教案 对数函数的导数公式

教案：对数函数的导数公式

姓名:严东泰

教材分析

本节是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．本节给出了对数函数、指数函数的导数，使学生对于初等函数的导数能完整地认识，由于这两种导数的证明所需知识均超出现学范围，所以本节重点在于熟悉对数函数、指数函数求导法则与前面知识结合的应用．本节难点是指数函数、对数函数求导法则的正确应用．由于对数函数、指数函数的求导法则均是直接给出，没有证明过程，学生只能直接套用公式求解，增加了运用的困难．这部分题目还涉及到导数的四则运算，复合函数的求导法则知识的运用，因此综合性较强，题目运算量较大．

教学设计

一、教学目标：

1．掌握函数x x a log ln 、

的导数公式； 2．应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数； 3．提高分析、解决问题能力以及运算能力．

二、教学重点：结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数．

教学难点：对数函数求导公式的灵活运用． 三、教学用具：投影仪

教学过程

1．复习

（1）问题 叙述复合函数的求导法则． （2）练习 求下列函数的导数： Ⅰ．21x y -=；Ⅱ．.2sin x y = 答案：Ⅰ．2

1x

x --

；Ⅱ．.2cos 2x

2．新授

1．直接给出对数函数的导数公式（1）x

x 1

)(ln ='． 2．求证对数函数的导数公式（2）e x

x a a log 1

)(log =

'． 证明：.log 11ln 1ln ln )(log e x x a a x x a a =⋅=

'⎪⎭

⎫ ⎝⎛

=' 注：以上两个公式均是对数函数的导数公式． 公式（1）尤其简单易记，x ln 的导数等于1-x ．

公式（2）略显复杂，x a log 的导数除了1-x ，还有另一因子e a log ，即a

ln 1，由证明过程看出是由使用换底公式而来．

试思考：求幂函数m x 的导数能得1-x 吗？ 3．公式的应用

让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量

1322++=x x u ．

让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略．

这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心．

引处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中21,,lg x v v u u y -===，取了

两个中间变量，属于多重复合．而解法2中21,lg 21

x u u y -==，仅有一次复合，

所以其解法业得简单，不易出错．

补充

例：求下列函数的导数：

（1）)1(log 2

2x x y ++=；（2）2

2

11ln x

x y -+=； （3）x

x

y 2sin ln

=；（4）).(sin ln 2x e y -=

边分析，边讲解． 解：（1）)1(1log 22

2'++++=

'x x x x e y

.

1log 111log )1(12111log 2

222222

22x

e x x x x e x x x x e

+=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⋅++++=

解：由对数运算性质，有

)].1ln()1[ln(2

1

22x x y --+=

则⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-'--+'+='22221)1(1)1(21x x x x y

4

2212121221x x x x x x -=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡---

+=

解：（3）'

⎪⎭

⎫

⎝⎛='x x x x y 2sin 2sin

x

x x x x x x x 1

2cot 21

2sin 22cos 2sin 2

-

=⋅-⋅⋅⋅=

解：（4）)

(sin ])([sin 22x e x e y -'

-='

)

cot(2)

(sin )()cos()sin(2)

(sin ])[sin()sin(222x e x e x e x e x e x e x e x e --=-'

-⋅-⋅-=-'

-⋅-=

请学生用先变形再求导的方法，再解第（4）小题． 4．反馈训练

Ⅰ．求下列函数的导数：

（1）)ln(cos x y =；（2）x y 2ln 1+=； （3）x x y lg =；（4）).sin 1(log 2x y += 答案：

（1）x tan -；（2）x

x x 2ln 1ln +；（3）e x lg lg +；（4）

e x

x

2log sin 1cos +．

Ⅱ．教科书练习． 5．课堂小结

知识：要记住并用熟对数函数的两个求导公式．

技能：注意遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，应先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，可使运算较简便．

五、布置作业

教科书习题3.5第1题． 补充 求下列函数的导数：

（1）)73(ln 2+=x y ；（2）)32(cos ln 3-=x y ； （3）)1ln(2-+=x x y ；（4）.ln 3x x y = 答案：（1）73)

73ln(6++x x ；（2）)32tan(6--x ；

（3）

1

12-x ；（4）.ln 322x x x +