流体力学讲义 第三章 流体动力学基础.

第三章流体动力学基础

本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。

第一节流体流动的基本概念

1.流线

（1）流线的定义

流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。

（2）流线的作法：

在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。

流线是欧拉法分析流动的重要概念。

图3-1 图3-2

（3）流线的性质（图3-3）

a.同一时刻的不同流线，不能相交。图3-3

因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。

因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。

c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。

因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。

（4）流线的方程（图3-4）

根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4

设d s为流线上A处的一微元弧长:

u为流体质点在A点的流速:

因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。

所以即

展开后得到：——流线方程（3-1）

（或用它们余弦相等推得)

2.迹线

(1)迹线的定义

迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。

图3-5中烟火的轨迹为迹线。

(2)迹线的微分方程

（3-2）

式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。图3-5

注意：流线和迹线微分方程的异同点。

——流线方程

3.色线（colouring line)

又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。

例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6

考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。

流线、迹线、色线的比较：

概念名

流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。

流线方程为：式中时间t为参变量。

迹线迹线是指某一质点在某一时刻内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。

迹线方程为：式中时间t为自变量。

脉线脉线（色线）是指源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。

例1如图3-7，已知流速场为，其中C为常数，求流线方程。

解：由式得

积分得：

则：

此外，由得：

图3-7 因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C＞0时）或平面点汇流动（C＜0时）

例2已知平面流动

试求：（1）t=0时，过点M（-1，-1）的流线。（2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。

解：（1）由式（2）由式

得得

得：

由t=0时，x=-1，y=-1得C1=0, C2=0，则有：

将：t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬时流线

xy=1 最后可得迹线为：

即流线是双曲线。

例3已知流动速度场为

试求：（1）在t= t0瞬间，过A（x0，y0，z0）点的流线方程；

（2）在t= t0瞬间，位于A（x0，y0，z0）点的迹线方程。

解：（1）流线方程的一般表达式为

将本题已知条件代入，则有：

积分得：（1+t）ln x = ln y + ln C'

当t= t0时，x=x0，y=y0，则有

故过A（x0，y0，z0）点的流线方程为

（2）求迹线方程

迹线一般表达式为

代入本题已知条件有：

由(1)式得：

当t= t0时，x=x0代入上式得

由(2)式得：

当t= t0时，y= y0代入上式得

故迹线方程为

t是自变量，消t后得到的轨迹方程为迹线方程：

二、流体流动的分类

1.层流与紊流

（1）层流的定义

层流（laminar flow）（图3-8）图3-8

亦称片流，是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条不紊的有序的直线运动。

特点：

（1）有序性。

（2）水头损失与流速的一次方成正比。

（3）在流速较小且雷诺数Re较小时发生。图3-9

层流遵循牛顿内摩擦定律，粘性抑制或约束质点作横向运动。

紊流

紊流（turbulent flow)（图3-10）

亦称湍流，是指随流速增大，流层逐渐不稳定，质点相互混掺，流体质点沿很不规则的路径运动。

特点：

（1）无序性、随机性、有旋性、混合性。

（2）水头损失与流速的1.75~2次方成正比。

（3）在流速较大且雷诺数较大时发生。图3-10

紊流是工程实践中最常见的一种流动，如图3-9，紊流微团不仅有横向脉动，而且有相对于流体总运动的反向运动，紊流中质点运动要素具有随机性，流速的大小方向随机变化，没有两个流体质点可以沿着同样的、甚至相似的路径运动。紊流就是压力表指针不断摆动的原因。