2020新北师大高中数学必修3全册导学案教案练习教师用书
北师大版高中数学必修三教案
§1.1从普查到抽样；一、教学目标：1．了解普查的意义．；2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性；结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重；通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统；教科书提出了三个有代表性的问题．第一个问题主要是；“阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作；-1-；国目前主要的一些普查工作．进而，总结出普查的§1.1从普查到抽样一、教学目标：1．了解普查的意义．2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．二、重难点：结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性．三、教学方法：阅读材料、思考与交流四、教学过程（一）、普查1、【问题提出】P 3通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统计对政府决策的重要作用――统计数据可以提供大量的信息，为国家的宏观决策提供有关的支持．教科书通过对人口普查的有关新闻报道，让学生体会人口普查的规模是何等的宏大与艰辛．教科书提出了三个有代表性的问题．第一个问题主要是针对人口普查的作用，人口普查可以了解一个国家人口全面情况，比如，人口总数、男女性别比、受教育状况、增长趋势等．人口普查是对国家的政府决策实行情况的一个检验，比如，国家计划生育政策，经济发展战略，国家“普及九年义务教育”政策，人民群众的生活水平等．第二个问题是针对普查本身存在的问题提出的，以加深学生对于普查的理解．学生可能有一个误解，普查就是100%的准确，其实不然，即使是最周全的调查方案，在实际执行时都会产生一个误差．教科书通过这个问题，目的是让学生理解在人口普查中出现漏登是正常情况，调查方案的设计是尽可能让这个误差降低到最小．同时，也要让学生理解人口普查的工作，即使出现漏登现象，人口普查的数据对国家的宏观决策依然具有重要的作用．第三个问题是针对人口普查工作的艰辛而提出的，让学生体会人口普查数据得来不易，要尊重人口普查人员的劳动，对人口普查工作要大力支持．2、【阅读材料】P4 “阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作的特点和重要性，以及我- 1 -国目前主要的一些普查工作．进而，总结出普查的主要不足之处，这是从一个方面说明了抽样调查的必要性．普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．（二）、抽样调查【例1和其后的“思考交流”】P4～5紧接着，教科书通过例1和“思考交流”的两个问题，让学生了解普查有时候难以实现．这主要有两个方面的原因，其一，被调查对象的量大；其二，普查对被调查对象本身具有一定的破坏性．这从另一个方面说明了抽样调查的必要性．然后，教科书通过抽象概括总结出抽样调查的两个主要优点．【例2和其后的“思考交流”】P5～6主要是讨论在抽样调查时，什么样的样本才具有代表性．在抽样时，如果抽样不当，那么调查的结果可能会出现与实际情况不符，甚至是错误的结果，导致对决策的误导．在抽样调查时，一定要保证随机性原则，尽可能地避免人为因素的干扰；并且要保证每个个体以一定的概率被抽取到；同时，还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差．由于检验对象的量很大，或检验对检验对象具有破坏性时，通常情况下，所以采用普查的方法有时是行不通的．通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力．例1为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查．这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么？为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体？- 2 -解：统计的总体是指该地10 000名学生的体重；个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重；样本指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重；总体容量为10 000；样本容量为200．若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查．例2 为了制定某市高一、高二、高三三个年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高作调查，现有三种调查方案：A．测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B．查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学，两所初级中学，在这六所学校有关年级的小班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？解：选C方案．理由：方案C采取了随机抽样的方法，随机样本比较具有代表性、普遍性，可以被用来估计总体．例3 中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率．下面三名同学为电视台设计的调查方案．甲同学：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快统计收视率了．乙同学：我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．丙同学：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？解：综上所述，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率．- 3 -（三）、课堂小结：1、普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查．当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式．普查主要有两个特点：（1）所取得的资料更加全面、系统；（2）主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．2、通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点：（1）迅速、及时；（2）节约人力、物力和财力。
2024-2025学年高中数学第2章算数初步§1算法的基本思想(教师用书)教案北师大版必修3
-时间复杂度：评估算法执行时间与输入规模之间的关系。
-空间复杂度：评估算法执行过程中所需存储空间与输入规模之间的关系。
5.算法实例分析
-冒泡排序：通过相邻元素的比较和交换，实现数组的升序或降序排列。
-欧几里得算法：利用递推关系求解最大公约数。
-斐波那契数列：通过递推法求解斐波那契数列的第n项。
教师活动：
-发布预习任务：通过学校课程管理系统，发布关于算法基本概念的预习资料，明确预习目标和要求。
-设计预习问题：围绕算法的特征和描述方法，设计问题如“什么是算法？它有哪些基本特征？”引导学生自主思考。
-监控预习进度：通过系统跟踪和学生的反馈，确保学生按时完成预习任务。
学生活动：
-自主阅读预习资料：学生按照要求阅读预习资料，理解算法的定义和基本特征。
举例：通过分析不严谨的算法可能导致的问题，如重复计算、无法终止等，使学生体会严谨性的重要性。
（2）算法的时间复杂度与空间复杂度：学生在分析算法效率时，往往难以理解时间复杂度和空间复杂度的概念，以及它们对算法性能的影响。
举例：比较不同排序算法的时间复杂度，如冒泡排序、快速排序等，让学生了解复杂度对算法效率的影响。
核心素养目标分析
本节课的核心素养目标旨在培养学生的逻辑推理能力、数学建模能力以及数据分析能力。通过学习算法的基本思想，学生能够：
1.逻辑推理能力：学生能够运用逻辑思维分析问题，设计合理的算法步骤，理解算法的正确性与效率，从而提高解决问题的逻辑推理能力。
2.数学建模能力：学生能够将现实生活中的问题抽象为数学模型，运用算法思想对模型进行求解，从而培养数学建模的能力。
5.算法的应用
-排序算法
-查找算法
-图算法
高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3-北师大版高中必修3数学教案
高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3整体设计教学分析本节是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，是相互独立的，随机事件的概率是基础，在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有着广泛的应用． 三维目标通过总结和归纳本章的知识，使学生进一步了解随机事件，了解概率的意义，掌握各种概率的计算公式，能够用所学知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，让概率更好地为人类服务．重点难点概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同的教练带领下战斗力会有很大的不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防俱佳所向披靡，为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样需要不断归纳整理、系统总结、升华提高，现在我们就概率这一章进行归纳复习，引出课题．思路2.为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题． 推进新课新知探究提出问题1．随机事件的概率包括几部分？2．古典概型包括几部分？3．几何概型包括几部分？4．本章涉及的主要数学思想是什么？5．画出本章的知识结构图．讨论结果：1．随机事件的概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A 发生的频率m n总是接近于某一常数，且在它的附近摆动，这个常数就是事件A 的概率P (A )，概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2)概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大；概率越小，事件A 发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1]之间，从而任何事件的概率在[0,1]之间，即0≤P (A )≤1.概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(3)频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型(1)古典概型的概念①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)②每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 在使用古典概型的概率公式时，应该注意：①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．几何概型(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 几何概型研究的是随机事件的结果有无限多个，且事件的发生只与区域的长度(面积或体积)成比例的概率问题．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数，可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率，学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1)古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n ，二是事件A 所包含的结果数m ，最后化归为公式P (A )＝m n .(2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．如图1.图1应用示例思路1例1 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)．(1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率．活动：本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力．解：(1)设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P (A )＝6×56×6＝56. 抛掷2次，向上的数不同的概率为56.(2)设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．∵向上的数之和为6的结果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，∴P (B )＝56×6＝536.抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536. 例2 甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．活动：学生思考交流，教师引导，各种颜色的球被取到的可能性相同，属于古典概型，可以利用古典概型的知识解决．解：(1)设A 为“取出的两球是相同颜色”，B 为“取出的两球是不同颜色”，则事件A的概率为P (A )＝3×2＋3×29×6＝29.由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为P (B )＝1－P (A )＝1－29＝79. (2)随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N 个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n .第3步：计算n N 的值，则n N就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．思路2例1 已知单位正方形ABCD ，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求：(1)△AMB 面积大于等于14的概率； (2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图2，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内运动时，△ABM的面积大于等于14，由几何概型知，P ＝S 矩形CDFE S 正方形＝12. (2)如图3，以AB 为半径作圆弧，M 在阴影部分时，AM 的长度大于等于1, 由几何概型知，P ＝S 阴影S 正方形ABCD ＝1－14×π×12＝1－π4. 图2 图3例2 如图4，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：图4(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为μΩ＝16×16＝256(cm 2)．