河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试 数学文科试卷
2021-2022学年河南省重点高中高三(上)阶段性数学试卷(文科)(二)(附详解)
2021-2022学年河南省重点高中高三（上）阶段性数学试卷（文科）（二）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−3<x<1}，B={x|x≥0}，则A∪B=()A. {x|0≤x<1}B. {x|x≥0}C. {x|−3<x<1}D. {x|x>−3}2.若复数z=2−i2+i，则z的虚部为()A. −45i B. 45i C. −45D. 353.命题“∀x>1，2x−1>0”的否定是()A. ∃x>1，2x−1≤0B. ∀x≤1，2x−1>0C. ∀x>1，2x−1≤0D. ∃x>1，2x−1>04.某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是()A. 甲成绩的中位数为32B. 乙成绩的极差为40C. 甲乙两人成绩的众数相等D. 甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数5.已知平面向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(2,y)，且a⃗//b⃗ ，则a⃗+2b⃗ =()A. (5,−6)B. (3,6)C. (5,4)D. (5,10)6.已知S n是等比数列{a n}前n项的和，若公比q=2，则a1+a3+a5S6=()A. 13B. 17C. 23D. 377.函数f(x)=sin(x+π3)+sinx的最大值为()A. 2B. √3C. 2√3D. 48. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. y =1−x 2B. y =x|x|C. y =e x −e −xD. y =lg(√x 2+1−x)9. 设l 是直线，α，β是两个不同的平面( )A. 若l//α，l//β，则 α//βB. 若l//α，l ⊥β，则α⊥βC. 若α⊥β，l ⊥α，则 l ⊥βD. 若α⊥β，l//α，则l ⊥β10. 已知定义在R 上的奇函数y =f(x)满足f(x +2)=−f(x)，若∀x 1，x 2∈[0,1]且x 1≠x 2时，都有x 1f(x 1)+x 2f(x 2)>x 2f(x 1)+x 1f(x 2)，则下列结论正确的是( )A. y =f(x)图象关于直线x =2020对称B. y =f(x)在[2019,2021]上为减函数C. y =f(x)图像关于点(2020,0)中心对称D. y =f(x)在[2020,2022]上为增函数11. 已知直线l ：y =kx 与圆C ：x 2+y 2−6x +5=0交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则k 的值为( )A. √147B. √142C. ±√142D. ±√14712. 已知函数f(x)=ae x −x 2(a ∈R)有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,4e 2)B. (0,2e )C. (0,2e 2)D. (0,4e )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={4+log 3x,x >043−2x ,x ≤0，则f[f(log 149)]=______． 14. 已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则(a+b)2cd的最小值是______．15. 已知曲线y =x +lnx 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1(a ≠0)相切，则a =______16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，若AD =DB =BC =CD =1，∠ADB =120°，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某科技公司研发了一项新产品A ，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价x(千元)和销售量y(千件)之间的一组数据如表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价x i 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量y i111086515(1)试根据1至5月份的数据，建立y 关于x 的回归直线方程；(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65千元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2．参考数据：∑x i 5i=1y i =392，∑x i 25i=1=502.5．18. 已知四棱锥P −ABCD 的底面为直角梯形，AB//CD ，∠DAB =90°，PA ⊥AD ，且PA =AB =2AD =2DC =2，PB =√2AB ． (Ⅰ)证明：平面PAC ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求四棱锥P −ABCD 的侧面积．19. 已知等差数列{a n }的前四项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }通项公式；(2)设b n =a n +2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20. 已知双曲线C ：x 2a 2−y2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的右顶点A 在圆O ：x 2+y 2=2上，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2． (1)求双曲线C 的标准方程；(2)动直线1与双曲线C 恰有1个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M 、N ，问：△OMN(O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值.求出该定值；若不为定值.试说明理由．21. 已知函数f(x)=1(x−1)2+aln(x +1)(a ∈R)．(1)设g(x)=f(x −1)，若g(x)在区间(1,2)上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若对任意x ∈(−1,1)，f(x)≥1，求实数a 的值．22. 已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα，其中t 为参数，α∈[0,π)，曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ，其中θ为参数．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)若α=π3，曲线C 1，C 2交于M ，N 两点，求|OM|⋅|ON|的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+2|x −1|．(1)当a =2时，解不等式f(x)≤4；(2)若存在x ∈[1,2]，使得不等式f(x)>x 2成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A={x|−3<x<1}，B={x|x≥0}，∴A∪B={x|−3<x<1}∪{x|x≥0}={x|x>−3}．故选：D．由已知直接利用并集运算得答案．本题考查并集及其运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=3−4i5=35−45i，∴复数2−i2+i 的虚部为−45．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为命题“∀x>1，2x−1>0”是全称命题，所以该命题的否定为特称命题，即为：“∃x>1，2x−1≤0”，故选：A．已知命题为全称命题，根据全称命题与特称命题的关系即可求解．本题考查了全称命题与特称命题的否定，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：对于A，将甲的成绩按照从小到大的顺序排列之后，最中间的数字为32，故A正确；对于B ，乙成绩的极差为52−10=42，故B 错误； 对于C ，甲的众数为32，乙的众数为42，故C 错误； 对于D ，x 甲−=11+22+23+24+32+32+33+41+529=30，x 乙−=10+22+31+32+35+42+42+50+529=3519，所以甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数，D 错误； 故选：A ．根据数字特征进行逐一计算，判断各个选项即可． 本题考查了茎叶图中的数字特征，属于基础题．5.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了向量共线定理和向量坐标运算，属于基础题． 利用向量共线定理和向量坐标运算即可得出． 【解答】 解：∵a ⃗ //b ⃗ ， ∴y −2×2=0， 解得y =4，∴a ⃗ +2b ⃗ =(1,2)+2(2,4)=(5,10)． 故选D ．6.【答案】A【解析】 【分析】本题考查等比数列的三项和与前6项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等比数列的通项公式和前n 项和公式直接求解． 【解答】解：∵S n 是等比数列{a n }的前n 项和，公比q =2，∴a 1+a 3+a 5S 6=a 1+a 1q 2+a 1q 4a 1(1−q 6)1−q=1+22+241−261−2=13．故选：A ．7.【答案】B【解析】解：f(x)=sin(x +π3)+sinx =12sinx +√32cosx +sinx =32sinx +√32cosx =√3(√32sinx +12cosx)=√3sin(x +π6)， 故函数的最大值为√3， 故选：B ．利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得函数的最值． 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的最值，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：解：对于A ，函数为偶函数，故选项A 错误；对于B ，函数y =x|x|={x 2,x ≥0−x 2,x <0，则函数在R 上为单调递增函数，故选项B 错误；对于C ，函数y =e x −e −x 为奇函数，因为y =e x 和y =−e −x 均为R 上的增函数，则函数为增函数，故选项C 错误；对于D ，函数y =lg(√x 2+1−x)为奇函数，函数可变形为y =√x 2+1+x ，因为t =√x 2+1+x为单调递减函数，而y =lgt 为单调递增函数，则f(x)为单调递减函数，故选项D 正确． 故选：D ．利用基本初等函数的性质，结合奇偶性的定义，函数单调性的判断方法，逐一分析判断即可．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断，判断函数奇偶性时要先判断函数的定义域是否关于原点对称，解题的关键是掌握基本初等函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题．根据直线与平面、平面与平面的位置关系对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A不正确；根据线面平行的性质可得：若l//α，经过l的平面与α的交线为m，则l//m，∵l⊥β，∴m⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理，可得α⊥β，故B正确；若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故C错误；若α⊥β，l//α，则有l//β或l⊂β或l与β相交，故D不正确．故选：B．10.【答案】C【解析】解：对于A，因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，则f(x+2)=−f(x)=f(−x)，故函数f(x)的对称轴为x=1，因为f(x+2)=−f(x)，所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，所以对称轴为x=1+4k(k∈Z)，则x=2020不满足x=1+4k(k∈Z)，故选项A错误；对于B，因为∀x1，x2∈[0,1]且x1≠x2时，都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2)，则x1[f(x1)−f(x2)]>x2[f(x1)−f(x2)]，所以(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，故函数f(x)在[0,1]上为单调递增函数，则函数f(x)在[4k,4k+1](k∈Z)上为单调递增函数，当k=505时，f(x)在[2020,2021]上为单调递增函数，故选项B错误；对于C，f(2020)=f(4×505+0)=f(0)，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，则f(2020)=0，所以y=f(x)图像关于点(2020,0)中心对称，故选项C正确；由f(x)的对称轴为x=1可得，f(x)在[1,2]上为单调递减函数，所以f(x)在[4k+1,4k+2](k∈Z)上为减函数，当k=505时，f(x)在区间[2021,2022]上为减函数，故选项D错误．故选：C．由题意，结合函数奇偶性、单调性、对称性以及周期性的定义，判断得到f(x)的单调性、周期性、对称性以及奇偶性，依次判断四个选项即可．本题以命题的真假判断为载体，考查了函数性质的综合应用，函数奇偶性、单调性、对称性以及周期性的判断与应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与转化化归思想，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由x2+y2−6x+5=0，得(x−3)2+y2=4，可得圆心C(3,0)，半径r=2，由△ABC为等腰直角三角形，得圆心到直线的距离d=√k2+1=√2，解得k=±√147．故选：D．由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由△ABC为等腰直角三角形，可得圆心到直线l的距离等于√2，由此列式求得k值．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】A【解析】解：令f(x)=ae x−x2=0，可得a=x2e x，若g(x)=x2e x ，则g′(x)=x(2−x)e x，∴当0<x<2时，g′(x)>0，g(x)递增；当x<0或x>2时，g′(x)<0，g(x)递减；∴g(x)有极小值g(0)=0，极大值g(2)=4e2，又x→−∞，g(x)→+∞；x→+∞，g(x)→0；可得g(x)图象如下：∴要使题设函数有三个不同零点，则g(x)与y=a有三个不同交点，∴0<a<4e2，∴实数a的取值范围(0,4e2)．故选：A．将问题转化为g(x)=x2e x与y=a有三个不同交点，利用导数研究g(x)的性质并画出图象，数形结合法判断a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的性质，由函数零点个数求参数取值范围的方法等知识，属于中等题．13.【答案】4【解析】解：∵log 149=−log 23=log 213∈(−2,−1)， ∴f(log 149)=f(log 2 13)=43−2log 213=43−13=1，∴f[f(log 149)]=f(1)=4+log 31=4，故答案为：4．根据分段函数的解析式，先求出f(log 149)的值，进而求得结论．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】4【解析】解：∵x 、a 、b 、y 成等差数列，∴a +b =x +y∵x 、c 、d 、y 成等比数列，∴cd =xy则(a+b)2cd=(x+y)2xy=y x+xy+2≥4(x >0,y >0)，故答案为4．由条件x >0，y >0已确保了基本不等式运用的前提，根据题目的条件将a 、b 、c 、d 转化成关于x 、y 的表达式(a+b)2cd=(x+y)2xy=y x+xy+2≥4(x >0,y >0)本题考查了函数的最值问题，利用基本不等式是我们常用的方法．15.【答案】8【解析】 【分析】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，求出切线方程，运用两线相切的性质是解题的关键．属于中档题．求出y =x +lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据Δ=0得到a 的值． 【解得】解：y =x +lnx 的导数为y′=1+1x ，曲线y =x +lnx 在x =1处的切线斜率为k =2，则曲线y =x +lnx 在x =1处的切线方程为y −1=2x −2，即y =2x −1． 由于切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切， 故由方程y =ax 2+(a +2)x +1和y =2x −1联立， 得ax 2+ax +2=0，又a ≠0，两线相切有一公共点， 所以有Δ=a 2−8a =0， 解得a =8． 故答案为8．16.【答案】133π【解析】解：如图所示，因为DB =BC =CD =1，所以△BCD 为等边三角形，取BD 中点M ，连接CM ，则△BCD 外接圆圆心在CM 上，且设为O 2，由正三角形性质可得，△BCD 外接圆半径r =CO 2=√33，则O 2M =√32−√33=√36，在△ABD 中，∠ADB =120°，AD =BD =1，所以AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos120°=3，即AB =√3， 由正弦定理得△ABD 外接圆半径r′=AB2sin∠ADB =√32×√32=1，设△ABD 外接圆圆心为O 1，则O 1A =O 1B =O 1D =r′=1， 所以四边形ADBO 1为菱形，过O 2作平面BCD 的垂线，过O 1作平面ADBO 1的垂线，两线交于点O ， 则O 为三棱锥的外接球的球心，连接O 1M ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD =BD ， CM ⊥BD ，O 1M ⊥BD ，所以四边形OO 1MO 2为矩形，则OO 1=MO 2=√36，所以三棱锥的外接球半径R =BO =√OO 12+BO 12=√1312，所以三棱锥的外接球的表面积S =4πR 2=13π3．故答案为：13π3．根据题意，分别找到等边△BCD 外接圆的圆心O 2和三角形△ABD 外接圆圆心O 1，即可找到三棱锥外接球球心，根据边长，即可求得外接球半径R ，代入公式，即可得答案． 本题主要考查球与多面体的切割问题，球的表面积的计算等知识，属于中等题．17.【答案】解：(1)由表可知，x −=15×(9+9.5+10+10.5+11)=10，y −=15×(11+10+8+6+5)=8，所以b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，a ̂=8−(−3.2)×10=40，故y 关于x 的回归直线方程为y ̂=−3.2x +40． (2)当x =8时，y ̂=−3.2×8+40=14.4， 因为|y ̂−y|=|14.4−15|=0.6<0.65， 所以可认为所得到的回归直线方程是理想的．【解析】(1)由表可知x −和y −的值，再根据b 和a ̂的参考公式，求得回归系数，得解； (2)把x =8代入(1)中所得回归方程，再计算|y ̂−y|的值，并与0.65比较大小，即可得解． 本题考查线性回归方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：由PA =AB =2，PB =√2AB =2√2，∴PA 2+AB 2=PB 2，∴AB ⊥PA ，又PA ⊥AD ，AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AP ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BC ，在直角梯形ABCD 中，由题意得AC =BC =√2， ∴AC 2+CB 2=AB 2，∴BC ⊥CA ，∵AP ∩AC =A ，AP 、AC ⊂平面APC ，∴BC ⊥平面APC ， ∵CB ⊂平面PCB ，∴平面PAC ⊥平面PBC ．(2)由(1)知PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形， 由题意得：S △PAD =12×PA ×AD =1，S △PAB =12×PA ×AB =2， S △PDC =12×PD ×CD =12×√5×1=√52，S △PBC =12×PC ×BC =12×√6×√2=√3，∴四棱锥P −ABCD 的侧面积为S =3+√3+√52．【解析】(1)推导出AB ⊥PA ，PA ⊥AD ，从而AP ⊥平面ABCD ，PA ⊥BC ，再推导出BC ⊥CA ，从而BC ⊥平面APC ，由此能证明平面PAC ⊥平面PBC ．(2)由PA ⊥平面ABCD ，四棱锥的三个侧面均为直角三角形，能求出四棱锥P −ABCD 的侧面积．本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意知{4a 1+6d =10(a 1+2d)2=(a 1+d)(a 1+6d)，解得a 1=−2，d =3，或a 1=52，d =0， 所以a n =3n −5，a n =52，(2)b n =3n −5+2n ，或b n =52+2n ， 当b n =3n −5+2n时，S n =n(−2+3n−5)2+1−2n 1−2=3n 2−7n2+2n −1，当b n =52+2n 时，S n =52n +2n −1．【解析】(1)利用等差数列的通项公式分别表示出前四项和与a 2，a 3，a 7等比数列关系组成方程组求得a 1和d ，最后根据等差数列的通项公式求得a n ．(2)把(1)中求得b n =3n −5+2n ，或b n =52+2n ，进而根据分组求和求得答案． 本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了对数列通项公式和求和公式等基本知识的灵活运用．20.【答案】解：(1)设双曲线C 的半焦距为c ，由点A(a,0)在圆O ：x 2+y 2=2上，可得a =√2，由AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −√2,0)⋅(c −√2,0)=2−c 2=−2，解得c =2，所以b 2=c 2−a 2=2， 故双曲线C 的标准方程x 22−y 22=1；(2)设直线l 与x 轴相交于点D ，双曲线C 的渐近线方程为y =±x ， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x =±√2，|OD|=√2，|MN|=2√2， 所以S △OMN =12⋅|MN|⋅|OD|=2；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，则k ≠0，D(−mk ,0)， 把直线l 的方程与C ：x 2−y 2=2联立可得，(k 2−1)x 2+2kmx +m 2+2=0， 由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点，且与双曲线C 的两条渐近线分别相交， 所以直线l 与双曲线的渐近线不平行，所以k 2−1≠0且m ≠0，所以{△=4k 2m 2−4(k 2−1)(m 2+2)=0k 2−1≠0，可得m 2=2(k 2−1)>0，解得k >1或k <−1，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =kx +my =x，解得y 1=m 1−k ， 同理可得y 2=m1+k ，所以S △OMN =12⋅|OD|⋅|y 1−y 2|=12⋅|m k |⋅|m 1−k −m 1+k| =|m 21−k 2|=2，综上所述，△OMN 的面积恒为定值2．【解析】本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于较难题．(1)利用点A 在圆O 上，求出a 的值，设双曲线C 的半焦距为c ，利用数量积的坐标表示结合AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，即可求出c 的值，由a ，b ，c 的关系求出b 的值，即可得到答案； (2)设直线l 与x 轴相交于点D ，当直线l 的斜率不存在时，求出三角形的面积；当l 的斜率存在时，设直线l 的方程，与双曲线方程联立，通过直线与双曲线的位置关系，得到m 与k的关系，然后联立直线l与渐近线方程，求出点M，N的纵坐标，由三角形的面积公式求解即可．21.【答案】解：(1)依题意，g(x)=1(x−2)2+alnx,g′(x)=−2(x−2)3+ax，∵g(x)在区间(1,2)上单调递增，∴g′(x)≥0，即−2(x−2)3+ax≥0，即a≥2x(x−2)3在(1,2)上恒成立，令ℎ(x)=2x(x−2)3，则ℎ′(x)=2(x−2)3−6x(x−2)2(x−2)6=2(x−2)−6x(x−2)4=−4x−4(x−2)4<0在(1,2)上恒成立，∴ℎ(x)在(1,2)上单调递减，则ℎ(x)<ℎ(1)=−2，∴a≥−2，即实数a的取值范围为[−2,+∞)；(2)f′(x)=−2(x−1)3+ax+1=a(x−1)3−2(x+1)(x+1)(x−1)3，∵x∈(−1,1)，∴(x+1)(x−1)3<0，令m(x)=a(x−1)3−2(x+1)，当a≥0时，由于x∈(−1,1)，于是m(x)<0，则f′(x)>0，f(x)在(−1,1)单调递增，又f(0)=1，所以当x∈(−1,0)时，f(x)<1，不满足题意；当a<0时，m(−1)=−8a，m(1)=−4，又m′(x)=3a(x−1)2−2<0，∴m(x)在(−1,1)单调递减，存在x0∈(−1,1)，使得m(x0)=0，且当x∈(−1,x0)时，m(x)>0，f′(x)<0，当x∈(x0,1)时，m(x)<0，f′(x)>0，∴f(x)在(−1,x0)单调递减，在(x0,1)单调递增，∴f(x)在(−1,1)有唯一的最小值点x0，又f(0)=1，要使得f(x)≥1恒成立，当且仅当x0=0，则f′(x0)=f′(0)=0，即−a−2= 0，解得a=−2，综上，实数a的值为−2．【解析】(1)求出g(x)的解析式，再对其求导，结合题意可将问题转化为a≥2x(x−2)3在(1,2)上恒成立，令ℎ(x)=2x(x−2)3，求出ℎ(x)在区间(1,2)上的最大值即可；(2)对函数f(x)求导，然后分a≥0及a<0讨论，然后利用导数转化求解即可．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)，曲线C 1的参数方程为{x =tcosαy =tsinα，其中t 为参数，α∈[0,π)，依题意，曲线C 1的普通方程为cosαy −sinαx =0； 即曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)； 曲线C 2的参数方程为{x =1+2cosθy =2sinθ，曲线C 2的普通方程为(x −1)2+y 2=4，即x 2+y 2−2x −3=0， 故曲线C 2的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．(2)将θ=π3代入曲线C 2的极坐标方程ρ2−2cosθ⋅ρ−3=0中， 可得ρ2−ρ−3=0，设上述方程的两根分别是ρ1，ρ2，则ρ1ρ2=−3，故|OM|⋅|ON|=|ρ1|⋅|ρ2|=3．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，23.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +2|+2|x −1|，当x ≤−2时，f(x)=−(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−3x ≤4，解得x ≥−43，结合x ≤−2，得不等式的解集为⌀；当−2<x ≤1时，f(x)=(x +2)−2(x −1)，不等式f(x)≤4化为−x +4≤4，解得x ≥0，结合−2<x ≤1，得0≤x ≤1；当x >1时，f(x)=(x +2)+2(x −1)，不等式f(x)≤4化为3x ≤4，解得x ≤43，结合x >1，得1<x ≤43；综上知，不等式f(x)≤4的解集为[0,43].(2)当1≤x ≤2时，f(x)=|x +a|+2|x −1|=|x +a|+2x −2， 不等式f(x)>x 2可化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义知，x +a >x 2−2x +2或x +a <−x 2+2x −2， 即存在x ∈[1,2]，使得a >x 2−3x +2，或a <−x 2+x −2． 即a >(x −32)2−14，或a <−(x −12)2−74， 由x =32时(x −32)2−14取得最小值−14；由x =1时−(x −12)2−74取得最大值为−2； 所以a >−14，或a <−2，所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(−14,+∞)．【解析】(1)a =2时f(x)=|x +2|+2|x −1|，利用分段讨论法求出不等式f(x)≤4的解集．(2)1≤x ≤2时f(x)=|x +a|+2x −2，不等式f(x)>x 2化为|x +a|>x 2−2x +2，由绝对值的定义化为关于a 的不等式，从而求得实数a 的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式成立的应用问题，是中档题．。
