2.4.3 2020中考数学复习：《一元二次方程根与系数的关系》近8年全国中考题型大全(含答案)

１一元二次方程根与系数的关系一、选择题1. (2014 山东省日照市) 关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实根x 1，x 2，满足x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1，则k 的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D.2. (2015 山东省烟台市) 等腰三角形三边长分别为2a b 、、，且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ ） A ．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或103. (2019 广东省广州市) （3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（ ） A ．0或2 B ．﹣2或2 C ．﹣2 D ．24. (2019 广西贵港市) （3分）若α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根，且+＝﹣，则m 等于（ ） A ．﹣2 B ．﹣3C ．2D ．35. (2019 贵州省遵义市) （4分）一元二次方程2310x x -+=的两个根为1x ，2x ，则2121232x x x x ++-的值是()２A ．10B ．9C ．8D ．76. (2019 山东省潍坊市) （3分）关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2+m ＝0的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ＝3 C ．m ＝3或m ＝﹣2 D ．m ＝﹣3或m ＝27. (2019 山东省淄博市) （4分）若123x x +=，22125x x +=，则以1x ，2x 为根的一元二次方程是( ) A ．2320x x -+= B ．2320x x +-= C ．2320x x ++= D ．2320x x --=8. (2019 山东省威海市) （3分）已知a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则a 2﹣b +2019的值是（ ） A ．2023 B ．2021 C ．2020 D ．20199. (2019 广西玉林市) （3分）若一元二次方程220x x --=的两根为1x ，2x ，则121(1)(1)x x x ++-的值是()A ．4B ．2C ．1D ．2-二、填空题10. (2012 山东省威海市) 若关于x 的方程()2210x a x a +-+=的两根互为倒数，则a =____________．３11. (2015 山东省日照市) 如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015= ．12. (2016 湖北省黄石市) 关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是 ．13. (2018 山东省威海市) （3.00分）关于x 的一元二次方程（m ﹣5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是 ．14. (2018 四川省自贡市) （4分）若函数y=x2+2x ﹣m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为 ．15. (2019 湖北省荆门市) （3分）已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+（3k +1）x +2k 2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝8k 2，则k 的值为 ．16. (2019 湖南省娄底市) （3分）已知方程230x bx ++=，则方程的另一根为 ．17. (2019 四川省眉山市) （3分）设a 、b 是方程x 2+x ﹣2019＝0的两个实数根，则（a ﹣1）（b ﹣1）的值为 ．18. (2019 四川省攀枝花市) （4分）已知1x ，2x 是方程2210x x --=的两根，则４2212x x +=．三、计算题19. (2019 湖北省鄂州市) 已知关于x 的方程x 2﹣2x +2k ﹣1＝0有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）设方程的两根分别是x 1、x 2，且+＝x 1•x 2，试求k 的值．20. (2019 湖北省黄石市) （7分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +（4m +1）＝0有实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x 1、x 2，且|x 1﹣x 2|＝4，求m 的值．５21. (2019 湖北省十堰市) （7分）已知于x 的元二次方程x 2﹣6x +2a +5＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求a 的取值范围；（2）若x 12+x 22﹣x 1x 2≤30，且a 为整数，求a 的值．22. (2019 四川省巴中市) （8分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣1＝0有两不相等的实数根． ①求m 的取值范围．②设x 1，x 2是方程的两根且x 12+x 22+x 1x 2﹣17＝0，求m 的值．23. (2019 四川省南充市) （8分）已知关于x 的一元二次方程03)12(22=-+-+m x m x 有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为21,x x ，求代数式)24)(2(222121+++x x x x 的值.６四、应用题24. (2013 广西玉林市) 已知关于x 的方程 x 2+x +n =0 有两个实数根－2，m ，求m ，n 的值.25. (2014 四川省泸州市) 已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两个实数根.