复变函数课后习题答案(全)

习题一答案之巴公井开创作

1．

求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：

（1）132i

+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310

i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32

z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+

因此，Re 1, Im 3z z =-=，

2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2

）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+

（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤

解：（1）2cos sin 22i

i i e ππ

π

=+= （2

）1-+23222(cos sin )233

i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=

（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=

（5）2

1cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值：

（1

）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-

（3

）(1)(cos sin )(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+-- （4）2

3(cos5sin5)(cos3sin3)

i i ϕϕϕϕ+- （5

（6

解：（1

）5)i -5[2(cos()sin())]66

i ππ

=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3

）(1)(cos sin )(1)(cos sin )

i i i θθθθ-+-- （4）2

3(cos5sin5)(cos3sin3)

i i ϕϕϕϕ+- （5

=（6

=

4．

设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ

=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212

i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程：

（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1

）z i += 由此

25k i z i e i π=-=-， (0,1,2,3,4)k =

（2

）z ==11[cos (2)sin (2)]44

a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为

：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+

则

z x y ≤≤+

证明：首先，显然有z x y =≤+；

其次，因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+

从而

z =≥

。 （2）对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++

证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y =+++，

而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++-

2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++， 由此，左端=右端，即原式成立。

（3）若a bi +是实系数代数方程

101100n n n a z a z a z a --++++=

的一个根，那么a bi -也是它的一个根。

证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，而且根据复数的乘法运算规则，()n n z z =，由此得到：10110()()0n n n a z a z a z a --++++=

由此说明：若z 为实系数代数方程的一个根，则z 也是。结论得证。

（4）若1,a =则,b a ∀≠皆有1a b a ab

-=- 证明：根据已知条件，有1aa =，因此：

11()a b a b a b a ab aa ab a a b a

---====---，证毕。 （5）若1, 1a b <<，则有11a b ab -<- 证明：222

()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--， 222

1(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，

因为1, 1a b <<，所以， 222222

1(1)(1)0a b a b a b +--=--< ，

因而221a b ab -<-，即11a b ab -<-，结论得证。 7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。

解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，