2021-2022年高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期中考试数学（文）试题 含答案(III)（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（56分）2．方程 的解是 ．3．函数sin cos ()sin cos 44xxf x x x ππ-=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期 . 4. 满足的锐角的集合为 . 5. 函数的反函数是 .6. 满足不等式的实数的集合为 . 7．在的二项展开式中，常数项等于 . 8. 函数的单调递增区间为 . 9．设等比数列的公比,且()135218lim ,3n n a a a a -→∞++++=班级 姓名 班级学号 考试学号则 . 210. 若()22,[1,)x x af x x x++=∈+∞的函数值总为正实数，则实数的取值范围为 .11. 函数的值域为 .12.随机抽取9个同学中，恰有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果用最简分数表示）. 答： 13.函数的最小值为 .014.已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 . 二、选择题（20分）15. 要得到函数的图像，须把的图像（ ）向左平移个单位 向右平移个单位 向左平移个单位 向右平移个单位16. 若函数为上的奇函数，且当时，则当时，有（ ）17. 对于任意实数，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间上的值出现的次数不小于次，又不多于次，则可以取……………………………（ B ）A. B. C. D.18．对任意两个非零的平面向量，定义,若平面向量与的夹角，且和都在集合中.则（ ）三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，在三棱锥中，⊥底面，是的中点，已知∠＝，，，，求：（1）三棱锥的体积；（6分）（2）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（6分）EDPCBA解：⑴122323,2ABCS=⨯⨯= …………2分 三棱锥的体积为1142323333ABCV SPA =⨯⨯=⨯⨯= ……… 6分 ⑵取中点连接则（或其补角）是异面直线与所成的角，……… 8分在中，2,2,DE AE AD ===222223cos ,2224ADE +-∠==⨯⨯所以异面直线与所成的角的大小为……… 12分20. (满分14分)如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解法一：如图，连结，………2分 由已知，122060A A ==，……4分 ，又12218012060A A B =-=∠， 是等边三角形，………6分 ， 由已知，，1121056045B A B =-=∠，………8分乙甲乙在中，由余弦定理，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-2220220=+-⨯⨯ ．．………12分因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． ………14分解法二：如图，连结，………2分由已知，122060A A ==，………4分 ，cos 45cos60sin 45sin 60=-，sin 45cos60cos 45sin 60=+．………6分在中，由余弦定理：22221221211122cos105A B A B A A A B A A =+-2220220=+-⨯乙甲．． ………8分由正弦定理：11121112222(13)2sin sin 210(13)A B A A B B A A A B +===+∠∠， ，即121604515B A B =-=∠， ………10分2(1cos15sin1054+==．在中，由已知，由余弦定理，22212112221222cos15B B A B AB A B AB =++22210(1210(14+=+-⨯+⨯．，………12分乙船的速度的大小为海里/小时．………14分 答：乙船每小时航行海里．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分）在平面直角坐标系O 中，直线与抛物线＝2相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线过点T （3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3, 此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3； ……… 2分当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中， 由得 2122606ky y k y y --=⇒=- ………6分又 ∵ ，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，………8分综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题； (2)逆命题是：设直线交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0). ………10分该命题是假命题. ………12分 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB 的方程为：，而T(3,0)不在直线AB 上；……… 14分说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).22. （本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分12分设函数2()|2|(,f x x x a x R a =+-∈为实数).(1)若为偶函数，求实数的值； (2)设，求函数的最小值. 解：(1)由已知 ………2分|2||2|,0x a x a a -=+=即解得.……… 4分(2)2212,2()12,2x x a x af x x x a x a ⎧+-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩， ………6分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =+-=+-+， 由得，从而，故在时单调递增，的最小值为；………10分 当时，22()2(1)(1)f x x x a x a =-+=-+-， 故当时，单调递增，当时，单调递减，则的最小值为；………14分由22(2)(1)044a a a ---=>，知的最小值为. ……… 16分23. (本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分) 已知函数的定义域是且,,当时,. (1)求证:是奇函数; (2)求在区间上的解析式;(3)是否存在正整数，使得当x ∈时,不等式有解?证明你的结论.23. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分） (1) 由得1(2)()(1)f x f x f x +=-=+, ----------------------3分由得, ----------------------4分 故是奇函数. ----------------------5分(2)当x ∈时,，. ----------------------7分 而)(1)(1)1(x f x f x f =--=-，. ----------------------11分（3）当x ∈Z)时,，………………………密封线…………………………………………密封线………， 因此123)2()(--=-=k x k x f x f .----------------------13分 不等式 即为，即. ----------------------14分 令，对称轴为，因此函数在上单调递增. ----------------------15分因为221111(2)(2)(2)42224g k k k k k k +=+-++=+-，又为正整数，所以，因此在上恒成立，----------------------17分 因此不存在正整数使不等式有解.----------------------18分32909 808D 肍> w25572 63E4 揤A24148 5E54 幔6n20491 500B 個i40499 9E33 鸳22000 55F0 嗰r^。
河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
河南省南阳市2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．已知平面向量a r ，b r 满足，1b =r ，则向量b r ）a rB ．-14arD共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，这位公公最年幼的儿子的岁数为（ ）A ．11B ．13C ．14D ．166．已知数列{}n a 为等比数列，,,,m t p q 均为正整数，设甲：m t p q a a a a =；乙：m t p q +=+，则（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件7．在锐角ABC V 中，已知()sin 22sin sin B A A C +=-，则A ，C 的大小关系为（ ）A ．C A >B ．C A=C ．C A<D ．无法确定8．已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①()()32226128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令()()3g x f x x =+，则下列说法错误的是（ ）A ．()g x 的图象关于1x =对称B ．()13f ¢=-C ．()320242024f =D ．()2202532025f =-´¢故32322(26128)(260()()128)g x x x x x x g x x -=-+-+-+--+=，则得()g x 的图象关于1x =对称，故A 正确；对于B ，由A 项已得()g x 的图象关于1x =对称，则(1)0g ¢=，由()()3g x f x x =+，可得()()23g x f x x ¢+¢=，则()()1133f g =-¢=-¢，故B 正确；对于C ，因()f x 为奇函数，故()()3g x f x x =+也是奇函数，图象关于(0,0)对称，因()g x 的图象关于1x =对称，故函数()g x 的周期为4|10|4T =-=，又()()3g x f x x =+，则()3(2024)(0)020242024g g f ===+，解得()320242024f =-，故C 错误；对于D ，因()()3g x f x x =+为奇函数，且周期为4，则()()23g x f x x ¢+¢=，由()()23g x f x x ¢¢-=-+，因()[()][()]()f x f x f x f x ¢¢¢¢-=--=--=，故()()g x g x ¢¢-=，即函数()()23g x f x x ¢+¢=为偶函数；由()()344(4)g x f x x +=+++，可得()()2443(4)g x f x x +=+++¢¢，因()()3g x f x x =+的周期为4，则()()4g x g x +=，求导得()4()g x g x +=¢¢，即函数()()23g x f x x ¢+¢=的周期为4.于是，2(2025)(1)0(2025)32025g g f ¢¢¢===+´，故得2(2025)32025f ¢=-´，即D 正确.故选：C.【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数与导函数的奇偶性，周期性，对称性等性质的应用，属于难题.18．(1)1a=2(2)①(]0,1；②证明见解析【分析】（1）求导，根据（2）①对a进行讨论，即数单调性，即可根据单调。
河南省南阳市2023届高三上学期期中文科数学试题含答案
2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合401x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}54B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.(](),14,-∞-+∞ B.()(),14,-∞-⋃+∞ C.()5,1-- D.(]5,1--【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =-<≤，{R 1A x x =≤-ð或}4x >，所以(){}R 51A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D.2.若2z i z i +=-=，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，,R x y ∈，由条件列方程求,x y ，再由复数的模的公式求z .【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，因为2z i z i +=-=，2=2=，所以0y =，23x =，所以z ==，故选：C.3.已知()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，则()2f =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，所以()()()()()()()22222lg5lg 20lg 2lg5lg 4lg 2l 5g5l g lg5lg g 2l 22f ⨯=⨯+++=⨯+=+⨯()()22lg 5lg 2lg101=+==.故选：A.4.已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B5.若x ，y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则2x y -的最小值是（）A.3-B.5- C.8 D.7-【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出可行域，令2z x y =-，即1122y x z =-，所以平移斜率为12的直线，12z -相当于在y 轴上的截距，找到使y 轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，令2z x y =-，即1122y x z =-，12z -相当于直线1122y x z =-在y 轴上的截距，平移直线12y x =，当直线过A 点时，截距最大，z 最小，联立203x y x -+=⎧⎨=⎩，可得()A 3,5，故在A 点时取得最优解，代入2z x y =-，可得7z =-.故选：D.6.已知：()1,2a =r，b = a b - 的最大值是（）A.B. C.+ D.-【答案】B 【解析】【分析】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r 可得a =得a b -=.【详解】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r ，得a == 所以a b -== ，因为0πθ≤≤，所以1cos θ1-＃，即52520cos 45θ≤-≤≤≤所以a b -的最大值为.故选：B.7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()1cos f x x x=+ B.()1sin f x x x =+C.()1cos f x x x=- D.()1sin f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性排除A ，C ，由函数在0x =处的变化趋势排除B ，得正确选项．【详解】由函数图像可知,函数()f x 为奇函数,对于A:()()()11cos cos f x x x f x x x-=-+=+≠---，()f x 不是奇函数排除A 选项；()()()11cos cos f x x x f x x x-=--=+≠--，()f x 不是奇函数排除C 选项；对于B ,当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，但()10,sin 0x f x x x→=+>排除B ；故选：D.8.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.6B.6- C.3D.36【答案】B 【解析】【分析】先由已知条件求出πsin 6α⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简计算可得答案.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πsin 63α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin6666αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132326-=⨯-⨯=，故选：B9.在ABC 中，30C =︒，b =，c x =.若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（）A.12B.32C.1D.【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理得到sin 2B x=，再分030B ︒<≤和30B ︒>两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出x 的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理sin sin b c B C =，即sin sin 30x B ︒=，所以sin 2B x=，因为ABC 只有一解，若30B ︒>，则90B ︒=，若030B ︒<≤显然满足题意，所以10sin 2B <£或sin 1B =，所以1022x <≤或12x =，解得x ≥或2x =；故选：D10.若将函数()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，与函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图像重合，则ϕ的一个可能取值为（）A.π3B.π3-C.2π3-D.4π3-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对()g x 的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，周期2πT ω=，函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，得函数πππ2sin 2sin 236y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，而()()()ππ2cos 22sin 22sin 222g x x x x ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意π2,2π,Z π26k k ωϕ=+=-∈，Z 2,π32πk k ϕ∴=-∈，令32ππ2π3k ϕ=-=，得1Z 2k =∉，故A 错误；令32ππ23πk ϕ=-=-，得1Z 6=∉k ，故B 错误；令2π2π332πk ϕ=-=-，得0Z k =∈，故C 正确；令32π34π2πk ϕ=-=-，得1Z 3=-∉k ，故D 错误.故选：C.11.已知函数()πe (cos ),0,2π1,,02x x a x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪--∈- ⎥⎪⎝⎦⎩在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥B.3a ≥ C.2a ≥ D.12a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】利用导数求解π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()e (cos )x f x x a =-，则()e (cos sin )0xf x x x a '=--≤所以πcos sin 4a x x x ⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因此1a ≥，要使()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则需要()()01201e cos0a a f a ≥⎧⇒≥⎨=-≥-⎩,故选：C12.已知：22π1tan 8π1tan 8a -=+，2b =，4log 3c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<b D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的公式求出22a =，然后借助指数函数的单调性得到2log 31.5232<=<=，即可得到a c <，构造函数()22xf x x =-，利用函数的单调性得到0>，整理后即可得到b c >.【详解】222222πππ1tan cos sin π888cos πππ421tan cos sin 888a --====++，2242log 3log 3log 3log 42c ===，∵2log 31.5232<=<=，2log 3<，则2log 322<，即a c <，设函数()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，∵()22412ln 22ln 4ln ln 0f '=-=-=<e e ，()21624ln 22ln 0f '=-=>e，且函数()f x '单调递增，∴()f x '只存在一个0x 使()00f x '=，且()01,2x ∈，当0x x <时，()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减，∴()102f f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，即22log 30log 222>⇒>⇒>，即b c >，所以a c b <<.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()sin ,sin cos cos ,sin cos ,x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭可得解.【详解】2023ππsin πsin 674πsin 3332⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，2023ππ1cos πcos 674πcos 3332⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得202320231πcos π332⎛⎫==⎪⎝⎭f .故答案为：12.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)cos c b A a -=，b =ABC 的外接圆面积为__________.【答案】9π【解析】【分析】在ABC)cos c b A a -=)sin sin cos sin C B A A -=利用π--C B A =消角可得cos 2B =，则角B可求，又b =，可利用正弦定理求ABC 的外接圆直径，ABC 的外接圆面积可求.【详解】 在ABC)cos c b A a -=，∴)sin sin cos sin C B A A -=，又π--C B A =，())sin sin cos sin B A B A A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin B A B A B A A +-=，sin sin B A A =，又在ABC 中sin 0A >，∴2cos 2B =.又 在ABC ，0πB <<，∴π4B =，∴ABC的外接圆直径=6sin 22b B ==，∴ABC 的外接圆的面积为9π.故答案为：9π.15.若()e e 1xx f x =+，则()2e 11ef x +-<的解集是______________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据题意求得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，结合()2e 11(1)ef f +==，把不等式转化为()1(1)f x f -<，得到11x -<，即可求解.【详解】由函数()e e 1xx f x =+，可得()()11e e e ex xx xf x f x ---=+=+=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，可得()e e0x xf x -'=+>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又由()2e 11(1)e f f +==，所以不等式()2e 11ef x +-<等价于()1(1)f x f -<，则满足11x -<，解得02x <<，即不等式的解集为()0,2.故答案为：()0,2.16.不等式()()222e 1a b a b m m -+--≥-对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[1,2]-【解析】【分析】设(,e ),(1,)a P a Q b b +，则可得22PQ m m ≥-，而,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，可求出PQ 的最小值，从而可解关于m 的不等式可得答案.【详解】由题意设(,e ),(1,)aP a Q b b +，则()()222e 1aPQ b a b =-+--，所以22PQ m m ≥-，因为,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，所以将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，切点到直线1y x =-的距离最小，此时PQ 最小，设切线为y x m =+，切点为00(,)x y ，则()x f x e =，得()e x f x '=，所以0e 1x =，得00x =，则01y =，所以PQ 的最小值为点(0,1)到直线1y x =-的距离d ，d ==，即PQ ，所以22m m ≥-，即220m m --≤，解得12m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[1,2]-，故答案为：[1,2]-【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为(,e ),(1,)a P a Q b b +，22PQ m m ≥-，进一步转化为曲线()x f x e =上的点和直线1y x =-的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .AB AC ⋅=- ，ABC 的面积等于3.（1）求A ；（2）求222b c a +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）23【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得tan A =，进而求解即可；（2）由（1）可得bc =，结合余弦定理可得222b c a +=-22221b c a a +=-，再根据基本不等式可得2222b c a bc +=-≥=2a ≥.【小问1详解】因为cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅=⋅=- 又1sin 32ABC S bc A ==△，两式相除得，tan A =又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知，cos bc A ⋅=-2π3A =，所以bc =，又2221cos 22b c a A bc +-==-，即222b c a +=-所以2222221b c a a a a+=--=，又因为2222b c a bc +=-=1423b c ==⨯时等号成立，所以2a ≥210a <≤，即214303a -≤-<，即2243113a≤-<，所以222b c a +的最小值为23.18.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，且{}n b 是以2为公比的等比数列.（1）证明：24n n a a +=；（2）若2122n n n c a a -=+，求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析（2）154n n c -=⋅，()5413n n S =-【解析】【分析】（1）先求得n b ，然后根据递推关系证得24n n a a +=.（2）先求得n c ，然后结合等比数列前n 项和公式求得n S .【小问1详解】依题意，11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，1b ==，且{}n b 是以2为公比的等比数列，所以11222n n nb --==，所以1212122n n n n a a --+==，则21122n n n a a +++=，两式相除得224,4n n n na a a a ++==.【小问2详解】由（1）知数列{}2n a 和数列{}21n a -都是公比为4的等比数列，所以1211222221142,42n n n n n n a a a a -----=⋅==⋅=，22211212222254n n n n n n c a a ----=+=+⨯=⨯，1154,4n n n nc c c ++=⨯=，所以数列{}n c 是首项为5，公比为4的等比数列，所以()()514541143n n n S -==--.19.已知函数()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈（2）11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，根据对称性求出ϕ，即可得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出2x 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭cos 211cos 23222x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=--22cos 2cos sin 2sin 11cos 233222x x x ππ-+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--13cos 2211cos 222222x x x --+-=--3cos 2sin 2144x x =++1cos 2sin 21222x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭sin 2123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,Z 1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k .【小问2详解】解：因为()()()33sin 212212323g x f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又()g x 的图像关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,Z 3k k ππϕπ++=∈，解得21,Z 32k k πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()()sin 21sin 2122g x x x π=++=-+，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2,12x ⎤∈⎥⎣⎦，所以()11,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()ln a f x x x x=+-，其中a ∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）450x y --=（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）先将2a =代入得到()f x 解析式，对()f x 求导可得切线的斜率，由()1f 得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；（2）将()f x 代入得到2ln 2a x x x x <+-，所以将对于任意()1,x ∈+∞都有()2f x >转化成了()2min ln 2<+-a x x x x ，构造函数()2ln 2g x x x x x =+-，对()g x 求导判断函数()g x 单调递增，从而得()()1g x g >，即得证.【小问1详解】当2a =时，由已知得()2ln =+-f x x x x ，故()2121=++'f x x x ，所以()11214f '=++=，又因为()21ln1111=+-=-f ，所以函数()f x 的图象在点()1,1-处的切线方程为()141+=-y x ，即450x y --=；【小问2详解】由()2f x >，()1,x ∈+∞，得2ln 2<-+a x x x x ，设函数()2ln 2g x x x x x =+-，()1,x ∈+∞，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-，因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->，故函数()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-，因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >成立，所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-．【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.21.数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21n n S n a n +=∈N.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；（2）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和53n T <.【答案】（1）32n a n =-（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，从而得到12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥，即可得到122(3)n n n a a a n --=+≥，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()1231n S n n =-，适当放大再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，*2(1)(N )n n S n a n =+∈①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =；当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，所以12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥④，由③④得122(3)n n n a a a n --=+≥，所以数列{}n a 为等差数列，所以公差21413d a a =-=-=，所以13(1)32n a n n =+-=-．【小问2详解】由（1）可得()3212n n n S -+=，所以，所以()1231n S n n =-，当1n =时，11513S =<，当2n ≥时，()122121211(13133(1)31()3n S n n n n n n n n ==⋅<⋅=----，12111n nT S S S =++⋯+211211211131232331n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 525333n =-<,综上53n T <.22.已知()21e 12x f x x x =---.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.【答案】（1）()f x 在R 上单调递增（2）见解析【解析】【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，（2）根据（1）的结论，分别求解M ，N ，即可作差求解大小.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ,()e 1xf x x '=--，令()()(),e 1xx f x x ϕϕ''==-，当()()0,0,x x x ϕϕ'>>单调递增，当()()0,0,x x x ϕϕ'<<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()e 10x f x x ¢=--³故函数()f x 在R 上单调递增【小问2详解】由（1）知()f x 在[]1,1x ∈-时，单调递增，且()00f =，故()()[]()(],0,1,1,0f x x y f x f x x ⎧∈⎪==⎨-∈-⎪⎩，所以()(){}max 1,1M f f =-，由于()()115111e 3e 0e 22ef f --=---=--<，所以()()11f f -<，故()51e 2M f ==-,而()51e 2e 2N f M '≥=->-=,因此M N <。
