初中数学培优班试题解析

培优班试题解析

1、

（2010•无锡）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB 于D，且OD：DB=1：2，若△OBC的面积等于3，则k的值（）

A、等于2

B、等于

C、等于

D、无法确定

分析：先设出B点坐标，即可表示出C点坐标，根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义即可解答．解答：解：设B点坐标为（a，b），

∵OD：DB=1：2，

∴D点坐标为（a，b），

根据反比例函数的几何意义，

∴a•b=k，

∴ab=9k①，

∵BC∥AO，AB⊥AO，C在反比例函数y= 的图象上，

∴设C点横坐标坐标为m，

则C点坐标为（m，b）

将（m，b）代入y= 得，

m= ，

BC=a- ，

又因为△OBC的高为AB，

所以S△OBC= （a- ）•b=3，

所以（a- ）•b=3，

（a- ）b=6，

ab-k=6②，

把①代入②得，

9k-k=6，

解得k= ．

故选B．

（2010•綦江县）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2．（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且A D=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线C D垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；

（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；

（3）假设直线x=1上是存在点M，使△MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：①当PQ为等腰△MPQ 的腰时，且P为顶点；②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标．

解答：解：方法一：∵抛物线过C（0，-6）

∴c=-6，即y=ax2+bx-6

由

解得：a= ，b=-

∴该抛物线的解析式为y= （3分）

方法二：∵A、B关于x=2对称

∴A（-8，0）

设y=a（x+8）（x-12）

C在抛物线上

∴-6=a×8×（-12）

即a=

∴该抛物线的解析式为：y= ；（3分）（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，

在Rt△AOC中，AC= =10=AD，

∴点D在对称轴上，连接DQ显然∠PDC=∠QDC （1分）

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，

∴DQ∥AC （1分）

∴DB=AB-AD=20-10=10，

∴DQ为△ABC的中位线，

∴DQ= AC=5，（1分）

∴AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，

∴t=5÷1=5（秒），

∴存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分（1分）

在Rt△BOC中，BC= ，

∴CQ=3 ，

∴点Q的运动速度为每秒单位长度；（1分）（3）存在，过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9

在Rt△PQH中，PQ= （1分）

①当MP=MQ，即M为顶点，

设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k≠0），

则：

解得：

∴y=3x-6

当x=1时，y=-3，

∴M1（1，-3）（1分）

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点．

设直线x=1上存在点M（1，y），

有勾股定理得：42+y2=90

即

∴M2（1，），（1分）

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点，

过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）

设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：

（y+3）2+52=90即y=-3

∴（1分）

综上所述：存在这样的五点：

M1（1，-3），M2（1，），

．

（2010•台州）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，D F分别交线段AC于点M，K．

（1）观察：①如图2、图3，当∠CD F=0°或60°时，AM+CK

=

MK（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图4，当∠CD F=30°时，AM+CK

＞

MK（只填“＞”或“＜”）；

（2）猜想：如图1，当0°＜∠CD F＜60°时，AM+CK

＞

MK，证明你所得到的结论；

（3）如果MK2+CK2=AM2，请直接写出∠CD F的度数和的值．

分析：（1）先证明△CDA是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质证明AM+CK=MK；在△MKD中，AM+CK＞MK （两边之和大于第三边）；

（2）作点C关于FD的对称点G，连接GK，GM，GD．证明△ADM≌△GDM后，根据全等三角形的性质，GM=AM，