201x版七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2教案新版北师大版
北师大版七年级下册数学教案设计：1.5 平方差公式
第一章整式的乘除5 平方差公式（第1课时）课时安排说明:《平方差公式》共分两课时，第一课时，主要是利用多项式乘法法则推导平方差公式，运用公式进行计算；第二课时，主要是了解平方差公式的几何背景，运用公式进行稍复杂的计算和数的简便运算.学生起点分析：学生的知识技能基础：七年级上册，学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法.本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法.学生活动经验基础：学生在七年级上学期，已经经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力.同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力.但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难.所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力. 教学任务分析：学生已经学过“有理数及运算”“字母表示数”“合并同类项”“去括号”“整式乘法”等内容，经历了实际问题符号化的过程，具有一定的符号感.平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.基于此教材提出了本节课的具体学习任务：经历探索平方差公式的过程，了解公式的几何背景，并能运用平方差公式，进行简单的计算，以及实际问题的解决.一、教学目标：1.经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力.2.通过创设问题情境，让学生在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力.3.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心.二、教学重难点：教学重点：探究平方差公式，并能运算平方差公式进行简单计算。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2说课稿新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2说课稿新版北师大版一. 教材分析本次说课的教材是北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除中的1.5平方差公式。
平方差公式是整式乘除中的一个重要概念，它揭示了两个平方项之间的相互关系。
本节课的内容是在学生已经掌握了整式的加减、乘法的基础上进行的，是进一步学习多项式乘法、因式分解等知识的基础。
二. 学情分析面对的是七年级的学生，他们已经掌握了整式的加减、乘法等基本知识，具备了一定的逻辑思维和运算能力。
但是，对于平方差公式的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于新知识的接受程度和理解能力各有不同，需要针对性地进行教学。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握平方差公式的概念和运用，能够运用平方差公式进行简单的计算和问题解决。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生自主学习和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式的概念和运用。
2.教学难点：对平方差公式的理解，能够灵活运用平方差公式进行问题解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，使教学内容更加直观、生动。
六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、乘法知识，引导学生进入新课，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解平方差公式的概念和运用，通过例题展示平方差公式的运用过程，让学生理解和掌握平方差公式。
3.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生运用平方差公式进行计算和问题解决，巩固所学知识。
4.拓展延伸：通过一些综合性的问题，引导学生运用平方差公式进行解决，提高学生的运用能力和解决问题的能力。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调平方差公式的概念和运用。
201X版七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式第2课时教学课件(新版)北师大版
(2)49×51-2500 =(50-1)(50+1)-2500 =502-1-2500 =2500-1-2500 =-1.
【微点拨】 利用平方差公式进行数的计算的一般步骤
1.确定第一个数:计算两个数的和并除以2. 2.确定第二个数:较大的因数减去第一个数就是第二个 数. 3.写成平方差公式形式,计算.
【微点拨】 可以用平方差公式进行简化计算的“两关键”
关键一:两个较复杂的数相乘; 关键二:这两个数可变形为相同两数的和与差的积.
【纠错园】 化简:(m+2)(m-3)-(m+5)(m-5).
【错因】(m+5)(m-5)的结果没有加中括号使其作为整 体出现.
【互动探究】 利用平方差公式计算997×1003时,如何确定出1000和 3这两个数? 提示:(997+1003)÷2=1000,1003-1000=3.
【备选例题】计算:(1)198×202. (2)49×51-2500.
【解析】 (1)198×202=(200-2)(200+2) =2002-22=40000-4=39996.
5 平方差公式 第2课时
【基础梳理】 1.利用平方差公式计算,关键是确定a,b,把握“同号的 为_正__,异号的为_负__”这一原则,准确进行计算. 2.利用平方差公式进行简算,关键是向公式的形式转 化,写成_两__数__和__与_两__数__差__的积的形式.
知识点一 利用平方差公式进行数的运算 【示范题1】计算: (1)10.2×9.8. (2)997×1003. (3)2001×1999-20002.