2021届河南省南阳市高三期中质量评估数学(文)试题(解析版)
2021届河南省南阳市高三期中质量评估数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,A y y x x ==+∈R ，{}2,xB y y x ==∈R ，则A B 等于（ ）A ．{}1,2B ．{}0,1C ．()0,∞+D ．()(){}0,1,1,2【答案】C【分析】求出集合,A B 中的元素，再由交集定义求解． 【详解】由已知{}1,A y y x x R ==+∈=R ，{}{}2,0(0,)x B y y x y y ==∈==+∞R ，所以(0,)A B =+∞．故选：C 2．已知11abi i=-+-，其中,a b 是实数，则复数a bi -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数相等的条件求得,a b ，从而可得结果. 【详解】由11abi i=-+-， 得()()()()1111a bi i b b i =-+-=-++，101b a b +=⎧∴⎨=-⎩，即2,1a b =-=-， ∴复数2a bi i -=-+在复平面内对应的点的坐标为()2,1-，位于第二象限，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念以及复数相等的性质，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．已知函数()f x 的定义域[]22-,，则函数()1f x -的定义域为（ ） A ．[]22-,B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]0,2【答案】B【分析】由1[2,2]x -∈-可得．【详解】由题意212x -≤-≤，解得13x -≤≤，所以(1)f x -的定义域是[1,3]-． 故选：B ．4．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】向量1a m =（，），32b m =-（，），//a b ，则32m m =-（），即2230m m --=，3m =或者-1，判断出即可．【详解】解：向量1a m =（，），32b m =-（,）， //a b ，则32mm =-（），即2230m m --=， 3m =或者-1，所以3m =是3m =或者1m =-的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.5．已知：数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若12024a =，且20202019320202019S S -=，则2021S =（ ） A ．212021⨯ B ．222021⨯C ．232021⨯D ．242021⨯【答案】D【分析】根据数列{}n a 为等差数列知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据通项公式即可求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，12024a =，20202019320202019S S -=， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1=20241S 为首项，3为公差的等差数列， 所以20211+20203=2024+20203=4202120211S S =⨯⨯⨯，所以2202142021S =⨯， 故选：D6．函数()y f x =的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．()1,3-为函数()y f x =的单调递增区间B ．()3,5为函数()y f x =的单调递减区间C ．函数()y f x =在5x =处取得极小值D ．函数()y f x =在0x =处取得极大值 【答案】D【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数()y f x =的导函数的图象可知： 当1x <-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当13x时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当35x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当5x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 单调递减区间为(,1),(3,5)-∞-，递增区间为(1,3),(5,)-+∞， 且函数()f x 在1x =-和5x =取得极小值，在3x =取得极大值， 故选D ．【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．7．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．若2cos b a A =，222a b c ab +-=，则下面式子中不可能成立的是（ ）A ．a c b <<B ．a b c ==C ．c b a <<D ．223sin sin sin sin 4B A A B +-=【答案】C【分析】由余弦定理求得C ，再由正弦定理化边为角，可得2B A =或2B A π+=，分类讨论求得,A B ，然后分析各选项成立的可能性．【详解】因为222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，而(0,)C π∈，所以3C π=，又2cos b a A =，由正弦定理得sin 2sin cos sin 2B A A A ==，,A B 是三角形内角，所以2B A =或2B A π+=，若2B A =，则由3C π=得，29A π=，49B π=，则a c b <<，A 可能成立， 若2B A π+=，则由3C π=得，3A B π==，则a b c ==，B 可能成立，此时若2c =则2222232cos 4a b ab C a b ab c +-=+-==，D 可能成立， 只有C 不可能成立． 故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，利用正弦定理进行边角转化，利用余弦定理求角是解题的一般方法，解题时要注意，由sin sin 2B A =时，结论是2B A =或2B A π+=，不能只得出2B A =，否则出错．8．已知：23log 2a =，42log 3b =，232c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】由换底公式和对数函数的性质可得112b a <<<，再由指数函数的性质可得102c <<，即可得解.【详解】23ln3ln12log =02ln 2ln 2a ==>，4212lnln2ln1323log =03ln 4ln 2ln 2b ====<，a b ∴>22223231log log 410,239222a c -⎛⎫⎛⎫<===< ⎪ ⎪⎭=⎝>⎭=⎝，b c a ∴<<，故选：A【点睛】方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.9．已知：AB 为圆：221x y +=上一动弦，且AB =点(P ，则PA PB⋅最大值为（ ） A ．12 B ．18C ．24D ．32【答案】C【分析】取AB 的中点为M ，把,PA PB 用PM 表示，根据弦中点性质得M 在以O 为圆心，2为半径的圆上，从而由P 到圆心距离加上圆半径可得PM 的最大值，于是可得结论．【详解】设AB 的中点为M ，则OM AB ⊥，OM =，∴M 在以O为半径的圆上，2221()()()()2PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA PM ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-，又PO ==，∴max22PM==， 2max492PM=， ∴PA PB ⋅的最大值为4912422-=． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取弦AB 中点M ，利用M 的轨迹是圆，把,PA PB 用PM 表示，求出PM 的最大值即可得结论，而由点P 到圆心的距离即可得最大值．10．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（ ） A ．4 B ．1-C ．23D ．6【答案】C【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；（2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-， 所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭； （3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C.【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解. 11．若函数()2sin ,0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是（ ） A ．()0,2 B ．3(0,]2C ．3[,2)2D ．[2,)+∞【答案】C【解析】函数2sin ,(0)y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-，但最大值不是2，则x ω[-,],-,343242ωπωπωππωππ∈∴≤-<⇒ω的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．已知函数()2ln f x x ax x =-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0,1 B ．(),1-∞C ．0,D ．11,e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【分析】分离参数，求函数的导数，根据函数有两个零点可知函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意得2ln x xa x +=有两个零点 2431(1)(ln (2)12ln x x x x x x x a x x +-+-='-=） 令()12ln (0)g x x x x =--> , 则2()10g x x'=--<且(1)0g = 所以(0,1),()0,0x g x a ∈>'>，2ln x xa x+=在(0,1)上为增函数， 可得),(1a ∈-∞，当(1,),()0,0x g x a ∈+∞<<'，2ln x xa x+=在(1,)+∞上单调递减， 可得(0,1)∈a ， 即要2ln x xa x+=有两个零点有两个零点，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．已知平面向量α，β，1α=，(1,3β=，()2ααβ⊥-，则2αβ+的值是______．【分析】根据向量垂直向量数量积等于0，解得α·β＝12，再利用向量模的求法，将式子平方即可求解.【详解】由()2ααβ⊥-得()2220ααβααβ⋅-=-⋅=， 所以12αβ⋅=， 所以22224+4=10αβαβαβ+=+⋅所以2αβ+=.14．已知：等比数列{}n a 的前n 项和23nn S a =⋅-，则5a =______．【答案】48【分析】由n S 求出n a ，结合等比数列求得a 值，从而可得5a ．【详解】由题意2n ≥时，11123(23)2n n n n n n a S S a a a ---=-=⋅--⋅-=⋅，又1123a S a ==-，{}n a 是等比数列，所以32222223a a aa a a ===-．解得3a =． 所以453248a =⨯=． 故答案为：48．【点睛】易错点睛：由前n 项和n S 求n a 时，要注意1n n n a S S -=-中有2n ≥，不包括1a ，而11a S =，解题时要注意，否则易出错． 15．若函数()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．【答案】π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由x 的范围求出26x π+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．【详解】0,3a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 由题意23623862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03746aa π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得7624a ππ≤<．故答案为：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．16．已知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,e]-∞-【分析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnx g x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围．【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①， ∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②， ∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2．∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnxx+≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnxx +≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=，令g '（x ）＝0，则x 1e =，∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增，∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ， ∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]． 故答案为：（﹣∞，﹣e ]．【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，122nn n a a +=-+．（1）判断数列{}2nn a +是否为等差数列，并说明理由；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）n S 21222n n n +=+-+. 【分析】（1）判断差()()1122n n n na a+++-+是否是常数可得．（2）由（1）可得n a ，然后用分组求和法计算出n S ．【详解】解：（1）由122n n n a a +=-+可得：()()11222n nn na a +++-+=， 又11a =，所以123a +=， 故数列{}2nn a +是首项为3，公差为2等差数列．（2）由（1）可知：212nn a n =+-，所以()()35212482nn S n =++⋅⋅⋅++-+++⋅⋅⋅+21222n nn +=+-+．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的通项公式，考查分组求和法．设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 用错位相减法求和，数列11{}n n a a +用裂项相消法求和，{}n n a b +用分组（并项）求和法求和．另外还有倒序相加法．要求数列满足12132n n n a a a a a a --+=+=+=．18．如图，在四边形ABCD 中，π3DAB ∠=，:2:3AD AB =，7BD =，AB BC ⊥．（1）求sin ABD ∠的值； （2）若2π3BCD ∠=，求CD 的长． 【答案】（1）217；（243. 【分析】（1）设2AD k =，3AB k =，由余弦定理求出AD ，AB ，再由正弦定理能求出sin ABD ∠；（2）由AB BC ⊥可得cos sin DBC ABD ∠=∠，由此可得sin DBC ∠，再利用正弦定理能求出CD ．【详解】解：（1）因为:2:3AD BD =， 所以可设2AD k =，3AB k =，0k >．又7BD =π3DAB ∠=， 所以由余弦定理，得()()222π732232cos3k k k k =+-⨯⨯，解得1k =, 所以2AD =，3AB =，32sin 212sin 77AD DABABD BD∠∠===．（2）因为AB BC ⊥， 所以21cos sin DBC ABD ∠=∠=所以27sin DBC ∠=因为sin sin BD CDBCD DBC=∠∠，所以3CD==．19．已知数列{}n a是首项为2的等差数列，数列{}n b是公比为2的等比数列，且数列{}n na b⋅的前n项和为()12nnS n n+*=⋅∈N.（1）求数列{}n a、{}n b的通项公式；（2）若111c a b=，当2n≥时，1n n n nc c a b--=⋅，求数列{}n c的通项n c．【答案】（1）()1na n n*=+∈N，()2nnb n*=∈N；（2）12nnc n+=⋅.【分析】（1）设数列{}n a的公差为d，根据题意可得出1b、d的值，进而可求得数列{}na、{}n b的通项公式；（2）求得()112nn nc c n--=+⋅，利用累加法可求得数列{}n c的通项公式.【详解】（1）设数列{}n a的公差为d，则()21na n d=+-，112nnb b-=⋅，则211112124S a b b===⨯=，求得12b=，2nnb∴=．而322216S=⨯=，即()112242416a b a b d+=++⨯=，解得1d=．211na n n∴=+-=+,所以，数列{}n a的通项公式为()1na n n*=+∈N，数列{}n b的通项公式为()2nnb n*=∈N；（2）当2n≥时，1n n n nc c a b--=⋅，故()()()()11223211122 n n n n n n n n n nc c c c c c c c a b a b a b--------+-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+，可得，1122n n nc a b a b a b=++⋅⋅⋅+，故12nn nc S n+==⋅．【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11na a n d+-=或11nna a q-=进行求解；（2）前n项和法：根据11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 20．已知函数()2f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求方程()4ln f x x x =根的个数．【答案】（1）()223f x x x =--；（2）有且只有一个根.【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求； （2）将问题转化为求方程34ln 20x x x---=根的数目，构造新函数()34ln 2g x x x x=---，利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程()4ln f x x x =根的个数可确定.【详解】解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3． ∴()()1313a b ⎧-=-+⎪⎨=-⨯⎪⎩．即2a =-，3b =-，故函数()f x 的解析式为()223f x x x =--．（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x--=-=---，∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()2213341x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，得11x =，23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：当03x <≤时，()()140g x g ≤=-<，当3x >时，()55553e e 202212290eg =--->--=>． 又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点， 故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根． 【点睛】思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路： （1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定.21．在ABC 中，角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c ．sin A 、sin B 、sin C 成等比数列．（1）若2c a =，求cos B 的值；（2）当B 取得最大值时，求证：A 、B 、C 成等差数列． 【答案】（1）34；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，再结合正弦定理得到2b ac =，再根据2c a =利用余弦定理求解.（2）由22222cos 22a c b a c ac B ac ac+-+-==，利用基本不等式结合函数cos y x =在()0,π上的单调性，求得max π3B =，再利用等差中项证明. 【详解】（1）因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以2sin sin sin B A C =⋅， 由正弦定理得2b ac =，又因为2c a =，故b =．所以2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===． （2）因为2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=，当且仅当a c =时，取等号，又函数cos y x =在()0,π上是单调递减， 所以max π3B =， 又因为πA B C ++=， 所以2π23A CB +==， 即A 、B 、C 成等差数列．22．已知函数()22ln f x x ax a x =-+（a ∈R ）．（1）若()f x 在区间[]1,2上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）若存在[]01,x e ∈，使得()()0020f x a x +-≥成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤或83a ≥；（2）()e e 2,e 1-⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦.【分析】（1）转化条件为2221x a x ≤-或2220x ax a -+≤在[]1,2上恒成立，运算可得解；（2）转化条件为22ln -≤-x x a x x在区间[]1,e 上有解，结合导数确定22ln x xx x --在[]1,e 上的最大值即可得解.【详解】（1）由题意，()22222a x ax af x x a x x-+'=-+=，若()f x 在区间[]1,2上是单调增加，则()0f x '≥即2221xa x ≤-在[]1,2上恒成立，设()()222111212221x x g x x x -==++--，易得()()min 12g x g ==， 故2a ≤；若()f x 在区间[]1,2上是单调减少，则()0f x '≤，即2220x ax a -+≤在[]1,2上恒成立，故只须222222021210a a a a ⎧⨯-⨯+≤⎨⨯-⨯+≤⎩，解得83a ≥， 综上，2a ≤或83a ≥； （2）由题意知，不等式()()0020f x a x +-≥在区间[]1,e 上有解， 即()22ln 0x x a x x -+-≥在区间[]1,e 上有解，因为当[]1,e x ∈时，ln 1x x ≤≤（不同时取等号），ln 0x x ->，所以22ln -≤-x x a x x在区间[]1,e 上有解，令()22ln x x h x x x -=-，则()()()()2122ln ln x x x h x x x -+-'=-， 因为[]1,e x ∈，所以222ln x x +>≥，所以()0h x '≥，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以[]1,e x ∈时，()()()max e e 2e e 1h x h -==-，所以()e e 2e 1a -≤-，所以实数a 的取值范围是()e e 2,e 1-⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将有解问题转化为求函数最值的问题，结合导数即可得解.。
2021-2022学年河南省高三(上)段考数学试卷(文科)(三)(解析版)
2021-2022学年河南省高三（上）段考数学试卷（文科）（三）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x＜5，x∈N}，B＝{0，2，3，5}，则A∪B＝（）A．{0，2，3}B．{﹣1，0，1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5}D．{﹣1，0，1，2，3，4，5}2．“x2+x﹣2＝0”是“x＝﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若幂函数在（0，+∞）上单调递增，则a＝（）A．1B．6C．2D．﹣14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3+a7＝14，则S9＝（）A．20B．35C．45D．635．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝xe x﹣x2﹣2x﹣1的极大值为（）A．﹣1B．C．ln2D．﹣（ln2）2﹣1 7．设函数则不等式f（x）≤2的解集为（）A．[0，3]B．（﹣∞，3]C．[0，+∞）D．[0，1]∪[3，+∞）8．设p：∀x∈[2，3]，kx＞1，q：∃x∈R，x2+x+k≤0．若p或q为真，p且q为假，则k的取值范围为（）A．B．C．D．9．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；…．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（）A．B．C．D．10．O是△ABC所在平面内一点，动点P满足（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心B．重心C．外心D．垂心11．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（1）＝2021，当x≥0时，f′（x）≥6x恒成立，则不等式f（x）＞3x2+2018的解集为（）A．（﹣1，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．设a＝ln1.2，b＝2ln1.1，c＝﹣1，则（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量＝（﹣4，x），＝（3，2）．若⊥，则||＝．14．已知x，y满足，则z＝3x﹣y的最大值为．15．已知函数图象的一条对称轴方程为x＝，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为，则φ＝．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin A＝，a＝5，则△ABC的面积为，其内切圆的半径为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＜b＜c，cos B＝，cos（2A+C）＝﹣．（1）求sin（A+C）的值；（2）求sin2A的值．18．已知数列{a n}满足a1＝4，a n+1＝2a n+2n+1（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n．（1）证明：数列是等差数列．（2）求S n．19．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂家的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足关系式（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1.5万件．已知生产该产品的固定年投入为10万元，每生产1万件该产品需要再投入25万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（2）该厂家年利润的最大值为多少？20．已知函数f（x）＝（x＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时，求曲线y＝f（x）过点（2，0）的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC＝2，∠BAC＝，．（1）求cos∠PBC．（2）若点M在线段PB上，记△ACM的周长为l，证明：l＞5．22．已知函数f（x）＝（ax﹣1）lnx﹣（2a﹣）x+ea．（1）当a＞0时，证明：f（x）≥0；（2）若f（x）在（e，e2）上单调递增，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2021-2022年高三上学期期中联考文科数学含解析
