根轨迹法分析典型二阶系统的动态性能
自动控制原理-用根轨迹法分析系统性能
统的性能满足要求.
第四节 用根轨迹法分析系统性能
例 已知系统的闭环传递函数:
G(s)H(s)=S(S+1K)r(S+2)
即要试求确S定1,ξ闭2==n0环-0-.m5.极3>3_点±2和j0对.58应的Kr.
jω
S解3=：∑j=β31系P=j c-统So的1s--S1根ξ2=轨60迹º图如图:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
四、增加开环零极点对系统性能 的影响
由以上分析知，闭环特征根应该位 于S 左半平面，而且离虚轴要有一定的 距离，才能满足系统的稳定性和快速性 要求。增加开环零、极点必将改变根轨 迹的形状和走向，即改变系统的性能。
第四节 用根轨迹法分析系统性能
1. 增加开环零点
（1）设二阶系统的开环传递函数为
G(s)H(s)=S(KSr+1)
系以增统降零加的低又点零根超可使点轨调使根后迹量β轨:图。角迹如较向图小:， 闭 离 快 可 整 稳G左K极的系以环 时 定都速(rs值弯 点距增统不极 间 性减太性)H，曲离离加的管点，和小近.(s既，虚.合根)怎超离改快,影=可选轴适轨虚善速调么KS响使择有r的(迹轴系性量选S(系S闭适 一零+图和的 统 。择+统1环当 定点2为)距 的调K的)r,:
第四节 用根轨迹法分析系统性能
一对共轭复数极点在S平面上的分布:
s1,2=复-ξ数ω极n +点jω的n 参1-数ξ2与
系统=阶-ξ跃ω响n +应jω及d 性能指 标|s的1|=关|s系2|=为ξ(ωn)2+ωd 2 cσ(%t)===e1cω--oξβπns1/e=β--ξξc1=ω2-ξotn2ξsωs%ω-1inξnn (ω=ξtdst=+ξβω3) n
利用根轨迹分析系统性能
G(s)H (s)
s(s2
s 2s
2)
2、增加开环极点对根轨迹的影响
在开环传递函数中引入极点，可以使根轨迹向右半 s平面弯曲或移动，还可以改变渐近线的倾角，增加渐 近线的条数。
设开环传函 增加极点p＝-4 增加极点p＝-1 增加极点p＝0
G(s)H(s) 1 s(s 2)
G(s)H(s)
线性系统根轨迹分析法的第一个工 作是分析根轨迹图上的规律，并寻找到可 以作为工作点的参考范围。第二个工作将 是设法改造根轨迹图，使根轨迹图变成一 个像软面条一样的玩具可以任意塑造，并 使其按我们的希望目标变形。这就是增加 零极点的技术。
一、增加开环零极点对系统性能的影响
由于根轨迹是由开环零极点决定的，因 此在系统中增加或改变零极点在s平面的位 置，可以改变根轨迹的形状，影响系统的性 能。
界值
K
* c
时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。此时，关键
是求出开环根轨迹增益K *
的临界值 K
* c
。这为分析和设计系统
的稳定性提供了选择合适系统参数的依据和途径。
⑶根据对系统的要求和系统的根轨迹图分析系统的瞬 态响应指标。对于一阶、二阶系统，很容易在它的根轨迹上 确定对应参数的闭环极点，对于三阶以上的高阶系统，通常 用简单的作图法 （如作等阻尼比线等）求出系统的主导极 点（如果存在的话），将高阶系统近似地简化成由主导极点 （通常是一对共轭复数极点）构成的二阶系统，最后求出其 各项性能指标。这种分析方法简单、方便、直观，在满足主 导极点条件时，分析结果的误差很小。如果求出离虚轴较近 的一对共轭复数极点不满足主导极点的条件，如它到虚轴的 距离不小于其余极点到虚轴距离的五分之一或在它的附近有 闭环零点存在等，这时还必须进一步考虑和分析这些闭环零、 极点对系统瞬态响应性能指标的影响。
二阶系统参数与根轨迹
二阶系统是控制系统中的一种重要模型，其数学表达式为dy/dt = c*y + u，其中c为二阶系统的阻尼系数，u为输入。
根轨迹图是二阶系统的一个重要特性，它展示了系统参数c与系统稳定性和性能之间的关系。
参数c决定了系统的阻尼程度和周期性。
当c>0时，系统是稳定的，且随着c的增加，系统的阻尼会减小，周期性也会减小，即系统的性能会变好。
当c<0时，系统是不稳定的，且随着c的减小，系统的周期性会增加，即系统的性能会变差。
根轨迹图是二阶系统的动态特性在s平面上的投影。
通过观察根轨迹图，可以了解系统的稳定性和性能。
根轨迹图的形状和位置取决于系统的参数c。
当c增加时，根轨迹图向-1/s轴移动，这意味着系统的阻尼和周期性减小，性能变好。
当c减少时，根轨迹图向虚轴移动，这意味着系统的稳定性受到影响，周期性增加，性能变差。
通过分析根轨迹图，可以确定控制系统设计的最佳参数。
例如，可以通过控制输入信号的频率和幅度来优化系统的性能。
在控制系统设计中，根轨迹图还可以用于确定反馈控制器的参数，以实现系统的稳定性和性能优化。
总之，二阶系统的根轨迹图是系统动态特性的重要表示，它提供了关于系统稳定性和性能的直观信息。
通过理解根轨迹图的形成和特点，可以更好地设计和优化控制系统，从而实现更好的动态性能和稳定性。
因此，对根轨迹图的理解和分析对于控制系统设计具有重要意义。
自动控制原理实验
自动控制原理实验实验一 控制系统的数学模型一、 实验目的1. 熟悉Matlab 的实验环境，掌握Matlab 建立系统数学模型的方法。
2. 学习构成典型环节的模拟电路并掌握典型环节的软件仿真方法。
3. 学习由阶跃响应计算典型环节的传递函数。