知识点二 利用平方差公式进行整式的运算 【示范题2】计算:(2x-3y)(3y+2x)-(4y-3x)(3x+4y).
北师大版七年级下册数学教案：1.5.2《平方差公式》x
北师大版七年级下册数学教案：1.5.2《平方差公式》x一. 教材分析《平方差公式》是北师大版七年级下册数学的重要内容。
本节课主要让学生掌握平方差公式的推导过程及其应用。
平方差公式是代数运算中的一个基本公式，对于学生理解和掌握整式的运算具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式的知识，具备了一定的整式运算基础。
但学生对于平方差公式的推导过程及应用可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.理解平方差公式的推导过程。
2.掌握平方差公式的结构特征及应用。
3.培养学生的运算能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式的推导过程及其应用。
2.教学难点：平方差公式的灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，激发学生的学习兴趣，培养学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.练习题。
3.教学黑板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的实际问题，引导学生运用数学知识解决实际问题，从而引出平方差公式。
2.呈现（10分钟）引导学生通过小组合作，利用完全平方公式推导出平方差公式。
在推导过程中，强调平方差公式的结构特征。
3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固对平方差公式的理解。
教师及时给予解答和指导。
4.巩固（10分钟）让学生运用平方差公式解决实际问题，培养学生的应用能力。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平方差公式在实际生活中的应用有哪些？激发学生的创新意识。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调平方差公式的结构特征及应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的家庭作业，巩固所学知识。
8.板书（5分钟）出示本节课的板书设计，总结平方差公式的推导过程及其应用。
本节课通过问题驱动、合作学习等教学方法，引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣。
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2教学设计新版北师大版
七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2教学设计新版北师大版一. 教材分析平方差公式是初等数学中的基本公式之一，对于学生来说，理解并熟练掌握平方差公式对于后续学习有着重要的作用。
北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除2节，主要介绍平方差公式的概念、推导和应用。
本节课的内容是学生对整式乘除知识的进一步拓展，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的基本概念，如加减乘除等运算，但对平方差公式的理解和运用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过引导和激励，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握平方差公式。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，能够运用平方差公式进行简单的计算。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生的团队协作能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的乐趣。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的概念和推导过程。
2.难点：平方差公式的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，使学生能够将数学知识与实际生活联系起来。
2.小组合作学习：引导学生进行小组讨论和交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.启发式教学：教师提问引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。
4.反馈评价：及时给予学生反馈，鼓励学生的积极性，帮助学生找到问题所在，提高学习效果。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括平方差公式的概念、推导过程和应用实例。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：投影仪、电脑等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入平方差公式，如计算矩形的面积等，引发学生的兴趣和思考。