(1)若12(1)(1)28x x --=，求m 的值；(2)已知等腰△ABC 的一边长为7，若1x 、2x 恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长.26. (2016 湖北省十堰市) 已知关于x 的方程（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0． （1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足，求实数p 的值．７五、复合题27. (2017 广西玉林市) 已知关于x 的一元二次方程：x 2﹣（t ﹣1）x+t ﹣2=0． （1）求证：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）当t 为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由．28. (2017 湖北省鄂州市) 关于x 的方程22(21)230x k x k k --+-+=有两个不相等的实数根.（1）求实数k 的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x 1、x 2 ，存不存在这样的实数k，使得12||||x x -=？若存在，求出这样的k 值；若不存在，说明理由.８29. (2019 四川省乐山市) 已知关于x 的一元二次方程04)4(2=++-k x k x . （1）求证：无论k 为任何实数，此方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为1x 、2x ，满足431121=+x x ，求k 的值； （3）若ABC Rt ∆的斜边长为5，另外两边的长恰好是方程的两个根1x 、2x ，求ABC Rt ∆的内切圆半径.六、说理题30. (2013 湖北省孝感市) 已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x 。

（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得221212x x x x ⋅--≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由。

参考答案一、选择题1. D2. C.解析当2不为腰时，a=b,由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6，所以a=b=3,ab=9=n-1,解得n=10,当2为腰时，a=2（或b=2）,此时2+b=6（或a+2=6），解得b=4(a=4),所以ab=2×4=8=n-1，解得n=9,所以n为9或10.3.分析由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．解答解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，解得：k＝±2．∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，∴k＝2．故选：D．９１０点评本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，求出k 的值是解题的关键．4. 分析利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m ，再化简+＝，代入即可求解；解答解：α，β是关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0的两实根， ∴α+β＝2，αβ＝m ， ∵+＝＝＝﹣，∴m ＝﹣3； 故选：B ．点评本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．5. 分析先利用一元二次方程的解的定义得到21131x x =-，则212121212323()3x x x x x x x x ++-=++-，接着利用根与系数的关系得到123x x +=，121x x =，然后利用整体代入的方法计算．解答解：1x Q 为一元二次方程2310x x -+=的根，211310x x ∴-+=，21131x x ∴=-，21212121212123231323()3x x x x x x x x x x x x ∴++-=-++-=++-，根据题意得123x x +=，121x x =，212123233137x x x x ∴++-=⨯+-=．故选：D ．点评本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12c x x a=．6. 分析设x 1，x 2是x 2+2mx +m 2+m ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得x 1+x 2＝﹣2m ，x 1•x 2＝m 2+m ，再由x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2代入即可； 解答解：设x 1，x 2是x 2+2mx +m 2+m ＝0的两个实数根， ∴△＝﹣4m ≥0， ∴m ≤0，∴x 1+x 2＝﹣2m ，x 1•x 2＝m 2+m ，∴x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2＝4m 2﹣2m 2﹣2m ＝2m 2﹣2m ＝12， ∴m ＝3或m ＝﹣2； ∴m ＝﹣2； 故选：A ．点评本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键．7. 分析利用完全平方公式计算出122x x =，然后根据根与系数的关系写出以1x ，2x 为根的一元二次方程． 解答解：22125x x +=Q ，21212()25x x x x ∴+-=，而123x x +=，12925x x ∴-=，122x x ∴=，∴以1x ，2x 为根的一元二次方程为2320x x -+=．故选：A ．点评本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12c x x a=．8. 解答解：a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根， ∴b ＝3﹣b 2，a +b ＝﹣1，ab ﹣3，∴a 2﹣b +2019＝a 2﹣3+b 2+2019＝（a +b ）2﹣2ab +2016＝1+6+2016＝2023； 故选：A ．9. 分析根据根与系数的关系得到121x x +=，122x x =-，然后利用整体代入的方法计算121(1)(1)x x x ++-的值．