二、 实验内容1. 已知图1.1中()G s 和()H s 两方框相对应的微分方程分别是：()610()20()()205()10()dc t c t e t dtdb t b t c t dt+=+=且满足零初始条件，用Matlab 求传递函数()()C s R s 和()()E s R s 。
图1.1 系统结构图2. 构成比例环节、惯性环节、积分环节、比例-积分环节、比例-微分环节和比例-积分-微分环节的模拟电路并用Matlab 仿真；3. 求以上各个环节的单位阶跃响应。
三、 实验原理1. 构成比例环节的模拟电路如图1.2所示，该电路的传递函数为：21().R G s R =-图1.2 比例环节的模拟电路原理图2. 构成惯性环节的模拟电路如图1.3所示，该电路的传递函数为：221(),,.1R KG s K T R C Ts R =-==+图1.2 惯性环节的模拟电路原理图3. 构成积分环节的模拟电路如图1.3所示，该电路的传递函数为：1(),.G s T RC Ts==图1.3 积分环节的模拟电路原理图4. 构成比例-积分环节的模拟电路如图1.4所示，该电路的传递函数为：2211()1,,.R G s K K T R C Ts R ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭图1.4 比例-积分环节的模拟电路原理图5. 构成比例-微分环节的模拟电路如图1.5所示，该电路的传递函数为：221()(1),,.R G s K Ts K T R C R =-+==图1.5 比例-微分环节的模拟电路原理图6. 构成比例-积分-微分环节的模拟电路如图1.6所示，该电路的传递函数为：121211212121121()1(1)()()()()()p d i f p i i ff i f f f f f d f f G s K T s T s R R R R C K R R C T R CT R R C R R C R R R R R R CC T R R C R R C⎛⎫=++ ⎪⎝⎭++=+==+++++=+++图1.6 比例-积分-微分环节的模拟电路原理图四、实验要求1.画出各环节的模拟电路图。
二阶系统的性能指标分析(DOC)
邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目:二阶系统的性能指标分析专业:自动化班级:学生姓名:学号:指导教师:2013年3 月24 日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级：2013年3 月24 日摘要二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。
例如，他励直流电动机﹑RLC电路等都是二阶系统的实例。
二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。
控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。
稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性能指标。
关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间目录1.二阶系统性能指标概述 02. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。
03.二阶系统的时间响应及动态性能 (3)3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (3)3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (4)3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (6)3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (13)4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (17)5 总结及体会 (18)参考文献 (18)1.二阶系统性能指标概述二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。
例如，他励直流电动机﹑RLC 电路等都是二阶系统的实例。
二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。
控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。
稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。
1．2—l 是典型二阶系统原理方块图，其中T0＝1秒；T1＝0.1秒；K1分别为10；5；2.5；1。
开环传递函数为：)1()1()(11101+=+=S T S K S T S T K S G （2－1）其中，==1T K K 开环增益。
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
二阶系统的动态误差
二阶系统的动态误差一、引言二阶系统是指具有两个积分环节或两个一阶环节的系统。
在控制工程中，二阶系统广泛应用于机械控制系统、电力系统、化工过程控制等领域。
在实际应用中，由于各种因素的影响，二阶系统存在着动态误差问题，即在输入信号为稳态信号时，输出信号无法达到稳态值的问题。
