华附、省实、深中、广雅2019届高三年级四校联考(理数)

华附、省实、深中、广雅2019届高三年级四校联考

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页， 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上.

2．答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

第一部分 选择题 (共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知31i

z i =-，则复数z 的共轭复数z 的虚部为 A.32- B.32

C.32i

-

D.32

i

2.设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是

A.

b a 11<

B.

b a 11>

C.2

a b >

D.2

2a b >

3.已知{}n a 是等比数列，22a =，51

4

a =，则1223341n n a a a a a a a a +++++=L A.()

1614n --

B.()1612n --

C.()32143n

-- D.()32123

n -- 4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.如图是一个算法流程图，若输入n 的值为13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是 A.910a ≤< B.910a <≤ C.1011a <≤

D.89a <≤

6.如图，

在正方形区域内任取一点，1

-

B.

)

2

4

1

π

C.

)

2

4

1

π

D.

16

7.已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，先将()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的1

3

（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图像关于y 轴对称，

则θ的最小值为 A.

9π

B.

3π

C.

518π

D.

23

π 8.5

2

431x x x ⎛⎛⎫-+- ⎪ ⎝

⎭⎝的展开式中常数项为 A.30-

B.30

C.25-

D.25

9.已知P 是边长为2的等边三角形ABC 边BC 上的动点，则()

AP AB AC ⋅+u u u r u u u r u u u r

的值

A.有最大值8

B.是定值6

C.有最小值2

D.与P 点的位置有关

10.函数()()241

x x x e e f x x --=

-的部分图像大致是

A B C D

11.设1F 、2F 分别是椭圆22221y x

a b

+=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2a

x c =上存在点P ，

使线段1PF 的中垂线过点2F

，则椭圆离心率的取值范围是 A.(0

B.(0

C.1)

D.1)

12.已知函数()sin sin3f x x x =-，[]0,2x π∈，则函数()f x 的所有零点之和等于 A.0

B.3π

C.5π

D.7π

A B

C

D

第二部分 非选择题 (共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知直线10ax y +-=与圆()()2

2

:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ .

14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是5万元.现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 ※※ 万元. 15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且315S =，7934a a +=，数列11n n a a +⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，且对于任意的n ∈N *，11

n n a T t

+<

，则实数t 的取值范围为 ※※ . 16.在半径为4的球O 的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球O 所截得的图形的面积为 ※※ .

三、解答题：满分 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22、23题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共60分.

17.（12分）如图，在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a c B B =+.

（1）求ACB ∠的大小；

（2）若ACB ABC ∠=∠，点A 、D 在BC 的异侧，2DB =，1DC =，求平面四边形ABDC 面积的最大值.

18.（12分）等边ABC ∆的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足

1

2

AD CE DB EA ==（图1）.将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （图2）.

（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；

（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出线段PB 的长；若不存在，请说明理由.

A B

C

D

E

A 1

B

C

D

E 图1

图2