2021-2022年高三上学期期中联考文科数学含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则为( )A. B. C. D.2.设，则是的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知函数，则( )A.4 B． C．一4 D．【答案】B【解析】4.设平面向量，，则 ( )A ．B ．C . D.5.已知数列的前n 项和为，且，则等于( )A ．-10B ．6C ．10D ．146.函数的图像可能是( )【答案】B【解析】试题分析：因为函数()()ln ln x x x x f x f x x x---==-=--，所以函数是奇函数，排除选项A 和选项C.当时，在区间是增函数，所以选B.考点：1.分段函数的图像与性质；2.函数奇偶性的判断；3.对数函数的图像与性质7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象( )A. 向左平移个单位 B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位8.已知两点，向量，若，则实数的值为( )A. -2 B．﹣l C．1 D .29.等差数列公差为2，若，，成等比数列，则等于( )A．-4 B．-6 C．-8 D．-10 【答案】B【解析】试题分析：由已知得，解得，所以.考点：1.等比数列的性质；2.等差数列的性质10.设，，，则( )A. c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD. a>b>c11.在△ABC中，若，，此三角形面积，则a的值是( )A. B．75 C．51 D. 4912.设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程根的个数为( ) A．12 B．1 6 C．18 D．20【答案】C第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.设集合()(){}|320M x x x =+-<，，则_________.【答案】【解析】14.设是定义在R上的奇函数，当时，，则_________.15.在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式__________．16.对函数，现有下列命题：①函数是偶函数；②函数的最小正周期是；③点是函数的图象的一个对称中心；④函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.其中是真命题的是______________________.【答案】①④【解析】三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）命题p：关于x的不等式，对一切恒成立；命题q：函是增函数．若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【答案】【解析】试题分析：先根据不等式恒成立问题以及二次函数的图像与性质求出为真时的的取值范围，再根据指数函数的图像与性质求出为真时的的取值范围.根据已知条件“或为真，且为假”可知，，一真一假，那么分别求出“真假”和“假真”情况下的的取值范围，两种情况下的的取值范围取并集即可.试题解析：为真：，解得； ------------2分为真：，解得. ------------4分18.（本小题满分12分）已知二次函数,且的解集是（-1，5）．(l)求实数a，c的值；(2)求函数在上的值域．试题解析：（1）由，得：，不等式的解集是，故方程的两根是，…………………3分所以，，所以. …………………6分19.（本小题满分12分）设函数2()2cos 3sin 2f x x x =+．(l)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调递增区间．∴函数的最小正周期是. …………6分20.（本小题满分12分）已知数列是等比数列，首项.(l)求数列的通项公式； (2)设数列，证明数列是等差数列并求前n 项和.得， …………………..2分. …………………..4分（2）由， …………………..6分因为)2(2lg 2lg )1(2lg 1≥=--=--n n n b b n n ，所以是以为首项，以为公差的等差数列. …………………..9分所以 . …………………..12分考点：1.等比数列的前项和；2.等差数列的前项和；3.等比数列的性质；4.等差数列的性质；5.对数及对数运算21.（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且.(1)求A的大小；(2)若，试求△ABC的面积．22.（本小题满分14分）已知函数. (l)求的单调区间和极值；(2)若对任意23(0,),()2x mxx f x-+-∈+∞≥恒成立，求实数m的最大值．(2) ，即 ，又， ， …………………..8分令 ，()()()222222ln 3'2ln 3'23'x x x x x x x x x x h x x x ⋅++⋅-⋅++⋅+-== ， ………………….10分31570 7B52 筒20407 4FB7 侷|zT R /31123 7993 禓37290 91AA 醪34333 861D 蘝Z23255 5AD7 嫗36035 8CC3 賃。
河南省南阳市2021届第一学期高三期中考试 数学(文) 含答案
河南省南阳市2021届高三第一学期期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I 卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合A ＝{y|y ＝x ＋1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于A.{1，2}B.{0，1}C.(0，＋∞)D.{(0，1)，(1，2)}2、已知：1a i−＝－1＋bi ，其中a ，b ∈R ，则复数a －bi 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知函数f(x)的定义域[－2，2]，则函数f(x －1)的定义域为A.[－2，2]B.[－1，3]C.[－3，1]D.[0，2]4、已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(3，m －2)，则m ＝3是a//b 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件5.已知：数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和。
若a 1＝2024，且2020201920202019S S −＝3，则S 2021＝A.1×20212B.2×20212C.3×20212D.4×202126、函数y ＝f(x)导函数的图像如图所示，则下列说法错误．．的是A.(－1，3)为函数y ＝f(x)的递增区间B.(3，5)为函数y ＝f(x)的递减区间C.函数y ＝f(x)在x ＝0处取得极大值D.函数y ＝f(x)在x ＝5处取得极小值7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c.若b ＝2acosA ，a 2＋b 2－c 2＝ab ，则下面式子中不可能成立的是A.a<c<bB.a ＝b ＝cC.c<b<aD.sin 2B ＋sin 2A －sinAsinB ＝34 8、已知：a ＝log 232，b ＝log 423，c ＝(32)－2，则a ，b ，c 的大小关系是 A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b9、已知：AB 为圆：x 2＋y 2＝1上一动弦，且|AB|＝2，点P(23，6)，则PA PB ⋅最大值为A.12B.18C.24D.3210、如果函数f(x)＝(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＋1(其中b －a ≥2)在[1，2]上单调递减，则3a ＋2b 的最大值为A.4B.－1C.不存在D.611、若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－3π，4π]上的最小值是－2，但最大值不是2，则ω的取值范围是A.(0，2)B.[32，2)C.(0，32] D.[2，＋∞) 12、已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋x 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.(0，1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.(1，1e )第II 卷 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(13)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是 。
2021年11月河南省南阳市普通高中2022届高三上学期11月期中考试数学(文)试卷无答案
交于 点 犃 （狓１，狔１）、犅（狓２，狔２），现 给 出 下 述 结 论：①狓１ ＋狓２ ＝２；
②犲狓１ ＋犲狓２ ＞２犲；③狓１ｌｎ狓２＋狓２ｌｎ狓１＜０；④狓１狓２＞槡２犲．则 其 中 正 确 的
结论序号是
．
三 、解 答 题 （本 大 题 共 ６ 小 题 ，共 ７０ 分 ．解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）
围内？
２２．（本 小 题 满 分 １２ 分 ） 已 知 函 数 犳（狓）＝犲狓 －犪（狓＋２）． （１）当 犪＝１ 时 ，讨 论 犳（狓）的 单 调 性 ； （２）若犳（狓）有两个零点，求实数犪 的取值范围．
高三数学 （文 ） 第４页 （共４页 ）
2021年11月河南省南阳市普通高中2022届高三上学期11月期中考试数学（文）试卷
是符合题目要求的）
１．已知集合 犃＝｛狓∈犖｜狓２－３狓－４＜０｝，则集合 犃 的真子集有
Ａ．７ 个 Ｂ．８ 个 Ｃ．１５ 个 Ｄ．１６ 个
２．设犻狕＝４＋３犻，则狕＝
Ａ．－３－４犻
Ｂ．－３＋４犻
Ｃ．３－４犻
Ｄ．３＋４犻
３．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数 列”：１，１，２，３，５，８，
１１．设函数犳（狓）＝ｓｉｎ（ω狓＋５π）（ω＞０），已知犳（狓）在 ［０，２π］上有且仅有５个零点．下述 四个结论：
①犳（狓）在 （０，２π）上 有 且 仅 有 ３ 个 极 大 值 点 ； ②犳（狓）在 （０，２π）上 有 且 仅 有 ２ 个 极 小 值 点 ；
③犳（狓）在 （０，１π０）上 单 调 递 增 ；
２０２１年秋期高中三年级期中质量评估
数 学 试 题（文）
2021-2022年高三上学期期终考试数学文试题 含答案
2021年高三上学期期终考试数学文试题含答案考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数的最小正周期为．2．已知集合，，则．3．若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为．4．若数列的通项公式为，则．5．若双曲线的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_________．6．已知，，则的值为Array．7．已知直线：和：，则∥的充要条件是= ．8．的展开式中的系数是（用数字作答）．9．执行右边的程序框图，若，则输出的S = ．10．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．（第9题图）D 1C 1A 111．已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是 ．12．已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x 的不等式的解集是 ．13．已知抛物线上一点(m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为 ． 14．已知命题“若，，则集合1{|()(),1}2x f x g x x <≤≤=∅” 是假命题，则实数的取值范围是 ．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．在四边形ABCD 中，，且·＝0，则四边形ABCD 是 （ ）A ．菱形B ．矩形C ．直角梯形D ．等腰梯形16．已知且C ，则（i 为虚数单位）的最小值是 （ ）A ．B ．C ．D ．17．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ ） A ．24B ．48C ．144D ．28818．若是R 上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增； ④在上单调递增．其中正确结论的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的 中点．NPMDCBA（1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．在△ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c ，且A , B , C 成等差数列． （1）若，且，求的值； （2）若，求的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，是一个矩形花坛，其中AB = 6米，AD = 4米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B 在上，D 在上，对角线过C 点， 且矩形的面积小于150平方米． （1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．给定椭圆：，称圆心在原点O 、半径是的圆为椭圆C 的“准圆”．已知椭圆C 的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F 的距离为． （1）求椭圆C 和其“准圆”的方程；（2）过椭圆C 的“准圆”与轴正半轴的交点P 作直线，使得与椭圆C 都只有一个交点，求的方程；（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”．设函数的定义域为，且．（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①与；②与．E ABCD A 1B 1C 1D 1F黄浦区xx 第一学期高三年级期终考试数学试卷（文科）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．； 2．； 3．2； 4．； 5．4 6．； 7．3； 8．36； 9．81； 10．； 11． 12．； 13．； 14．．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A 16．D 17．C 18．B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）在正方体中， ∵是的中点，∴， ………………3分 又平面，即平面， 故11111333E CDFCDF V S CE -∆=⋅=⋅⋅=， 所以三棱锥的体积为．………………6分 （2）连，由、分别为线段、的中点，可得∥，故即为异面直线与所成的角． ………………… 8分 ∵平面，平面，∴， 在△中，，， ∴，∴ ．所以异面直线EF 与所成的角为． ………………………… 12分20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）A 、B 、C 成等差数列，∴又，∴， …………………………2分 由得，，∴ ① ………………………4分 又由余弦定理得NPMDCBA∴，∴ ② ………………………6分由①、②得， ……………………………………8分 （2）sin sin cos AM A A A-……………………………………11分由（1）得，∴， 由且，可得故， 所以，即的取值范围为． …………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分． 解：（1）由△NDC ∽△NAM ，可得， ∴，即，……………………3分 故， ………………………5分 由且，可得，解得，故所求函数的解析式为，定义域为． …………………………………8分 （2）令，则由，可得，故2266(4)166(8)4x t S t x t t+===++- …………………………10分， …………………………12分 当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为（平方米）…………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C 的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分 （2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C 只有一个交点，则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 ………………6分 ，即，由22(12)36(31)0k k ∆=-+=，解得， ………………8分 所以直线的方程为，的方程为，或直线的方程为，的方程为． ………………10分 （3）由题意，可设，则有，又A 点坐标为，故(2,),(2,)AB m n AD m n =-=--， ………………12分故2222(2)44(1)3m AB AD m n m m ⋅=--=-+--2244343()332m m m =-+=-, …………………………14分 又，故，所以的取值范围是． …………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．解：（1）由题意知恒成立，令， 可得，∴数列是公差为1的等差数列， 故，又，故． ………………………………3分 （2）当时，，令，可得，由可得，即时，， …………………………………4分 可知在上的取值范围是． 又是的一个“P 数对”，故恒成立， 当时，，…， …………………………………6分 故当为奇数时，的取值范围是；当为偶数时，的取值范围是． ……………………………8分 由此可得在上的最大值为，最小值为．………………10分 （3）由是的一个“P 数对”，可知恒成立， 即恒成立， 令，可得， …………………12分 即，又，∴是一个等比数列，∴，所以． …………………………………15分 当时，由是增函数，故，又12222222n n x --+>⨯+=+，故有．…………………………………18分。
2021-2022学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(文科)(学生版+解析版)
2021-2022学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）复数z =2i1+i ，则z 的模为（ ） A ．1﹣iB ．1+iC ．√2D ．22．（5分）已知集合A ＝{（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝{y |y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（5分）设有下面四个命题： p 1：∃x 0∈（0，+∞），x 0+1x 0＞3； p 2：x ∈R ，“x ＞1是“x ＞2”的充分不必要条件； p 3：命题“若x ﹣312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题． 其中为真命题的是（ ） A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 1，p 34．（5分）向量|a →|＝2，|b →|＝1，a →，b →的夹角为120°，则a →•（a →−b →）＝（ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．（5分）函数f （x ）＝ln （x −1x ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）正项数列{a n }的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，都有4S n ＝a n 2+2a n ，则数列{（﹣1）n a n }的前2022项的和等于（ ） A ．﹣2021B ．2021C ．﹣2022D ．20227．（5分）如图，某三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．25πB ．50πC ．1253π D ．252π8．（5分）战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：（1）从各自上、中、下三等级马中各出一匹马； （2）每匹马参加且只参加一次比赛；（3）三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者．已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌赢得比赛的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．169．（5分）设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x 2+y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√510．（5分）{b n }为正项等比数列，b 1＝1．等差数列{a n }的首项a 1＝2，且有a 2＝b 3，a 4＝b 4．记c n =a nb n，数列{c n }的前n 项和为S n ．∀n ∈N *，k ≤S n 恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．111．（5分）已知f （x ）＝2sin x2cos x2+2√3cos 2x2−√3，若|f （x ）﹣m |≤3对任意x ∈[−5π6，π6]恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[−12，12]C ．[0，12]D ．[0，1]12．（5分）如果直线l 与两条曲线都相切，则称l 为这两条曲线的公切线．如果曲线C 1：y ＝lnx 和曲线C 2：y =x−ax （x ＞0）有且仅有两条公切线，那么常数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（0，1）C ．（1，e ）D ．（e ，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知实数x ，y 满足x 2+y 2＝4，则y+4x+2的最小值为 ．14．（5分）给出下列四种说法：①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），⋯，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1，x 2，⋯，x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）（i ＝1，2，⋯，n ）都在直线y =−12x +1上，则这组样本数据的线性相关系数为−12； ③回归直线y ＝bx +a 必经过点(x ，y)；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，由独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说若有100人吸烟，那么其中有99人患肺病． 其中错误结论的编号是 ．15．（5分）已知函数f(x)=xlnx +12mx 2有两个极值点，则实数m 的取值范围为 ． 16．（5分）如图所示，三棱锥A ﹣BCD 中，∠BAC ＝∠BCA ，∠DCA ＝∠DAC ，AB +AD =54BD ＝5AC ＝10√2，则三棱锥A ﹣BCD 体积的最大值为 ．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：60分．17．（12分）某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85，115）为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B 配方废品有6件． A 配方的频数分布表 质量指标值分组[75，85） [85，95） [95，105） [105，115） [115，125）频数8 a 36 24 8（1）求a ，b 的值；（2）试确定A 配方和B 配方哪一种好？（说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）18．（12分）如图①，在平面五边形SBCDA 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝2BC ＝2AB ，将△SAB 沿AB 折起到P 的位置，使得平面P AB ⊥底面ABCD ，如图②，且E 为PD 的中点． （Ⅰ）求证：CE ∥平面P AB ；（Ⅱ）若P A ＝PB ＝6，AB ＝4，求三棱锥A ﹣BCE 的体积．19．（12分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知点（a ，b ）在直线x （sin A ﹣sin B ）+y sin B ＝c sin C 上 （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形且满足m tanC=1tanA+1tanB，求实数m 的最小值．20．（12分）已知O 为坐标原点，椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，离心率为√32．动直线l ：y =1m (x −1)与Γ相交于B ，C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B '，点B '到Γ的两焦点的距离之和为4． （1）求Γ的标准方程；（2）若直线B 'C 与x 轴交于点M ，△OAC ，△AMC 的面积分别为S 1，S 2，问S 1S 2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+e x（lnx﹣x）+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若对∀x∈（0，+∞），f（x）≤ae x恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分。
2021-2022年高三(上)期中数学试卷(文科)