解答解：根据题意得121x x +=，122x x =-， 所以1211212(1)(1)111(2)4x x x x x x x ++-=++-=+--=． 故选：A ．点评本题考查了根与系数的关系：若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a+=-，12c x x a=．二、填空题 10. 1-11.分析：由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．解答解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．12.分析设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．解答解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，由已知得：，即解得：m＞．故答案为：m＞．点评本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．13.分析若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．解答解：∵关于x的一元二次方程（m﹣5）x2+2x+2=0有实根，∴△=4﹣8（m﹣5）≥0，且m﹣5≠0，解得m≤5.5，且m≠5，则m的最大整数解是m=4．故答案为：m=4．14.分析由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．解答解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．15.分析根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k 值，此题得解．解答解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，解得：k1＝﹣，k2＝1．∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，∴k＝1．故答案为：1．点评本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．16.分析设方程的另一个根为c，再根据根与系数的关系即可得出结论．解答解：设方程的另一个根为c ，(52)3c +=Q ， 52c ∴=-．故答案为：52-．点评本题考查的是根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此题的关键．17. 分析根据根与系数的关系可得出a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2019，将其代入（a ﹣1）（b ﹣1）＝ab ﹣（a +b ）+1中即可得出结论．解答解：∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2019＝0的两个实数根， ∴a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2019，∴（a ﹣1）（b ﹣1）＝ab ﹣（a +b ）+1＝﹣2019+1+1＝﹣2017． 故答案为：﹣2017．点评本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．18. 分析根据根与系数的关系变形后求解． 解答解：1x Q 、2x 是方程2210x x --=的两根，122x x ∴+=，121x x ⨯=-，2222121212()222(1)6x x x x x x ∴+=+-=-⨯-=．故答案为：6．点评本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系：若方程两个为1x ，2x ，则12b x x a+=-，12c x x a=g ．三、计算题19. 分析（1）根据一元二次方程x 2﹣2x +2k ﹣1＝0有两个不相等的实数根得到△＝（﹣2）2﹣4（2k ﹣1）≥0，求出k 的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出方程解答即可． 解答（1）解：∵原方程有实数根， ∴b 2﹣4ac ≥0∴（﹣2）2﹣4（2k ﹣1）≥0 ∴k ≤1（2）∵x 1，x 2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： x 1+x 2 ＝2，x 1 •x 2 ＝2k ﹣1 又∵+＝x 1•x 2，∴∴（x 1+x 2）2﹣2x 1 x 2 ＝（x 1 •x 2）2 ∴22﹣2（2k ﹣1）＝（2k ﹣1）2 解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k ≤1 ∴．点评本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k 的取值范围，此题难度不大．20.分析（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，结合|x1﹣x2|＝4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．解答解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．点评本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1﹣x2|＝4，找出关于m的一元一次方程．21.分析（1）根据根的判别式，可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；（2）由根与系数的关系，用a表示出两根积、两根和，由已知条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围，再求其值即可．解答解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数，∴a的值为﹣1，0，1．点评本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用．22.分析①根据“关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可，②根据“x1，x2是方程的两根且x12+x22+x1x2﹣17＝0”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案．