2.呈现（10分钟）教师展示平方差公式的概念和推导过程，引导学生理解和掌握平方差公式。
北师大版七年级数学下册《一章 整式的乘除 5 平方差公式 平方差公式的应用》公开课教案_3
1.5.2 平方差公式(二)教学设计一、教材分析《1.5.2平方差公式》是北师大版义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册第一章《整式的乘除》第5节第二课时的内容。
本节课通过拼图活动，使学生对平方差公式有一个直观的认识，用面积法推导平方差公式，让学生体会平方差公式实际意义，进一步体会数形结合的数学思想。
本节课是对平方差公式的进一步巩固和应用，并拓展到简化数字运算和较复杂的化简计算。
二、学情分析七年级学生思维活跃，动手力强，课堂积极表现。
上节课学生已经经历了探索和推导平方差公式,获得了一些数学活动的经验,并能运用公式进行简单的计算,同时前面已经学习和掌握了有理数运算、整式运算等基础知识和基本技能,为本节课的学习奠定了基础。
三、教学目标（1）通过图形拼接了解平方差公式的几何背景，会用面积法验证平方差公式，发展学生的符号意识、推理能力和归纳能力。
（2）能够运用平方差公式进行数的简便运算和较复杂的化简运算，培养学生基本的运算技能。
（3）经历探索平方差公式的过程，通过图形的拼接验证平方差公式，了解平方差公式的几何背景，培养学生的数形结合思想和发展几何直观。
（4）通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索、巩固、拓展知识这一过程，发挥学生的主体作用，提高学生学数学、用数学的兴趣。
在探究学习中培养学生的观察、归纳、应用能力和数形结合意识，体会数学的现实意义和价值，同时感受到合作学习的喜悦和成功。
四、教学重难点重点：平方差公式的几何解释和与平方差公式有关的运算及应用。
难点：平方差公式的几何验证和平方差公式的综合应用。
五、教法学法教法：以探究式教学法为主，引导学生通过拼图游戏探究平方差公式的几何解释，体会平方差公式实际意义。
引导学生通过观察特例，归纳、建立猜想、用符号表示并给出证明，经历数学探索过程。
引导学生观察、探究，用平方差公式进行简单混合运算。
学法：创设数学情境，通过拼图游戏使学生动手实践，加深体验，在合作探究，交流分享中，验证平方差公式，发挥学生学习的主动性，增加学生学习数学和使用数学的信心和兴趣。
新版北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式2教案
课题
平方差公式2
课型
教学目标
1．知识与技能目标：会用面积法验证平方差公式，并 能运用公式进行简单的运算及解决相关问题。
2．数学思考目标：会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。
3．问题解决目标：了解平方差公式的几何背景，能运用公式进行简单的运算。
4．情感态度目标：让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
四、例题教学
例3．用平方差公式进行计算：
（1）103×97；（2）118×122
例4．计算：
（1）a2 (a + b) ( a - b ) + a 2 b 2；
（2）( 2 x - 5) ( 2 x + 5 ) - 2 x ( 2 x - 3 )
例题由学生独立完成，并让四名学生到黑板上板 演，再集体订正、讲解。
（1）请表示图1-3中阴影部分的面积。
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
引导学生进行探索，并帮助学生理解公式的几何解释。
三、想一想
1.计算下列各组算式，并观察它们的共同特点。
2.从以上的过程中，你发现 了什么规律？
小结
1．平方差公式的几何意义。
2．平方差公式的正确运用，在进行混合运算时，注意运算顺序及各项符号。
作业布置
课后习题
板书设计
平方差公式2
一、复习二、探索平方差公式的几何背景
课后反思
让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会 成功的喜悦。
重点
北师大七年级数学下第一章整式乘除1.5 第2课时 平方差公式的运用教学设计
北师大七年级数学下集体备课教案
一、复习导入
1.问：平方差公式是怎样的？
2.利用平方差公式计算：
（1）(2x+7b)(2x–7b)；
（2）(－m+3n)(m+3n).
3.你能快速的计算201×199吗？
二、验证平方差公式
将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，你能表示剪拼前后的图形的面积关系吗？
平方差公式的几何背景（见PPT）
三、平方差公式的运用
想一想：
（1）计算下列各式，并观察他们的共同特点：
6×8=48 14×16=224 69×71=4899
7×7=49 15×15=225 70×70=4900
（2）从以上的过程中，你发现了什么规律？请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？上课时间：
(a+b)(a−b)=a2−b2 (a+b)(a−b) = a2−b2
(a+b)(a−b)=a2−b2
四、典例精析
例1 计算:
(1) 103×97; (2) 118×122.
