数值分析实验报告2——Runge现象

数值分析课程实验报告——插值逼近
题目一.Runge 函数的插值
1. Runge 函数
Runge 函数的表达式为：
2
1()125R x x =+ 其在[-1,1]区间上的函数图像如图1.1。

在课程学习中我们知道，对Runge 函数进行高次插值时有可能在两端出现不收敛的情况，即Runge 现象。

下面将分别用四种不同的插值方法在[-1,1]区间上对Runge 函数进行插值，并分析是否产生Runge 现象，比较插值效果。

图1.1.Runge 函数在[-1,1]区间的函数图像
2.Newton 插值
首先根据课本上的Newton 插值算法进行编程（代码略）。

核心思想就是用符号变量进行中间运算，以便将最终的插值函数用符号表达式表示出来，并进一步生成图像。

此处插值节点选择为等距插值节点，即：
0.1(0,1,2,,)i x ih i =-+= (20)
其中h=0.1。

插值曲线与原曲线的对比如图1.2（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，在区间中部，二者吻合较好；但在区间两端二者则产生了明显偏差，甚至可以达到一个非常大的数值（e20量级）。

因此，在等距节点的20次Newton 插值下，产生了明显的Runge 现象。

图1.2.Newton 插值曲线与原曲线对比
3. Lagrange 插值
此处同样是根据Lagrange 插值的具体算法进行编程。

但插值节点不再是等距分布，而是如下形式：
21cos()(0,1,2,,)42
i i x i π+==…20 插值曲线与原曲线的对比如图1.3（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，插值曲线与原曲线吻合的很好，没有产生明显的Runge 现象。

对比产生了明显Runge 现象的20次Newton 插值，Lagrange 插值的最高次数虽然也是20，但由于此处的插值节点不是等距分布的（事实上，此处采用的插值节点正是Chebyshev 多项式的零点），而是中间疏两边密，因此两侧较密的节点很好地抑制了Runge 现象。

图1.3. Lagrange插值曲线与原曲线对比
4.分段线性插值
分段线性插值是这几种插值方法中最容易处理的一个，只需要将每个节点对应的函数值求出再将相邻的数据点两两用直线相连即可。

此处采用了等距节点，所得插值曲线与原曲线对比如图1.4（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中
图1.4. 分段线性插值曲线与原曲线对比
看出，此处分段线性插值的效果也还是不错的，二者只在区间中部略微存在一些偏差，而在其他区域整体上吻合的很好，并且不存在Runge现象。

这是由于分段线性插值通过对插值区间分段的方法将插值函数的次数有效降低，因而即使是等距节点分布，也很好地避免了出现Runge现象的倾向。

5.三次样条插值
三次样条插值是这四种插值方法中编程最麻烦的，但并不是说存在多大的技术难度，只是因为插值过程中的步骤比较繁琐，因而代码也显得较为冗长。

此处依然采用等距节点，所得插值曲线与原曲线对比如图1.5（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，三次样条插值的效果比分段线性插值更胜一筹，三次样条插值曲线和原曲线在整个插值区间都基本处于重合状态，几乎没有肉眼可见的偏差。

同样，由于三次样条插值的插值函数最高次数只有3，在等距节点下也没有产生Runge现象。

图1.5.三次样条插值曲线与原曲线对比
题目二.分段函数的插值
1. 分段函数
定义在[-1,1]区间的分段函数的函数表达式为：
sin ,101()cos ,0210,12
x x f x x x x ππ⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩ 其函数图像如图2.1。

分段函数最大的特点就是在个别点上函数值或导数值存在突变，因此可以预计，除了可能出现的Runge 现象外，在那些突变点附近的插值结果也可能会出现较大的偏差。

下面将分别采用之前的四种插值方法在该函数的[-1,1]定义域内对其进行插值。

图2.1.分段函数图像
2.Newton 插值
首先根据课本上的Newton 插值算法进行编程。

此处插值节点选择为等距插值节点，即：
0.1(0,1,2,,)i x ih i =-+= (20)
其中h=0.1。

插值曲线与原曲线的对比如图2.2（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，与Newton 法对Runge 函数的插值结果相比，Newton 法对于该分段函数的插值效果显得更加糟糕：不仅在区间两端产生了极强烈的震荡（即Runge 现象），就连区间中部也存在较小的上下震荡。

