连续介质力学-例题与习题

《连续介质力学》例题和习题

第一章 矢量和张量分析

第一节 矢量与张量代数

一、矢量代数

令112233A A A =++A e e e ,

112233B B B =++B e e e ,

则有

112233A A A αααα=++A e e e

111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e

112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e

112233112233111112121313212122222323313132323333

()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0

则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:

1、证明下列恒等式：

1）[]2

()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C

2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A

2、请判断下列矢量是否线性无关？

1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .

其中i e 为单位正交基矢量。

3、试判断[]816549782-⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦

A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。

二、张量代数

例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定

一个矢量2=+c a b ，求Tc 。 解：利用张量的线性性质，有：

(2)=+Tc T a b =()22(2)2(2)33+=+=++-=+Ta Tb a b a b a b a b

例2：假定一个张量T 将基矢变换成以下形式：

1123

21233123

2643422=-+=+-=-++Te e e e Te e e e Te e e e

那么该张量T 将12323=++a e e e 变换成什么样的结果？ 解：由T 对基矢量的变换张量可知T 的矩阵表示为：

232641412ij -⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

T

则有：

232126412541238-⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦

Ta b

即

123258=++b e e e

例3：利用张量的变换定义证明：

1）若ij T 为一个二阶张量，则ij kl T T 为一四阶张量；

2）若i a 为一矢量，则对任意坐标系满足i ij j a T b =的i b 为一矢量。 证明：1）因为ij T 为一二阶张量，由张量的变换定义有：

ij mi nj ij T Q Q T '= kl

rk sl rs T Q Q T '= 则有 ij kl

mi nj ij rk sl rs mi nj rk sl ij rs T T Q Q T Q Q T Q Q Q Q T T ''== 令

ijkl ij kl M T T '''= ijkl ij rs M T T =

则有

ijkl

mi nj rk sl ijkl M Q Q Q Q M '= 即M 为一四阶张量。

2）由于i a 和ij T 分别是矢量和张量，则有

i im m a Q a '= ij im jn mn T Q Q T '= 由此可得：

im m

im jn mn j Q a Q Q T b ''= （*） 又因为i ij j a T b =对于任意坐标系都成立，则有

i ij j a T b '''= m

mn n a T b '''= 由（*）式可得：

im mn

n im jn mn j Q T b Q Q T b '''= 等式两边同时乘以ik Q 可得： ik im mn n ik im jn mn j Q Q T b Q Q Q T b '''= 又因为ik im km Q Q δ= ，则

km mn

n km jn mn j T b Q T b δδ'''= 或 kn n jn kn j T b Q T b '''= 所以 ()0kn

n kn j T b T b '''-= 由于上式对任一张量T 都成立，则有

0n

kn j b T b ''-= 即n kn j b T b ''= 这即是矢量的定义所满足的方程变换，因此i b 是一个矢量的分量。

习题

1、证明：如果ij T 和ij E 为任意二阶张量T 和E 的分量，且ij ijkl kl T C E =对任意坐标系都

成立，则ijkl C 为一四阶张量。 例

4：已知张量T 的矩阵形式为：200034043ij T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

，求张量T 的特征值和特征向量。 解：由求特征值和特征向量的特征方程有：

()()2

200

3422500

43λ

λλλλλ-⎡⎤

⎢⎥-=-=--=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦T I 由此，可得三个不同的特征值：12λ= 25λ= 35λ=- 对12λ=，由()0ij ij i T λδα-=可得： （i α为待求的特征向量）

100α= 2340αα+= 23450αα-=

利用2221231ααα++=可解得：

230αα== 11α=±