(沪教版)三年级数学上册讲义--第18讲-植树问题周期问题(含答案)--

1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用；

2．解决有关周期性问题的关键是确定循环周期．

（此环节设计时间在10—15分钟）

一、植树问题

为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。

显然，只有下面四种情形：

(1)非封闭线的两端都有“点”时，

“点数”＝“段数”＋1。

(2)非封闭线只有一端有“点”时，

“点数”=“段数”。

(3)非封闭线的两端都没有“点”时，

“点数”＝“段数”－1。

(4)封闭线上，“点数”=“段数”。

最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。

问题1、一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？

分析：这是第(1)种情形，所以要栽树420÷3＋1＝141(棵)。

问题2、肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？

分析：由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷2＝20(棵)。

问题3、两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？

分析：因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-1＝14(棵)。

问题4、一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？

分析：这属于第(4)种情形，共能放花60÷3＝20(盆)。

许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。

二、周期问题：

答案：这个数列从第二个数开始循环，周期是2，(16－1)÷2＝7……1，所以第16个数是2．

（此环节设计时间在40—50分钟）

板块一、非封闭的植树问题

【例 1】大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？

【解析】从图上可以看出，每隔4米种一棵树，如果20米长的路的一边共种了6棵树，这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵，就是说种树的棵树要比间距的个数多1，所以列式为：400÷4+1=101（棵）.【例 2】从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?

【解析】该题含植树问题、相差关系两组数量关系.从小熊家到小猪家的距离是：45×(53-1)=2340(米)，间隔距离变化后，两地之间种树：2340÷60+1=40(棵)，所以可余下树：53-40=13(棵) ，

综合算式为：53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).

板块二、封闭的植树问题（方阵）

【例 3】公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米．如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？

两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？

【解析】在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的株数正好等

探索

9个格，今天早晨8点整的时候，指针恰好从0跳到9，问：昨天晚上8点整的时候指针指着几？

【解析】 昨晚8点至今早8点，共经历6012720⨯=(分钟)，72071026÷=，说明从今早8点整起，7分钟，

7分钟…往回数，昨晚8点后，第1次指针跳是8点6分，直到今早7点53分，指针正好跳到“0”位，指针共跳了102次．

由于每次跳9格，所以共跳了9102918⨯=(格)．每20格一圈，918204518÷=，因此从“0”位开始，往回倒45圈，还要倒回18格，正是昨晚8点时指针所指处：20182-=，因此昨晚8点整时指针正指着2．

此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。

练习1：从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求还需要多少根电线杆？

【解析】 该题含植树问题、相差关系两组数量关系.

解：①从甲地到乙地距离多少米?

40(511)2000⨯-=(米)

②间隔距离变化后，甲乙两地之间安装多少根电线杆?

200020100÷=(根)，1001101+=（根）

③还需要下多少根电线杆?

1015150-=(根)

综合算式：[40(511)201]5150⨯-÷+-=(根)

练习2：马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米？

【解析】 张军5分钟看到501棵树意味着在马路的两端都植树了；只要求出这段路的长度就容易求出汽车速

度.

解：5分钟汽车共走了：9(5011)4500⨯-=(米)，

汽车每分钟走：45005900÷=(米)，

汽车每小时走：9006054000⨯=(米)54=(千米)

列综合式：9(5011)560100054⨯-÷⨯÷=(千米)

练习3：新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？

【解析】 先让学生自己思考，待大家都有结果后，让学生思考一个问题：相邻两层差几个人．外层134448

⨯-=人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48840-=人，共88人．

练习4：（1）44⨯⨯……4⨯（25个4），积的个位数是几？

（2）24个2相乘，积末位数字是几？

【解析】 （1）按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的

末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以25212÷=…1，25个4相乘，积的末位数字是4．

（2）按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组2446÷=，所以24个2相乘，积末位数字是6．

练习5：1999年的元旦是星期五，那么据此你知道2005年的元旦是星期几吗？

【解析】 00、04是闰年，01、02、03、05是平年，一共度过了：365×6＋2=2192（天），2192÷7=313…1，2005

年的元旦是星期六

（此环节设计时间在5—10分钟内）