2021-2022年高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x||x﹣3|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B={4} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，解|x﹣3|≤1可得2≤x≤4，即可得集合A，解x2﹣5x+4≥0可得集合B，由交集的定义，即可得答案．解答：解：根据题意，对于集合A，|x﹣3|≤1⇔2≤x≤4，则A={x|2≤x≤4}，对于集合B，由x2﹣5x+4≥0⇔x≤1或x≥4，则B={x|x≤1或x≥4}，则A∩B={4}，故答案为{4}．点评：本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合A、B．2．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3．考点：四种命题．专题：综合题．分若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若析：a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，根据否命题的定义给出答案．解答：解：：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故答案为：若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3点评：本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．3．（5分）已知，则=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．4．（5分）函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为{x|0＜x＜1}．考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先求函数f（x）的导数，然后令导函数小于0求x的范围即可．解答：解：∵f（x）=x﹣lnx∴f'（x）=1﹣= 令＜0，则0＜x＜1故答案为：{x|0＜x＜1}点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系．属基础题．5．（5分）已知函数f（x）=log a（x+1）的定义域和值域都是[0，1]，则实数a的值是2．考点：对数函数的值域与最值；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：先求出真数的取值范围，由于对数函数是一个单调函数，x=0时函数值为0，可得出x=1时函数值是1，由此建立方程求出底数即可．解答：解：定义域是[0，1]，故x+1∈[1，2]又值域是[0，1]，由于函数f（x）=log a（x+1）是一个单调函数，定义域左端点的函数值为0 故log a（1+1）=1，a=2故答案为2点评：本题考查对数函数的性质，求解本题的关键是根据函数的性质及函数在一端点处的函数值为0判断出别一端点处的函数值为1，正确的判断很重要．6．（5分）已知||=，||=3，和的夹角为45°，若向量（λ+）⊥（+λ），则实数λ的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先利用两个向量的数量积的定义求出•的值，再由两个向量垂直的性质可得（λ+）•（+λ）=0，解方程求得实数λ的值．解答：解：∵已知||=，||=3，和的夹角为45°，∴•=•3cos45°=3．由向量（λ+）⊥（+λ），可得（λ+）•（+λ）=0，即λ+（λ2+1）+λ=0，即2λ+3（λ2+1）+9λ=0，解得λ=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．7．（5分）P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，则椭圆离心率的取值范围是（，1）．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由于分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，由椭圆的几何性质可知，当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，必须∠F1PF2＞90°，此时＜0，∴，由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围．解答：解：由题意可知，分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形．而当点P位于（0，b）或（0，﹣b）处时，∠F1PF2最大，由条件：欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个，必须∠F1PF2＞90°，故＜0，⇒，∴，又∵0＜e＜1，∴．故答案为：．点评：本题考查椭圆的性质及其应用、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．8．（5分）已知命题p：在x∈（﹣∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围（﹣∞，]∪（1，+∞）．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数在x∈（﹣∞，0]上有意义可得p；由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，3x∈（0，1]，∵函数在x∈（﹣∞，0]上有意义，∴1﹣a•3x≥0，∴a≤，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．（2分）由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．（4分）①若p正确而q不正确，则，即a≤，（6分）②若q正确而p不正确，则，即a＞1，（8分）故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域的合理运用．9．（5分）设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f （x）单调递增区间[]．考点：正弦函数的图象；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，对x∈[0，]与x∈[，π]讨论即可．解答：解：依题意得f（x）=|AB|，（0≤|AB|≤π）．当x∈[0，]时，|AB|由π变到0，∴[0，]为f（x）单调递减区间；当当x∈[，π]时，|AB|由0变到π，∴[，π]为f（x）单调递增区间．故答案为：[，π]．点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题．10．（5分），设{a n}是正项数列，其前n项和S n满足：4S n=（a n﹣1）（a n+3），则数列{a n}的通项公式a n=2n+1．考点：数列的概念及简单表示法．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S n=（a n﹣1）（a n+3）得到首项的值，写出通项公式．解答：解：∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），∴4s n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+3），两式相减得整理得：2a n+2a n﹣1=a n2﹣a n﹣12，∵{a n}是正项数列，∴a n﹣a n﹣1=2，∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），令n=1得a1=3，∴a n=2n+1，故答案为：2n+1．点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．11．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）析：上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）（xx•辽宁）设，则函数的最小值为．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：先根据二倍角公式对函数进行化简，然后取点A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）且在x2+y2=1的左半圆上，将问题转化为求斜率的变化的最小值问题，进而看解．解答：解：∵，取A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）∈x2+y2=1的左半圆，如图易知．故答案为：．点评：本小题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．考查知识的综合运用能力和灵活能力．13．（5分）设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时，实数a的取值的集合为{3}．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得x＞0，y＞0，，作出其图象如图所示，进而得出及a＞1，c只有一个值．解出即可．解答：解：∵log a x+log a y=c，∴x＞0，y＞0，．（a＞1），作出其函数图象：由图象可以看出：函数在区间[a，3a]上单调递减，∴必有及a＞1，c只有一个值．解得c=3，a=3．适合题意．∴实数a的取值的集合为{3}．点评：由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键．14．（5分）已知函数，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S n，则S10=45．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45．故答案为：45．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（xx•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．专题：综合题．分析：（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．解答：解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴||==，∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，∴∥．点评：本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．16．（14分）（xx•盐城一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）设AC∩BD=O，连接EO，证明PD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．（2）连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD解答：解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PD∥EO…（4分）而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，所以PD∥面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面PBD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．17．（14分）已知：以点为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．考点：直线与圆的位置关系；直线的截距式方程；圆的标准方程．分析：（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．解答：解：（1）∵圆C过原点O，∴，设圆C的方程是，令x=0，得，令y=0，得x1=0，x2=2t∴，即：△OAB的面积为定值；（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN，∵k MN=﹣2，∴，∴直线OC的方程是，∴，解得：t=2或t=﹣2，当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4相交于两点，当t=﹣2时，圆心C的坐标为（﹣2，﹣1），，此时C到直线y=﹣2x+4的距离，圆C与直线y=﹣2x+4不相交，∴t=﹣2不符合题意舍去，∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．18．（16分）（xx•盐城三模）某广告公司为xx年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．点评：本题是一道难度较大的题，表现在以下几个方面第一需要自己根据条件建立三角函数模型写出解析式，再对解析式进行整理运算，得到函数性质，这是一个综合题，解题的关键是读懂题意．19．（16分）（xx•绵阳二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数与方程的综合运用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．解答：解：（1）f'（x）=x2﹣4x+3，则f′（x）=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1得：x∈（﹣∞，2﹣]∪（1，3）∪[2+，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，则切线方程是：y﹣（﹣2+3x1）=（﹣4x1+3）（x﹣x1），化简得：y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）而过B（x2，y2）的切线方程是y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，由于两切线是同一直线，则有：﹣4x1+3=﹣4x1+3，得x1+x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又由﹣+2=﹣+2，即﹣（x1﹣x2）（+x1x2+）+（x1﹣x2）（x1+x2）=0﹣（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+﹣12=0即（4﹣x2）×4+﹣12=0，﹣4x2+4=0得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n+6=b n，然后求出c n+1﹣c n为定值，便可证明数列{c n}为等差数列；（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=a1+b1+b2+…+b n﹣1（2分）=．（3分）又因为a1=1也满足上式，所以数列{a n}的通项为．（4分）（Ⅱ）由题设知：b n＞0，对任意的n∈N*有b n+2b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，于是又b n+3b n+6=1，故b n+6=b n（5分）∴b6n﹣5=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，（ⅰ）c n+1﹣c n=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），所以数列{c n}为等差数列．（7分）（ⅱ）设d n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）设，（其中n=6k+i （k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i有=；（10分）由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k，所以数列为单调增数列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．32875 806B 聫23306 5B0A 嬊225454 636E 据v34215 85A7 薧~23137 5A61 婡6S31982 7CEE 糮=f24030 5DDE 州38403 9603 阃。
2021-2022年高三上学期期中考试数学(文)试题 含答案
2021-2022年高三上学期期中考试数学（文）试题含答案一、填空题（每题4分，共56分）1、若集合2=->∈，，则 .A x x x x R{|20,}2、函数的反函数的定义域是3．满足等式的复数为4、甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在甲校抽取的学生数是___________.5、的二项展开式中，含项的系数是___________.6、直线与直线，若的方向向量是的法向量，则实数．7、阅读右边的程序框图，如果输出的值在区间内，则输入的实数的取值范围是．8、已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为________．9、在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.10、数列中，若，（），则 .11、甲、乙两人参加法律知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题有6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题（不能抽同一题）．则甲、乙中至少有一人抽到选择题的概率等于．（用数字作答）12、已知等差数列满足：，且它的前项和有最大值，则当取到最小正值时，13.、已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是 .14、已知抛物线，过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线、，分别交抛物线于、两点.则直线的斜率为 .二、选择题（每题5分，共20分）15.若和都是定义在上的函数，则“与同是奇函数或同是偶函数”是“是偶函数”的（ ）A 、充分非必要条件.B 、必要非充分条件.C 、充要条件.D 、既非充分又非必要条件16、已知数列前项和满足)2(11≥+=---n S S S S n n n n ，，则（ ）A 、B 、C 、D 、17、若对任意，都有，那么在上………………（ ）A 、一定单调递增B 、一定没有单调减区间C 、可能没有单调增区间D 、一定没有单调增区间18、设集合是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足: 对任意当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A 、B 、{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C 、D 、三、解答题19．（本题满分12分；第1小题6分，第2小题6分）已知函数()()()21,65f x x g x x x x R =-=-+-∈（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值．20.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知向量)3cos ,(,),3sin 3(m x m b y x a -=-=，且. 设.（1）求的表达式，并求函数在上图像最低点的坐标.（2）若对任意，恒成立，求实数的范围.21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分. ）如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为（单位：厘米），已知当时，.试将表示为的函数.（注:）22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分6分. ）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分. ）已知数列{}满足：*111,||,n n n a a a p n N +=-=∈，为数列的前项和。
2021-2022年高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析(I)
2021-2022年高三上学期期中数学试卷（文科）含解析(I)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．设全集I是实数集R，M={x|x≥3}与N={x|≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3} 3．已知直线方程为co s300°x+sin300°y=3，则直线的倾斜角为（）A．60°B．60°或300°C．30°D．30°或330°4．函数f（x）=x2+xsinx的图象关于（）A．坐标原点对称B．直线y=﹣x对称C．y轴对称D．直线y=x对称5．点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，3）6．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+7．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x﹣3的零点依次为a，b，c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．重庆市乘坐出租车的收费办法如下：（1）不超过3千米的里程收费10元（2）超过3千米的里程2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费），当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．y=2[x+]+4 B．y=2[x+]+5 C．y=2[x﹣]+4 D．y=2[x﹣]+59．若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，4） B．[1，2] C．[2，4] D．（2，+∞）10．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为（）A．12 B．8 C．D．3611．当曲线y=与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1] D．（，+∞]12．已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知某长方体的长宽高分别为2，1，2，则该长方体外接球的体积为．14．若函数y=（）x在R上是减函数，则实数 a取值集合是．15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．16．已知函数f（x）=如果对任意的n∈N*，定义fn （x）=，例如：f2（x）=f（f（x）），那么fxx（2）的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=2，a2为整数，且a3∈[3，5]．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱锥A﹣BDM的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+﹣1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．21．已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当x为常数，且t在区间[]变化时，求y的最小值φ（x）；（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若a，b，c为正实数，k为实数m的最小值，且++=k，求证：a+2b+3c≥9．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】复数相等的充要条件．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴故选B2．设全集I是实数集R，M={x|x≥3}与N={x|≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|1≤x＜3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x≤3}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由图形可得阴影部分所表示的集合为N∩（CM）故先化简两个集合，I再根据交集的定义求出阴影部分所表示的集合【解答】解：由题意M={x|x≥3}与N={x|≤0}={x|﹣1＜x≤3}由图知阴影部分所表示的集合为N∩（CM）IM）={x|1＜x＜3}∴N∩（CI故选A3．已知直线方程为cos300°x+sin300°y=3，则直线的倾斜角为（）A．60°B．60°或300°C．30°D．30°或330°【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．可得tanα=﹣，利用诱导公式即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=﹣=﹣==tan30°，∴α=30°．故选：C．4．函数f（x）=x2+xsinx的图象关于（）A．坐标原点对称B．直线y=﹣x对称C．y轴对称D．直线y=x对称【考点】函数奇偶性的判断．【分析】判断函数的奇偶性，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=x2+xsinx是偶函数，关于y轴对称，故选：C．5．点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（）A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣1，﹣2）D．（2，3）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称点的坐标是（ a，b ），则有，解得 a 和 b的值，即得结论．【解答】解：设（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称点的坐标是（ a，b ），则有，解得 a=3，b=2，故点（﹣1，﹣2）关于直线x+y=1对称的点坐标是（3，3），故选：A．6．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）A．2+ B．3+ C．2+ D．3+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以底面为正方形的三棱锥，高为2，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．【解答】解：由题意：可知该几何体是一个以底面为正方形其边长AB=1的三棱锥，高AS为2，（如图）AS⊥平面ABCD，∴AC=，SD=SB=，∵AD⊥CD，∴SD⊥CD（三垂线定理）∴△SDC是直角三角形．同理：SB⊥CB，∴△SBC是直角三角形．平面SDC的表面积为： AD×SD=，平面ABS的表面积为： AS×AB=1，平面ABD的表面积为： AS×AD=1，平面SBC的表面积为： BS×CB=．平面ABCD表面积为：AB×BC=1所以该几何体的表面积为：3+．故选D．7．已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=log3x﹣3的零点依次为a，b，c，则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据函数零点的定义进行转化，由指数函数、对数函数的图象画出对应的函数图象，由图判断出a、b的范围，利用函数零点的定义和对数的运算求出c的值，可得三个零点的大小关系．【解答】解：①令f（x）=0，得3x+x=0，化为3x=﹣x，分别作出函数y=3x，y=﹣x的图象由图象可知函数f（x）的零点a＜0；②令g（x）=log3x+x=0，得log3x=﹣x，分别作出函数y=g（x）=log3x，y=﹣x的图象，由图象可知函数g（x）的零点：0＜b＜1；③令h（x）=log3x﹣3=0，则log3x=3，解得x=27，即其零点c=27，综上可知，a＜b＜c．故选B．8．重庆市乘坐出租车的收费办法如下：（1）不超过3千米的里程收费10元（2）超过3千米的里程2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费），当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．y=2[x+]+4 B．y=2[x+]+5 C．y=2[x﹣]+4 D．y=2[x﹣]+5【考点】程序框图．【分析】根据已知中的收费标准，求当x＞3时，所收费用y的表达式，化简可得答案．【解答】解：由已知中，超过3千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过3千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞3时，所收费用y=10+[x﹣3+]×2+1=2[x+]+5，故选：B．9．若不等式组表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，4） B．[1，2] C．[2，4] D．（2，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】平面区域经过所有四个象限可得λ﹣2＞0，由此求得实数λ的取值范围．【解答】解：由约束条件不等式组表示的平面区域经过所有四个象限可得λ﹣2＞0，即λ＞2．∴实数λ的取值范围是（2，+∞）．故选：D．10．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为（）A．12 B．8 C．D．36【考点】点到直线的距离公式．【分析】设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，根据比例线段的性质可知，整理求得y=8﹣x，进而可求得xy的表达式根据二次函数的性质求得答案．【解答】解：如图，设P到AC的距离为x，到BC的距离为y，，即最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，所以4x=24﹣3y，y=8﹣x求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•（8﹣x）=﹣（x2﹣6x），当x=3时，xy有最大值12故选A．11．当曲线y=与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，] C．（，1] D．（，+∞]【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线方程变形，判断出直线过定点；求出特殊位置k的值，即可求出满足题意的k的范围．【解答】解：曲线y=即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线kx﹣y﹣2k+4=0即y=k（x﹣2）+4，表示恒过点A（2，4）斜率为k的直线B（2﹣，0）时，k=1，AB∵=2解得k=∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是（，1]．故选C．12．已知函数f（x）=ax2+bx﹣2lnx（a＞0，b∈R），若对任意x＞0都有f（x）≥f（2）成立，则（）A．lna＞﹣b﹣1 B．lna≥﹣b﹣1 C．lna＜﹣b﹣1 D．lna≤﹣b﹣1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f（x）≥f（1），知x=1是函数f（x）的极值点，所以f′（2）=0，从而得到b=1﹣4a，作差：lna﹣（﹣b﹣1）=lna+2﹣4a，所以构造函数g（x）=lnx+2﹣4x，通过导数可求得g（x）≤g（）＜0，即g（x）＜0，所以g（a）＜0，所以lna＜﹣b﹣1．【解答】解：f′（x）=2ax+b﹣，由题意可知，f（x）在x=2处取得最小值，即x=2是f（x）的极值点；∴f′（2）=0，∴4a+b=1，即b=1﹣4a；令g（x）=2﹣4x+lnx（x＞0），则g′（x）=；∴当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）在（0，）上单调递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）在（，+∞）上单调递减；∴g（x）≤g（）=1+ln=1﹣ln4＜0；∴g（a）＜0，即2﹣4a+lna=lna+b+1＜0；故lna＜﹣b﹣1，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知某长方体的长宽高分别为2，1，2，则该长方体外接球的体积为．【考点】球内接多面体．【分析】根据长方体的对角线长公式，算出该长方体的对角线长，从而算出它的外接球半径，利用球的体积公式即可算出答案．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为2，1，2，∴长方体的对角线长为=3，设长方体外接球半径为R，则2R=3，解得R=，∴该长方体外接球的体积为=．故答案为．14．若函数y=（）x在R上是减函数，则实数 a取值集合是．【考点】复合函数的单调性．【分析】根据函数在R上是减函数，可得，即，由此可得结论．【解答】解：∵函数在R上是减函数，∴，∴，∴，∴实数a取值集合是．故答案为：．15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．16．已知函数f（x）=如果对任意的n∈N*，定义fn （x）=，例如：f2（x）=f（f（x）），那么fxx（2）的值为 2 ．【考点】函数的值．【分析】利用函数性质直接求解．【解答】解：∵函数f（x）=，对任意的n∈N*，定义fn（x）=，∴f（0）=2，f（1）=0，f（2）=2﹣1=1，f1（f（2））=f（2）=1，f2（2）=f（f（2））=f（1）=0，f3（2）=f（f（f（2）））=f（f（1））=f（0）=2．f4（2）=f（f（f（f（2）））=f（f（f（1））=f（f（0））=f（2）=1，∵xx÷3=672，∴fxx（2）=f（0）=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．等差数列{an }的前n项和为Sn，已知a1=2，a2为整数，且a3∈[3，5]．