注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
例2 计算：
例3 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
五、当堂练习：（见PPT）
能力拓展：
2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是____．
六、课堂小结：
课后作业：习题1.10。
第1章整式的乘除(教案)2023-2024学年七年级下册数学(教案)(北师大版)
一、教学内容
第1章整式的乘除（教案）
2023-2024学年七年级下册数学（教案）
（北师大版）
1.1单项式乘单项式
1.2单项式乘多项式
1.3多项式乘多项式
1.4乘法公式
1.5整式的除法
1.6实例分析与应用
本章节内容主要包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法运算，乘法公式的运用，以及整式的除法运算。通过学习，使学生掌握整式乘除的基本法则，并能熟练运用乘法公式解决实际问题，提高学生的运算能力和解决问题的能力。教学内容与北师大版七年级下册数学教材紧密相关，确保实用性和针对性。
举例：3x * 4x = 12x^2
（2）单项式乘多项式的运算法则：使学生掌握将单项式分别与多项式的每一项相乘的方法。
举例：3x * (2x + 4y) = 6x^2 + 12xy
（3）多项式乘多项式的运算法则：使学生掌握将一个多项式的每一项分别与另一个多项式的每一项相乘的方法。
举例：(2x + 3y) * (4x + 5y) = 8x^2 + 22xy + 15y^2
（4）乘法公式的运用：使学生掌握平方差公式、完全平方公式等乘法公式的运用。
举例：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
（5）整式的除法法则：使学生掌握整式的除法运算，包括商的确定、余数的求解等。
举例：(6x^2 + 9x + 3) ÷ (3x + 1) = 2x + 3
2.教学难点
（1）多项式乘多项式的运算：学生在运算过程中容易漏项或重复项，需要注意多项式乘法中的每一项都要与其他多项式的每一项相乘。
北师大版七年级数学下册《一章 整式的乘除 5 平方差公式 平方差公式的应用》公开课教案_2 - 副本
1.5平方差公式 第二课时第一环节 复习旧知、引入新课回顾上节课平方差公式平方差公式：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 21.公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.2．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a 、b 可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号活动目的：上节课直接利用多项式乘以多项式法则，推导得到平方差公式，设计这一环节的目的，是在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备.第二环节 创设情境、探究结论活动内容：如图1-3，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形.（1）请表示图1-3中阴影部分的面积小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图1-4），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？图1-3 图1-4活动目的：本环节通过几何拼图，给平方差公式一个几何背景，使学生在拼图和计算过程中发现规律，验证自己的猜想，使学生对平方差公式，有一个直观感受和认识,避免在公式的学习过程中单纯依赖背诵的弊病. 通过拼图操作，让学生经历观察、交流的过程，倡导思维和算法多样化，让学生在图形直观分析的基础上，从代数角度推导公式，培养学生的逻辑推理能力，渗透了转化的数学思想。
第三环节观察思考、拓展延伸活动内容：（1）计算下列各组算式，并观察它们的共同特点7×9= 11×13= 79×81=8×8= 12×12= 80×80=（2）从以上过程中，你发现了什么规律？（3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？活动目的：通过特例进行归纳，让学生经历由特殊到一般的探究过程，最后利用符号表示出一般规律.这个过程包括了符号表示和符号运算，学生通过（1）中各组算式的特点，提出猜想，并且可以利用字母表示出这一猜想（a-1）（a+1）=a2-1，然后利用平方差公式计算得到（a-1）（a+1）=a2-1，从而验证猜想的正确性.这一过程的经历，让学生体会到符号运算，在验证猜想时的重要作用，也为例3数的简便运算做好知识的铺垫.第四环节典例分析、巩固提高活动内容：例3 用平方差公式进行计算：（1）103×97 ；（2）118×122巩固练习：计算：（1）704×696 ；（2）9.9 ×10.1活动目的：运用平方差公式，把相乘两数转化成两数和与两数差的乘积形式，体现了转化的思想和数式通性，让学生体会到，利用公式可以进行一些有关于数的简便运算，目的是进一步巩固平方差公式，体会符号运算对于解决问题的作用．活动内容：例4 计算：（1）a 2（a +b ）（a-b ）+a 2b 2 ； （2）（2x －5）（2x +5）－2x （2x －3） 巩固练习：计算：（1）（x +2y ）（x -2y ）+（x +1）（x －1）； （2）x （x －1）－)31(-x )31(+x 活动目的：运用平方差公式，进行简单的混合运算，巩固平方差公式，体会平方差公式在解决计算类问题的简便作用.这一环节是巩固提高的环节，为了培养学生基本的运算技能，设计必要练习，使学生准确的运用平方差公式，进行简单的混合运算，并能明白每一步计算的算理，提高综合运用公式的能力.第五环节 当堂达标、自我检测活动内容： 计算：（1） 2001×1999 －20002（2） （3mn +1）（3mn －1）－8m 2n 2（3） )221(-x )221(+x －x 41（x +8） 活动目的：为学生提供自我检测的机会，及时反馈，查漏补缺.