记“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为μA ＝π×62＝36π(cm 2)；事件B 所占区域面积为μB ＝π×42－π×22＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为μC ＝(256－36π) cm 2.由几何概型的概率公式，得(1)P (A )＝μA μΩ＝9π64；(2)P (B )＝μB μΩ＝3π64；(3)P (C )＝μC μΩ＝1－9π64. 点评：对于(3)的求解，也可以直接应用对立事件的性质P (A )＝1－P (A )求解．知能训练1．下列说法正确的是( )．A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C2．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是( )．A.16B.12C.13D.14答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A 为“三件产品全不是次品”，B 为“三件产品全是次品”，C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )．A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥答案：B4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8 g,4.85 g]范围内的概率是( )．A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.68答案：C5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )．A.12B.14C.13D.18答案：B6．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )． A.13 B.14 C.12D ．无法确定 答案：C7．如图5所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是( )．图5A.12B.34C.38D.18答案：C8．任意投掷3枚硬币，(1)写出所有可能出现的试验结果；(2)写出恰有一枚硬币正面朝上的可能的结果；(3)求出现一正二反的概率．解：(1)可能的结果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)8种可能．(2)其中恰有一枚硬币正面朝上有(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)3种不同的结果．(3)概率为38. 9．有两组相同的牌，每组三张，它们的牌面数字分别是1,2,3，现从每组牌中各摸出一张牌，问：(1)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？(2)两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是多少？解：(1)和为4的概率最大；(2)两张牌的牌面数字和为4的概率为13；(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是49. 拓展提升1．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为＝3×2－12×223×2＝23. 2．如图6，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？图6活动：学生读题，教师引导提示，因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．解：设A 为“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm 2)，两个等腰直角三角形的面积的和为2×12×23×23＝529(cm 2)，带形区域的面积为625－529＝96(cm 2)，∴P (A )＝96625. 课堂小结同统计一样，概率也是一门实践性很强的数学分支，与日常生活联系紧密．现实生活中存在大量的随机事件，在一次试验中它的发生是随机的，可是借助大量的重复试验就会发现它的发生又具有某种规律，体现了“随机性中蕴涵规律性，偶然性中蕴涵着必然性”的唯物辩证法观点，概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题等都是要掌握的重点内容，内容涉及了今年的高考题，要切实注意，同时由于这部分内容与其他内容联系较少，要多加练习，达到熟练的目的．作业复习题三任选3题．设计感想这章内容与其他数学知识联系较少，其解题方法独特，对同学们的思维能力、分析及解决问题能力要求较高．钻研课本，理解概念，弄清公式的“来龙去脉”，尤其是公式中字母的内涵．在此基础上，适当地做一些练习，并及时归纳解题方法，不断反思及加深自己对数学知识(概念、公式等)的理解．备课资料备选习题1．从五件正品一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率是( )．A ．1 B.12 C.13 D.23答案：C2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是( )．A.12B.13C.14D.253．现有5个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进3个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是( )．A.110B.35C.310D.910答案：D4．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有( )．A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种答案：C5．若连掷两次骰子，分别得到的点数是m ，n ，将m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是( )．A.1136B.16C.14D.736答案：A6．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是( )．A ．C 39C 25B ．C 310C 25 C ．A 310A 25D ．C 410C 25答案：A7．两个事件互斥是两个事件对立的________条件．( )．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要答案：B8．下列事件中，随机事件的个数是( )．①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ②某地1月1日刮西北风 ③当x 是实数时，x 2≥0 ④一个电影院某天的上座率超过50%A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B9．从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是( )．A.14B.12C.13D.34答案：D10．一箱内有10张标有0到9的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )．A.13B.35C.25D.14答案：C11．盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是( )．A.4445B.15C.145D.8990答案：A12．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是( )．A ．30%B ．20%C ．80%D ．以上都不对答案：C13．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )． A.12 B.34 C.14 D.1314．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y2＝25外的概率是( )．A.536B.712C.512D.13答案：B15．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是( )． A.12 B.13 C.14 D.15答案：D16．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )．A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面答案：C17．某人向图7的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是( )．图7答案：B18．袋子中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．求：(1)3个全是红球的概率；(2)3个颜色全相同的概率；(3)3个颜色不全相同的概率；(4)3个颜色全不相同的概率．解：(1)3个全是红球的概率为127；(2)3个颜色全相同的概率为327＝19； (3)“3个颜色不全相同”的概率为1－19＝89；(4)“3个颜色全不相同”的概率为29. 19．小张去南京出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率；(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？答案：(1)0.7；(2)0.8；(3)可能乘火车或轮船去，也可能乘汽车或飞机去．。
2019-2020学年度北师大版高中数学必修三学案：第三章 2
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修三学案：第三章 2______年______月______日____________________部门学习目标 1.通过实例了解互斥事件、事件A＋B及对立事件的概念和实际意义.2.能根据互斥事件和对立事件的定义辨别一些事件是否互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．知识点一互斥事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生？梳理在一个随机试验中，我们把一次试验下________________的两个事件A与B称作互斥事件．知识点二事件A＋B思考在知识点一的思考中，“抽到红色牌”包括哪些情形？梳理给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B________________.知识点三互斥事件概率加法公式思考一粒均匀的骰子抽一次，记事件A＝“向上的点数大于2”；B ＝“向上的点数大于3”；则P(A＋B)是否等于P(A)＋P(B)?梳理互斥事件概率加法公式(1)在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝________________；(2)如果随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝________________________.知识点四对立事件思考从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记A＝“抽到红色牌”；B＝“抽到黑色牌”，则A，B的关系与知识点一思考中两事件关系有何异同？梳理在同一次试验中，________________且________________的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作____；对立事件概率公式P()＝______.类型一事件的关系与判断例1 判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；(3)“至少有1名男生”和“全是男生”；(4)“至少有1名男生”和“全是女生”．反思与感悟如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．跟踪训练1 一个射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环．类型二概率的加法公式例2 从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A＝“抽到的是一等品”，事件B＝“抽到的是二等品”，事件C＝“抽到的是三等品”，且P(A)＝0.7，P(B)＝0.1，P(C)＝0.05.求下列事件的概率：(1)事件D＝“抽到的是一等品或三等品”；(2)事件E＝“抽到的是二等品或三等品”．反思与感悟在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求出)的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率．因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”．跟踪训练2 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率．类型三对立事件的概率例3 某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止1个小组，具体情况如图所示，随机选取1个成员：(1)他至少参加2个小组的概率是多少？(2)他参加不超过2个小组的概率是多少？反思与感悟求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．跟踪训练3 某战士射击一次，若事件A＝“中靶”的概率为0.95，事件B＝“中靶环数大于5”的概率为0.7.(1)的概率为多少？(2)事件C＝“中靶环数小于6”的概率为多少？(3)事件D＝“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．32．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学．每人一本，则事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是( )A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对3．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是( ) A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上答案都不对4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( )A．至少有一个红球；都是红球B．至少有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；至少有一个白球D．恰有一个红球；恰有两个红球5．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________．1．互斥事件与对立事件的判定(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝I，也即A＝∁IB或B＝∁IA；③对互斥事件A 与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果．3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．答案精析问题导学知识点一思考不能．梳理不能同时发生知识点二思考包括“抽到红桃”与“抽到方块”．梳理至少有一个发生知识点三思考A＋B即：向上的点数大于2，∴P(A＋B)＝＝，而P(A)＝，P(B)＝，P(A)＋P(B)＝≠P(A＋B)．