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn =，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列的求和．【分析】（1）判断数列的第二项，然后求解通项公式即可．（2）利用裂项法化简求解即可．【解答】解：（1）由a1=2，a2为整数知，且a3∈[3，5]．a3=4，{an}的通项公式为an=n+1．（2），于是．18．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cosA=，asinA+bsinB ﹣csinC=asinB．（1）求B的值；（2）设b=10，求△ABC的面积S．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得，利用余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，sinA的值，进而利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cosB，解得B的范围即可得解B的值．（2）利用正弦定理可求c，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）由已知可得，∴．∵A，C∈（0，π），∴，，∴cosB=﹣cos（A+C）=﹣（﹣）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵=10，∴c=10=6，∴．19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMB=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点，连接OM．（1）求证：OM∥平面ABD；（2）若AB=BC=4，求三棱锥A﹣BDM的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出OM⊥CD，从而OM⊥平面BCD，进而OM∥AB，由此能证明OM ∥平面ABD．（2）由VA﹣BDM =VM﹣ABD=VO﹣ABD=VA﹣BDO，能求出三棱锥A﹣BDM的体积．【解答】证明：（1）∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，点O为CD的中点，∴OM⊥CD．∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD=CD，OM⊂平面BCD，∴OM⊥平面BCD，∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB，∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD，∴OM∥平面ABD．解：（2）由（1）知OM∥平面ABD，∵点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离．∵AB=BC=4，△BCD是等边三角形，∴BD=4，OD=2，连接OB，则OB⊥CD，，，∴三棱锥A﹣BDM的体积为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以M（1，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+﹣1=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点N（3，2），和平面内一点P（m，n）（m≠3），过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，k1+k3=3k2，试求m，n满足的关系式．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点到直线的距离公式d==1，求得b=1，由e===，即可求得a的值，求得椭圆C的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A，B的坐标，得到直线AN，BN的斜率，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l：y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN，BN的斜率和，进一步得到NP的斜率，可得m，n满足的关系式．【解答】解：（1）由椭圆C： +=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，则M（1，0）到直线x﹣y+﹣1=0的距离d==1，∴b=d=1，离心率e===，解得：a=，∴椭圆C的标准方程；（2）①当直线斜率不存在时，由，解得x=1，，不妨设，，∵k1+k3=2，∴，∴m，n的关系式为3n=2m．②当直线的斜率存在时，设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1），联立椭圆整理得：（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，∴，=，=．∴，∴m，n的关系式为3n=2m．21．已知y=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，x∈R，t∈R．（1）当x为常数，且t在区间[]变化时，求y的最小值φ（x）；（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）当x为常数时，设f（t）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+（3x2+1）t+4x3﹣1，是关于y的二次函数．利用二次函数图象与性质求解（2）设g（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，按照零点存在性定理去判断．可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明．【解答】解：（1）当x为常数时，f（t）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1=﹣6xt2+（3x2+1）t+4x3﹣1，f'（t）=﹣12xt+（3x2+1），f'（t）=﹣12xt+3x2﹣1=3（x﹣2t）2﹣12t2+1，当，f'（t）≥0，f（t）在上递增，其最小值φ（x）=f（0）=4x3﹣1．（2）令g（x）=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1，g'（x）=12x2+6tx﹣6t2=6（2x﹣t）（x+t），由t∈（0，+∞），当x在区间（0，+∞）内变化时，g（x）与g'（x）变化情况如下表：xg'（x）﹣0+g（x）单调递减极小值单调递增①当，即t≥2时，g（x）在区间（0，1）内单调递减，g（0）=t﹣1＞0，g（1）=﹣6t2+4t+3=﹣2t（3t﹣2）+3≤﹣4（6﹣2）+3＜0，所以对任意t∈[2，+∞），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0；②当，即0＜t＜2时，g（x）在内单调递减，在内单调递增，所以时，函数g（x）取最小值，又g（0）=t﹣1，若t∈（0，1]，则，，所以g（x）在内存在零点；若t∈（1，2），则g（0）=t﹣1＞0，，所以g（x）在内存在零点，所以，对任意t∈（0，2），g（x）在区间（0，1）内均存在零点，即存在x∈（0，1），使得g（x）=0．结合①②，对任意的t∈（0，+∞），总存在x∈（0，1），使得y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的参数方程为（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为sinθ﹣cosθ=，求直线被曲线C截得的弦长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，即可将代入并化简，求曲线C的极坐标方程；（2）直角坐标方程为y﹣x=1，求圆心C到直线的距离，即可求出直线被曲线C 截得的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=5，曲线C表示以（3，1）为圆心，为半径的圆，将代入并化简：ρ2﹣6ρcosθ﹣2ρsinθ+5=0．（2）直角坐标方程为y﹣x=1，∴圆心C到直线的距离为，∴弦长为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若a，b，c为正实数，k为实数m的最小值，且++=k，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1））|x﹣2|﹣|x﹣3|≤|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=1，由此能求出m最小值．（2）由（1）知，由此利用均值不等式能证明a+2b+3c≥9．【解答】解：（1）∵|x﹣2|﹣|x﹣3|≤|（x﹣2）﹣（x﹣3）|=1，不等式|x﹣2|﹣|x﹣3|≤m对x∈R恒成立，∴m≥1，∴m最小值为1．（2）由（1）知k=1，即，=．当且仅当a=2b=3c时等号成立，∴a+2b+3c≥9．xx12月16日30536 7748 睈37958 9446 鑆ybA,028135 6DE7 淧@w39297 9981 馁 }40275 9D53 鵓8。
河南省2021届高三上学期期中考试数学(文)试卷 含答案
2020—2021学年上期期中试卷高三 文科数学（时间：120分钟，满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设复数z 满足i zi +=3-，则z 虛部是（）A ．3iB ．﹣3iC ．3D ．﹣32．已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x2log ＜2}，则N M ＝（ ） A ．{x |﹣2＜x ＜3}B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |﹣2＜x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}3．函数y ＝2)1(ln +x x 在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝2x ﹣4 C ．y ＝4x ﹣2D ．y ＝2x +44．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a ，则窗花的面积为（ ） A ．（22﹣1﹣2π）2a B ．（22﹣1+2π）2a C ．（π+2﹣1）2aD ．（2π+2﹣1）2a 5．数列{a n }中，a 3＝5，a 7＝2，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧-14n a （*∈N n ）是等比数列，则a 5＝（ ）A ．﹣1或3B ．﹣1C ．3D ．106．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（ ） A ．51B ．52 C ．53 D ．54 7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m ⊥n 的一个充分不必要条件是（ ）A ．m ⊥α，n ∥β，α⊥βB ．m ⊥α，n ⊥β，α∥βC ．m ⊂α，n ∥β，α⊥βD ．m ⊂α，n ⊥β，α∥β8．设a ＞0，b ＞0，且2a +b ＝1，则ba a a ++21（ ） A ．有最小值为122+ B ．有最小值为12+C ．有最小值为314D ．有最小值为49．执行如图所示的程序框图，若输出的x 为30，则判断框内填入的条件不可能是（ ） A ．x ≥29？ B ．x ≥30？ C ．x ≥14？D ．x ≥16？10．已知)cos sin 3(cos 2)(x x x x f +=，将函数f （x ）的图象向右平移3π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．2πk x =，k ∈Z B ．212ππk x +=，k ∈Z C ．24ππk x +=，k ∈Z D ．23ππk x +=，k ∈Z 11．设函数f （x ）的定义域为R ，满足2f （x ）＝f （x +2），且当x ∈[﹣2，0）时，f （x ）＝﹣x （x +2）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≤3，则m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，25] B ．（﹣∞，27] C ．[25，+∞） D ．[27，+∞） 12．已知球O 的表面上有A ，B ，C ，D 四点，且AB ＝2，BC ＝22，4π=∠ABC ．若三棱锥B ﹣ACD 的体积为324，且AD 经过球心O ，则球O 的表面积为（ ） A ．8πB ．12πC ．16πD ．18π二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知a ＝3.0log 2，b ＝2log 3.0，c ＝3.02，则a 、b 、c 三者的大小关系为 ．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行） 8442175331 5724550688 7704744767 2176335025 8392120676 6301637859 1695566719 9810507175 1286735807 4439523879 3321123429 7864560782 5242074438 1551001342 996602795415．已知向量→a ，→b 满足|→a +→b |＝|→a ﹣2→b |，其中→b 是单位向量，则→a 在→b 方向上的投影为 ．16．数列{n a }满足n a n a n n 2)12sin2(1+-=+π，则数列{n a }的前20项和为 ． 三．解答题（第17-21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答；本大题共6小题，共60分）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C b cos ＝（A b B a cos cos +）B cos . （1）若C B A sin sin 2sin 2=，判断△ABC 的形状； （2）若A tan ＝715，△ABC 的面积为415，求△ABC 的周长． 18．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是正项等比数列，其中a 1＝b 1＝1，5a ＝3b ，93a a ﹣4＝5b ．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）求数列{n n b a }的前n 项和T n ．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x1 2 6 12 16 17花费累积y （万元） 1 3 9 17 22 26 假设花费累积y 与岁数x 符合线性相关关系，求（1）花费累积y 与岁数x 的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：∑∑==∧---=ni ini iix x y yx x b 121)())((，x b y a ∧∧-=.20．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，P A ＝PC ，BD ⊥P A ，E 是BC 上一点，且BE ＝1，设AC ∩BD ＝O ． （1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若∠BAD ＝60°，P A ⊥PE ，求三棱锥P ﹣AOE 的体积．21．已知的数f （x ）＝2-ax +x a ）（2-+x ln ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若x xax e x f x)12()(---≤恒成立，求a 的取值范围．22．平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=ααsin 21cos 2121y x （α为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为θθρ222sin 4cos 4+=．（1）求曲线C 1的极坐标方程以及曲线C 2的直角坐标方程；（2）若直线l ：kx y =与曲线C 1、曲线C 2在第一象限交于P ，Q 两点，且|OQ |＝2|OP |，点M 的坐标为（2，0），求△MPQ 的面积． 23．已知a ，b ，c 为一个三角形的三边长．证明：（1）3≥++ca b c a b ; （2）2)2>++++c b a c b a （.2020—2021学年上期期中试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设复数z满足zi＝﹣3+i，则虛部是（）A．3i B．﹣3i C．3 D．﹣3【解答】解：∵zi＝﹣3+i，∴，∴，则虚部是﹣3，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合M＝{x|x2＜4}，N＝{x|log2x＜2}，则M∩N＝（）A．{x|﹣2＜x＜3} B．{x|0＜x＜4} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|0＜x＜2} 【解答】解：∵M＝{x|﹣2＜x＜2}，N＝{x|0＜x＜4}，∴M∩N＝{x|0＜x＜2}．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性及定义域，描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．函数y＝2x（lnx+1）在x＝1处的切线方程为（）A．y＝4x+2 B．y＝2x﹣4 C．y＝4x﹣2 D．y＝2x+4【解答】解：由已知得：y′＝2lnx+4，所以y′|x＝1＝4，切点为（1，2）．故切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1），即y＝4x﹣2．故选：C．【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，属于基础题．4．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱．窗花是农耕文化的特色艺术，农村生活的地理环境，农业生产特征以及社会的习俗方式，也使这种乡土艺术具有了鲜明的中国民俗情趣和艺术特色．如图所示的四叶形窗花是由一些圆弧构成的旋转对称图形，若设外围虚线正方形的边长为a，则窗花的面积为（）A．（2﹣1﹣）a2B．（2﹣1+）a2C．（π+﹣1）a2D．（+﹣1）a2【解答】解：根据正方形以及“窗花”的对称性可知：窗花的一个“花瓣（阴影部分）”的面积S＝S△ACE﹣2S扇形AOB﹣S△BCD，即S＝＝．故“窗花”面积为4S＝．故选：A．【点评】本题考查扇形的面积公式以及学生的运算能力，属于中档题．5．数列{a n}中，a3＝5，a7＝2，若（n∈N*）是等比数列，则a5＝（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．【解答】解：根据题意，设b n＝，则数列{b n}是等比数列，设其公比为q，若a3＝5，a7＝2，则b3＝＝1，b7＝＝4，则q4＝＝4，变形有q2＝2，则b5＝b3q2＝2，则有＝2，解可得a5＝3，故选：C．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意求出该等比数列的通项公式，属于基础题．6．从2名男生和3名女生中任选三人参加比赛，选中1名男生和2名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：记2名男生为A1，A2，3名女生为B1，B2，B3，所有的结果为：A1A2B1，A1A2B2，A1A2B3，A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，B1B2B3，一共有10种情况，符合条件的有：A1B1B2，A1B1B3，A1B2B3，A2B1B2，A2B1B3，A2B2B3，共6种情况，所以概率为，故选：C．【点评】本题考查了列举法求概率问题，是一道基础题．7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥n的一个充分不必要条件是（）A．m⊥α，n∥β，α⊥βB．m⊥α，n⊥β，α∥βC．m⊂α，n∥β，α⊥βD．m⊂α，n⊥β，α∥β【解答】解：A、m⊥α，n∥β，α⊥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确；B、α∥β，m⊥α，n⊥β，可得m∥n，因此无法得出m⊥n，因此不正确；C、α⊥β，m⊂α，n∥β，可得m与n平行、相交或为异面直线，因此无法得出m⊥n，因此不正确．D、α∥β，m⊂α，n⊥β，可得n⊥α，因此可得m⊥n，因此正确；故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．设a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则（）A．有最小值为2+1 B．有最小值为+1C．有最小值为D．有最小值为4【解答】解：根据题意，，因为a＞0，b＞0，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最小值为．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．执行如图所示的程序框图，若输出的x为30，则判断框内填入的条件不可能是（）A．x≥29？B．x≥30？C．x≥14？D．x≥16？【解答】解：执行程序，可得x＝2，2是偶数，x＝3，3不是偶数，x＝6，不符合判断框内的条件，执行否，x＝7，7不是偶数，x＝14，不符合判断框内的条件，执行否，x＝15，不是偶数，x＝30，此时应该满足条件，结束循环，故判断框内的条件为x＝14时不符合要求，x＝30时符合要求，故A，B，D选项均满足．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．已知，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【解答】解：，f（x）图象向右平移个单位长度得到的解析式为，令2x＝kπ，则，所以对称轴为，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律和余弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．11．设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），且当x∈[﹣2，0）时，f（x）＝﹣x（x+2）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤3，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）＝f（x+2），可得f（0）＝2f（﹣2）＝0，当x∈[﹣2，0）]时，函数f（x）在[﹣2，﹣1）上递增，在（﹣1，0）上递减，所以f（x）max＝f（﹣1）＝1，由2f（x﹣2）＝f（x），可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由f（x）＝f（x+2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）max＝f（﹣3）＝，当x∈[0，2）时，f（x）max＝f（1）＝2，当x∈[2，4）时，f（x）max＝f（3）＝4，设x∈[2，4）时，x﹣4∈[﹣2，0），f（x﹣4）＝﹣（x﹣4）（x﹣2）＝f（x），即f（x）＝﹣4（x﹣4）（x﹣2），x∈[2，4），由﹣4（x﹣4）（x﹣2）＝3，解得x＝或x＝，根据题意，当m≤时，f（x）≤3恒成立，故选：A．【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题．12．已知球O的表面上有A，B，C，D四点，且AB＝2，BC＝2．若三棱锥B﹣ACD的体积为，且AD经过球心O，则球O的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．18π【解答】解：由题意可知画出图形，如图所示：球O的球心在AD的中点，取BC的中点E，连接AE，OE，由余弦定理得：，所以AC＝2，即AC2+AB2＝BC2，所以△ABC为直角三角形．则点E为△ABC的外接圆的圆心．由球的对称性可知：OE⊥平面ABC，由于，所以，即，解得OE＝，由于AE⊂平面ABC，OE⊥AE，AE＝＝，所以球的半径R＝OA＝，所以球的表面积为S＝4π•22＝16π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理，球的对称性，线面垂直的判定和性质，球的表面积公式，锥体的体积公式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．二．填空题（共4小题）13．答案为：a＜b＜c【解答】解：∵a＝log20.3，b＝log0.32，c＝20.3，∴a＝log20.3＜log20.5＝﹣1，0＞b＝log0.32＞log0.31，c＝20.3＞0，∴a＜b＜c．14．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚青氨是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号331，572，455，068，047（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【解答】解：找到第7行第8列的数开始向右读，第一个符合条件的是331，第二个数是572，第三个数是455，第四个数是068，第五个数是877它大于799故舍去，第五个数是047．故答案为：331、572、455、068、047【点评】抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的15．已知向量，满足|+|＝|﹣2|，其中是单位向量，则在方向上的投影为．【解答】解：∵，，∴，∴，∴在方向上的投影是．故答案为：．【点评】本题考查了向量数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．16．220三．解答题（共7小题）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos C＝（a cos B+b cos A）cos B．（1）若sin2A＝2sin B sin C，判断△ABC的形状；（2）若tan A＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b cos C＝（a cos B+b cos A）cos B．∴由正弦定理可得：sin B cos C＝（sin A cos B+sin B cos A）cos B＝sin（A+B）cos B，可得：sin B cos C＝sin C cos B，可得：sin（B﹣C）＝0，由于B，C∈（0，π），可得：B﹣C∈（﹣π，π），所以：B＝C，可得：b＝c，…4分因为：sin2A＝2sin B sin C，所以由正弦定理可得：a2＝2bc，可得：a2＝b2+c2，所以△ABC是等腰直角三角形…6分（2）∵tan A＝＝，sin2A+cos2A＝1，∴cos A＝，sin A＝＝，…8分由（1）知b＝c，∵cos A＝＝＝，∴b＝2a，…10分∵△ABC的面积为，可得S＝bc sin A＝＝，∴a＝1，b＝2，△ABC的周长a+b+c＝5a＝5…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，数列{b n}是正项等比数列，其中a1＝b1＝1，a5＝b3，a3a9﹣4＝b5．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d≠0），数列{b n}的公比为q（q＞0），由题设可得：，解得：d＝2，q＝3，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，b n＝3n﹣1；（2）由（1）知：a n b n＝（2n﹣1）•3n﹣1，∴T n＝1×30+3×31+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1，又3T n＝1×31+3×32+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，两式相减得：﹣2T n＝1+2（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n＝1+2×+（1﹣2n）•3n，整理可得：T n＝（n﹣1）•3n+1．【点评】本题主要考查等差、等比数列的基本量的计算及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．19．“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德．从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是某位大学毕业生统计的父母为我花了多少钱的数据：岁数x 1 2 6 12 16 17花费累积y（万元）1 3 9 17 22 26假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利息）．那么你每月要偿还父母约多少元钱？参考公式：＝＝．＝﹣．【解答】解：（1）由表可知，，，∴＝＝＝，．∴花费累积y与岁数x的线性回归直线方程为．（2）当x＝24时，＝1.463×24﹣0.167≈35（万元），30岁成家立业之后，在50岁之前偿还，共计20年，所以每月应还元．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查学生的运算能力，属于基础题．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，P A＝PC，BD⊥P A，E 是BC上一点，且BE＝1，设AC∩BD＝O．（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若∠BAD＝60°，P A⊥PE，求三棱锥P﹣AOE的体积．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥P A，P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∵PO⊂平面P AC，∴BD⊥PO，∵P A＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD．（2）解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∵O是BD的中点，∴BO＝2，在Rt△ABO中，AO＝＝2，在Rt△P AO中，P A2＝AO2+PO2＝12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2＝OE2+PO2＝3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE cos120°＝21，∵P A⊥PE，∴P A2+PE2＝AE2，∴12+PO2+3+PO2＝21，∴PO＝，∵S△AOE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△COE＝﹣＝，∴三棱锥P﹣AOE的体积V P﹣AOE＝＝＝．【点评】本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.解：（1）函数f（x）的定义域为（0，十∞），，①当a⩾0 时，由f′（x）＝0，解得，令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．②当﹣2＜a＜0 时，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．③当a＝﹣2 时，f′（x）⩾0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．④当a＜﹣2 时，由f′（x）＝0，解得或，且．令f′（x）＞0，得，所以f（x）在上单调递增；令f′（x）＜0，得，所以f（x）在上单调递减．（2）恒成立，即xe x﹣1⩾lnx+ax在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立．令，则，令h（x）＝x2e x+lnx，则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，而，故存在，使得h（x0）＝0，即，所以．令λ（x）＝xe x，x∈（0，+∞），λ′（x）＝（x+1）e x＞0，所以λ（x）在（0，+∞）上单调递增，所以．当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递减；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，故g（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以当x＝x0时，g（x）取得极小值，也是最小值，所以，故a⩽1．所以a的取值范围为（﹣∞，1]．22．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P，Q两点，且|OQ|＝2|OP|，点M的坐标为（2，0），求△MPQ的面积．【解答】解：（1）依题意，曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，整理得：x2+y2﹣x＝0，根据整理得ρ＝cosθ，由于曲线C2的极坐标方程为．根据转换为直角坐标方程为．（2）将θ＝θ0代入，得到，将θ＝θ0代入ρ＝cosθ得到ρP＝cosθ0，由于|OQ|＝2|OP|，所以2ρP＝ρQ，所以，解得，所以．由于，所以，，故△PMQ的面积S△MPQ＝S△OMP﹣S△OMQ＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23．已知a，b，c为一个三角形的三边长．证明：（1）++≥3；（2）＞2．【解答】解：（1）a，b，c＞0，++≥3•；当且仅当a＝b＝c取等号，故原命题成立；（2）已知a，b，c为一个三角形的三边长，要证＞2，只需证明，即证2，则有，即，所以，同理，，三式左右相加得2，故命题得证．【点评】考查了基本不等式的应用。