第六环节 课堂小结、布置作业活动内容：1.平方差公式：1）公示的符号表示：（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2 ;2）公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.图1-42．应用平方差公式的注意事项：1）注意平方差公式的适用范围2）字母a、b可以是数，也可以是整式3）注意计算过程中的符号和括号活动目的：通过课堂小结对课堂知识点的回顾，让学生分享自己在学习过程中遇到的挫折以及积累的经验，构建自己的知识体系，同时提出自己存在的困惑，大家一起解决，从而达到巩固所学知识的目的.布置作业1. 必做题：教材习题1.102. 选做题：计算：（21+1）（22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)。
北师版初中数学七年级下册精品教案 第1章 整式的乘除 5 平方差公式 第2课时 平方差公式的综合应用
第2课时平方差公式的综合应用教师备课素材示例●归纳导入问题：(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特征．错误!错误!错误!错误!(2)根据以上算式，你能寻找出什么规律？一个数加1乘这个数减1的积等于这个数的平方减1.(3)请你用字母表示你所发现的规律，并得出结论．(a－1)(a＋1)＝__a2－1__．【教学与建议】教学：通过列举算式的简便运算，激发学生的学习兴趣．建议：教学中教师注意引导、鼓励学生用简便方法计算，引导学生体会用特例进行归纳、建立猜想，用符号表示并给出证明这一重要的探索过程．●复习导入活动内容1：平方差公式的结构特征问题1：如图，根据图中的面积关系填空：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．问题2：平方差公式用语言如何叙述？问题3：平方差公式中的字母可以表示什么？活动内容2：用平方差公式计算：(1)(x＋1)(x－1); (2)(－3x－4y)(－3x＋4y)；(3)(5a2b－1)(1＋5a2b); (4)99×101.【教学与建议】教学：在复习上节课知识的基础上，引入本节课的平方差公式的几何解释，并为进一步应用平方差公式，简化数字运算和较复杂化简计算做好知识准备．建议：让学生在黑板上板书计算过程，讲评时教师让学生叙述平方差公式的特征及应用平方差公式的注意事项．利用平方差公式计算两个绝对值较大的数的乘积时，关键是将已知数写成两数和与这两数差的积的形式．【例1】用简便方法计算，则98×102变形正确的是(C)A．98×102＝1002＋22B．98×102＝(100－2)2C．98×102＝1002－22D．98×102＝(100＋2)2【例2】运用平方差公式简便计算：(1)69×71; (2)1007×993.解：(1)原式＝(70－1)×(70＋1)＝4900－1＝4899；(2)原式＝(1000＋7)(1000－7)＝1000000－49＝999951.把相同的代数式看作一个整体，再利用平方差公式求值，注意有些代数值的非负性．【例3】如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为(D)A．49B．7C．－7D．7或－7【例4】若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)－3＝0，则a2＋b2＝__2__．此类题是通过适当添项变形成平方差公式的形式，从而进行简便计算．【例5】先阅读理解，再解答问题．如何计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以(2－1)，所以原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝232－1.试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值．解：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1＝12×(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1＝12×(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1＝12×(316－1)－1＝316－3 2.图形面积的计算一般是通过分割图形，利用面积的不同表示方法将问题转化，进而达到求解的目的．【例6】将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为(D)A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2B．(a＋b)2＝(a－b)2＋4abC．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2【例7】为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后长方形草坪的面积与原来正方形草坪的面积相比(C)A.增加了6m2B．增加了9m2C．减少了9m2D．保持不变高效课堂教学设计1．会利用公式进行计算，掌握平方差公式的一些应用．2．进一步体会平方差公式的意义，会利用公式解决数学问题．▲重点会用自己的语言说明公式的特点及平方差公式的应用．▲难点准确理解和掌握公式的结构特征及应用．◆活动1 创设情境导入新课(课件)如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．图①图②提出问题：(1)请表示图①中阴影部分的面积．S＝a2－b2(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？长＝a＋b，宽＝a－b；S＝(a＋b)(a－b)(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？(4)①叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；②试比较公式的两种表达式在应用上的差异．