无穷级数习题与答案

x 2n = 1 x 2 n +1 = 1 x x 2 n dx = 1 x 1 dx ∑ ∑ x ∫0 1 − x 2 2n + 1 x n =0 2n + 1 x ∫0 ∑ n =0 n =0
∞
∞
∞
= 1 ln 1 + x 2x 1 − x
3、解: ρ = lim
∞
( x < 1)
an 1 = lim n − 1 = 1 ，收敛半径 r = = 1 n →∞ a n →∞ ρ n n −1
1
= 1 nπ
1 1 1 ∫0 xd sin nπxdx = nπ x sin nπx 0 − nπ 1
∫ sin nπ xdx
0
1
=
(nπ )
2 0
1
1 2
cos nπx =
0
(nπ )
1
2
[(−1)
n
−1
]
bn = ∫ f ( x) sin nπxdx = ∫ x sin nπxdx
0
1
=− 1 nπ
∞ ∞ 1 = − 1 ∑ ( t )2 + ∑t n 1 ( t < 2) 2 n =0 2 n =0 = 2 + t 1− t 1− 2
所以 f ( x) =
1 ∞ t 2 ∞ n 1 = t = − ∑( ) + ∑ 2 n =0 2 x 2 + 3x + 2 n =0
C
1、解: lim
un ne − nx = lim = e−x n →∞ u n →∞ ( n − 1)e − ( n −1) x n −1
∫ xd cos nπxdx = − nπ x cos nπx
0
1
1
1 0
+ 1 nπ
∫ cos nπ xdx
0
1
5
= − 1 (−1) n + 1 2 sin nπx = 1 (−1) n +1 nπ nπ ( nπ ) 0
所以：
∞ ∞
1
1 f ( x ) = 1 − 2∑ cos(2n − 1)πx + ∑ 1 (−1) n +1 sin nπx 2 4 nπ n =1 [( 2n − 1)π ] n =1
∞
2
2 n.n! ∑ n n =1 n
∞
2
n 2) ∑ (−1) 2 n! n =1 n
2、利用逐项求导或积分求级数
∞ n
x 2n 的和函数. ∑ n = 0 2n + 1
∞
3、求幂级数
∑ (−1) n
n =1
( x − 5) 的收敛域. n
2
3 5、将函数 f ( x) = 2 1 展开成 x + 4 的幂级数. x + 3x + 2
6、1) 收敛半径 R = 1 ，收敛区间: [− 1,1] 2) 收敛半径 R =
2 ，收敛区间为： − 2 , 2
, 收敛区间为： (− ∞, ∞ )
(
)
3) 收敛半径 R = ∞
7、1)
∑ 4xn + 1
n =1
∞
4 n +1
=
1 1 1+ x arctan x + ln − x ( x < 1) 2 4 1− x ( x < 1)
n
x = 6 时级数 ∑ (− 1)
n =1
1 n
为交错级数收敛
x = 4 时级数为 n =1
∑
∞
1 n 发散，所以:收敛域为: (4,6]
4、 cos x = (cos x +
∞
π
− ) = cos cos( x + ) + sin sin( x + ) 3 3 3 3 3 3
π
π
π
π
π
( x + π ) 2n ( x + π ) 2 n +1 ∞ 3 3 = 1 ∑ (−1) n + 3 ∑ (−1) n 2 n =0 (2n)! 2 n =0 (2n + 1)!
∞
所以： s =
1 4 π2 π2 = ⋅ = ∑ 2 3 8 6 n =1 n
∞
6
当 x = 1 时：收敛于 4、由 f ( x) =
1 2
x,0 ≤ x ≤ 1 0,1 < x ≤ 2
f ( x) =
∞ ∞ 1 1 1 − 2∑ cos( 2 n − 1 ) π x + (−1) n +1 sin nπx （ x ≠ 1 ） ∑ 2 4 n =1 [( 2n − 1)π ] n =1 nπ ∞
第十一章 无穷级数
A 1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性 1）
∑(
∞ n =1
n +1 − n
)
2）
1 1 1 1 + + + ... + + ... (2n − 1)(2n + 1 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7
3） sin( ) + sin(
π
6
2π nπ ) + ... + sin( )... 6 6
1 1 1 + − + ... 4 2 3
1
2）
∑ (−1)
n =1 ∞
∞
n
n 3n −1
3）
∑ (−1)
n =1
n
1 3 ⋅ 2n
2 n
6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。
n 1) 1 − x + x 2 + ... + (−1) x 2 ...
2
n
2)
∑
∞ n =1
2n − 1 2 n − 2 x 2n n =1
C 1、求
4、将 cos x 展开成 x + π 的幂级数.