本文将对二阶系统的动态误差进行详细介绍。
二、动态误差的定义动态误差是指当输入信号为稳态信号时，输出信号无法达到稳态值的问题。
在实际应用中，由于各种因素的影响，例如传感器噪声、系统摩擦力等因素都会导致二阶系统存在动态误差。
三、动态误差的分类根据输入信号类型和输出信号类型的不同，动态误差可分为静态误差和动态误差。
1. 静态误差静态误差是指当输入信号为恒定值时，输出信号与稳定值之间存在偏差。
静态误差可以分为零偏误差和比例偏差。
（1）零偏误差：当输入信号为恒定值时，输出信号的稳态值与期望值之间存在偏差。
零偏误差通常由于系统本身存在的固有偏差或者传感器的不准确性导致。
（2）比例偏差：当输入信号为恒定值时，输出信号与期望值之间存在比例误差。
比例偏差通常由于系统增益不准确或非线性导致。
2. 动态误差动态误差是指当输入信号为稳态信号时，输出信号无法达到稳态值的问题。
动态误差可以分为超调误差、峰值时间、调节时间和稳态误差。
（1）超调误差：当输入信号为阶跃信号时，输出信号在达到稳定值之前会产生一定程度的超调现象。
超调现象会导致系统响应过程中出现震荡，并且可能会影响系统的稳定性。
（2）峰值时间：峰值时间是指从阶跃输入开始到输出响应达到最大幅度所需的时间。
峰值时间越短，说明系统响应速度越快。
（3）调节时间：调节时间是指从阶跃输入开始到输出响应达到稳定状态所需的时间。
调节时间越短，说明系统响应速度越快。
（4）稳态误差：稳态误差是指当输入信号为稳态信号时，输出信号与期望值之间存在的偏差。
稳态误差通常由于系统本身的特性或者环境因素的影响导致。
四、动态误差的分析方法在实际应用中，为了解决二阶系统存在的动态误差问题，需要进行动态误差分析，并采取相应的控制策略进行优化。
基于根轨迹法的系统性能分析
最后还应指出，如有必要，可以应用幅值条件很容易地在根轨迹上标出增益，这
时只要在根轨迹上选择一点，并测量出三个复数量 s ，s 1和 s 2的幅值大小，然
后将它们相乘，由其乘积就可以求出该点上的增益 K* 的值，即
由图可知：增加开环极点会使根轨迹的复数部分向s右半平面弯曲。若 取 p1 1，p2 2 ，则渐近线的倾斜角将由原来的90 变为 60；分离点由原来 的 0.5 向右移至0.422 ；与分离点相对应的开环增益由原来的0.25
（即 K* 0.5 0.5 0.25 ）减少到0.19（即 K1* (0.422 0.578 1.578) / 2 0.19）。
2K*
1
s(s 1)(s 2)
绘制根轨迹图的具体步骤如下。
（1）确定根轨迹的起点。开环极点为0，1 ，2，它们是根轨迹各分支的起点。由
于没有有限的开环零点，故根轨迹各分支都将趋向于无穷远。
（2）确定根轨迹的分支数。根轨迹一共有三条分支，且关于实轴对称。
（3）确定根轨迹的渐近线。三条根轨迹分支的渐近线方向，可按下式来求
比 0.25 / 0.9 0.28 。由此可求出系统在单位阶跃作用下 动态响应曲线的超调量 40% ，调整时
间 ts 3 / (n ) 3 / 0.25 12 s 。
【例 3-7】 已知系统的结构图如图所示，试绘制系统的根轨迹图，并求出当闭
环共轭复数极点呈现阻尼比 0.707 时，系统的单位阶跃响应。
通过根轨迹分析系统品质时，常常可以从系统主导极 点的分布情况入手。以【例 3-6】中系统的根轨迹图为例，
已知 K* 1，这时一对复数极点为 0.25 j0.875，而另
控制系统的根轨迹分析——自动控制原理理论篇第55节
-9
-8
-7
-6
-5 Real Axis
-4
-3
-2 -2
-1 -1
0 0
开环零极点对根轨迹的影响
• 移动开环零点对根轨迹的影响
10 8 6 4
G( s) G( s) G( s) G( s) G( s)
Imaginary Axis
2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -10
1.5
k G ( s) H ( s) s ( s 2)( s 6) k 30
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Step Response 0.35
0.3
0.25
k G ( s) H ( s) ( s 1)( s 2 4 s 5) k 2
Amplitude
0.2
0.15
2 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12
k G1 ( s) s( s 1)( s 2 6s 25) p 0,1,3 4 j,3 4 j
-10
-8
-6
-4
-2 Real Axis
02468开环零极点对根轨迹的影响
• 增加开环极点：
–增加的极点将对原根轨迹产生排斥作用，使 原根轨迹向背离所增极点的方向变形。
根轨迹图分析
根据根轨迹图定量估算系统动态性能
同理对于二阶系统相同调整时间ts、振荡周期ωd分别对应
于根平面上垂直于实轴和平行于实轴的线。
等d线 等 、 t s、 d线的限制区 域
-j j
等 线
p % ectg
第四章根轨迹分析法
闭环系统的阶次为3 ，有3条根轨迹 。
规则三、
证明：（1）连续性 从代数方程的性质可知，当方程中的系数连续变化 时，方程的根也连续，因此特征方程的根轨迹是连 续的。
证明：（2）对称性 因为特征方程的根或为实数，或为共轭复数，所以 根轨迹对称于实轴。
法则三、渐近线：根轨迹有n-m条渐进线。
渐近线与实轴的夹角为： (2k 1)1800 k 0,1,2,..