梳理(1)P(A)＋P(B) (2)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)知识点四思考共同点：都不能同时发生；不同点：在一次试验中，A，B必有一个发生．梳理不能同时发生必有一个发生1－P(A)题型探究例1 解(1)是互斥事件．理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“1名男生和1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．(3)不是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生．(4)是互斥事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．跟踪训练1 解 A 与C 互斥(不可能同时发生)，B 与C 互斥，C 与D 互斥，C 与D 是对立事件(至少一个发生)．例2 解(1)事件D即事件A＋C，因为事件A＝“抽到的是一等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P(D)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)＝0.7＋0.05＝0.75.(2)事件E即事件B＋C，因为事件B＝“抽到的是二等品”和事件C＝“抽到的是三等品”是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，P(E)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.1＋0.05＝0.15.跟踪训练2 解分别记小明的成绩在90分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的．根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B ＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.小明考试及格的概率为P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.例3 解(1)从图可以看出，3个课外兴趣小组总人数为60.用A表示事件“选取的成员只参加1个小组”，则就表示“选取的成员至少参加2个小组”，所以P()＝1－P(A)＝1－＝＝0.6.因此，随机选取1个成员至少参加2个小组的概率是0.6.(2)用B表示事件“选取的成员参加3个小组”，则就表示“选取的成员参加不超过2个小组”，所以P()＝1－P(B)＝1－＝≈0.87.所以随机选取的1个成员参加不超过2个小组的概率约等于0.87.跟踪训练3 解(1)因为A与互为对立事件，所以P()＝1－P(A)＝0.05.(2)事件B与事件C也互为对立事件，所以P(C)＝1－P(B)＝0.3.(3)事件D的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.当堂训练1．C 2.C 3.D 4.D 5.512。
2020-2021学年数学北师大版必修3学案：1.4数据的数字特征含解析
2020-2021学年数学北师大版必修3学案：1.4数据的数字特征含解析§4 数据的数字特征知识点一众数、中位数、平均数[填一填]1．众数(1)定义：一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数． (2)特征：一组数据的众数可能多个，也可能没有，它反映了该组数据的频率分布．2．中位数(1)定义：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．(2)特征：一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．平均数(1)定义：一组数据的和与这组数据的个数的商叫作这组数据的平均数，数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n. (2)特征：平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．所以与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的平均水平，但平均数受数据中的每一个数据的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低．[答一答]1．一组数据的平均数是否一定能说明现实中的平均水平？提示：在用平均数估计总体时，样本中的每一个数据都会影响到平均数的大小，因此在实际操作中，一定要注意异常数据对平均数的影响，以便作出正确估计．比如：某地区的年平均家庭年收入是10万元，给人的印象是这个地区的家庭年收入普遍较高．但是，如果这个平均数是从200户贫困家庭和20户极富有的家庭年收入计算出来的，那么，它就既不能代表贫困家庭的年收入，也不能代表极富有家庭的年收入．知识点二标准差、方差、极差[填一填]4．标准差(1)定义：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用以下公式来计算s 可以用计算器或计算机计算标准差．(2)特征：标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小．5．方差(1)定义：标准差的平方，即s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．(2)特征：与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的(3)取值范围：s2≥0.6．极差(1)定义：一组数据的最大值和最小值的差称为这组数据的极差．(2)特征：表示该组数据之间的差异情况．[答一答]2．怎样正确理解标准差与方差．提示：①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．③因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．1．三种数字特征应注意以下四点(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．2．关于方差、标准差应注意以下几点(1)样本标准差反映了各样本数据聚集于样本平均值周围的程度，标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；反之，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散．(2)若样本数据都相等，则s＝0.(3)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度，就由标准差来衡量．(4)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差和标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般采用标准差．类型一平均数、中位数、众数【例1】据报道，某销售公司有33名职工，他们所在部门及相应每人所创年利润如下表所示(单位：万元)：部门 A B C D E F G人数11215320 每人所创年利润 5.55 3.53 2.52 1.5(2)假设部门A所创年利润从5.5万元提高到30万元，部门B所创年利润由5万元提高到20万元，那么新的平均数、中位数、众数、极差又是多少？(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平？【思路探究】(1)(2)根据表中数据及平均数、中位数、众数、极差的定义求解．(3)分析各统计量与公司职工每人所创年利润的关系→看其是否偏离一般情况【解】(1)x＝5.5＋5＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈2.1(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为4万元．(2)x＝30＋20＋3.5×2＋3＋2.5×5＋2×3＋1.5×2033≈3.3(万元)，中位数为1.5万元，众数为1.5万元，极差为28.5万元．(3)中位数或众数均能反映该公司职工每人所创年利润的平均水平．这是因为公司中少数人每人所创年利润与大多数人每人所创年利润差别较大，这样导致平均数与中位数或众数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司职工每人所创年利润的平均水平．规律方法中位数、众数、平均数的选择标准平均数、中位数、众数均反映了样本数据的“集中趋势”，但各有侧重，在实际生活中应结合实际情况，灵活应用．(1)平均数与每一个样本数据都有关，任何一个样本数据的改变都可能会引起平均数的改变．(2)众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响．中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势．因此，若平均数受数据中的极端值影响较大时，估计的可靠性就较低，这时可用众数、中位数来表示这组数据的集中趋势．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量(件) 1 800 510 250 210 150 120 人数113532(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．解：(1)平均数为115(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额．类型二方差和标准差【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100cm 的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为：甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．【思路探究】着眼点——直接利用x 及s 2的公式求解(1)—先比较x 的大小，再分析s 2的大小【解】(1)x －甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x －乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知x －甲＝x －乙，比较它们的方差．∵s 2甲>s 2乙，故乙机床加工零件的质量更稳定．规律方法(1)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(即方差或标准差)，方差大说明取值分散性大，方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定．(2)关于统计的有关性质及规律：①若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，那么mx 1＋a ，mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平均数是m x ＋a ；②数据x 1，x 2，…x n 与数据x 1＋a ，x 2＋a ，…，x n ＋a 的方差相等；③若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1，ax 2，…，ax n 的方差为a 2s 2.甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩如图所示．(1)分别求出两人成绩的平均数与方差；(2)根据上图和(1)中结果，对两人的训练成绩作出评价．解：(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10,13,12,14,16；乙：13,14,12,12,14. x 甲＝10＋13＋12＋14＋165＝13，x 乙＝13＋14＋12＋12＋145＝13， s 2甲＝15[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，s 2乙＝15[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.(2)由s 2甲>s 2乙可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．类型三综合应用题【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下：甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀．【思路探究】分别计算两组数据的平均值与方差，然后加以比较并作出判断．【解】 x －甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝33，s 2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2 ＋(31－33)2]＝16×94≈15.7，x －乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，s 2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝16×76≈12.7.∴x －甲＝x －乙，s 2甲>s 2乙.这说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．规律方法判断甲、乙两运动员成绩的优劣，通常用平均数和方差作为标准来比较，当平均数相同时，还应考查他们的成绩波动情况(方差)，以达到判断上的合理性和全面性．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换，已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表：(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命； (2)若定期更换，可选择多长时间统一更换合适？解：(1)各组中值分别是165.5,195.5,225.5,255.5,285.5,315.5, 345.5,375.5，由此可算得平均数约为165.5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)．(2)将各组中值对(1)问中的平均数求方差：1100×[1×(165.5－268.4)2＋11×(195.5－268.4)2＋18×(225.5－268.4)2＋20×(255.5－268.4)2＋25×(285.5－268.4)2＋16×(315.5－268.4)2＋7×(345.5－268.4)2＋2×(375.5－268.4)2]＝2 128.59.故标准差为2 128.59≈46(天)．答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天，故可在222到314天左右统一更换较合适．类型四综合应用【例4】已知一组数据x i (i ＝1,2，…，n )，另一组数据y i ，满足y i ＝ax i ＋b (a 、b ∈R )，若x i (i ＝1,2，…，n )的平均数为x ，方差为s 21，标准差为s 1，则y i (i ＝1,2，…，n )的平均数y i 、方差s 22、标准差s 2分别为多少？【思路探究】该题主要考查学生对公式的理解与应用，熟记公式是关键．【解】由公式可得：x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )s 21＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] s 1＝s 21.