数学物理方法3-1数学模型的建立

一、 基本方程的建立
例1、弦的振动
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动，在外力f(x,t)的作用下。
研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
ux (0,t) g0 (t),ux (a, t) g1(t)
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
☆ 数学物理方程定义 描述某种物理现象的数学微分方程。
☆ 主要内容 第3章 三种方程、 四种求解方法
第4章二个特殊函数
波动方程、 热传导、 拉普拉斯方程
分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法
贝赛尔函数、 勒让德函数
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
H E
Jc
B
D t
t
D v
B 0
在自由空间：
Jc 0, v 0
D E B H
H
E
E
t
H
t
E 0
H 0
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
H
E
E
t
H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得 ：
H
( E)
t
根据矢量运 算：
k为导热系数
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
Q t2
1
t1
k 2udV dt
V
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
流入的热量：Q1
t2 t1
k 2udV dt
V
流入的热量导致V内的温度发生变化
S n
u(x, y, z,t1 ) u(x, y, z,t2 )
x dx x
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
u(x dx,t) u(x,t) xdx 2u(x,t) dx
x
x
x
x2
ds dx T T '
xdx
T
x
2u( x, t ) x2
g
f
( x, t )dx
x dx x
2u( x, t ) t 2
dx
T
u2 (x, t) x2
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u
|t0 (x)
u t
t0
(x)
B、热传导方程的初始条件
系统各点的初位移 系统各点的初速度
初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与初始状态无关，不含初始条件
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 有限弦长的振动(波动)方程的边界条件 (1)给定两端点处的位移 u(0,t) h0 (t),u(a,t) h1(t)
hi (t) 0, i 0,1,为固定端点
(2)给定两端点处所受的垂直于弦线的外力:
例3、热传导
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均匀时，有 热量从高温处流向低温处。
所要研究的物理量： 温度 u(x, y, z,t)
根据热学中的傅里叶实验定律
在dt时间内从dS流入V内部的热量Q1为：
Q1
k
u n
dSdt
k
u
n
dSdt
ku
dSdt
S n
M V
S
热场
从时刻t1到t2通过QS1 流 入t1t2 VS的k热u量 d为Sdt
u k 2u a22u
t c
热传导方程
有热源：
u t
a22u
f
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
例4、位势方程（Poisson方程或Laplace方程）
确定所要研究的物理量： 电势分布 u(x,y,z)
穿过封闭曲面向外的电场强度通量等于所围空间中电
荷量的 4倍:
S
E
dS
牛顿运动定律：
水平方向： T cos T 'cos '
竖直方向：T sin
T
' sin
' gds
x dx
yx
f
( x, t )dx
dsut
其中：cos 1 cos ' 1
sin tan u(x,t)
x
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
g
f
( x, t )
2u( x, t ) t 2
令：a2 T
2u t 2
a2
u 2 x2
f
g………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程 忽略重力和外力作用：
2u t 2
a2
u 2 x2
0
------齐次方程
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例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
H ( H ) 2H
H 0
由此得：
2H
( H )
t t
2H
2H t 2
拉普拉斯算子： 2 2 2 2 x2 y2 z2
2

H
1
(2H 2H 2H )
t 2 x2 y2 z2
——磁场的三维波动方程
同理可得： 2 E
t 2
源自文库
1
2E
——电场的三维波动方程
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
M V
温度发生变化需要的热量为：
Q2 cu(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)dV
S
热场
V c t2 udtdV t2 c udVdt
V
t1 t
t1 V
t
Q1 Q2
t2 k2udVdt t2 c udVdt
t1 V
t1 V
t
k2u c u
t 稳恒温度场： 2u 0
4
V
(
x,
y,
z
)dxdydz
根据物理规律建立微分方程(对方程进行化简)：
E u
2u 4
2u 0
泊松方程 拉普拉斯方程(无源场)
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
二、定解条件的推导
同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。 边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历 史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态 的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上 的约束情况的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的 条件。
§3 偏微分方程的定解问题
§3.1、数学模型的建立 §3.2、分离变量法 §3.3、行波法 §3.4、积分变换法 §3.5、 Green函数
第三章 偏微分方程的定解问题 第一节 数学模型的建立
§3.1 数学模型的建立
§3.1.1 三类典型的数学物理方程 §3.1.2 定解条件和定解问题 §3.1.3 解的概念和线性叠加原理