nm
n
m
pi z j
渐近线与实轴的交点为： i1
j 1
nm
l 它们是针对n-m条趋向无穷远点的根轨迹而设立的
l 如果知道了渐近线，可以马上画出根轨迹的大致形状
法则四、实轴上的根轨迹：在实轴上某线段右侧的实数 开环零、极点个数之和为奇数，则该线段为根轨迹。
对于例题，在实轴上的根轨迹： G(s)H (s) K*(s 5)
若当根轨迹出现在两相邻开环零点间（包括无穷
远处）时，必有一分离点。 分
离 点
K=∞
K=∞
分 离 点
××
K=0
K=0
它们可以利用代数重根法或极值法求出。(介绍后者)
由求极值的公式求出：
1 H (s)G(s) 1 K * N (s) 0 D(s)
K* D(s) N (s)
在实轴根轨迹上，求使K*达到最大（最小）值的s 值:
令虚轴的交点： s j 代入上式，得
( j)3 3( j)2 2 j K ( j 5) 0 Re 5K 3 2 0 Im (2 K ) 3 0 解得： 0，K 0;
本章主要内容
以K*为变量的常规根轨迹的绘制方法 以其它参数为变量的广义根轨迹的绘制方法 根轨迹分析方法的应用
－利用根轨迹分析和设计控制系统
频域法分析典型II型系统动态性能和稳态性能
邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目:频域法分析典型II系统的动态性能和稳性能专业:自动化班级:学生姓名:学号:指导教师:2013 年 4 月7 日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化年月日摘要频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。
与时域分析法和根轨迹法不同。
频率特性法不是根据系统的闭环极点和零点来分析系统的时域性能指标，而是根据系统对正弦信号的稳态响应，即系统的频率特性来分析系统的频域性能指标。
它内容丰富，包含了很多实用的方法对系统稳定性进行判断，不用计算出具体的系统的传递函数。
因此，从某种意义上讲，频率特性法与时域分析法和根轨迹法有着本质的不同。
频率特性虽然是系统对正弦信号的稳态响应，但它不仅能反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性和动态性能。
关键词：随动系统串联校正相角裕度幅值裕度超调量调节时间目录1-1、频率特性的基本概念 ------------------------------- 4 1-2、获取系统频率特性的途径和表示方法------------------- 51、获取频率特性的途径----------------------------------- 52、系统频率特性的表示方法------------------------------- 5 1-3、频域稳定判据 ------------------------------------- 61、奈奎斯特稳定性判据----------------------------------- 62、伯德图----------------------------------------------- 73、相位裕量与幅值裕量----------------------------------- 7 1-4、典型系统的分析 ----------------------------------- 71、Ⅱ型系统的开环奈氏曲线------------------------------- 72、设控制系统的开环传递函数为--------------------------- 8总结体会--------------------------------------------- 11 参考文献1-1、频率特性的基本概念讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。
自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(4)
根据图4-29，利用劳斯判据的方法 不难证明，当 z1 2 时，
4.4.1 用根轨迹分析系统的稳定性
闭环系统稳定的充分必要条件是闭环极点必须位于s平面的左 半平面，即根轨迹要全部落于左半S平面系统才稳定。参数在 一定范围内取值才能稳定的系统称为条件稳定系统。对于条件 稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。 例4-11 设某单位反馈系统的开环传递函数如下：
时，闭环系统是稳定。 但是当 14 K * 64 及 K * 195 时，系统不稳定。
用根轨迹分析系统稳定性的方法和步骤：
（1）根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则 绘制出系统的根轨迹图。
（2）由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。