又y i ＝ax i ＋b (i ＝1,2，…，n )，∴y ＝1n (y 1＋y 2＋…＋y n )＝1n [(ax 1＋b )＋(ax 2＋b )＋…＋(ax n ＋b )] ＝1n [a (x 1＋x 2＋…＋x n )＋nb ]＝a ·1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＋b ＝a ·x ＋b ，∴s 22＝1n [(y 1－y )2＋(y 2－y )2＋…＋(y n －y )2]＝1n {[(ax 1＋b )－(a x ＋b )]2＋[(ax 2＋b )－(a x ＋b )]2＋…＋[(ax n ＋b )－(a x ＋b )]2}＝1n [a 2(x 1－x )2＋a 2(x 2－x )2＋…＋a 2(x n －x )2] ＝a 2·1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]＝a 2·s 21. ∴s 2＝s 22＝a 2·s 21＝a ·s 1. 规律方法结合本题可总结出如下结论：若x 1，x 2，…，x n 的平均数是x ，方差是s 2，则①ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数、方差为a x ，a 2s 2.②ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的平均数、方差为a x ＋b ，a 2s 2.若样本x 1＋1，x 2＋1，x 3＋1，…，x n ＋1的平均数为10，方差为2，则对于样本x 1＋2，x 2＋2，…，x n ＋2，下列结论正确的是( C )A ．平均数为10，方差为2B ．平均数为11，方差为3C ．平均数为11，方差为2D ．平均数为12，方差为4解析：将一组数据中的每一个数增加同一常数时，方差不变，平均数再加上该常数．——规范解答——巧用分类讨论思想求数字特征【例5】(12分)某班4个小组的人数为10,10，x,8，已知该组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．【思路点拨】x 的大小未知，可根据x 的取值不同分别求中位数．【满分样板】该组数据的平均数为14(x ＋28)，中位数一定是其中两个数的平均数，由于x 不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10，其中位数为12×(10＋8)＝9.若14(x ＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.4分(2)当8<="">2(x ＋10)，则x ＝8.而8不在8<="">8分(3)当x>10时，原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10，x ，其中位数为12×(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，此时中位数为10.综上所述，这组数据的中位数为9或10.12分【方法总结】当在数据中含有未知数x ，求该组数据的中位数时，由于x 的取值不同，所以数据由小到大(或由大到小)排列的顺序不同，由于条件的变化，问题的结果有多种情况，不能用同一标准或同一种方法解决，故需分情况讨论．讨论时要做到全面合理，不重不漏．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10.解析：设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知x1＋x2＋x3＋x4＋x55＝7，(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20，五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.由|x－7|＝1可得x＝8或x ＝6，由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，故最大值为10.一、选择题1．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(A)A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92解析：x＝90＋18(－1－3＋3＋1＋6＋4＋0＋2)＝91.5.中位数＝91＋922＝91.5.2．甲、乙两台机床同时生产一种零件，现要检验它们的运行情况，统计10天中两台机床每天出的次品数分别为甲：0,1,0,2,2,0,3,1,2,4；乙：2,3,1,1,0,2,1,1,0,1.则出次品数较少的为( B )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不能比较解析：x 甲＝1.5，x 乙＝1.2. 二、填空题3．某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班，其中甲班有40人，乙班有50人，现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是85分．解析：由题意：该校数学建模兴趣班的平均成绩40×90＋50×8190＝85分．4．某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s 2＝3.2.解析：x ＝10＋6＋8＋5＋65＝7，∴s 2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝165＝3.2.三、解答题5．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：解：x 甲＝15×(60＋80＋70＋90＋70)＝74；x乙＝15×(80＋60＋70＋80＋75)＝73；s2甲＝15×(142＋62＋42＋162＋42)＝104；s2乙＝15×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.∵x甲>x乙，s2甲>s2乙，∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．。
2019-2020年高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3
2019-2020年高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3教学分析本节是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，是相互独立的，随机事件的概率是基础，在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有着广泛的应用．三维目标通过总结和归纳本章的知识，使学生进一步了解随机事件，了解概率的意义，掌握各种概率的计算公式，能够用所学知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，让概率更好地为人类服务．重点难点概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同的教练带领下战斗力会有很大的不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防俱佳所向披靡，为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样需要不断归纳整理、系统总结、升华提高，现在我们就概率这一章进行归纳复习，引出课题．思路2.为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题1．随机事件的概率包括几部分？2．古典概型包括几部分？3．几何概型包括几部分？4．本章涉及的主要数学思想是什么？5．画出本章的知识结构图．讨论结果：1．随机事件的概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A 发生的频率m n总是接近于某一常数，且在它的附近摆动，这个常数就是事件A 的概率P (A )，概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2)概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大；概率越小，事件A 发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1]之间，从而任何事件的概率在[0,1]之间，即0≤P (A )≤1.概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(3)频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型(1)古典概型的概念①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)②每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 在使用古典概型的概率公式时，应该注意：①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．几何概型(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 几何概型研究的是随机事件的结果有无限多个，且事件的发生只与区域的长度(面积或体积)成比例的概率问题．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数，可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率，学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1)古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n ，二是事件A 所包含的结果数m ，最后化归为公式P (A )＝m n.(2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．如图1.图1 应用示例思路1例1 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)．(1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率．活动：本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力．解：(1)设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P (A )＝6×56×6＝56. 抛掷2次，向上的数不同的概率为56. (2)设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．∵向上的数之和为6的结果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，∴P (B )＝56×6＝536.抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536. 例2 甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．活动：学生思考交流，教师引导，各种颜色的球被取到的可能性相同，属于古典概型，可以利用古典概型的知识解决．解：(1)设A 为“取出的两球是相同颜色”，B 为“取出的两球是不同颜色”，则事件A的概率为P (A )＝3×2＋3×29×6＝29.由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为P (B )＝1－P (A )＝1－29＝79. (2)随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N 个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n .第3步：计算n N 的值，则n N就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．思路2例1 已知单位正方形ABCD ，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求：(1)△AMB 面积大于等于14的概率； (2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图2，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内运动时，△ABM的面积大于等于14，由几何概型知，P ＝S 矩形CDFE S 正方形＝12. (2)如图3，以AB 为半径作圆弧，M 在阴影部分时，AM 的长度大于等于1, 由几何概型知，P ＝S 阴影S 正方形ABCD ＝1－14×π×12＝1－π4.图2 图3例2 如图4，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：图4(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为μΩ＝16×16＝256(cm2)．记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为μA＝π×62＝36π(cm2)；事件B所占区域面积为μB＝π×42－π×22＝12π(cm2)；事件C所占区域面积为μC＝(256－36π) cm2.由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝μAμΩ＝9π64；(2)P(B)＝μBμΩ＝3π64；(3)P(C)＝μCμΩ＝1－9π64.点评：对于(3)的求解，也可以直接应用对立事件的性质P(A)＝1－P(A)求解．知能训练1．下列说法正确的是( )．A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C2．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是( )．A.16B.12C.13D.14答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A为“三件产品全不是次品”，B为“三件产品全是次品”，C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )．A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任何两个均互斥 D．任何两个均不互斥答案：B4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8 g,4.85 g]范围内的概率是( )．A．0.62 B．0.38 C．0.02 D．0.68答案：C5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )．A.12B.14C.13D.18答案：B6．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )．A.13B.14C.12D．无法确定答案：C7．如图5所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是( )．图5A.12B.34C.38D.18答案：C8．任意投掷3枚硬币，(1)写出所有可能出现的试验结果；(2)写出恰有一枚硬币正面朝上的可能的结果；(3)求出现一正二反的概率．