∑ ne
n =1 ∞ n =0
∞
− nx
的收敛域.
2、求
n ∑ 1n+ !2
2
n
x n 的和函数.
第十一章 无穷级数答案 习 题 答 案
A 1、1）发散 2、1) 收敛 3、1) 收敛 4、1) 收敛 5、1） 条件收敛 2) 收敛 3) 发散 2) 收敛 3）收敛 4)发散 2）收敛 3）收敛 2）收敛 2） 绝对收敛 3） 绝对收敛
1 =0 f ( 0) = 1 − 2 ∑ 2 4 n =1 [( 2n − 1)π ]
∞ ∞ ∞ π2 1 1 = 1 1 =π2 + s ，记 = + s = ∑ ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2 8 4 8 n =1 n n =1 ( 2n − 1) n =1 ( 2n) n =1 ( 2n − 1)
2)
∑ nx
n =1
∞
n −1
=
x
1 (1 − x) 2
−x ∞
8、1） shx = e − e
2
2 n −1 =∑ x (2n − 1)! n =1
x ∈ (− ∞,+∞ )
2） a x = e x ln a =
∑ lnn!a x
n =0
∞
n
n
x ∈ (− ∞,+∞ ) 1 (−1) 4 n x 2 n ∑ 2 n =0 2 (2n)!
∞ n
3)
∑ (−1)
∞
1 n x 2 n!
n
7、利用逐项求导或积分求级数的和函数.
x 4 n +1 1) ∑ n =1 4n + 1
2)
∑ nx
n =1
∞
n −1
8、将函数展开成 x 的 幂级数并求收敛区间. 1） shx =
x
e x − e−x 2
2） a
3） sin x B 1、判断积数收敛性 1)
3、用比值审敛法判定级数收敛性 1）
∑ n tan 2
n =1 ∞
∞
π
n +1
2）
∑n 3
n =1 ∞ n =1
2 n
3）
∑ n23
∞
n n
4、用根值法判定级数收敛性 1） ∑ ( n ) 3n + 1 n =1
∞ n
2）
∑ [ln(n + 1)]
n =1
1
n
5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1） 1 −
∞ n
2 3） sin x = 1 − 1 cos 2 x = 1 −
2
2
x ∈ (− ∞,+∞ )
3
B
1、1) 解： lim
un n →∞ u n −1
2 n.n! n − n. n −1 = lim n−1 n = lim 2( n − 1) n−1 = 2 lim(1 + − 1) −n = 2 < 1 n →∞ 2 n →∞ n n e (n − 1)! n→∞ n −1 (n − 1)
由比值法，级数
∑ 2n.n! 收敛
n =1 n
2
∞
n
2) 解： lim
un n →∞ u n −1
2n n! = lim 2 2 n −1 = ∞ > 1 = lim ( n 2 n →∞ n →∞ n 2 −1) (n − 1)!
∞
2
n 由比值法，级数 ∑ (−1) 2 发散 n! n =1 n
2、解：
−x
当 x > 0 时e
< 1 ； x < 0 时 e − x > 1 ； x = 0 时 ∑ ne −nx = ∑ n 发散
n =1 n =1
∞
∞
所以:收敛域: x ∈ (0, ∞ ) 2、解：令 x = t
2
1+ n2 xn = t n + n2 t n ∑ ∑ n n! n! ∑ n = 0 n!2 n =0 n =0 = e t + ∑ n − 1 + 1t n = e t + ∑ 1 t n + ∑ 1 t n (n − 1)! (n − 1)! (n − 2) n =1 n =11 n=2
2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。 1） sin(
∞
π
2
2
) + sin(
π
2
3
) + + sin(
π
2n
)
2）
∑ 1 +1a
n =1 ∞ n =1
n
(a > 1)
3）
1 ∑ (n + 1)( n + 4)
4） 1 +
1+ 2 1+ 3 1+ n ... + + ... 2 2 1+ 2 1+ 3 1+ n2
2 = e t + te t + t 2 e t = e 2 (1 + x + x ) 2 4 x
∞ ∞ ∞
∞
∞
wenku.baidu.com
∞
3、解 a0 =
2
∫
2
0
1 f ( x)dx = ∫ xdx = 1 x 2 = 1 0 2 0 2
0
an = ∫ f ( x) cos nπxdx = ∫ x cos nπxdx
0 0
或者直接展开为：
∞
∑
n =0
cos(−
π
nπ ) 3 2 (x + π )n n! 3 + 1 展开成 x + 4 的幂级数 x + 3x + 2
2
5、将函数 f ( x) =
解：设 t = x + 4 则 x = t − 4
4
f ( x) = −
1 1 1 1 − = − (t − 4 + 2) t − 4 + 3 t − 2 t − 1