如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹 增益为何值，系统都是稳定的； 如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右 半部，则说明无论开环根轨迹增益如何改变，系统都是不稳 定的； 如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴 进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面 的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹 增益大于临界值 Kc* 时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。 此时，关键是求出开环根轨迹增益的临界值 Kc*
式中， A0 1，A1 0.1，B 0.9，C 0.83 ， 于是上式改写为
1 0.1 0.9s 0.83 C (s) s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582 1 0.1 ( s 0.33) 0.58 0.9 s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582
二阶系统参数与根轨迹
二阶系统参数与根轨迹引言概述：二阶系统是控制系统中常见的一种类型，其参数与根轨迹之间存在着密切的关系。
正确地选择和调整二阶系统的参数可以有效地影响根轨迹的形状和性能，从而实现对系统的控制。
本文将从六个大点出发，详细阐述二阶系统参数与根轨迹之间的关系。
正文内容：1. 系统的阻尼比（damping ratio）：1.1 阻尼比的定义与意义：阻尼比是描述系统阻尼程度的一个参数，其大小决定了系统的稳定性和响应速度。
1.2 阻尼比与根轨迹的关系：阻尼比的变化会导致根轨迹形状的改变，当阻尼比增大时，根轨迹的形状会变得更为收敛和稳定。
2. 系统的自然频率（natural frequency）：2.1 自然频率的定义与意义：自然频率是描述系统振动频率的一个参数，其大小决定了系统的振动特性。
2.2 自然频率与根轨迹的关系：自然频率的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当自然频率增大时，根轨迹的形状会变得更为扁平。
3. 系统的增益（gain）：3.1 增益的定义与意义：增益是描述系统输入与输出之间关系的一个参数，其大小决定了系统的放大倍数。
3.2 增益与根轨迹的关系：增益的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当增益增大时，根轨迹的形状会变得更为扁平。
4. 系统的超调量（overshoot）：4.1 超调量的定义与意义：超调量是描述系统响应过程中最大偏离稳态值的一个参数，其大小决定了系统的动态性能。
4.2 超调量与根轨迹的关系：超调量的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当超调量增大时，根轨迹的形状会变得更为扁平。
5. 系统的峰值时间（peak time）：5.1 峰值时间的定义与意义：峰值时间是描述系统响应过程中达到峰值的时间，其大小决定了系统的响应速度。
5.2 峰值时间与根轨迹的关系：峰值时间的变化会导致根轨迹的形状和位置的改变，当峰值时间减小时，根轨迹的形状会变得更为收敛和稳定。
6. 系统的稳态误差（steady-state error）：6.1 稳态误差的定义与意义：稳态误差是描述系统输出与期望输出之间的偏差的一个参数，其大小决定了系统的准确性。
控制系统的根轨迹法分析
可得
s2 20s 50 0
解得
s1,2 10 5 2
因此，分离点为-2.93，会合点为-17.07。
分离角和会合角分别 为 ， 90 根轨迹为圆，如下图所示。
（2）当 2 时，阻尼角
2Hale Waihona Puke 45，表示 45角的直线为OB，其方程为
，
代入特征方程整理后得
(5 k) 10k j(2 2 5 k ) 0
解：（1）起点：有三个开环极点，所以起点为
p1 0, p2 2 j2 3, p3 2 j2 3
（2）终点：因没有有限零点，所以三条根轨迹都将趋于无穷远。
（3）实轴上的根轨迹：根轨迹存在的区间为（－∞，0］。
（4
（5
①渐近线的倾角：根据渐近线计算公式得
φα
180 (1 2μ) 2
60 ,60 ,180
例：单位反馈控制系统的开环传递函数为
K
G (s)
K
s(s 4)(s 6)
若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量
σ%≤18%，试确定系统的开环增益。
解：绘出 K由零变化到∞时系统的根轨迹如图所示。当K＝17时，根轨迹在实轴
上有分离点。当K≥240时，闭环极点是不稳定的。根据σ%≤18 %的要求，求得阻尼 角应为β≤60°，在根轨迹图上作β＝60 °的射线，并以此直线和根轨迹的交点A ， B作为满足性能指标要求的闭环系统主导极点，即闭环系统主导极点为
闭环系统的极点为
s 2 1
1, 2
n
n
图中阻尼角β与阻尼比ζ的关 系为
cos1
根据根轨迹我们可以确定系统工作在根轨迹上任一点时所对应的ζ，ωn 值，再根据暂态指标的计算公式
% 12 100%
