数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十四章

第十四章 幂级数

一、证明题

1. 证明:设f(x)=∑∞=0n n n x a

在x=R 是否收敛).应用这个结果证明:

∑⎰∞=--==+1

n 1n n 11)(ln2dx x 1101. 2. 证明 (1) y=∑∞

=0n 4n

(4n)!x 满足方程y (4)=y (2) y=∑∞

=0n 2n

)(n!x 满足方程x y ''+y '-y=0. 3. 证明:设f(x)为幂级数∑∞=0n n n x a

在(-R,R)上的和函数,若f(x)为奇函数,则该级数仅出现奇次

幂的项,若f(x)为偶函数,则该级数仅出现偶次幂的项.

4. 设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在正数M,对一切x ∈(a,b),有|f (n)(x)|≤M(n=1,2,3,…),证明:对(a,b)内任一点x 与x 0有 f(x)=∑∞

=0n n 00(n))x -(x n!)(x f 二、计算题

1.求下列幂级数的收敛半径与收敛区域.

(1) ∑n nx ; (2) ∑n n 2x 2n 1; (3) ∑n 2

x (2n)!)(n!; (4) ∑n n x r 2,(0

11 ; (8)∑2n n x 21 2. 利用逐项求导或逐项求积分的方法求下列幂级数的和函数.(应同时指出它们的定义域) (1) +++++++1

2n x 5x 3x x 1

2n 53; (2) x+2x 2+3x 3+…+nx n +…;

(3)1·2x+2·3x+…+n(n+1)x n +…

3. 求下列幂级数的收敛域: (1) ∑∞

=>>+1n n

n n

0)b 0,(a b a x (2) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n n n x n 112

4. 证明定理14.3, 并求下列幂级数的收敛半径: (1) ∑-+n n n x n

]1)([3; (2) a+bx+ax 2+bx 3+…, (0

5. 求下列幂级数的收敛半径及其和函数; (1) ∑∞

=+1n n

1)n(n x ; (2) ∑∞

=++1n n

2)1)(n n(n x .

6. 设a 0,a 1,a 2,…为等差数列(a 0≠0),试求:

(1) 幂级数∑∞=0n n n x a

的收敛半径;

(2) 数项级数∑∞

=0n n n 2a 的和数. 7. 按待定系数法确定函数:f(x)=∑∞=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+0n n 1n x 1的幂级数表达式(写出前四项). 8. 利用已知函数的幂级数展开式,求下列函数在x=0处的幂级数展开式,并确定它收敛于该函数的区间:

(1) 2x e ; (2) x 1x 10

-; (3) 2x

1x -; (4) sin 2x; (5) x 1x 10

-; (6) 22x

-x 1x +; (7) dt t sint 0x ⎰; (8) (1+x)e -x ; (9))x 1ln(x 2++.

9. 求下列函数在x=1处的泰勒展开式:

(1) f(x)=3+2x-4x 2+7x 3; (2) f(x)=x

1. 10. 求下列函数的马克劳林级数展开式: (1) )

x x )(1(1x 2--; (2) xarctgx-ln 2x 1+; 11. 试将f(x)=lnx 按

1x 1x +-的幂展开成幂级数. 三、考研复习题

1. 证明:当|x|<2

1时 +-++++=+--1n n 221)x (27x 3x 12x

3x 11 2. 求下列函数的幂级数展开式:

(1) f(x)=(1+x)ln(1+x); (2) f(x)=sin 3x;

(3) f(x)=dt cost 0x 2⎰

3. 确定下列幂级数的收敛域,并求其和函数:

(1) ∑∞=1

n 1-n 2

x n ; (2) ∑∞=++0n 2n 1n x 212n ; (3) ∑∞=1

n 1-n 1)

-n(x ; (4) ∑-+1(2n)x (-1)212n 1-n 4. 应用幂级数性质求下列级数的和: (1) ∑∞=+1n 1)!

(n n ; (2) ∑∞=+0

n n

13n (-1). 5. 设函数∑∞

==1n 2n

n x f(x )定义在[0,1]上,证明它在(0,1)上满足下述方程:

f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1).

6. 设园弧AB 的弦长为a,园弧一半所对的弦长为b,证明: AB 的弧长L ≈

3

1(8b-a) 7. 利用函数的幂级数展开求下列不定式的极限.

(1) ∞

→n lim n ·[ln(n+1)-lnn]; (2) x

sin arcsinx x lim 30x -→; (3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x .