解答解：①根据题意得：△＝（2m+1）2﹣4（m2﹣1）＞0，解得：m，②根据题意得：x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣1，x12+x22+x1x2﹣17＝﹣x1x2﹣17＝（2m+1）2﹣（m2﹣1）﹣17＝0，解得：m 1＝，m 2＝﹣3（不合题意，舍去）， ∴m 的值为．点评本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系．23. 解：（1）△=134124144)3(14)12(2222+-=+-+-=-⨯⨯--m m m m m m （2分） ∵原方程有实根，∴△=0134≥+-m （3分） 解得413≤m （4分） （2）当2=m 时，原方程为0132=++x x （5分） ∵21,x x 为方程的两个实根，∴1,32121=-=+x x x x （6分）03,03222121=+=+x x x x∴124),1(222221121+=+++-=+x x x x x x （7分） ∴1)131(]1)([)1)(1()24)(2(212121222121=+--=+++-=++-=+++x x x x x x x x x x （8分）四、应用题24. 解：∵方程有两个实数根m ，-2 ∴Δ=1－4n ＞0，n ＜14∴212m m n-+=-⎧⎨-=⎩由①知 m =1 代②得 n =－2①②25. 解：(1)∵1x 、2x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两个实数根，∴122122(1)5x x m x x m +=+⎧⎨=+⎩， 又∵12(1)(1)28x x --=，∴12(1)(1)x x --12121x x x x =--+1212()1x x x x =-++252(1)1m m =+-++25221m m =+--+224m m =-+=28，即22240m m --=，∴m=-4或6.又∵△22[2(1)]4(5)m m =-+-+224(1)4(5)m m =+-+22484420m m m =++--816m =-＞0，∴m ＞2，∴m=6.(2)∵m=6，∴122(1)2(61)14x x m +=+=⨯+=，∴三角形的周长为7+14=21.26. 考点根的判别式．分析（1）化成一般形式，求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程． 解答证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2，∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1+4p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，∴52=5（6﹣p2），∴p=±1．点评本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则有，．五、复合题27. 考点AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．分析（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t，方程都有实数根；（2）设方程的两根分别为m、n，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t ﹣1=0，解之即可得出结论．解答（1）证明：在方程x 2﹣（t ﹣1）x+t ﹣2=0中，△=[﹣（t ﹣1）]2﹣4×1×（t ﹣2）=t 2﹣6t+9=（t ﹣3）2≥0，∴对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）解：设方程的两根分别为m 、n ，∵方程的两个根互为相反数，∴m+n=t ﹣1=0，解得：t=1．∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．28. 答案（1）k ＞114（2）k=4 解析试题分析：（1）利用两个不相等的实数根得△>0，求出k ＞114 （2）先判断x 1、x 2都是正数，再利用根与系数关系列方程求k试题解析：（1）∵方程22(21)230x k x k k --+-+=有两个不相等的实数根. ∵△>0 ()()41111403241222>>->+---k k k k k所以存在且k=4考点：1、一元二次方程，2、根的判别式，3、根与系数关系29. 解：（1）证明：Θ0)4(16816)4(222≥-=+-=-+=∆k k k k k ，……………………2分 ∴无论k 为任何实数时，此方程总有两个实数根. ………………3分（2）由题意得：421+=+k x x ，k x x 421=⋅， …………………4分 431121=+x x Θ，432121=⋅+∴x x x x ，即4344=+k k ， ……………………5分 解得：2=k ； ………………6分（3）方法1：根据题意得：222215=+x x ，而22221221222148)4(2)(+=-+=-+=+k k k x x x x x x ，∴22254=+k ，解得：3=k 或3-=k （舍去）…………8分设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图，5由切线长定理，可得：5)4()3(=-+-r r ，∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+； ………10分 方法2：解方程得：41=x ，k x =2， ………………7分根据题意得：22254=+k ，解得：3=k 或3-=k （舍去）………8分 设直角三角形ABC 的内切圆半径为r ，如图，由切线长定理，可得：5)4()3(=-+-r r ，∴直角三角形ABC 的内切圆半径r =12543=-+；………………10分六、说理题30. 解：（1）∵原方程有两个实数根，∴ 22[(21)]4(2)k k k -+-+≥0∴2244148k k k k ++--≥0∴14k -≥0，∴k ≤14 ．∴当k ≤14时，原方程有两个实数根．（2）假设存在实数k 使得221212x x x x ⋅--≥0成立．∵1x ，2x 是原方程的两根，∴21212212x x k x x k k +=+⋅=+，．由221212x x x x ⋅--≥0，得212123()x x x x ⋅-+≥0．∴223(2)(21)k k k +-+≥0，整理得：2(1)k --≥0，∴只有当1k =时，上式才能成立．又由（1）知k ≤14，∴不存在实数k 使得221212x x x x ⋅--≥0成立．。