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
实验报告2二阶系统瞬态响应和稳定性
实验报告2--二阶系统瞬态响应和稳定性 (1)实验报告2--二阶系统瞬态响应和稳定性一、实验目的本实验旨在探究二阶系统的瞬态响应和稳定性，通过实验数据分析系统的性能，理解系统的动态特性。
二、实验原理二阶系统是一种常见的线性系统，其动态特性可以用二次方程表示。
通常情况下，二阶系统可以表示为：M * d²x/dt² + C * dx/dt + K * x = 0其中，M、C和K分别是系统的质量、阻尼和刚度系数。
对于二阶系统，其稳定性可以通过系统的特征根来判断。
特征根位于左半平面的系统是稳定的，而位于右半平面的系统是不稳定的。
此外，系统的瞬态响应也与系统的阻尼有关，阻尼越大，响应越快。
三、实验步骤1.准备实验器材：二阶系统模型、激振器、加速度计、数据采集器。
2.将激振器连接到二阶系统模型上，将加速度计固定在系统模型上。
3.将数据采集器连接到加速度计和激振器上，打开数据采集软件开始采集数据。
4.在实验过程中，逐渐增加激振器的频率，观察并记录系统的瞬态响应和稳定性。
5.实验结束后，关闭数据采集器，将数据导出到计算机中进行数据处理和分析。
四、实验数据分析1.数据处理：将采集到的数据导入到MATLAB中进行处理，绘制出系统的瞬态响应曲线和稳定性图。
2.数据分析：根据瞬态响应曲线和稳定性图，分析系统的性能。
观察在不同频率下系统的响应速度和阻尼情况。
同时，根据稳定性图判断系统的稳定性。
五、实验结论通过本次实验，我们发现该二阶系统在低频时具有良好的稳定性，系统响应迅速且无超调。
随着频率的增加，系统的阻尼减小，响应速度变慢，系统的稳定性逐渐降低。
当频率进一步增加时，系统的特征根将进入右半平面，导致系统失稳。
因此，该二阶系统存在一个临界频率，当工作频率超过该临界频率时，系统的稳定性将受到严重影响。
六、实验讨论与改进建议本次实验中，我们发现系统的阻尼对瞬态响应和稳定性具有重要影响。
在实际应用中，可以通过调整系统的阻尼来优化系统的性能。
§4.4 利用根轨迹分析系统性能
G(s)H (s) = K *(s + 4) s + 2 s(s + 2)(s + 3) s + 4
= K* s(s + 3)
⎧K = K * 3
⎨ ⎩
v =1
根据法则，系统有 2 条根轨迹分支，均趋于无
穷远处。
实轴上的根轨迹： [− 3,0]
分离点：
1+ 1 =0 d d +3
解得
−1− 2 = 3
(2k + 1)π
3
−1 =±
π 3
,π
⑶ 分离点：
1+ 1 + 1 =0 d d +1 d + 2
整理得
3d 2 + 6d + 2 = 0
解得
d1 = −1.577 d2 = −0.432
显然分离点为 d = −0.432 ，由幅值条件可求得分离点处的 K * 值：
K
* d
=
d
d
44利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势在给定该参数值时可以确定相应的闭环极点再加上闭环零点可得到相应零极点形式的闭环传递函数
4.4 利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹，可以定性分析当系统某一参数变化时系统动态性能的变化趋势，在给定该 参数值时可以确定相应的闭环极点，再加上闭环零点，可得到相应零、极点形式的闭环传递 函数。本节讨论如何利用根轨迹分析、估算系统性能，同时分析附加开环零、极点对根轨迹 及系统性能的影响。
139
λ1 = −0.33 + j0.58 ， λ2 = −0.33 − j0.58 ， λ3 = −2.33 在所求得的 3 个闭环极点中， λ3 至虚轴的距离与 λ1 （或 λ2 ）至虚轴的距离之比为
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邢台学院物理系《自动控制理论》课程设计报告书设计题目:根轨迹法分析典型二阶系统的动态性能专业:自动化班级:学生姓名:学号:指导教师:2013 年3 月 24 日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级：学生姓名学号课程名称自动控制理论设计题目根轨迹法分析典型二阶系统的动态性能设计目的、主要内容（参数、方法）及要求本次课程设计以典型二阶系统为例，用根轨迹法分析该系统的调节时间，振荡频率，无阻尼自然振荡频率，超调量等动态性能。
工作量2周进度安排3月11日―3月14日：确定自己需要研究的课题，针对需要查找资料。
3月15日―3月18日：将搜集到的资料进行整理，简单的写出设计大纲。
3月19日―3月22日：下载任务书模板，填写内容逐步完成设计。
3月23日―3月24日：浏览任务书，进行自我完善。
主要参考资料[1] 谢红卫. 现代控制系统. 高等教育出版社，2007[2] 胡寿松. 自动控制原理. 科学出版社，2007[3] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社,2007[4] 黄坚. 自动控制理论及其应用. 科学出版社，2007指导教师签字系主任签字2013年 3 月 24 日摘要由时域分析法可知，系统的输出响应很大程度上取决于其闭环特征方程式的根（特征根），也即闭环传递函数的极点。