(a＋b)(a－b)＝a2－b2.这节课，我们继续用平方差公式来解决数学问题．◆活动2 实践探究交流新知【探究】(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：错误!错误!错误!错误!发现：①都是乘法算式；②下面数字是上面两个数字之间的中间数，这三个数字是相邻数字；③上面算式结果比下面算式结果小1.(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？比一个数多1和少1的两个数的积，等于这个数的平方去掉1.(3)请你用字母表示这一规律，并得出结论．【归纳】(a －1)(a ＋1)＝a 2－1.◆活动3 开放训练 应用举例【例1】用平方差公式进行计算：(1)103×97；(2)118×122【方法指导】(1)103比100多3，97比100少3，可以写成(100＋3)(100－3)，再用平方差公式计算；(2)118比120少2，122比120多2，可以写成(120－2)(120＋2)，再用平方差公式计算．解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)＝1002－9＝9991；(2)原式＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14396.【例2】用平方差公式进行计算：(1)2013×1923；(2)13.2×12.8. 【方法指导】(1)可改写成⎝⎛⎭⎪⎫20＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫20－13，利用平方差公式计算；(2)可改写成(13＋0.2)×(13－0.2)，利用平方差公式计算．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫20＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫20－13 ＝400－19＝39989； (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝168.96.【例3】计算：(1)a 2(a ＋b)(a －b)＋a 2b 2；(2)(2x －5)(2x ＋5)－2x(2x －3).【方法指导】综合应用多项式乘单项式(多项式)计算，注意平方差公式的结构特征，用平方差公式计算简便．解：(1)原式＝a 2(a 2－b 2)＋a 2b 2＝a 4－a 2b 2＋a 2b 2＝a 4；(2)原式＝4x 2－25－4x 2＋6x＝6x －25.【例4】如图①，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是____________．图① 图②【方法指导】因为图①中阴影部分的面积是a 2－b 2，图②中梯形的面积是12(2a ＋2b)(a －b)＝(a ＋b)(a －b)，所以a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)，即可验证的乘法公式为(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.答案：(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2◆活动4 随堂练习1．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是(C)A ．(m －n)(－m －n)B ．(－1＋mn)(1＋mn)C ．(－m ＋n)(m －n)D ．(3m －2)(3m ＋2)2．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝3，则m ＋n ＝(B)A ．1B ．2C ．2或－2D ．43．某中学为了响应“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池．已知游泳池长为(4a 2＋9b 2)m ，宽为(2a ＋3b)m ，高为(2a －3b)m ，请你计算一下这个游泳池的容积是多少．解：(4a 2＋9b 2)(2a ＋3b)(2a －3b)＝(4a 2＋9b 2)[(2a)2－(3b)2]＝(4a 2＋9b 2)(4a 2－9b 2)＝(4a 2)2－(9b 2)2＝(16a 4－81b 4) m 3.答：这个游泳池的容积是(16a 4－81b 4)m 3.4．课本P 22随堂练习◆活动5 课堂小结与作业【学生活动】1.这节课你的主要收获是什么？2．在学习平方差公式的计算中，我们要会利用平方差公式进行简便计算，灵活利用平方差公式特征来解决问题．【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对平方差公式的理解和应用．【作业】课本P22习题1.10中的T1、T2.本节课通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性，通过多种形式的演算，让学生理解平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点，用平方差公式来解决问题，多种练习强化训练，教学效果较好．。
北师大版数学七年级下册《 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式(第2课时)》教学课件
因为(10n2-10)÷10=n2-1. 题时，一般先将代数式化为最简，
n为正整数，
然后根据结果的特征，判断其是否
所以n2-1为整数
具有整除性或倍数关系．
即(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的值是10的倍数．
巩固练习
1.5 平方差公式/
变式训练
如果两个连续奇数分别是2n-1，2n+1（其中n为正整数），
长=a+b; 宽=a-b; 面积= (a+b)(a-b)
(3) 比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？ 由于(1)(2)表示的面积相同，所以可以验证平方差公式.