解：(1)可能的结果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)8种可能．(2)其中恰有一枚硬币正面朝上有(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)3种不同的结果．(3)概率为38. 9．有两组相同的牌，每组三张，它们的牌面数字分别是1,2,3，现从每组牌中各摸出一张牌，问：(1)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？(2)两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是多少？解：(1)和为4的概率最大；(2)两张牌的牌面数字和为4的概率为13；(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是49. 拓展提升1．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为＝3×2－12×223×2＝23. 2．如图6，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？图6活动：学生读题，教师引导提示，因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．解：设A 为“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm 2)，两个等腰直角三角形的面积的和为2×12×23×23＝529(cm 2)，带形区域的面积为625－529＝96(cm 2)，∴P (A )＝96625. 课堂小结同统计一样，概率也是一门实践性很强的数学分支，与日常生活联系紧密．现实生活中存在大量的随机事件，在一次试验中它的发生是随机的，可是借助大量的重复试验就会发现它的发生又具有某种规律，体现了“随机性中蕴涵规律性，偶然性中蕴涵着必然性”的唯物辩证法观点，概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题等都是要掌握的重点内容，内容涉及了今年的高考题，要切实注意，同时由于这部分内容与其他内容联系较少，要多加练习，达到熟练的目的．作业复习题三任选3题．设计感想这章内容与其他数学知识联系较少，其解题方法独特，对同学们的思维能力、分析及解决问题能力要求较高．钻研课本，理解概念，弄清公式的“来龙去脉”，尤其是公式中字母的内涵．在此基础上，适当地做一些练习，并及时归纳解题方法，不断反思及加深自己对数学知识(概念、公式等)的理解．备课资料备选习题1．从五件正品一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率是( )．A ．1 B.12 C.13 D.23答案：C2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是( )．A.12B.13C.14D.25答案：A3．现有5个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进3个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是( )．A.110B.35C.310D.910答案：D4．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有( )．A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种答案：C5．若连掷两次骰子，分别得到的点数是m ，n ，将m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是( )．A.1136B.16C.14D.736答案：A6．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是( )．A ．C 39C 25B ．C 310C 25 C ．A 310A 25D ．C 410C 25答案：A7．两个事件互斥是两个事件对立的________条件．( )．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要答案：B8．下列事件中，随机事件的个数是( )．①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ②某地1月1日刮西北风 ③当x 是实数时，x 2≥0 ④一个电影院某天的上座率超过50%A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B9．从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是( )．A.14B.12C.13D.34答案：D10．一箱内有10张标有0到9的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )．A.13B.35C.25D.14答案：C11．盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是( )．A.4445B.15C.145D.8990答案：A12．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是( )．A ．30%B ．20%C ．80%D ．以上都不对答案：C13．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )． A.12 B.34 C.14 D.13答案：B14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y2＝25外的概率是( )．A.536B.712C.512D.13答案：B15．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是( )． A.12 B.13 C.14 D.15答案：D16．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )．A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面答案：C17．某人向图7的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是( )．图7答案：B18．袋子中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．求：(1)3个全是红球的概率；(2)3个颜色全相同的概率；(3)3个颜色不全相同的概率；(4)3个颜色全不相同的概率．解：(1)3个全是红球的概率为127；(2)3个颜色全相同的概率为327＝19； (3)“3个颜色不全相同”的概率为1－19＝89；(4)“3个颜色全不相同”的概率为29. 19．小张去南京出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率；(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？答案：(1)0.7；(2)0.8；(3)可能乘火车或轮船去，也可能乘汽车或飞机去．2019-2020年高中数学第三章概率测评A 新人教A版必修3一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抽查10件产品,设事件A:至多有两件次品,则A的对立事件为( )A.至多两件次品B.至多一件次品C.至多两件正品D.至少两件正品答案:C2.在400毫升自来水中有一个大肠杆菌,今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率为( )A.0.005B.0.004C.0.001D.0.002解析:由于取水样的随机性,所求事件的概率等于水样的体积与总体积之比,即=0.005.答案:A3.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在阴影区域的概率为( )A. B. C. D.解析:设一个小正方形面积为1,则桌面面积为9,阴影面积为3.则所求概率为.答案:4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7解析:摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3.答案:C5.某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上,则各册自左到右或自右到左恰好为第1,2,3册的概率为( )A. B. C. D.解析:按照自左到右的顺序,基本事件有:(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),符合条件的有(1,2,3)和(3,2,1)两个事件,所以概率为.答案:B6.若从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为( )A. B. C. D.解析:所有满足条件的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中大于40的有8个.所以所求概率为.答案:C7.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为( )A. B.1- C. D.-1解析:要使函数有零点,则Δ=(2a)2-4(-b2+π2)≥0,a2+b2≥π2.又因为-π≤a≤π,-π≤b≤π,所以基本事件的范围是2π·2π=4π2,函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2-π3.所以所求概率为=1-.答案:B8.某人射击4枪,命中3枪,3枪中恰有2枪连中的概率是( )A. B. C. D.解析:设射击的4枪依次为a,b,c,d,命中3枪的情况有abc,abd,acd,bcd,其中恰有2枪连中的是abd,acd,所以所求概率为.答案:D9.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A. B. C. D.解析:设被污损的数字是x,则x∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.甲的平均成绩为(88+89+90+91+92)=90,[83+83+87+(90+x)+99]=,设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A, 则此时有90>,解得x<8,则事件A包含x=0,1,2,3,4,5,6,7,共8个基本事件,则P(A)=.答案:C10.为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力,随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量,产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训,则这2位工人不在同一组的概率是( )A. B. C. D.解析:根据题中频率分布直方图可知产品件数在[10,15),[15,20)内的人数分别为5×0.02×20=2,5×0.04×20=4,设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A,B,设生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C,D,E,F,则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),( E,F),共15种.2位工人不在同一组的结果有(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),共8种.则选取这2人不在同一组的概率为.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在区间[0,6]上随机取一个数x,则x∈[0,2]的概率为.答案:12.为了测算如图的阴影部分的面积,作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点.已知恰有200个点落在阴影部分,据此,可估计阴影部分的面积是.解析:设阴影部分的面积为S,向正方形内随机投掷1个点,落在阴影部分的概率的估计值是, 则,又正方形的面积是36,则S=×36=9.答案:913.随机地向半圆0<y<(a为正常数)内抛掷一点,点落在半圆内的任意区域的概率与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与x轴夹角小于45°的概率为.解析:如图可知,设基本事件表示半圆的面积,事件A为图中阴影部分的面积,则所求概率等于阴影部分面积与半圆面积之比,即P(A)=.答案:14.把一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为m,第二次出现的点数记为n,方程组只有一组解的概率是.解析:由题意,当,即3m≠2n时方程组只有一解.基本事件总数为36,满足3m=2n的基本事件有(2,3),(4,6)共两个,故满足3m≠2n的基本事件数为34个.故所求概率为P=.答案:15.在区间[0,1]中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率为.解析:设任取的两数分别为x,y,则要求x+y<的概率,即求直线y=-x与坐标轴围成的三角形的面积与边长为1的正方形面积的比,所以P=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(本小题满分6分)假设向三个相邻的敌方军火库投掷一颗炸弹,炸中第一个军火库的概率为0.025,其余两个各为0.1,只要炸中一个,另两个也要发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.解:设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件,则P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1.又设D表示军火库爆炸这个事件,则有D=A∪B∪C,其中A、B、C是互斥事件,因为只投掷了一颗炸弹,不会同时炸中两个以上军火库,所以P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.17.(本小题满分6分)有两个不透明的箱子,每个箱子都装有4个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4.(1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;(2)摸球方法与(1)相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不相同则乙获胜,这样规定公平吗?请说明理由.解:(1)用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件空间为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2 ),(4,3),(4,4),共16个.设甲获胜的事件为A,则事件A包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),共有6个,则P(A)=.(2)不公平.理由:设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C,事件B所包含的基本事件有:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),共有4个,则P(B)=,所以P(C)=1-P(B)=1-,P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.18.