当系统的某个参数变化时，特征方程跟随之在s平面上移动，系统的性能也跟着变化。
这样，可以根据特征根在s 平面上的位置来分析系统的性能，也可以依据对系统性能的要求来确定根的位置，据此确定系统的参数。
研究s平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系就是根轨迹分析法的主要内容。
根轨迹分析法是一种适合于高阶系统的图解分析方法。
该方法简单，实用，既适合于线性定常连续系统，也适合于线性定常离散系统，是经典控制理论的基本方法之一。
本次课程设计以典型二阶系统为例，用根轨迹法分析该系统的调节时间，振荡频率，无阻尼自然振荡频率，超调量等动态性能。
关键词：典型二阶系统根轨迹法目录课程设计报告书 0邢台学院物理系课程设计任务书 (1)摘要 (1)1 根轨迹的基本概念 (1)1.1 根轨迹 (1)1.2 根轨迹方程 (2)2 根轨迹的基本特征及作图方法 (2)2.1 根轨迹的对称性和分支数 (2)2.2 根轨迹的起点和终点 (3)2.3 实轴上的根轨迹段 (3)2.4 根轨迹的渐近线 (3)2.5 根轨迹的分离点和会合点 (3)2.6 根轨迹的出射角和入射角 (3)2.7 根轨迹与虚轴的交点 (4)3、用根轨迹法分析二阶系统性能 (4)3.1 闭环极点的位置与系统性能的关系 (4)3.2 用跟轨迹法分析典型二阶系统的动态性能 (5)4、例题分析 (7)5、总结体会 (8)参考文献 (9)1 根轨迹的基本概念1.1 根轨迹设系统的结构如图4—1 所示。
其中，Kr为零、极点形式下开环传递函数的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为(1-1) 闭环特征方程式为(1-2) 特征根为(1-3) 改变Kr的值，求得相应的闭环特征根值，并列表如下。
同时，在s平面上绘制出闭环根随Kr值变化的轨迹如图4—2所示。
图中，“X”表示开环传递函数的极点；箭头的指向表示Kr增大时根的移动方向。
由图可见，当参数Kr由零变到无穷大时，闭环根的位置随之而变，系统的性能也不相同。
总结它们之间的关系，结合第三章中关于高阶系统的分析一节，可得出以下几点：（1）位于s左半平面上的特征根实部为负，对应着稳定极点；位于s右半平面上的根实部为正，对应着不稳定极点；位于虚轴上的根实部为零，对应着临界极点。
（2）0<Kr<1 时，系统有两个不相等的实数根，呈过阻尼状态。
（3）当Kr=1 时，特征根为两个相等的实数根，系统呈临界阻尼状态。
（4）1<Kr<无穷时，特征根为两个复数根，系统呈欠阻尼状态，即输出呈衰减振荡形式。
特征根的实部σ为衰减系数，虚部ω为振荡频率。
1.2 根轨迹方程(1-4)(1-5)2 根轨迹的基本特征及作图方法2.1 根轨迹的对称性和分支数1.根轨迹对称于实轴2.n阶系统有n 条根轨迹2.2 根轨迹的起点和终点起点：根轨迹起始于开环传递函数的极点。
终点：根轨迹终止于开环传递函数的零点或无穷远。
2.3 实轴上的根轨迹段实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。
2.4 根轨迹的渐近线趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定渐近线与实轴的夹角(1-6)(1-7) 2.5 根轨迹的分离点和会合点闭环特征方程的根在 s平面上的重合点称为根轨迹的分离点或会合点。
大部分的分离点和会合点是在实轴上。
一般，将根轨迹离开实轴进入复平面的点称为分离点，将根轨迹离开复平面进入实轴的点称为会合点。
分离点和会合点实际上就是闭环特征方程取得重根的点。
得重根的条件式为：(1-8)2.6 根轨迹的出射角和入射角出射角：根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。
出射角的一般表达式(1-9)入射角：根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。
入射角的一般表达式为(1-10)2.7 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常常需要求得这一交点和相应的Kr值。
设与虚轴相交的闭环极点为s=jw ，代入闭环特征方程得(1-11)解方程即可求得ω，Kr。
3、用根轨迹法分析二阶系统性能根轨迹反映了闭环特征根随参量Kr变化的规律，而闭环特征根与系统性能关系密切，通过根轨迹来分析系统性能，具有直观、方便的特点。
3.1 闭环极点的位置与系统性能的关系n阶系统单位阶跃响应的一般表达式为(1-12)式中Zi为闭环传递函数的零点,Sj为闭环传递函数的极点(1-13)待定系数如上图所示。
可见，输出响应的形式取决于闭环传递函数的极点，输出响应各项的系数则由极点和零点共同确定，但系数只是决定了响应的初值，其影响相对较小。
因此，系统的性能主要由系统闭环传递函数的极点决定。
由时域分析法知，只有当所有的闭环极点均位于s 左半平面上时，系统才稳定。
负实数极点离虚轴越远，对应分量衰减得越快，系统的调节时间就越短，响应越快。
