=(5,0,2),b=(0,4,0);
3.若直线的方向向量是u=(a1,b1,c1),平面α的法向量
v=(a2,b2,c2).(1)l∥α或 lα⇔u⊥v⊂⇔____u_·_v_=_0____⇔___a_1_a_2_+_b_1_b_2+_c. 1c2=0 (2)l⊥α⇔u∥v⇔____u_=_k_v______⇔__a_1_=_k_a_2,_b_1_=_k_b_2,_c_1_=.kc2
a 1 b, 3
a b , l1 l2 .
② a 5,0,2,b 0,4,0
a b 0 , a b , l1 l2 .
2 ① u 1, 1,2 , v (3,2 , 1 ),
2 u v 3 2 1 0 , u v , ;
② u 0,3,0 ,v 0,5,0 ,
u 3 v , u v , . 5
③ u 2, 3, 4 , v 4, 2,1 ,
u v 0, 2 3 1 . 4 2 4
u与v不共线,也不垂直.
平面 与平面 相交(不垂直).
规律技巧:(1)直线的方向向量与直线位置关系间的内在联系 是:l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可以判断两直线的位置 关系.
名 师 讲 解 (学生用书P77)
1.空间点、线、面的位置 (1)在空间中,任取一个定点O为基点,那么空间任一点P的位置
方向向量和法向量
B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做 平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
2、一个平面α的法向量也是所有与 平面α平行的平面的法向量。
2、法向量的求法
待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n (u, v, w)
z
D1
C1
A1
B1
D E C B
y
A
x
练习2:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点, 求下列平面的一个法向量：
z
(1)平面BDE （1，-1，0）
(2)平面ACE （1，1，-2） (3)平面DC1E（1，-2，2）
A1
D1
C1
B1
E
D A B
(4)平面A1EC（-1，1，2）
(2)(列):根据 n a 0, n b 0 ，列出方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量 (4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好), 则得到平面法向量 n 的坐标。
n
b
a
α
例1、已知点A(1,1,2),B(3,3,3), C(5,6,5), 求平面ABC的单位法向量。
x x
y
C
2、方向向量的求法 可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
d AB ( x2 x1 , y2 y1 , z 2 z1 )
z
l
A(x1,y1,z1)
AB, ( R, 0)
空间直线的方向向量和平面的法向量PPT培训课件
7 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
A 1 (4,0,8) B (4,4,0) C 1 (0,4,8)
D1
C1
A1B(0,4,8) BC1 (4,0,8)
A1
E
B1
设 平 面 A 1 B C 1 的 法 向 量 为 n .
F
nA1B n BC1 设 n(m ,n,k)
4n8k0令 k 1 4m8k0
C1
B1
L
M
则C(0,0,0), A(2a,0,0),
A1
B(0,2a,0),C1(0,0,2c),
A1(2a,0,2c),B1(0,2a,2c)
M
N
M(a,0,c),N(0,2a,c), MN(a,2a,0)
O
y
C
N
B
A
易知平 A面 B的 C 一个法向 n量 (0,0,为 1)
x
MN n0 M/N /平A 面 BC
m 2
n
2
O D
A
B
n(2,2,1) E (4, 2, 8) Fx (0, 0, 4) EF(4,2,4)
设 E F ,n 的 夹 角 为 cos E F n 8
| E F || n | 9
设 直 线 E F 和 平 面 A 1 B C 1 所 成 角 为 sin| cos |
5 、 如 图 ， 在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中 ， A B 4 ,A D 4 ,A A 1 8 ,E ,F
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 直线的方向向量及平面
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
方向向量与法向量
垂直 平行
相交
巩固性训练3
1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 // ，则k= ；若 则 k= 。 2、已知 l // ，且 l 的方向向量为(2,m,1)，平面 的法向量为(1,1/2,2),则m= . 3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 的法向量为 (1,1/2,2),且 l ，则m= .
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1 , b1 , c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, , ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z ) 则由n DA 0， DE 0得 n
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1 F 平面ADE
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）写出空间直线 的一个方向向量，并说明这个方向向量 是否可以表示正方体A'的F 某条棱所在直线的方向。
例题2：已知长方体 AB A C 'B 'C 'D D '的棱长 A B 2 ,A ，D 4 ,A' A 3
以长方体的顶点D为' 坐标原点，过D' 的三条棱所在的直线为坐标
方向向量；
2 、如图所示直角坐标系中有一棱长为1的正方体
ABC DA 1B 1C 1D 1， E , F分别是 DD1, DB 中点 ，G 在
1
棱 C D 上 ，CG 4 CD， H 是 C 1 G 的中点，求线段
，
B1C,EF ,C1G,FH所在直线的一个方向向量
3、教材P49 1 4、教材P49 2
3.3 空间直线的方向向量和平面 的法向量
平面直线的方向向量是如何定义的？唯一吗？ 如何表示空间直线的方向？
❖方向向量 对于空间任意一条直线l,我们把与直线平行的非零向量d
叫做直线的一个方向向量能够表示几条空间直线的方向向量？
例1：如图所示的空间直角坐标系中，棱长为a的正方体 O A B C O A B C 中，F为棱上的中点，
轴，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：
( 1 )A';( A 2 )B 'C ;(3 )A 'C ;(4 )D ' B
a 例题3：已知所有棱长为 的正三棱锥 ABCD，试建立空间
直角坐标系，确定各棱所在直线的方向向量。
课堂练习：
1、已知A(3, 3,1) ，B(1, 0, 5) ，求线段A B 所在直线的一个
课堂小结: 空间直线的方向向量的概念 直线方向向量的不唯一 一个向量可以表示无数条直线的方向
布置作业：见练习册