(本小题满分6分)为预防H1N1病毒爆发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%,则认为测试没有通过),公司选定2000个流感样本分成三组,测试结果如下表:已知在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率是0.33.(1)求x的值;(2)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,问应在C组抽取多少个?(3)已知y≥465,z≥30,求不能通过测试的概率.解:(1)∵在全体样本中随机抽取1个,抽到B组疫苗有效的概率为0.33,即=0.33,∴x=660.(2)C组样本个数为y+z=2000-(673+77+660+90)=500,用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果,应在C组抽取个数为360×=90(个).(3)设测试不能通过事件为M,C组疫苗有效与无效的可能的情况记为(y,z),由(2)知y+z=500,且y,z∈N,基本事件有(465,35),(466,34),(467,33),(468,32),(469,31),(470,30),共6个.若测试不能通过,则77+90+z>2000×(1-90%),即z>33.事件M包含的基本事件有(465,35),(466,34),共2个,则P(M)=.故不能通过测试的概率为. 19.(本小题满分7分)已知一条直线型街道的A,B两盏路灯之间的距离为120米,由于光线较暗,想在中间再随意安装两盏路灯C,D,顺序为A,C,D,B,求A与C,B与D之间的距离都不小于40米的概率.解:设A与C,B与D之间的距离分别为x米、y米,则所有可能的结果为Ω={(x,y)|0<x+y<120,x>0,y>0}.设A与C,B与D之间的距离都不小于40米为事件A',则事件A'的可能结果为A'={(x,y)|x≥40,y≥40,0<x+y<120}.如图所示,全部结果构成区域Ω为直线与两坐标轴所围成的△OEF,而事件A'所构成区域是三条直线x+y=120,x=40,y=40所夹中间的阴影部分.于是根据几何概型公式,得到P(A')=.所以A与C,B与D之间的距离都不小于40米的概率为.。
高中数学北师大版必修3教案-3_模拟方法――概率的应用
教学准备1. 教学目标1. 会用模拟方法估计概率,近似计算不规则图形的面积, 求π的近似值;2. 通过解决具体问题的实例感受,体会模拟方法的基本思想,学会依据随机试验的试验结果设计合理的模拟方法,通过模拟试验加深对随机事件频率的随机性和概率的稳定性的认识以及用频率去估计概率的方法;3.通过模拟方法的设计体验数学的重要性和信息技术带给数学的帮助;通过动手模拟,动脑思考,体会做数学题的乐趣,提高学习兴趣;通过合作试验,培养学生愿意合作与交流的团队精神，情感态度与价值观增强.本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯.2. 教学重点/难点几何概型的概念、公式及应用3. 教学用具4. 标签教学过程导入新课：1、知识回顾：我们已经学习了两种计算事件发生的概率的方法:（1）通过试验方法得到事件发生的频率,来估计概率.(一种近似估计,需通过大量重复试验)（2）用古典概型的公式来计算概率.(仅适用于基本事件为有限个的情况)在概率论发展的早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的，还必须考虑有无限多个试验结果的情况.常常会遇到试验的所有可能结果(即基本事件)为无穷多的情况,且这无穷多个基本事件保持这古典概型的“等可能性”.这时用大量试验的方法很难获得一个符合要求的概率,也不能用古典概型的方法求解.例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.那怎么办呢? 请观察下列问题并思考如何确定其概率?问题1：如图所示在边长为a的正方形内有一个不规则的阴影部分，那么怎样求这阴影部分的面积呢？问题2:一个人上班的时间可以是8:00～9:00之间的任一时刻，那么他在8:30之前到达的概率是多大呢？问题3:已知在边长为a的正方形内有一个半径为0.5a的圆.向正方形内随机地投石头，那么石头落在圆内的概率是多大呢？带着上述的问题，我们开始学习新的内容——模拟方法与概率的应用.2、课堂探究：问题1:取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？（1）试验中的基本事件是什么？从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？问题2: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率.（1）试验中的基本事件是什么？微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？上面三个随机试验有什么共同特点？(1)一次试验的所有可能出现的结果有无限多个；(2) 每个结果发生的可能性大小相等．3、归纳概括：向平面上有限区域（集合）G内随机的投掷点M，若点M落在G的子区域的概率与的面积成正比，而与G的形状、位置无关，则称这种模型为几何概型。
高中数学2.2算法的大体结构及设计循环结构导学案北师大版必修3
第三课时算法的大体结构及设计——循环结构1．学习目标按照新课标的要求和学生的认知特点，肯定本节课的学习目标。
（1）知识与技术学生能理解循环结构概念；把握循环结构的三要素：循环的初始状态、循环体、循环的终止条件；能识别和理解循环结构的框图和功能；能运用循环结构设计程序框图以解决简单的问题。
（2）进程与方式通过由实例对循环结构的探讨与应用进程，培育学生的观察类比，归纳抽象能力；参与运用算法思想解决问题的进程，慢慢形成算法分析，算法设计，算法表示，程序编写到算法实现的程序化算法思想；培育学生周密精准的逻辑思维能力；掌握循环结构的一般意义及应用方式；培育由特殊到一般，再到特殊，及具体，抽象，具体的螺旋上升式的熟悉事物的能力并发现解决问题的方式。
（3）情感、态度与价值观通过师生、生生互动的活动进程，培育学生主动探讨、勇于发现的科学精神，提高数学学习的兴趣，体验成功的喜悦。
通过实例，培育学生发现、提出问题的意识，踊跃思考，分析类比，归纳提升，并能创造性地解决问题；感受和体会算法思想在解决具体问题中的意义，提高算法素养；经历体验发现、创造和运用的历程与乐趣，形成在继承中提高、发展，在思辩中观察、分析并熟悉客观事物的思维品质；体会数学中的算法与计算机技术成立联系的有效性和优势表现；培育学生的逻辑思维能力，形式化的表达能力，构造性解决问题的能力，培育学生程序化的思想意识，为学生的未来和个性发展及进一步学习做好准备。
2．学习重点、难点及关键点（1）重点循环结构的概念、功能、要素、框图及应用（2）难点描述和应用循环结构时，三要素的准确把握和正确表达（3）关键点跟踪变量转变，理解程序的执行进程3．学习手腕与方式（1）学习手腕采用多媒体辅助学习（2）教法探讨启发式学习法（3）学法探索发现式学习法4．学习进程导入阶段（1）温故知新，探讨发现课前演练：问题1：给定三角形的三条边长，计算三角形的面积。
填充完成程序框图：【温习引入】温习已学得顺序和分支结构，同时在判断给出的三条边是不是组成三角形（两边之和大于第三边）时，承先启后，同时注意提示学生注意观察哪些是重复进行的部份，为新知作好铺垫。
高中数学 第1章 统计 §2 2.2 分层抽样与系统抽样(教师用书)教案 北师大版必修3-北师大版高
2.2 分层抽样与系统抽样 学 习 目 标核 心 素 养，准确把握分层抽样、系统抽样的概念．(重点)2．会用分层抽样、系统抽样解决实际问题．(难点)3．了解各种抽样方法的适用X 围，能根据具体情况选择恰当的抽样方法．(难点) 、系统抽样的概念，培养数学抽象素养．2．通过运用分层抽样、系统抽样解决实际问题，提升数据分析素养.一、分层抽样1．分层抽样的概念将总体按其属性特征分成假设干类型(有时称为层)，然后在每个类型中按照所占比例随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作分层抽样，有时也称为类型抽样．2．对分层抽样的公平性的理解在分层抽样的过程中，每个个体被抽到的概率是相同的，与分层的情况无关．如果总体的个体数是N ，共分k 层，n 为样本容量，N i (i ＝1,2,3，…，k )是第i 层中的个体数，那么第i 层中所要抽取的个体数n i ＝n ×N i N ，而每一个个体被抽取的可能性是n i N i ＝n N，与层数无关，所以对所有个体而言，其被抽到的概率是相同的，也就是说分层抽样是公平的．二、系统抽样的概念将总体中的个体进行编号，等距分组，在第一组中按照简单随机抽样抽取第一个样本，然后按分组的间隔(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法叫系统抽样，有时也叫等距抽样或机械抽样．思考：系统抽样一般适用于具有怎样特征的样本？[提示]系统抽样的实质是“分组〞抽样，适用于总体中的个体数较大的情况．1．以下问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )A ．从10名同学中抽取3人参加座谈会B ．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C ．从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D ．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量B [A 中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C 和D 中总体个体无明显差异且个数较多，不适合用分层抽样；B 中总体中的个体差异明显，适合用分层抽样．]2．为了解1 200名学生对学校食堂饭菜的意见，打算从中抽取一个样本容量为40的样本，考虑采用系统抽样，那么分段间隔k 为( )A ．10B ．20C ．30D ．40C [分段间隔k ＝1 20040＝30.] 3．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．20人，30人，10人D ．30人，50人，10人B [先求抽样比n N ＝903 600＋5 400＋1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取 3 600×1120＝30(人)，乙校抽取5 400×1120＝45(人)，丙校抽取1 800×1120＝15(人)，应选B.] 4．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，那么应从一年级本科生中抽取________名学生．60[根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为44＋5＋5＋6×300＝60.]分层抽样用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽到的可能性相同吗？[解]因为总体由差异明显的三部分(青、中、老年)组成，所以采用分层抽样的方法更合理． 因为青、中、老年职工的比例是3∶5∶2，所以应分别抽取：青年职工400×310＝120(人)； 中年职工400×510＝200(人)； 老年职工400×210＝80(人)． 由样本容量为400，总体容量为3 200可知，抽样比是4003 200＝18，所以每人被抽到的可能性相同，均为18.1．分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占的比例抽取．2．用分层抽样抽取样本时，需照顾到各层中的个体，所以每层抽取的比例应等于样本容量在总体中的比例．3．在分层抽样中，确定抽样比k 是抽样的关键．一般地，抽样比k ＝n N(N 为总体容量，n 为样本容量)，按抽样比k 在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性．4．在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行．[跟进训练]1．，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，，那么应抽取的中型城市数为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分〞题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，那么这批米内夹谷约为( )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石(1)B (2)B [(1)根据分层抽样的特点可知，抽样比例为1248＝14，那么应抽取的中型城市数为16×14＝4.(2)设1 534石米内夹谷x 石，那么由题意知x 1 534＝28254，解得x ≈．]系统抽样【例2】 某单位共有在岗职工624人，为了调查职工上班时从离开家到来到单位的平均用时，决定抽取10%的工人进行调查，如何采用系统抽样完成这一抽样？[解]第一步：由题意知，应抽取在岗职工62人作为样本，即分成62组，由于62462的商是10，余数是4，所以每组有10人，还剩4人．这时，抽样距是10；第二步：用随机数法从这些职工中抽取4人并剔除，不进行调查；第三步：将余下的在岗职工620人进行编号，编号分别为000,001,002，…，619； 第四步：在第一组000,001,002，…，009这10个编号中，随机选定一个起始编号，每间隔10抽取一个编号，共抽62个编号，这样就抽取了容量为62的一个样本．1．解决此题时，对总体、个体先进行编号，然后依据样本容量确定分段数及每段间隔长度，再利用简单随机抽样法在第1段中抽取一个作为起始，并依次加间隔长度即可获取样本．2．系统抽样又称等距抽样，当给出总体数和样本容量后，应先确定组数和组距(注意一般组数等于样本容量/组距)，在第一组抽取起始后，只需依次加间隔长度即可得到样本．[跟进训练]2．(1)某影院有40排座位，每排有46个座位，一个报告会上坐满了听众，会后留下座号为20的所有听众进行座谈，这是运用了( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．放回抽样法 (2)为了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，那么分段的间隔k ＝________.(1)C (2)40[(1)此抽样方法将座位分成40组，每组46个个体，会后留下座号为20的相当于第一组抽20号，以后各组抽取20＋46n ，n ＝1,2,3，…，符合系统抽样特点．(2)根据样本容量为30，将1 200名学生分为30段，每段人数即间隔k ＝1 20030＝40.]三种抽样方法的综合应用[探究问题]1．简单随机抽样是不放回抽样吗？提示：是不放回抽样．2．分层抽样时为什么要将总体分成互不重叠的层？提示：在总体中由于个体之间存在着明显的差异，为了使抽取的样本更合理、更具代表性，故将总体分成互不重叠的层，而后独立地抽取一定数量的个体．3．系统抽样的第二步中，当Nn不是整数时，从总体中剔除一些个体采用的方法是什么？影响系统抽样的公平性吗？提示：剔除一些个体可以用简单随机抽样的方法抽取，不影响系统抽样的公平性．【例3】①某学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，10人的成绩在100～110分，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400 m决赛的6名同学安排跑道．就这三件事，合适的抽样方法分别为________、________、________.