二次函数与圆知识点总结1

初三数学二次函数和圆的知识点总结
1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2
++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.
2.二次函数2
ax y =的性质
（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2
ax y =的图像与a 的符号关系.
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；
②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2
ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax
y ++=2
的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.
4.二次函数c bx ax
y ++=2
用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中a
b
ac k a
b h 4422
-=
-
=，.
5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax
y +=2
；③()2
h x a y -=；④
()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax
y ++=2
.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax
y 4422
2
2
-+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=，∴顶点是
），（a
b
ac a b
4422
--，对称轴是直线a
b x 2-=.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2
的形式，得到顶点为(h ,k )，
对称轴是直线h x =.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线
是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax
y ++=2
中，c b a ,,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax
y ++=2
的对称轴是直线
a
b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②
0>a
b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；
③
0<a
b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：
①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a
b .
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式
开口方向 对称轴
顶点坐标
2
ax y =
当0>a 时 开口向上 当0<a 时
开口向下
0=x （y 轴） （0,0） k ax
y +=2
0=x （y 轴） (0, k ) ()2
h x a y -= h x =
(h ,0) ()k h x a y +-=2
h x =
(h ,k )
c bx ax
y ++=2
a
b x 2-
=
(a
b a
c a b
4422
--，)
11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：c bx ax
y ++=2
.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：()k h x a y +-=2
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点
（1）y 轴与抛物线c bx ax
y ++=2
得交点为(0, c ).
（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2
有且只有一个交点(h ,c bh ah
++2
).
（3）抛物线与x 轴的交点 二次函数c bx ax
y ++=2
的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程
02
=++c bx ax
的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵
坐标为k ，则横坐标是k c bx ax
=++2
的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02
≠++=a c bx ax
y 的图像G 的交点，由方程
组
c
bx ax
y n kx y ++=+=2
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方
程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax
y ++=2
与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，
由于1x 、2x 是方程02
=++c bx ax
的两个根，故
a
c x x a
b x x =
⋅-
=+2121,()
()a
a
ac b
a c a
b x x x x x x x x AB ∆=
-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
--=
-=
-=4442
2
212
212
2121
1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”.
几何表达式举例： ∵ CD 过圆心
∵CD ⊥AB
2.平行线夹弧定理：
圆的两条平行弦所夹的弧相等.
几何表达式举例：
3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.
几何表达式举例：
(1) ∵∠AOB=∠COD
∴ AB = CD
(2) ∵ AB = CD
∴∠AOB=∠COD
4．圆周角定理及推论:
（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)
（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形.(如图)
（1） （2）（3） （4）
几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=
2
1∠AOB
∴ …………… （2） ∵ AB 是直径
∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90°
∴ AB 是直径
（4） ∵ CD=AD=BD
∴ ΔABC 是Rt Δ
5．圆内接四边形性质定理:
圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC
∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理:
如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理.
（1）经过半径的外端并且垂直于这条
半径的直线是圆的切线；
（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；
※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
几何表达式举例： （1） ∵OC 是半径
∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2） ∵OC 是半径
∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB （3） ……………
A
B
C
D O
A
B
C
D
E
O 平分优弧
过圆心垂直于弦平分弦
平分劣弧
∴
AC BC
AD
BD
==
AE=BE A
B C D
E
F
O
A
B
C
O
A
B
C
D
E
A B C
O
A
B
C
D
∵
∴
∥ =AB CD AC BD
A
B
C
O
是半径垂直
是切线
7．切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线， 它们的切线长相等；圆心和这一 点的连线平分两条切线的夹角.
几何表达式举例：
∵ PA 、PB 是切线 ∴ PA=PB
∵PO 过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论:
（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；
（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； （3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） 几何表达式举例： （1）∵BD 是切线，BC 是弦
∴∠CBD =∠CAB
（2）
∵ ED ，BC 是切线
∴ ∠CBA =∠DEF
9．相交弦定理及其推论:
（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等； （2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.
几何表达式举例：
（1） ∵PA ²PB=PC ²PD
∴……… （2） ∵AB 是直径
∵PC ⊥AB
∴PC 2
=PA ²PB
10．切割线定理及其推论:
（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.