对于复数极点，为了更清楚地看出极点位置与系统性能的关系，可借助于时域法中对二阶系统的分析结果。
3.2 用跟轨迹法分析典型二阶系统的动态性能二阶系统的数学模型由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。
为了对二阶系统的研究具有普遍的意义，通常构造出其典型结构如下图所示。
根据图，可求出二阶系统闭环传递函数的标准形式(1-14)(1-15)为便于分析，将图所示的一对共轭复数极点在平面上的分布重绘于下图。
(1-16)可见，闭环极点的位置与系统性能有以下关系：闭环极点的实部（ξωn ）反映了系统的调整时间；闭环极点的虚部（ωd）表征了系统输出响应的振荡频率；闭环极点与坐标原点的距离（ωn）表征了系统的无阻尼自然振荡频率；闭环极点与负实轴的夹角（β）反映了系统的超调量；闭环极点在左、右平面的分布反映了系统的稳定性。
因此，可由闭环极点的位置来掌握系统的输出响应，分析系统性能。
4、例题分析Rlc电路如下图所示(1-17)(1-18)(1-19)(1-20)(1-21) 闭环极点的实部（ξωn ）反映了系统的调整时间；闭环极点的虚部（ωd）表征了系统输出响应的振荡频率；闭环极点与坐标原点的距离（ωn）表征了系统的无阻尼自然振荡频率；闭环极点与负实轴的夹角（β）反映了系统的超调量；闭环极点在左、右平面的分布反映了系统的稳定性。
5、总结体会(1)以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益Kr）为参变量而画出的闭环特征方程式的跟在s平面上的轨迹为根轨迹。
根据系统开环零、极点在s平面上的分布，按照作根轨迹图的基本方法，便可大致画出系统的根轨迹。
（2）由根轨迹图可以比较直观的分析闭环系统的性能。
根据根轨迹，既可以了解系统参数的变化对系统性能的影响，也可以按指定的参量（例如Kr）值，求得相应的闭环极点，还能按照系统的性能指标要求，确定对应的闭环极点和Kr值。
（3）这次用根轨迹法分析典型二阶系统的动态性能，使我全面的理解了根轨迹法的基本概念，作图方法，以及用根轨迹法分析典型二阶系统性能.（4）通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的,只有把所学的理论知识与实践相结合起来,从理论中得出结论,才能真正学以致用,从而提高自己的实际动手能力和独立思考能力.此次设计也让我明白了思路即出路，有什么不懂不明白的地方要及时请教或上网查询，只要认真钻研，动脑思考，动手实践，就没有弄不懂的知识，收获颇丰。
参考文献[1] 谢红卫. 现代控制系统. 高等教育出版社，2007[2] 胡寿松. 自动控制原理. 科学出版社，2007[3] 黄忠霖. 自动控制原理的MATLAB实现. 国防工业出版社，2007[4] 黄坚. 自动控制原理. 科学出版社, 2007课程设计成绩评定表系部：物理系自动化班级：3班学生姓名：高武杨学号：2010341303项目分值优秀(100>x≥90)良好(90>x≥80)中等(80>x≥70)及格(70>x≥60)不及格(x<60)评分参考标准参考标准参考标准参考标准参考标准平时考核20 学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作。
学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务。
学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作。
学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务。
学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度。
课程设计报告报告内容组织书写20结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰。
结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰。
结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰。
结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整。
内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰。
技术水平20设计合理、理论分析与计算正确，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信。
设计合理、理论分析与计算正确，文献引用、调查调研比较合理、可信。
设计合理，理论分析与计算基本正确，主要文献引用、调查调研比较可信。
设计基本合理，理论分析与计算无大错。
设计不合理，理论分析与计算有原则错误，文献引用、调查调研有较大的问题。
创新10有重大改进或独特见解，有一定实用价值有较大改进或新颖的见解，实用性尚可有一定改进或新的见解有一定见解观念陈旧上机操作30 实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力。