因此，从整体来看，几乎所有距插值节点稍远的点都存在较大的偏差，这表明该分段函数在等距节点下的20次Newton 插值效果非常不理想。

图2.2.Newton 插值曲线与原曲线对比
3. Lagrange 插值
此处同样是根据Lagrange 插值的具体算法进行编程。

但插值节点不再是等距分布，而是如下形式：
21cos()(0,1,2,,)42
i i x i π+==…20 插值曲线与原曲线的对比如图2.3（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，与同样次数的Newton 法相比，Lagrange 法所得的插值曲线虽然在区间中部的分布与其相似，但在区间两端较好地收敛到了原曲线上，即较好地消除了Runge 现象。

这同样是因为此处的插值节点不是等距分布的（事实上，此处采用的插值节点正是Chebyshev 多项式的零点），而是中间疏两边密，因此两侧较密的节点很好地抑制了Runge 现象。

图2.3. Lagrange插值曲线与原曲线对比
4.分段线性插值
分段线性插值是这几种插值方法中最容易处理的一个，只需要将每个节点对应的函数值求出再将相邻的数据点两两用直线相连即可。

此处采用了等距节点，
图2.4. 分段线性插值曲线与原曲线对比
所得插值曲线与原曲线对比如图2.4（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，此处分段线性插值的效果较好，二者只在区间中部函数值的突变点附近存在一些偏差，而在其他区域整体上吻合的很好，不存在Runge现象。

这是由于分段线性插值通过对插值区间分段的方法将插值函数的次数有效降低，因而即使是等距节点分布，也很好地避免了出现Runge现象的倾向。

5.三次样条插值
三次样条插值是这四种插值方法中编程最麻烦的，但并不是说存在多大的技术难度，只是因为插值过程中的步骤比较繁琐，因而代码也显得较为冗长。

此处依然采用等距节点，所得插值曲线与原曲线对比如图2.5（蓝色为原曲线，红色为插值曲线）。

从图中看出，三次样条插值的效果与分段线性插值相近，也是在区间中部的函数值突变处有一定的偏差，而其他区域都吻合较好，也没有产生Runge现象。

同样，这也是由于三次样条插值的插值函数最高次数只有3，因此在等距节点下进行插值也没有产生Runge现象。

图2.5.三次样条插值曲线与原曲线对比
三.总结
本文通过matlab编程分别采用Newton插值法、Lagrange插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法对Runge函数和一个分段函数进行了插值逼近，插值区间[-1,1]，插值节点21个，并通过分析计算结果主要得到了以下结论：
1.插值多项式次数过高时会产生严重的Runge现象。

本实验中，无论是Runge 函数还是分段函数的20次Newton插值多项式都产生了严重的Runge现象，区间两端处的插值出现剧烈震荡，严重失真。

2.同样是高次插值多项式，若适当选取插值节点能够在一定程度上抑制Runge现象。

本实验中，Runge函数和分段函数的20次Lagrange插值多项式由于采用了中间疏两边密的非等距结点，而不是Newton插值多项式所用的等距节点，有效地抑制或消除了本应出现的Runge现象（这里说“本应出现”是经过计算验证的，若取等距节点，则20次的Lagrange插值多项式也会出现严重Runge 现象）。

3.降低插值多项式的次数能有效避免Runge现象。

本实验中，分段线性插值法（各区间上均为1次）和三次样条插值法（最高次数为3）都取得了较为理想的差值逼近效果，没有出现Runge现象，且在整个插值区间都与原函数的图像吻合的很好。

4.与连续函数相比，存在不连续点的分段函数的插值逼近误差更大，且更加不稳定。

本实验中，对连续的Runge函数进行插值逼近时，除了等距节点的高次Newton多项式出现严重Runge现象，其余三种方法基本都收敛到了原曲线上，取得了不错的插值逼近效果；而对分段函数进行插值逼近时，除了等距节点的高次Newton多项式的逼近效果非常糟糕外（巨大偏差，严重震荡），其余三种方法虽然没有出现Runge现象，但在不连续点（x=0）的附近区域都存在一定的误差，整体逼近效果逊色于对连续Runge函数的插值逼近。

综上，在实际运用中，为了取得较好的插值逼近效果，应尽量保证以下几点：不采用次数过高的插值多项式；适当选取插值节点；避免函数值突变，若不得已对存在不连续点的函数进行插值逼近，可以尝试分段插值，并将不连续点都处理到子区间的端点上，从而原函数在各子区间内分段连续，以便提高插值逼近的效果。