几何表达式举例： （1） ∵PC 是切线，
PB 是割线 ∴PC 2
=PA ²PB （2） ∵PB 、PD 是割线
∴PA²PB=PC ²PD
11．关于两圆的性质定理:
（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦； （2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.
（1） （2）
几何表达式举例： （1） ∵O 1，O 2是圆心
∴O 1O 2垂直平分AB （2） ∵⊙1 、⊙2相切
∴O 1 、A 、O 2三点一
线 12．正多边形的有关计算:
（1）中心角αn ，半径R N ， 边心距r n ，
边长a n ，内角βn ， 边数n ；
（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行.
公式举例：
(1) αn =n
360︒； (2)
n
1802
n ︒=
α
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F P
A
B
O
A
B
C
P
A
B
C
D
P
A
B O1
O2
A
O1
O2
αn
βn
A
B
C
D
E
O
a r n
n
n
R A
B
C
D
P
A
B
C
P
O ∵ EF AB
=
A
B
O
几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高 三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦 切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外） 公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正 多边形的中心角. 二 定理：
1．不在一直线上的三个点确定一个圆.
2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式：
1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180
R n π；（3）圆的面积S=πR 2
.
（4）扇形面积S 扇形 =
LR
2
1360
R n 2
=
π；（5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图）
2.圆柱与圆锥的侧面展开图：
（1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR
21. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径）
四 常识：
1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数.
3． 三角形的外心 ⇔ 两边中垂线的交点 ⇔ 三角形的外接圆的圆心；
三角形的内心 ⇔ 两内角平分线的交点 ⇔ 三角形的内切圆的圆心.
4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径）
直线与圆相交 ⇔ d ＜r ； 直线与圆相切 ⇔ d=r ； 直线与圆相离 ⇔ d ＞r.
5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）
两圆外离 ⇔ d ＞R+r ； 两圆外切 ⇔ d=R+r ； 两圆相交 ⇔ R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 ⇔ d=R-r ； 两圆内含 ⇔ d ＜R-r.
6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线.
7．关于圆的常见辅助线：
O
C
A
B
已知弦构造弦心距.
O
A B
C
已知弦构造Rt Δ.
O
A
B
C
已知直径构造直角.
O
A
B
已知切线连半径，出
垂直.
O B
C
A
D
P
圆外角转化为圆周角.
O
A
C
D
B
P
圆内角转化为圆周角.
O D
C
P
A
B
构造垂径定理.
O
A
C D
P
B
构造相似形.
M
01
A
N
O2
两圆内切，构造外公切线与垂直.
01
C
N
O2
D
E
A
B
M
两圆内切，构造外公切线与平行.
N
A
M
02
O1
两圆外切，构造内公切线与垂直.
C
B
M
N
A
D
E
O1
02
两圆外切，构造内公切线与平行.
C
E A D
B O
两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.
A
C
B
O1
02
两圆相交构造公共弦，
连结圆心构造中垂线. B
A
C
O
P
PA 、PB 是切线，构造双垂图形和全等.
O
A
B
C
D
E
相交弦出相似.
O
P
A
B
C
一切一割出相似, 并且构造弦切角.
O
B
C
E
A
D
P
两割出相似,并且构造圆周角.
O
A
B
C
P
双垂出相似,并且构造直角.
B A
C
D
E
F
规则图形折叠出一对全等，一对相似.
F
E
D
B
A
C O
G
H
圆的外切四边形对边和相等.
A
B
O
C
D
若AD ∥BC都是切线，连
结OA、OB可证∠
AOB=180°，即A、O、B
三点一线.
E
A
C
B
O
D
等腰三角形底边上的
的高必过内切圆的圆
心和切点,并构造相
似形.
E
F
C
D
B
A
O
RtΔABC的内切圆
半径：r=
2
c
b
a-
+
.
O
补全半圆.
A
B
C
o1o2
AB=2
2
2
1
)r
R
(
O
O-
-.
C
A
B
o1o2
AB=2
2
2
1
)r
R
(
O
O+
-.
A
C D P
O B
PC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.
B
C
D
O
A
P
O是圆心，等弧出平行和相似.
D E
M
A
B C
F
N
G
作AN⊥BC，可证出:
AN
AM
BC
GF
=.。