2021年高三(上)期中数学试卷(文科) Word版含解析
2021年高三（上）期中数学试卷（文科） Word版含解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．考点：命题的否定．分析：根据命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＜“改为“≥”即可得答案．解答：解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．（5分）若函数y=loga（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是（1，3）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，由此求得a 的取值范围．解答：解：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故a＞1，且3﹣a＞0，∴3＞a＞1，故答案为：（1，3）．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a＞1，且3﹣a＞0，是将诶提的关键．3．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：画出函数f（x）=e x﹣2x﹣a的简图，欲使函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0．由此求得实数a的取值范围．解答：解：令f，（x）=e x﹣2=0，则x=ln2，∴x＞ln2，f，（x）=e x﹣2＞0；x＜ln2，f，（x）=e x﹣2＜0；∴函数f（x）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数．∵函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，所以f（ln2）=2﹣2ln2﹣a＜0，故a＞2﹣2ln2．故填：（2﹣2ln2，+∞）．点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．4．（5分）函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值之和为2．考点：奇偶函数图象的对称性；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=﹣，可判断g（x）为奇函数，利用奇函数图象的性质即可求出答案．解答：解：f（x）=1﹣，x∈R．设g（x）=﹣，因为g（﹣x）=﹣==﹣g（x），所以函数g（x）是奇函数．奇函数的图象关于原点对称，它的最大值与最小值互为相反数．设g（x）的最大值为M，则g（x）的最小值为﹣M．所以函数f（x）的最大值为1+M，则f（x）的最小值为1﹣M．∴函数f（x）的最大值与最小值之和为2．故答案为2点评：本题主要考查奇函数图象的性质、函数的最值及分析问题解决问题的能力，解决本题的关键是恰当构造奇函数．5．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且为奇函数．给出下列命题：（1）函数f（x）的最小正周期为；（2）函数y=f（x）的图象关于点对称；（3）函数y=f（x）的图象关于y 轴对称．其中真命题有（2）（3）．（填序号）考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：本题可先由恒等式得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案．解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件，故有恒成立，故函数周期是3，故（1）错；又函数是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点对称，由此知（2）（3）是正确的选项，故答案为：（2）（3）点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数．6．（5分）已知函数，给定条件p：，条件q：﹣2＜f（x）﹣m＜2，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为（3，5）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，及正弦型函数的定义域和值域，由若p是q 的充分条件，则满足条件p的x的取值范围P，与满足条件q的x的取值范围Q之间满足P⊊Q，然后结合正弦型函数的定义域和值域即可得到答案．解答：解：∵p是q的充分条件∴P⊊Q，又∵P={x|}∴此时f（x）∈[3，5]又∵Q={x|﹣2＜f（x）﹣m＜2} ∴∴m∈（3，5）故答案为：（3，5）点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．7．（5分）已知函数的解集为（0，2）．考点：运用诱导公式化简求值；指、对数不等式的解法．专题：计算题；三角函数的求值；不等式的解法及应用．分析：根据三角函数的奇偶性得f（x）是奇函数，从而得到f（﹣1）==1．再用正弦、正切的诱导公式，化简整理可得f（24）=1，原不等式化简为log2x＜1，解之即可得到所求解集．解答：解：∵∴=﹣f（x），可得f（x）是奇函数∵f（1）==﹣1，∴f（﹣1）==1而f（24）===∴f（24）=1，不等式f（24）＞log2x即log2x＜1=log22解之得0＜x＜2，得原不等式的解集为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题给出三角函数式，要求根据此函数式解关于x的不等式，着重考查了三角函数的奇偶性、三角函数诱导公式和对数不等式的解法等知识，属于中档题．8．（5分）如图，平面四边形ABCD中，若AC=，BD=2，则（+）•（+）=1．考点：平面向量数量积的运算．专综合题．题：分析：先利用向量的加减法运算，化简向量，再利用数量积公式，即可求得结论．解答：解：（+）•（+）=（+）•（+）=（﹣）•（+）= ∵AC=，BD=2，∴=1∴（+）•（+）=1故答案为：1点评：本题考查向量的线性运算及数量积运算，化简向量是解题的关键，属于中档题．9．（5分）若正六棱锥的底面边长为3cm，侧面积是底面积的倍，则这个棱锥的高是cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；转化思想．分析：由已知中正六棱锥的全面积是底面积的倍，得到其侧高与底面中心到对称棱的距离之间为：1，构造直角三角形PQO（其中P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心），解三角形即可得到侧面与底面所成的角，最后利用直角三角形求出棱锥的高．解答：解：由于正六棱锥的全面积是底面积的3倍，不妨令P为棱锥的顶点，Q为底面棱的中点，O为底面的中心∵侧面积是底面积的3倍，则PQ=3OQ则∠PQO即为侧面与底面所成的角∵cos∠PQO=，∴sin∠PQO=，∴tan∠PQO=，在直角三角PQO中，PO=QO•tan∠PQO=×=故答案为：．点评：本题考查棱锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题10．（5分）设α∈（π，2π），若，则的值为．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和差的正切公式求得tanα=5﹣8，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2α和cos2α的值，再由=coscos2α+sinsin2α，运算求得结果．解答：解：∵==，∴tanα=5﹣8．再由sin2α===，cos2α===，可得=coscos2α+sinsin2α=，故答案为．点评：本题主要考查两角和差的正切公式、余弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．11．（5分）设关于x的不等式组解集为A，Z为整数集，且A∩Z共有两个元素，则实数a 的取值范围为．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：数形结合．分析：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．A∩Z共有两个元素，说明不等式x2+2ax+3＜0的解的集合的区间长度有着限制．解答：解：由条件|x+1|＜2得﹣3＜x＜1．由分析知，不等式x2+2ax+3﹣a＜0的解的集合的区间长度有着限制，也即方程x2+2ax+3﹣a=0的解的集合的区间长度有着限制，设f（x）=x2+2ax+3﹣a 则有f（0.5）=3.25＞0，结合﹣3＜x＜1和抛物线的图象，得或解之得，实数a的取值范围为故填．点评：本题属于难题了，难在对于条件的转化，难在数形结合思想的应用．12．（5分）（xx•山东）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．考点：圆的参数方程；平面向量坐标表示的应用．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：设滚动后圆的圆心为O'，切点为A，连接O'P．过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），再根据圆的圆心从（0，1）滚动到（2，1），算出θ=﹣2，结合三角函数的诱导公式，化简可得P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2），即为向量的坐标．解答：解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P=θ∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+cosθ，1+sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1）∴∠AO'P=2，可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）∴的坐标为（2﹣sin2，1﹣cos2）．故答案为：（2﹣sin2，1﹣cos2）点评：本题根据半径为1的圆的滚动，求一个向量的坐标，着重考查了圆的参数方程和平面向量的坐标表示的应用等知识点，属于中档题．13．（5分）已知|AB|=3，C是线段AB上异于A，B的一点，△ADC，△BCE均为等边三角形，则△CDE的外接圆的半径的最小值是．考点：解三角形．专题：计算题．分析：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=9﹣3mn，利用基本不等式，可得，再利用△CDE的外接圆的半径，即可得到结论．解答：解：设AC=m，CB=n，则m+n=3，在△CDE中，由余弦定理知DE2=CD2+CE2﹣2CD•CEcos∠DCE=m2+n2﹣mn=（m+n）2﹣3mn=9﹣3mn又，当且仅当时，取“=”，所以，又△CDE的外接圆的半径∴△CDE的外接圆的半径的最小值是故答案为：．点评：本题考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查正弦定理的运用，确定DE的范围是关键．14．（5分）若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是k=4或k＜0．考点：根的存在性及根的个数判断；对数函数的图像与性质．专题：计算题；转化思想．分析：先将方程lgkx=2lg（x+1）转化为lgkx﹣2lg（x+1）=0，先对参数k的取值范围进行分类讨论，得出函数的定义域再分别研究仅有一根时的参数的取值范围，得出答案．解答：解：由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）∴lgkx﹣2lg（x+1）=0∴lgkx﹣lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解∴x2﹣（k﹣2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解令f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1又当x=0时，f（x）=x2﹣（k﹣2）x+1=1＞0∴△=（k﹣2）2﹣4=0∴k﹣2=±2∴k=0舍，或4k=0时lgkx无意义，舍去∴k=4当k＜0时，函数定义域是（﹣1，0）函数y=kx是一个递减过（﹣1，﹣k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（﹣1，0）递增且过两点（﹣1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意故答案为：k=4或k＜0．点评：本题主要考查在对数方程的应用，要按照解对数方程的思路熟练应用对数的性质及其运算法则转化问题．二、解答题：（本大题6小题，共90分）15．（14分）已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣2a﹣5）＜0}，函数的定义域为集合B．（1）若a=4，求集合A∩B；（2）已知，且”x∈A”是”x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件；一元二次不等式的解法；指、对数不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）由a=4，确定集合A，利用对数函数的定义域，确定集合B，从而可求集合A∩B （2）根据已知，确定集合A，B，利用∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，可知B⊆A，从而建立不等式，即可求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=4时，集合A={x|（x﹣2）（x﹣13）＜0}={x|2＜x＜13}，函数=的定义域为{x|8＜x＜18}，∴B={x|8＜x＜18}，∴集合A∩B={x|8＜x＜13}；（2）∵，∴2a+5＞2，∴A=（2，2a+5）∵a2+2＞2a，∴B=（2a，a2+2）∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件，∴B⊆A∴∴1≤a≤3∴实数a的取值范围是[1，3]．点评：本题主要考查了集合的运算，集合之间的关系，考查四种条件的运用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义．16．（14分）（xx•枣庄一模）如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面CDE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，欲证AF∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面平面BCE内一直线平行，而AF∥BP，AF⊂平面BCE，BP⊂平面BCE，满足定理条件；（Ⅱ）欲证平面BCE⊥平面CDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BCE内一直线与平面CDE垂直，而根据题意可得BP⊥平面CDE，BP⊂平面BCE，满足定理条件．解答：证明：（Ⅰ）取CE中点P，连接FP、BP，∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=．又AB∥DE，且AB=．∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（4分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（6分）（Ⅱ）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD ∵AB⊥平面ACD，DE∥AB∴DE⊥平面ACD又AF⊂平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D∴AF⊥平面CDE（10分）又BP∥AF∴BP⊥平面CDE又∵BP⊂平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE（12分）点评：本小题主要考查空间中的线面关系，考查线面平行、面面垂直的判定，考查运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．17．（15分）（xx•普陀区一模）已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．专题：计算题．分析：（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．解答：解：（1）由正弦定理有：∴= （2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．点评：本题考查的比较综合的考查了三角函数的性质，根据已知条件，及第一步的要求，我们断定求出向量的模，即对应线段的长度是本题的切入点，利用正弦定理求出边长后，易得函数的解析式和定义域，故根据已知条件和未知的结论，分析它们之间的联系，进而找出解题的方向是解题的关键．18．（15分）（xx•成都模拟）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=+2a+，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．（1）令t=，x∈R，求t的取值范围；（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？考点：函数最值的应用；实际问题中导数的意义．专题：计算题．分析：（1）先取倒数，然后对得到的函数式的分子分母同除以x，再利用导数求出的取值范围，最后根据反比例函数的单调性求出t的范围即可；（2）f（x）=g（t）=|t﹣a|+2a+．下面分类讨论：当0＜a＜，当＞a≥，分别求出函数g （x ）的最大值M （a ），然后解不等式M （a ）≤2即可求出所求．解答： 解：（1）当x=0时，t=0；（2分）当0＜x ≤24时，=x+．对于函数y=x+，∵y ′=1﹣，∴当0＜x ＜1时，y ′＜0，函数y=x+单调递减，当1＜x ≤24时，y ′＞0，函数y=x+单调递增，∴y ∈[2，+∞）．综上，t 的取值范围是[0，]．（2）当a ∈（0，]时，f （x ）=g （t ）=|t ﹣a|+2a+=∵g （0）=3a+，g （）=a+，g （0）﹣g （）=2a ﹣．故M （a ）==当且仅当a ≤时，M （a ）≤2，故a ∈（0，]时不超标，a ∈（，]时超标．点评： 本题主要考查了函数模型的选择与应用、待定系数法求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．19．（16分）已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x ∈[0，1]，总有f （x ）≥0；②f （1）=1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则有f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）成立．（1）求f （0）的值；（2）函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；（3）假定存在x 0∈[0，1]，使得f （x 0）∈[0，1]，且f （f （x 0））=x 0，求证：f （x 0）=x 0．考点：函数的值；函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题．分析： （1）由①知：f （0）≥0；由③知f （0）≤0，从而得到f （0）=0．（2）由题设知g （1）=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+够证明函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）若f （x 0）＞x 0，则由题设知f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0，由此入手能证明f （x 解答： 解：（1）由①知：f （0）≥0；由③知：f （0+0）≥f （0）+f （0），即f （0）≤0； ∴f （0）=0（2 ） 证明：由题设知：g （1）=2﹣1=1；由x ∈[0，1]知2x ∈[1，2]，得g （x ）∈[0，1]，有g （x ）≥0；设x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则，；∴即g （x 1+x 2）≥g （x 1）+g （x 2）∴函数g （x ）=2x ﹣1在区间[0，1]上同时适合①②③．（3）证明：若f （x 0）＞x 0，则由题设知：f （x 0）﹣x 0∈[0，1]，且由①知f[f （x 0）﹣x 0]≥0， ∴由题设及③知：x 0=f （f （x 0））=f[（f （x 0）﹣x 0）+x 0]=f[f （x 0）﹣x 0]+f （x 0）≥f （x 0） 矛盾；若f（x0）＜x0，则则由题设知：x0﹣f（x0）∈[0，1]，且由①知f[x0﹣f（x0）]≥0，∴同理得：f（x0）=f[（x0﹣f（x0））+f（x0）]=f[x0﹣f（x0）]+f（f（x0））≥f（f（x0））=x0，矛盾；故由上述知：f（x0）=x0．点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．①求t的取值范围；②若a+c=2b2，求t的值．（2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．考点：利用导数研究函数的极值；不等式的综合．专题：计算题；压轴题．分析：（1）①根据极值点是导函数的根，据方程的根是相应函数的零点，结合函数的单调性写出满足的不等式解出t的范围，②将三个极值点代入导函数得到方程，左右两边各项的对应系数相等，列出方程组，解出t值．（2）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f （x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．解答：解：（1）①f'（x）=（3x2﹣12x+3）e x+（x3﹣6x2+3x+t）e x=（x3﹣3x2﹣9x+t+3）e x∵f （x）有3个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=0有3个根a，b，c．令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+t+3，g'（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），g（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上递增，（﹣1，3）上递减．∵g（x）有3个零点∴∴﹣8＜t＜24．②∵a，b，c是f（x）的三个极值点，∴x3﹣3x2﹣9x+t+3=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x﹣abc ∴∴b=1或﹣（舍∵b∈（﹣1，3））∴∴t=8（2）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．点评：本题考查利用导数求函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．z27976 6D48 浈f32803 8023 耣20386 4FA2 侢39586 9AA2 骢!37630 92FE 鋾>36737 8F81 辁9。
2021-2022学年河南省南阳市某校高三(上)期中考试数学(文)试卷与祥细答案与解析
2021-2022学年河南省南阳市某校高三（上）期中考试数学（文）试卷一、选择题1. 若集合M ={−1,1}，N ={x ∈Z|x(x −2)≤0}，则M ∪N =( ) A.{0,−1,1} B.{0,−1,2} C.{−2,−1,1} D.{0,−1,1,2}2.若复数z 满足(1+2i)z =1−i ，则|z|=( ) A.√10 B.√105C.35D.253. 向量a →=(m,1)， b →=(1,m)，则"m =1"是$``\overset{\rightarrow}{a}//\overset{\rightarrow}{b}"$的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A.命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为：“若x 2=1，则x ≠1”．B.命题p:∃x 0∈R ，使得sinx 0=√62；命题q:∀x ∈R ，都有x >sinx ；则命题p ∨q 为真.C.命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2+x +1<0”.D.命题“若x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为真命题．5. 《九章算术》中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢？”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢最快需要的天数为( ) A.4 B.5C.6D.76. 函数y =2x 2−e |x|在[−2, 2]的图象大致为( )A. B.C. D.7. 已知定义在R 上的函数f(x)=2|x−m|−1(m ∈R)为偶函数，记a =f(log 0.53)，b =f(log 25)，c =f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.c <b <a8. 如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点．若OP →=xOA →+yOB →(x,y ∈R)，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则y+1x+y+2的取值范围是（ ）A.[13,23]B.[13,34]C.[14,34]D.[14,23]9. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数的图像向左平移π12个单位后，得到的图像对应的函数为偶函数，下列判断正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的图像关于点(7π12, 0)对称 C.函数f(x)的图像关于直线x =−7π12对称D.函数f(x)在[3π4, π]上单调递增10. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 都有f(x +32)=f(x −32)，当x ∈(32，0)时，f(x)=log 12(1−x)，则f(2017)+f(2019)=( )A.1B.2C.−1D.−211. 在锐角△ABC 中，B =60∘，|AB →−AC →|=2，则AB →⋅AC →的取值范围为（ ） A.(0, 12) B.[−14, 12)C.(0, 4]D.(0, 2]12. 已知函数f(x)=2lnx ，(1e ≤x ≤e 2)，g(x)=mx +2，若f(x)与g(x)的图像上存在关于直线y =1对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A.[−23,−4e 2] B.[−2e ,2e]C.[−4e 2,2e]D.[−4e 2,+∞)二、填空题tan255∘=________．已知向量|a →|=1，|b →|=2，|a →+b →|=√7，则a →与b →的夹角为________．已知等差数列{a n }满足S 9=18 ，S n =240，a n−4=30 ，则n =________.若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①点P ，Q 都在函数y =f(x)的图像上；②点P ，Q 关于原点对称，则称(P,Q)是函数y =f(x)的一个“伙伴点组”（点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”）.已知函数f(x)={kx −1,x >0，−ln(−x),x <0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________． 三、解答题已知数列{a n }满足a 1=1且a n+1=2a n +1． (1)证明数列{a n +1}是等比数列，并求 a n ；(2)设数列{b n }满足b 1=2，b n+1−b n =a n +1，求数列{b n }的通项公式．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且acosB +√3bsinA =c ． (1)求角A 的大小；(2)若a =1，AB →⋅AC →=3，求b +c 的值.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2S n +1(n ≥1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为H n ，且H 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，若c n =a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n ；已知函数f(x)=e x −2x ．