系统抽样分层抽样简单随机抽样[系统抽样适合总体中个体数量比较大的情况．分层抽样适合总体由差异明显的几部分组成的情况．总体中个体数比较少的时候，选用简单随机抽样．]三种抽样方法的比较类别共同点各自特点相互联系适用X围简单随机抽样(1)抽样过程中每个个体被抽取的概率相等；(2)均属于不放从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规那么在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层 抽样 回抽样将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样 总体由差异明显的几部分组成[跟进训练] 3．某社区有700户家庭，其中高收入家庭有225户，中收入家庭有400户，低收入家庭有75户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某中学高二年级有12名篮球运动员，要从中选出3人调查投篮命中率情况，记作②；从某厂生产的802辆轿车中抽取40辆测试某项性能，记作③.为完成上述三项抽样，那么应采取的抽样方法是( )A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①分层抽样，②简单随机抽样，③系统抽样C ．①简单随机抽样，②分层抽样．③系统抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样B [对于①.总体由差异明显的高收入家庭、中收入家庭和低收入家庭三部分组成，而所调查的指标与收入情况密切相关，所以应采用分层抽样；对于②，总体中的个体数较少，而且所调查内容对12名调查对象是平等的，应采用简单随机抽样；对于③，总体中的个体数较多，且个体之间差异不明显，样本中个体数也较多，应采用系统抽样．]1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式解：(1)样本容量n 总体容量N ＝各层抽取的样本数该层的容量； (2)总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比．2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法．(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法．(3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法．(4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样法.1．思考辨析(1)分层抽样中每层抽样的可能性是不相等的．()(2)分层抽样时，样本是在各层中分别抽取．()(3)分层抽样时，如果总体个数不能被样本容量整除，那么应先剔除部分个体．()(4)系统抽样的分段段数与所抽取的样本容量的关系是相等．()(5)系统抽样时每个个体被抽到的机会不同．()(6)系统抽样时，如果总体个数不能被样本容量整除，那么应先剔除部分个体．()[解析](1)×，每个个体被抽到的可能性相同．(2)√，由分层抽样的概念知正确．(3)√，由于考虑到实际意义，需剔除部分个体．(4)√，系统抽样时，分段的段数由所抽样本容量确定．(5)×，无论是系统抽样还是分层抽样，每个个体被抽到的机会都相等．(6)√，系统抽样时为了保证间隔k为整数，应先剔除一部分个体．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)×(6)√2．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样C[由于该地区的中小学生人数比较多，不能采用简单随机抽样，排除选项A；由于小学、初中、高中三个学段的学生视力差异性比较大，可采取按照学段进行分层抽样，而男女生视力情况差异性不大，不能按照性别进行分层抽样，排除B和D.应选C.]3．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况．用分层抽样的方法从该学生中抽取一个容量为n的样本．高中学生抽取70人，那么n的值为________．100[由题意，得703 500＝n3 500＋1 500，解得n＝100.]4．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，假设编号为28的产品在样本中，那么该样本中产品的最大编号为________．76[根据系统抽样的定义可得，样本中产品的编号间隔为16，再根据编号为28的产品在样本中，可得样本中产品的编号为12,28,44,60,76，故该样本中产品的最大编号为76.]。
【知识学习】高一数学必修3导学案(北师大版)
高一数学必修3导学案（北师大版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5ykj.com §3.2.3互斥事件（1）授课时间第周星期第节课型新授课主备课人学习目标理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型；2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用。
重点难点重点：概率的加法公式及其应用；事件的关系与运算难点：互斥事件与对立事件的区别与联系学习过程与方法自主学习.互斥事件：在一个随机试验中，把一次试验下___________的两个事件A与B称作互斥事件。
2.事件A+B：给定事件A，B，规定A+B为，事件A+B发生是指事件A和事件B________。
3.对立事件：事件“A不发生”称为A的对立事件，记作_________,对立事件也称为________,在每一次试验中，相互对立的事件A与事件不会__________,并且一定____________.4.互斥事件的概率加法公式：（1）在一个随机试验中，如果随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P=_________.如果随机事件中任意两个是互斥事件，那么有____________。
5.对立事件的概率运算：_____________。
探索新知：.如何从集合的角度理解互斥事件？2.互斥事件与对立事件有何异同？3.对于任意两个事件A，B，P=P+P是否一定成立？4.某战士在一次射击训练中，击中环数大于6的概率为0.6，击中环数是6或7或8的概率为0.3，则该战士击中环数大于5的概率为0.6+0.3=0.9，对吗？5．什么情况下考虑用对立事件求概率呢？6．阅读p143例3和p144例4，你的问题是什么？精讲互动例1．判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张）中，任取一张。
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。
2019-2020学年北师大版数学必修三教师用书：第3章 §3 模拟方法——概率的应用 Word版
姓名，年级：时间：§3模拟方法——概率的应用学习目标核心素养1.记住几何概型的概念和特点．（重点)2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(重点、难点）3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等．（难点)1.通过学习几何概型的概念和特点，培养数学抽象素养．2．通过几何概型的计算公式解决实际问题，提升数学运算素养。
1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M,若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比,而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝错误!,则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．几何概型的特点与概率计算公式（1）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件）有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．（2）几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下:P(A）＝错误!。
（3)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；③利用概率公式P(A）＝错误!计算．思考：几何概型与古典概型有何区别？［提示］几何概型与古典概型的异同点类型异同古典概型几何概型不同点(基本事件的个数)一次试验的所有可能出现的结果（基本事件）有有限个一次试验的所有可能出现的结果（基本事件)有无限多个相同点(基本事件发生的等可能性）每一个试验结果(即基本事件）发生的可能性大小相等1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则（) A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．m是n的近似值D [随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．]2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP｜＞1的概率为( )A。
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§1从普查到抽样一、预习教材·问题导入预习课本P3～6，思考并完成以下问题(1)普查的含义是什么？有什么特点？(2)抽样调查的含义是什么？有什么特点？(3)在统计学中，什么是总体和个体？(4)什么是样本和样本容量？二、归纳总结·核心必记1．普查(1)定义：普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力．(2)特点：①所取得的资料更加全面、系统；②主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量．2．抽样调查(1)定义：通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本．(2)特点：①迅速、及时；②节约人力、物力和财力．[点睛]当调查的对象量很大，或调查过程具有破坏性时，采取普查就行不通，此时应采用抽样调查的方式．三、基本技能·素养培优1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)高考考生的身体检查，是抽样调查．()(2)某养鱼专业户要了解鱼塘中鱼的平均质量，是抽样调查．()(3)商检人员在某超市检查出售的饮料的合格率，是普查．()(4)某班拟组织一次春游活动，为了确定春游的地点，向全班同学进行调查，是普查．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．下面问题可以用普查的方式进行调查的是()A．检验一批钢材的抗拉强度B．检验海水中微生物的含量C．检验10件产品的质量D．检验一批汽车的使用寿命解析：选C A不能用普查的方式调查，因为这种试验具有破坏性；B用普查的方式无法完成；C可以用普查的方式进行调查；D该试验具有破坏性，且需要耗费大量的时间，在实际生产中无法应用．3．从一批零件中抽取10个，测得它们的长度(单位：cm)如下：22．3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822．3622.3222.35由此估计这批零件的平均长度．在此统计活动中：(1)总体为：______________________；(2)个体为：______________________；(3)样本为：______________________；(4)样本容量为：______________________.答案：(1)这批零件的长度(2)每个零件的长度(3)抽取的10个零件的长度(4)10考点一总体、样本等概念辨析题[典例]嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日在中国酒泉卫星发射中心由长征三号乙运载火箭发射成功．为调查某校540名大学生对嫦娥四号月球探测器的关注度，从中抽取40名大学生进行调查，下列说法正确的是()A．总体是540名大学生B．样本是40名大学生C．总体是540名大学生对嫦娥四号月球探测器的关注度D．样本容量是540[解析]总体是540名大学生对嫦娥四号月球探测器的关注度，样本是40名大学生对嫦娥四号月球探测器的关注度，样本容量是40.故选C.[答案] C[类题通法]此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本容量为数目，无单位．[针对训练]在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：选A 5 000名居民的阅读时间的全体是总体，每名居民的阅读时间是个体，200是样本容量．故选A.考点二普查及其应用[典例]某学校根据高考考场要求，于高考前新进了45套听力设备．现需要检查这批听力设备的质量，是全部检查还是抽取部分检查？谈谈你的想法和理由．[解]必须全部检查(采用普查)．因为高考是一件非常严肃、责任重大的事件，高考是一场公平竞争，要求十分严格，所配设备必须全部合格，且这批设备数量较少，全部检查是可行的，这样可确保万无一失．[类题通法]判断是否采用普查获取有关信息的方法(1)分析调查对象的性质，判断是否必须了解每一个个体的相关信息；(2)确定总体个数，依此来判断采取普查是否可行．[针对训练]下列调查中，适合采用普查方式的是()A．调查某品牌电视机的市场占有率B．调查某品牌电视机的使用寿命C．调查七年级一班的男女同学的比例D．调查某型号炮弹的射程解析：选C A中的调查对象很多，B、D中的调查对象具有破坏性，都不能采用“普查”．而C选项中男女同学的比例是需要“普查”的．考点三抽样调查及其应用[典例]某校高一男女生比例大约为1∶1.体育老师要调查高一全体学生的平均身高，采用什么方法既省力又合理，应注意什么问题？[解]最好是男女生按1∶1分类抽样调查．因为男女生在身高上有一定的差异，随意抽样调查有可能导致样本代表性不足．[类题通法]判断是否采用抽样调查获取有关信息的方法(1)分析调查目的，确定是需要每个个体情况还是总体情况．若只是关心总体的某项指标(如本例中的平均身高)，一般采用抽样调查．(2)若采用普查，是否必要？是否具有破坏性？若不必要或有一定的破坏性，就采用抽样调查．[针对训练]下面的四个问题中，可以用抽样调查方法的是()A．检验10名参加计算机水平测试学生的成绩B．银行对公司10万元存款的现钞的真假检验C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量D．检验一批汽车的防碰撞性能解析：选D根据抽样调查与普查的概念可知A、B、C一般采用普查的方法，只有D 是采用抽样调查的方法．考点四抽样调查设计[典例]一些期刊杂志社经常请一些曾经高考落榜而在某方面取得成就的著名专家、学者，谈他们对高考落榜的看法．这些名人所讲的都是大同小异，不外乎“我也有过落榜的沮丧，但从长远看，它有益于我的人生”，“我是因祸得福，落榜使我走了另一条成功之路”等等．小明据此得出一条结论，上大学不如高考落榜．他的结论正确吗？[解]小明的结论是错误的，在众多的高考落榜生中，走出另外一条成功之路的是少数，小明通过研究一些期刊杂志社报道过的一些成功人士就得出结论是片面的，因为他的抽样不具有代表性．[类题通法]根据调查问题的特点设计抽样调查的不同方案，应遵循以下原则：(1)要考虑如何合理地获取样本，以确保其典型性、代表性．即抽取的部分个体具有广泛的代表性，能很好地代表总体．(2)要考虑如何保证调查内容的真实性．