探究新知
1.5 平方差公式/
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点.
7×9= 63 8×8= 64
11×13= 143 12×12= 144
两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个 图能解释下列哪个等式（ B ） A．x2﹣2x+1＝（x-1）2 B．x2-1＝（x+1）（x-1） C．x2+2x+1＝（x+1）2 D．x2-x＝x（x-1）
课堂检测
1.5 平方差公式/
基础巩固题
1.如图，在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方 形(如图1)，将剩余部分沿虚线剪开后拼接(如图2)，通过 计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等 式( A ) A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
解: (1) 102×98 (2)
1.5平方差公式第2课时-2023-2024学年七年级数学下册同步课件(北师大版)
四、当堂练习
13.已知2a2+3a-6=0，求代数式3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.
解:原式=6a2+3a-4a2+1 =2a2+3a+1.
因为2a2+3a-6=0, 所以2a2+3a=6, 所以原式=6+1=7.
五、课堂小结
本节课你有哪些收获？
1.利用几何图形，借助等面法可以验证平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 2.运用平方差公式计算两数乘积时，关键是找到这两个数的平均数， 再将原数与这个平均数进行比较，变成两数的和与差的积的形式.
[解析] 左图中阴影部分的面积是 a2-b2,右图中梯形的面积是 (2a+2b)·(a-b)=(a+b)(a-b). 因为两图中阴影部分的面积相等,所以(a+b)(a-b) = a2-b2.
二、新知探究
知识归纳
运用不同方法分别表示两个不同图形的面积，利用 面积相等，从而验证平方差公式.
二、新知探究
用含字母a的式子表示这一规律,可写成 (a-1)(a+1)=a2-1 .
应用平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2即可说明以上规律的正确性.
差公式进行计算: (1)103×97; 解:103×97
=(100+3)(100-3) =1002-32 =9991.
(2)118×122. 解:118×122
解:由题意得这块L型菜地的面积为2× (a+b)·(b-a)=(b2-a2)m2.当 a=10,b=30时,原式=302-102=800.因此,这块L型菜地的面积共有(b2a2)m2.当a=10,b=30时,L型菜地的总面积为800 m2.
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2019版七年级数学下册第一章整式的乘除1.5平方差公式
2教案新版北师大版
课题平方差公式2 课型
教学目标1．知识与技能目标：会用面积法验证平方差公式，并能运用公式进行简单的运算及解决相关问题。
2．数学思考目标：会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法。
3．问题解决目标：了解平方差公式的几何背景，能运用公式进行简单的运算。
4．情感态度目标：让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
重点巩固掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算。
难点利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算。
教学
用具
教学
环节
说明二次备课
新课导入一、复习
1．平方差公式是什么？
2．运用公式时应该注意什么？
二、探索平方差公式的几何背景
如图 1-3，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
（1）请表示图 1-3 中阴影部分的面积。
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形（如图 1-4），这个长方
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？
引导学生进行探索，并帮助学生理解公式的几何解释。
三、想一想
1.计算下列各组算式，并观察它们的共同特点。
2.从以上的过程中，你发现了什么规律？
3.请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？
四、例题教学
例3．用平方差公式进行计算：
（1）103 × 97；（2）118 × 122
例4．计算：
（1）a2 (a + b) ( a - b ) + a 2 b 2；
（2）( 2 x - 5) ( 2 x + 5 ) - 2 x ( 2 x - 3 )
例题由学生独立完成，并让四名学生到黑板上板演，再集体订正、讲解。
小结1．平方差公式的几何意义。
2．平方差公式的正确运用，在进行混合运算时，注意运算顺序及各项符号。
作业
布置课后习题
板书设计
平方差公式2
一、复习二、探索平方差公式的几何背景
课后
反思让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦。
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