(1)求曲线y =f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；(2)若函数g(x)=f(x)−a ，x ∈[−1,1]恰有2个零点，求实数a 的取值范围．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA +√3cosA =0，a =2√7，b =2． (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．已知f(x)=xlnx .(1)求函数f(x)在定义域上的最小值；(2)求函数f(x)在[t,t +2](t >0)上的最小值g(t)；(3)证明：对一切x ∈(0,+∞)，都有lnx >1ex −2ex成立.参考答案与试题解析2021-2022学年河南省南阳市某校高三（上）期中考试数学（文）试卷一、选择题 1. 【答案】 D【考点】一元二次不等式的解法 并集及其运算 【解析】（1）.本题考查对于集合中并集的运算. 【解答】解：已知集合M ={−1,1}，N ={x ∈Z|x(x −2)≤0}={x|∈Z|0≤x ≤2}={0,1,2}， 则M ∪N ={−1,0,1,2}. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】 复数的模复数代数形式的乘除运算 【解析】由(1+2i)z =(1−i)，得z =1−i1+2i ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数求模公式则答案可求． 【解答】解：由(1+2i)z =(1−i)， 得z =1−i 1+2i=(1−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−1−3i5=−15−35i ，则|z|=√(−15)2+(−35)2=√105． 故选B ． 3. 【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】（1）.利用两向量平行，得到m 2−1=0，解得m ，即可进行判断得到答案. 【解答】解：已知a →//b →得到m 2−1=0，解得m =±1，则“m =1”是$``\overset{\rightarrow}{a}//\overset{\rightarrow}{b}"$的充分不必要条件. 故选A . 4. 【答案】 D【考点】全称命题与特称命题 复合命题及其真假判断 逻辑联结词“或”“且”“非” 四种命题的真假关系 四种命题间的逆否关系 【解析】运用否命题既要对条件否定，又要对结论否定，从而判断A ；根据充分必要条件定义判断B ；由全称性命题的否定是存在性命题，从而判断C ；根据原命题与逆否命题等价，从而判断D ． 【解答】解：A ，命题“若x 2=1，则x =1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错误； B ，若x 0∈R ，则sinx 0∈[−1,1]，而√62>1，则命题p 为假命题，当x ∈(0,π2)时，x <sinx ，则命题q 为假命题，所以命题p ∨q 为假，故B 错误；C ，命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定是:“∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”，故C 错误；D ，命题“若x =y ，则sinx =siny ”是真命题，故它的逆否命题也为真命题，故D 正确． 故选D . 5. 【答案】 C【考点】 数列的应用等差数列的前n 项和【解析】此题暂无解析【解答】解：大老鼠前5天的打洞的距离为1+1.5+2+2.5+3=10，小老鼠前5天的打洞的距离为0.5+1+2+2+2=7.5，所以大老鼠和小老鼠前5天的打洞的距离和为17.5<22.5，大老鼠前6天的打洞的距离为1+1.5+2+2.5+3+3.5=13.5，小老鼠前6天的打洞的距离为0.5+1+2+2+2+2=9.5，所以大老鼠和小老鼠前6天的打洞的距离和为23>22.5.所以两鼠相逢最快需要的天数为6天.故选C.6.【答案】B【考点】函数图象的作法【解析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f(x)=y=2x2−e|x|，∴f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|，故函数为偶函数.当x=±2时，y=8−e2∈(0, 1)，故排除A，D；当x∈[0, 2]时，f(x)=y=2x2−e x，∴f′(x)=4x−e x=0有解，故函数y=2x2−e|x|在[0, 2]不是单调的，故排除C.故选B.7.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】此题暂无解析【解答】解：∵定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1(m∈R)为偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴m=0.∵f(x)=2|x|−1={2x−1，x≥0，2−x−1，x<0，∴f(x)在(0, +∞)单调递增.∵a=f(log0.53)=f(−log23)=f(log23)，b=f(log25)，c=f(2m)=f(0)=0，0<log23<log25，∴c<a<b.故选C.8.【答案】C【考点】简单线性规划求解非线性目标函数的最值-有关斜率平面向量的基本定理及其意义【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，当P在线段AB上时，x+y=1 , 当P点在线段MN上时，x+y=2，∴当P在四边形ABNM内（含边界）时，{x+y≥1，y+y≤2，x≥0,y≥0，（∗）又y+1x+y+2=1x+1y+1+1，作出不等式组(∗)表示的可行域，如图，y+1x+1表示可行域内点(x,y)与P(−1,−1)连接的斜率，由图形知，k PB=13，k pc=3，即13≤y+1x+1≤3，∴13≤x+1y+1≤3，∴14≤1x+1y+1+1≤34，即y+1x+y+2的取值范围为[14,34].故选C.9.【答案】D正弦函数的周期性 正弦函数的对称性 正弦函数的单调性 【解析】由题意可求f(x)的周期T ，利用周期公式可求ω，函数f(x +π12)是偶函数，可得π6+φ=kπ+π2，k ∈Z ，又|φ|<π2，解得φ，可得解析式f(x)=sin(2x +π3)，利用正弦函数的图象和性质即可判断求解． 【解答】解：函数f(x)=sin(ωx +φ)图像的相邻两条对称轴之间的距离等于π2， ∴ 函数f(x)的周期T =π，故A 错误； ∵ ω>0 ∴ ω=2，∴ 将函数的图像向左平移π12个单位后，得到的图像对应的函数为f(x +π12)，解析式为：f(x)=sin[2(x +π12)+φ]=sin(2x +π6+φ)， ∵ 函数f(x +π12)是偶函数，∴ π6+φ=kπ+π2，k ∈Z ， 又|φ|<π2，解得：φ=π3． ∴ f(x)=sin(2x +π3)．∴ 由2x +π3=kπ，k ∈Z ，解得对称中心为：(kπ2−π6, 0)，k ∈Z ，故B 错误； 由2x +π3=kπ+π2，k ∈Z ， 解得对称轴是：x =kπ2+π12，k ∈Z ，故C 错误；由2kπ−π2≤2x +π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得单调递增区间为：[kπ−5π12, kπ+π12]，k ∈Z ， k =1时，单调递增区间为[7π12, 13π12]，故D 正确.故选D ． 10.A【考点】 函数的周期性 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为对任意的x ∈R ，都有都有f(x +32)=f(x −32)， 所以f(x)是周期为3的函数. 因为f(x)是定义在R 上的奇函数， 所以f(−x)=−f(x)且f(0)=0,所以f(2017)=f(3×672+1)=f(1)=−f(−1) =−log 12(1+1)=1，f(2019)=f(3×673)=f(0)=0， 所以f(2017)+f(2019)=1+0=1. 故选A . 11. 【答案】 A【考点】二次函数在闭区间上的最值 平面向量数量积的运算 向量的模 【解析】以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到C 的坐标，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，得到所求范围． 【解答】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵ B =60∘，|AB →−AC →|=|CB →|=2， ∴ C(1, √3).设A(x, 0)，∵ △ABC 是锐角三角形，∴ A +C =120∘，∴ 30∘<A <90∘， 即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合）， ∴ 1<x <4，则AB →⋅AC →=x 2−x =(x −12)2−14， ∴ AB →⋅AC →的范围为(0, 12)． 故选A ． 12. 【答案】 B【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意存在x ∈[1e ,e 2]使得f(x)+g(x)=2，等价于存在x ∈[1e ,e 2]使m =−2lnx x，令ℎ(x)=−2lnx x，即求ℎ(x)在[1e ,e 2]上的值域．ℎ′(x)=2(lnx−1)x 2，当1e<x <e 时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当e <x <e 2，时ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增． 又ℎ(e)=−2e，ℎ(1e)=2e ，ℎ(e 2)=−4e2，所以ℎ(x)在[1e ,e 2]上的值域为[−2e ,2e]， 所以实数m 的取值范围是[−2e ,2e] .故选B . 二、填空题 【答案】 2+√3【考点】两角和与差的正切公式 运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：tan255∘=tan(180∘+75∘)=tan75∘=tan(45∘+30∘) =tan45∘+tan30∘1−tan45∘tan30∘=1+√331−1×√33=3+√33−√3=(3+√3)26=12+6√36=2+√3.故答案为：2+√3. 【答案】 π3【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设a →与b →的夹角为θ，则0≤θ≤π， 由|a →+b →|=√7，平方可得7=1+4+2×1×2cosθ， 解得cosθ=12， ∴ θ=π3. 故答案为：π3． 【答案】 15【考点】等差数列的性质 【解析】（1）.利用等差数列的通项公式以及前n 项和即可得到答案. 【解答】解：由等差数列的性质可得S 9=9(a 1+a 9)2=9⋅2a 52=18,解得a 5=2，故a 5+a n−4=32， 而S n =n(a 1+a n )2=n(a 5+a n−4)2=16n =240，解得n =15. 故答案为：15. 【答案】 (0,1)【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可知，“伙伴点组”的点满足： 都在函数图像上，且关于坐标原点对称.如图，作出函数y =−ln(−x)(x <0)关于原点对称的函数y =lnx(x >0)的图像， 使它与直线y =kx −1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y =kx −1与y =lnx 的图像相切时， 设切点为 (m,lnm)， y =lnx 的导数为y ′=1x ， 即{km −1=lnm ，k =1m，解得{m =1，k =1，可得函数y =lnx(x >0)的图像过点(1,0)的切线的斜率为1， 结合图像可知当k ∈(0,1)时两个函数图像有两个交点. 故答案为：(0,1). 三、解答题 【答案】(1)证明： ∵ a n+1=2a n +1,∴ a n+1+1=2a n +2=2(a n +1)， 又a 1+1=2≠0 ，所以a n+1+1(a n +1)=2，∴ 数列{a n +1}是等比数列，公比q =2，首项为2， 则a n +1=2:2n−1=2n ， ∴ a n =2n −1；(2)解：由b n+1−b n =2n , 得b n −b n−1=2n−1(n ≥2)，∴ b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1 =2n−1+2n−2+⋯+21+2 =2n (n ≥2)，又b 1=2符合上式， ∴ b n =2n ． 【考点】等比关系的确定 等比数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明： ∵ a n+1=2a n +1,∴ a n+1+1=2a n +2=2(a n +1)，又a 1+1=2≠0 ，所以 a n+1+1(a n+1)=2， ∴ 数列{a n +1}是等比数列，公比q =2，首项为2， 则a n +1=2:2n−1=2n ， ∴ a n =2n −1；(2)解：由b n+1−b n =2n , 得b n −b n−1=2n−1(n ≥2)，∴ b n =(b n −b n−1)+(b n−1−b n−2)+⋯+(b 2−b 1)+b 1 =2n−1+2n−2+⋯+21+2 =2n (n ≥2)，又b 1=2符合上式， ∴ b n =2n ． 【答案】解：(1)由正弦定理和acosB +√3bsinA =c ， 得sinAcosB +√3sinBsinA =sin(A +B)， 即√3sinBsinA =cosAsinB ， ∴ tanA =√33. ∵ A ∈(0,π)， ∴ A =π6．(2)∵ AB →⋅AC →=3，由余弦定理得bccosA =3，即bccos π6=3，解得bc =2√3.① 又a =1，∴ 1=b 2+c 2−2bccos π6，② 由①②可得(b +c)2=7+4√3， ∴ b +c =2+√3. 【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理平面向量共线（平行）的坐标表示运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由正弦定理和acosB +√3bsinA =c ， 得sinAcosB +√3sinBsinA =sin(A +B)， 即√3sinBsinA =cosAsinB ， ∴ tanA =√33. ∵ A ∈(0,π)， ∴ A =π6．(2)∵ AB →⋅AC →=3，由余弦定理得bccosA =3，即bccos π6=3， 解得bc =2√3.① 又a =1，∴ 1=b 2+c 2−2bccos π6，② 由①②可得(b +c)2=7+4√3， ∴ b +c =2+√3. 【答案】解：(1)因为a n+1=2S n +1，①所以a n =2S n−1+1(n ≥2)，②所以①②两式相减得a n+1−a n =2a n ，即a n+1=3a n (n ≥2)， 又因为a 2=2S 1+1=3， 所以a 2=3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴ a n =3n−1．(2)设{b n }的公差为d ，由H 3=15得，可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5， 故可设b 1=5−d ，b 3=5+d ， 又因为a 1=1，a 2=3，a 3=9，由题意可得(5−d +1)(5+d +9)=(5+3)2， 解得d 1=2，d 2=−10，∵ 等差数列{b n }的各项为正，∴ d >0，∴ d =2，b 1=3，∴ b n =2n +1，∴ c n =(2n +1)3n−1,∴ T n =3⋅30+5⋅31+7⋅32+⋯+(2n +1)⋅3n−1①， 所以3T n =3⋅31+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n +1)⋅3n ②，①-②可得，−2T n =3+2(31+32+⋯+3n−1)−(2n +1)3n ， =−2n ⋅3n ， ∴ T n =n ⋅2n ；【考点】 数列的求和等比数列的通项公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为a n+1=2S n +1，① 所以a n =2S n−1+1(n ≥2)，②所以①②两式相减得a n+1−a n =2a n ，即a n+1=3a n (n ≥2)， 又因为a 2=2S 1+1=3， 所以a 2=3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴ a n =3n−1．(2)设{b n }的公差为d ，由H 3=15得，可得b 1+b 2+b 3=15，可得b 2=5， 故可设b 1=5−d ，b 3=5+d ， 又因为a 1=1，a 2=3，a 3=9，由题意可得(5−d +1)(5+d +9)=(5+3)2， 解得d 1=2，d 2=−10，∵ 等差数列{b n }的各项为正，∴ d >0，∴ d =2，b 1=3，∴ b n =2n +1，∴ c n =(2n +1)3n−1,∴ T n =3⋅30+5⋅31+7⋅32+⋯+(2n +1)⋅3n−1①， 所以3T n =3⋅31+5⋅32+7⋅33+⋯+(2n +1)⋅3n ②，①-②可得，−2T n =3+2(31+32+⋯+3n−1)−(2n +1)3n ， =−2n ⋅3n ， ∴ T n =n ⋅2n ； 【答案】解：(1)∵ f(x)=e x −2x ，∴ f ′(x)=e x −2， ∴ f ′(0)=−1，又f(0)=1，∴ 曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y −1=−x ， 即|x +y −1=0．(2)∵ 函数g(x)=f(x)−a ，x ∈[−1,1]恰有2个零点，g(x)=e x −2x −a ， ∴ f(x)与y =a 在x ∈[−1,1]恰有2个交点， ∴ f′(x)=e x −2． 故当 −1≤x <ln2时，f ′(x)<0，f(x)在(−1,ln2)上单调递减；ln2<x ≤1时，f ′(x)>0，f(x)在(ln2,1]上单调递增． ∴ f(x)min =f(ln2)=2−2ln2， 又f(−1)=e −1+2，f(1)=e −2， 则{f(−1)=e −1+2>0，f(1)=e −2>0，f(ln2)=2−2ln2，f(x)max =f(−1)=1e +2，∴ 若f(x)与y =a 在x ∈[−1,1]恰有2个交点时，2−2ln2<a ≤e −2，∴ 实数a 的取值范围为 (2−2ln2,e −2]． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 由函数零点求参数取值范围问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f(x)=e x −2x ，∴ f ′(x)=e x −2， ∴ f ′(0)=−1，又f(0)=1，∴ 曲线y =f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y −1=−x ， 即|x +y −1=0．(2)∵ 函数g(x)=f(x)−a ，x ∈[−1,1]恰有2个零点，g(x)=e x −2x −a ， ∴ f(x)与y =a 在x ∈[−1,1]恰有2个交点， ∴ f′(x)=e x −2． 故当 −1≤x <ln2时，f ′(x)<0，f(x)在(−1,ln2)上单调递减；ln2<x ≤1时，f ′(x)>0，f(x)在(ln2,1]上单调递增． ∴ f(x)min =f(ln2)=2−2ln2， 又f(−1)=e −1+2，f(1)=e −2， 则{f(−1)=e −1+2>0，f(1)=e −2>0，f(ln2)=2−2ln2，f(x)max =f(−1)=1e +2，∴ 若f(x)与y =a 在x ∈[−1,1]恰有2个交点时， 2−2ln2<a ≤e −2，∴ 实数a 的取值范围为 (2−2ln2,e −2]． 【答案】解：(1)由已知得 tanA =−√3 ， 所以A =2π3.在△ABC 中，由余弦定理得 28=4+c 2−4c ⋅cos2π3，即c 2+2c −24=0，解得c =−6（舍去）或c =4． (2)由题设可得∠CAD =π2， 所以∠BAD =∠BAC −∠CAD =π6， 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB⋅AD⋅sin π612AC⋅AD =1，又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC =2√3，所以△ABD 的面积为√3． 【考点】 解三角形 余弦定理 三角函数值的符号 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由已知得 tanA =−√3 ， 所以A =2π3.在△ABC 中，由余弦定理得 28=4+c 2−4c ⋅cos2π3，即c 2+2c −24=0，解得c =−6（舍去）或c =4． (2)由题设可得∠CAD =π2， 所以∠BAD =∠BAC −∠CAD =π6， 故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB⋅AD⋅sin π612AC⋅AD =1，又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC =2√3， 所以△ABD 的面积为√3． 【答案】解：(1)由f(x)=xlnx ，x >0， 可得f ′(x)=lnx +1， 令f ′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,1e )时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(1e ,+∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 可得最小值为f(1e )=−1e .(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)有且只有一个零点为x =1e ， ∵ t >0， ∴ t +2>1e .①0<t <1e 时，f(x)在[t,1e ]单调递减，在(1e ,t +2]单调递增， g(t)=f(1e)=−1e；②t =1e时，g(t)=−1e；③t >1e 时，f(x)在[t,t +2]上单调递增， ∴ g(t)=tlnt ；综上，0<t ≤1e时，g(t)=−1e，t >1e 时，g(t)=tlnt ． (3)证明：要证lnx >1e x−2ex在(0,+∞)恒成立，只需证xlnx >xe x −2e 在(0,+∞)恒成立， 即f(x)>xe x −2e 在(0,+∞)恒成立. 设ℎ(x)=xe x −2e ， 则ℎ′(x)=1−x e x ，0<x <1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1)上单调递增， x >1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减， ∴ ℎ(x)的最大值在x =1处取值，且ℎ(1)=1e−2e=−1e.由(1)知f(x)最小值在x =1e 处取值f(1e )=−1e ， ∴ f(1e )=ℎ(x)max >ℎ(x).综上可证：对一切x ∈(0,+∞)都有lnx >1ex −2ex成立．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】 此题暂无解析【解答】解：(1)由f(x)=xlnx ，x >0， 可得f ′(x)=lnx +1， 令f ′(x)=0，得x =1e ，当x ∈(0,1e )时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(1e ,+∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 可得最小值为f(1e)=−1e.(2)由(1)知f(x)在(0,+∞)有且只有一个零点为x =1e，∵ t >0， ∴ t +2>1e .①0<t <1e时，f(x)在[t,1e ]单调递减，在(1e ,t +2]单调递增， g(t)=f(1e )=−1e ； ②t =1e 时，g(t)=−1e ；③t >1e 时，f(x)在[t,t +2]上单调递增，∴ g(t)=tlnt ；综上，0<t ≤1e 时，g(t)=−1e ， t >1e 时，g(t)=tlnt ．(3)证明：要证lnx >1e x −2ex 在(0,+∞)恒成立， 只需证xlnx >x e x −2e在(0,+∞)恒成立，即f(x)>xe x −2e 在(0,+∞)恒成立. 设ℎ(x)=xe x −2e ， 则ℎ′(x)=1−x e x ，0<x <1时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1)上单调递增， x >1时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减， ∴ ℎ(x)的最大值在x =1处取值，且ℎ(1)=1e −2e =−1e . 由(1)知f(x)最小值在x =1e 处取值f(1e )=−1e ， ∴ f(1e )=ℎ(x)max >ℎ(x).综上可证：对一切x ∈(0,+∞)都有lnx >1e x −2ex 成立．。
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2021年秋期高中三年级期中质量评估
数学试题(文)
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷和草稿纸上无效。
4.考试结束，只交答题卡。
第I卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有
A.7个
B.8个
C.15个
D.16个
2.设iz＝4＋3i，则z＝
A.－3－4i
B.－3＋4i
C.3－4i
D.3＋4i
3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。
若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为
A.2020
B.1348
C.1347
D.672
4.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为
A.∀x∈R，e x－x－1≥0
B.∀x∈R，e x－x－1>0
C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0
D.∃x0∈R，0x e－x0－1>0
5.已知f(x)＝1
4
x2＋sin(
2
＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是
6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则
A.a>c>b
B.b>c>a
C.c>b>a
D.c>a>b
7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩
，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为
A.－1
B.0
C.1
D.3
8.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.已知x>1，y>0，且1211x y
+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。
若OC xOA yOB =+，其中x 、y ∈R ，则x ＋y 的最大值是
2 B.2
3 D.3
11.设函数f(x)＝sin(ωx ＋5
π)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点。
下述四个结论： ①f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f(x)在(0，10π)上单调递增； ④ω的取值范围是[125，2910
)。
其中所有正确结论的编号是
A.①④
B.②③
C.①②③
D.①③④
12.已知函数f(x)＝
x x e ，则下列说法错误．．的是 A.f(2)>f(3)
B.函数f(x)的最大值为1e
C.若方程f(x)－m ＝0恰有两个不等的实根，则实数m 的取值范围为(－∞，
1e ) D.若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则x 1＋x 2>2
第II 卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量a ＝(2，5)，b ＝(λ，4)，若a//b ，则λ＝ 。
14.已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则实数x 的取值范围为 。
15.已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)，(ω>0，|φ|<2
π)的部分图象如图所示，则f(24π)＝ 。
16.已知直线y ＝－x ＋2分别与函数y ＝e x 和y ＝lnx 的图象交于点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，现给出下述结论：①x 1＋x 2＝2；②12x x e e +>2e ；③x 1lnx 2＋x 2lnx 1<0；④x 1x 2>
e 2。
则其中正确的结论序号是 。
三、解答题(本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
在①S n ＋1＝4S n ＋2，②3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R)，③3S n ＝a n ＋1－2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解。
问题：已知数列{a n }中a 1＝2，其前n 项和为S n ，且满足 。
记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求数列{b n }的通项公式。
18.(本小题满分12分)
已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(cosB ，cosC)，n ＝(2a ＋c ，b)，且m ⊥n 。
(1)求角B 的大小；
(2)若b 3a ＋c 的取值范围。
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e x (ax ＋b)－x 2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4。
(1)求实数a ，b 的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值。
20.(本小题满分12分)
已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7。
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和。
21.(本小题满分12分)
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。
一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min。
在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C。
假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，
山路AC长为1260m，经测量，cosA＝12
13
，cosC＝
3
5。
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
22.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝e x－a(x＋2)。
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围。