[针对训练]为了缓解城市的交通拥堵情况，某城市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查，某个调查小组调查了一些拥有私家车的市民，你认为这样的调查结果会怎样？解：由于要出台限制私家车的政策，抽样调查的市民又是拥有私家车的市民，因此调查结果倾向于反对出台限制私家车的政策．如果要调查出社会公民对政策的真实意见，需要对市民的各个群体进行抽样调查，还包括对一些社会团体(比如公交公司、消防、医院等)的运营状况进行调查，这样才能比较真实地反映出社会的实际情况，获得市民的心声．[一、基本能力达标]1．医生要检验人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是()A．普查B．抽样调查C．既不能普查也不能抽样调查D．普查与抽样调查都可以答案：B2．下列调查工作适合采用普查的是()A．环保部门对淮河水域的水污染情况的调查B．电视台对某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查解析：选D A、B中的调查，从理论上来说采用普查是可行的，但是普查会费时费力；C中，质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查不能采用普查，因为调查时的检验对电池具有破坏性；D中，企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查必须采用普查，否则工人的工作服会不合体．故选D.3．现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法正确的是()A．80件产品是总体B．20件产品是样本C．样本容量是80 D．样本容量是20解析：选D总体是80件产品的质量；样本是抽取的20件产品的质量；总体容量是80；样本容量是20.4．国家统计局、国家残联决定对国家残疾人生活、就业等情况进行调查，小明设计的调查方案是在国家残联的网站上设立一个调查表，根据网站上的数据进行分析．你认为小明的方案________(填“合理”或“不合理”)．解析：很多残疾人不具有上网条件，因此获取的数据不具有代表性．答案：不合理[二、综合能力提升]1．若对某校1 200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指()A．120名学生B．1 200名学生C．120名学生的成绩D．1 200名学生的成绩解析：选C本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本．2．在古代，我国的科学技术发展水平是否居于世界领先位置呢？为了说明这一问题应该()A．列举我国的文化遗产B．列举我国古代的著名科学家C．列举外国人对我国科技成就的赞扬D．列举全世界古代所有重大科技成果，统计其中有百分之多少是中国人创造的答案：D3．为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力情况．在这个过程中，100名同学的视力情况(数据)是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析：选C100名同学的视力情况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本．4．下列调查方案中，抽样方法合适、样本具有代表性的是()A．用一本书第1页的字数估计全书的字数B．为调查某校学生对航天科技知识的了解程度，上学期间，在该校门口，每隔2分钟随机调查一位学生C．在省内选取一所城市中学，一所农村中学，向每个学生发一张卡片，上面印有秦始皇、毛泽东、周恩来、保尔、比尔·盖茨等一些名人的名字，要求每个学生只能在一个名字下面画“√”，以了解全省中学生最崇拜的人物是谁D．为了调查我国小学生的健康状况，共抽取了100名小学生进行调查解析：选B A中样本缺少代表性(第1页的字数一般较少)；B中抽样保证了随机性原则，样本具有代表性；对于C，城市中学与农村中学的规模往往不同，学生崇拜的人物也未必在所列的名单之中，这些都会影响数据的代表性；D中总体数量很大，而样本容量太少，不足以体现总体特征．5．给出以下调查：①了解一批汽车驾校训练班学员的训练成绩是否达标；②了解一批炮弹的杀伤力；③某饮料厂对一批产品质量进行检查；④调查对电影“流浪地球”的满意度；⑤检验飞天设备中各零件产品的质量．其中适宜用抽样调查的是________(将正确答案的序号全填上)．解析：若调查的目的必须通过普查才能实现，一般用普查，但若存在一定的破坏性则用抽样调查，关键还是看实际需要．驾校训练的司机直接影响驾驶安全，必须普查；炮弹的杀伤力调查具有破坏性，只能采用抽样调查；饮料质量的调查也具有破坏性，应该采用抽样调查；电影“流浪地球”满意度调查比较复杂，普查成本高，电影“流浪地球”适宜用抽样调查；飞天设备不能有一点疏忽，每一个零件的质量都需要检查．答案：②③④6．普查是一项非常艰巨的工作，当总体中的对象很少时，往往采用的调查方式是________；当总体中的对象很多时，普查工作量就很大，这时通常采用的调查方式是________．但是如果调查具有破坏性，那么无论总体数目的多少，只能采用的调查方式是________．答案：普查抽样调查抽样调查7．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高做调查，现有三种调查方案：①测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；②查阅有关外地180名男生身高的统计资料；③在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这六所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，则上述调查方案比较合理的是________．解析：①中，少年体校的男子篮球、排球的运动员的身高一定高于一般的情况，因此无法用测量的结果去估计总体的结果；②中，用外地学生的身高也不能准确地反映本地学生身高的实际情况；而③中的调查方案比较合理，能达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的．答案：③8．要调查中央电视台《新闻联播》的收视情况，某同学到某一大型商场调查了所有的顾客和售货员的收视情况，得出数据并进行分析，你认为他的调查结果可靠吗？为什么？解：因为某一商场的顾客和售货员的收视情况不具有代表性，不能反映该时间内工人、农民、学生等人员的收视情况，故调查结果不可靠．9．某年春季，某著名的全国性连锁服装店进行了一项关于当年秋季服装流行色的民意调查，调查者通过向顾客发放饮料，并让顾客通过挑选饮料瓶的颜色来对自己喜欢的服装颜色“投票”．这次调查结果显示，某大城市服装颜色的众数(大多数人的选择)为红色，而当年全国服装协会发布的秋季服装流行色是咖啡色．这个结果是否意味着该城市的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色？你认为这两种调查结果的差异是由什么引起的？解：这个结果意味着该城市光顾这家连锁店的人比其他城市的人较少倾向于选择咖啡色，由于光顾这家连锁店的人是一种比较容易得到的样本(方便样本)，不一定能代表该城市其他人的想法．而该城市的调查结果来自于该城市光顾这家连锁店的人，这个样本也不能很好地代表全国民众的观点，从而带来了调查结果的差异．§2抽样方法2．1简单随机抽样一、预习教材·问题导入预习课本P8～11，思考并完成以下问题(1)什么样的抽样是简单随机抽样？(2)简单随机抽样有什么特点？(3)简单随机抽样的常用方法有哪些？(4)抽签法和随机数表法的概念是什么？它们的实施步骤是什么？各有什么优缺点？二、归纳总结·核心必记1．简单随机抽样(1)定义：根据实际需要有时需从总体中随机地抽取一些对象，然后对抽取的对象进行调查．在抽取的过程中，要保证每个个体被抽到的概率相同．这样的抽样方法叫作简单随机抽样．(2)特点：①总体个数有限：简单随机抽样要求被抽取样本的总体个数有限，这样便于通过样本对总体进行分析．②逐个抽取：简单随机抽样是从总体中逐个进行抽取，这样便于实际操作．③无放回抽样：简单随机抽样是一种无放回抽样，这样便于样本的获取和一些相关的计算．④等可能抽样：不仅每次从总体中抽取一个个体时各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程当中，各个个体被抽取的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．2．抽签法(1)定义：抽签法就是先把总体中的N个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的签上，然后将这些号签放在同一个箱子里均匀搅拌．每次随机地从中抽取一个，然后将号签均匀搅拌，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本数．(2)优缺点：①优点：简单易行，当总体个数不多时，号签搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽取，从而能保证样本的代表性．②缺点：当总体个数较多时，费时、费力，且号签很难被搅拌均匀，产生的样本代表性差，导致抽样的不公平．3．随机数法(1)定义：把总体中的N个个体依次编上0,1，…，N－1的号码，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0,1，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选几号个体，直至抽到预先规定的样本数．(2)优缺点：优点：简单易行，它很好地解决了抽签法中遇到的当总体个数较多时制签难、号签很难被搅拌均匀的问题．缺点：总体个数很多，需要的样本容量较大时，不太方便．[点睛]当随机地选定开始读取的数字之后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等．因为随机数表中每个位置上各个数字出现的概率是相等的，因此不论采用什么方式读数，我们都能保证各个个体被抽到的概率相同．三、基本技能·素养培优1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从无数个个体中抽取20个个体作为样本，是简单随机抽样．()(2)从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检测，是简单随机抽样．()(3)某班有40名学生，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛，是简单随机抽样．()(4)彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签，是简单随机抽样．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性()A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些D．每个个体被抽中的可能性无法确定解析：选B在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．3．下列抽样中，用抽签法方便的是()A．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选B根据抽签法的特点可知，B选项用抽签法比较方便．4．在容量为100的总体中用随机数表法抽取5个样本，总体编号为00,01,02， (99)给出下列几组号码：①00,01,02,03,04；②10,30,50,70,90；③49,19,46,04,67；④11,22,33,44,55则可能成为所得样本编号的是________(将所有正确结论的序号全填上)．解析：随机数表法是一种简单随机抽样方法，因此每一个个体都有可能被抽到，且被抽到的可能性相同，因此所列几组都可能成为所得样本的编号．故填①②③④.答案：①②③④考点一简单随机抽样的概念[典例]下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．[解](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．[类题通法]要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点．[针对训练]下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？①某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；②某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品；③某班级有4个小组，每组共有12个同学．班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；④中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码．解：简单随机抽样要求：被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样．所以①不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；②不是，被抽取的样本的总体个数不确定；③不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；④是，它属于简单随机抽样中的随机数法．考点二抽签法的应用[典例]某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请写出利用抽签法抽取该样本的过程．[解]利用抽签法步骤如下：第一步：将这50名学生编号，编号为01,02,03， (50)第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．[类题通法]利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：(1)编号时，如果已有编号(如学号、标号等)可不必重新编号．(例如该题中这50名同学，可以直接利用学号)(2)号签要求大小、形状完全相同．(3)号签要搅拌均匀．(4)要逐一、不放回抽取．[针对训练]上海某中学从40名学生中选1名学生作为上海男篮拉拉队成员，采用下面两种方法选取．方法一：将40名学生按1～40进行编号，相应制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签号码一致的学生幸运入选；方法二：将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取1个球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．试问这两种方法是否都是抽签法？为什么？解：抽签法抽样时给总体中的N个个体编号各不相同，由此可知方法一是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而方法二中39个白球无法相互区分，故方法二不是抽签法．这两种方法的相同之处在于每名学生被选中的机会都相等．考点三随机数法[典例]设某校共有100名教师，为了支援西部教育事业，现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团，请写出利用随机数法抽取该样本的步骤．[解]其步骤如下：第一步，将100名教师进行编号：00,01,02， (99)第二步，在随机数表(见教材第9页表1－2)中任取一数作为开始，如从第12行第9列开始，依次向右读取两位的数，可以得到31,70,05,00,25,93,45,53,78,14,28,89.与这12个编号对应的教师组成样本．[类题通法]随机数法解题策略(1)选定初始数字读数方向，向左、向右、向上或向下都可以，方向不同可能导致不同结果，但这一点不影响样本的公平性．(2)读数时，编号为两位，两位读取，编号为三位，则三位读取，如果出现重号，则跳过，接着读取．。