高中数学 考点55 不等式选讲(含高考试题)新人教A版

考点55 不等式选讲

一、选择题

1.（2013·安徽高考理科·Ｔ4）“a ≤0”“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的 （ ）

A. 充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解题指南】 画出函数()=(-1)f x ax x 的简图，数形结合判断。

【解析】选 C.由函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增可得其图象如图所示，

,由图象可知选项C 正确。

二、填空题

2. （2013·陕西高考理科·Ｔ15）已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 . 【解题指南】利用柯西不等式求解.

【解析】

212)()())(22=⋅=+⋅=⋅+⋅≥++b a mn bm bn an am bm an bn am （,且仅当 n m bm

bn

an am =⇒=时取最小值 2. 【答案】 2.

3. （2013·陕西高考文科·Ｔ15）设a , b ∈R , |a －b |>2, 则关于实数x 的不等式||||2x a x b -+->的解集是 .

【解题指南】利用绝对值不等式的基本知识||||b x a x -+-表示数轴上某点到a ，b 的距离之和即可得解.

【解析】函数||||)(b x a x x f -+-=的值域为：

2||)().|,[|>-≥∈∀+∞-b a x f R x b a 时，因此，当.

所以，不等式2||||>-+-b x a x 的解集为R 。 【答案】 R.

4.（2013·江西高考理科·Ｔ15）在实数范围内，不等式||x 2|1|1--≤的解集为___________.

【解题指南】根据绝对值的意义去绝对值符号求解.

【解析】由绝对值的意义，||x 2|1|1--≤等价于0|x 2|2≤-≤，即

2x 22-≤-≤，即0x 4≤≤.

【答案】[0,4].

5. （2013·重庆高考理科·Ｔ16）若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数

a 的取值范围是

【解题指南】 利用绝对值不等式的性质进行求解.

【解析】不等式53x x a -++<无解，即()

min

35++-≤x x a

因为8)3()5(35=+--≥++-x x x x ,所以8≤a 【答案】 (]8,∞-.

6. （2013·湖北高考理科·Ｔ13）设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2

+y 2

+z 2

=1,x+2y+3z=14,则

x+y+z=

【解题指南】根据柯西不等式等号成立的条件，求出相应的x ，y ，z 的值。

【答案】

7

. 7. （2013·湖南高考理科·Ｔ10）已知a,b,c ∈R,a+2b+3c=6,则a 2

+4b 2

+9c 2

的最小值为 .

【解题指南】本题是利用柯西不等式2

3322112

3222123222

1)())((b a b a b a b b b a a a ++≥++++求最值

【解析】因为36

)32()94)(111(2

2

2

2

2

2

2

=++≥++++c b a c b a ，所以

1294222≥++c b a

【答案】 12. 三、解答题

8.（2013·辽宁高考文科·Ｔ24）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ24）相同 已知函数(), 1.f x x a a =->其中

()I 当2a =时，求不等式()44f x x ≥--的解集；

()II 已知关于x 的不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}12x x ≤≤，求a 的值。

【解题指南】利用绝对值的意义，去掉绝对值号，转化为整式不等式问题，是常用的化归方法.

【解析】()I 当2a =时，26,

2,()42,

24,26, 4.x x f x x x x x -+≤⎧⎪

+-=-<<⎨⎪-≥⎩

当2x ≤时，由()442641f x x x ≥--⇒-+≥⇒≤； 当24x <<时，由()4424f x x ≥--⇒≥，不成立； 当4x ≥时，由()442645f x x x x ≥--⇒-≥⇒≥； 综上，1,5x x ≤≥或

所以，当2a =时，不等式()44f x x ≥--的解集为{}

1,5.x x x ≤≥或

()II 记()(2)2()22h x f x a f x x x a =+-=--

则2,

0,()42,

0,2,.

a x h x x a x a a x a -≤⎧⎪

=-<<⎨⎪≥⎩

由(2)2()2f x a f x +-≤得()2h x ≤， 即11

422242222

a a x a x a x -+-≤⇒-≤-≤⇒

≤≤ 由已知不等式(2)2()2f x a f x +-≤的解集为{}

12x x ≤≤ 亦即()2h x ≤的解集为{}

12x x ≤≤

所以

1

1 2

1

2

2

a

a

-

⎧

=

⎪⎪

⎨

+

⎪=

⎪⎩

解得 3.

a=24.

9.（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ24）与（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ24）相同已知函数|

2|

|1

2|

)

(a

x

x

x

f+

+

-

=,3

)

(+

=x

x

g

（Ⅰ）当2

-

=

a时，求不等式)

(

)

(x

g

x

f<的解集；

（Ⅱ）设1

-

>

a,且当]

2

1

,

2

[

a

x-

∈)时，)

(

)

(x

g

x

f≤,求a的取值范围.

【解析】当2

-

=

a时，不等式)

(

)

(x

g

x

f<化为0

3

|2

2|

|1

2|<

-

-

-

+

-x

x

x.

设函数3

|2

2|

|1

2|-

-

-

+

-

=x

x

x

y，则

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

>

-

≤

≤

-

-

<

-

=

1

,6

3

1

2

1

,2

2

1

,

5

x

x

x

x

x

x

y

其图象如图所示，

从图象可知，当且仅当)2,0(

∈

x时，0

<

y.所以原不等式的解集是}2

0|

{<

x.

（Ⅱ）当]

2

1

,

2

[

a

x-

∈时，a

x

f+

=1

)

(.

不等式)

(

)

(x

g

x

f≤化为3

1+

≤

+x

a.

所以2

-

≥a

x对]

2

1

,

2

[

a

x-

∈都成立，故2

2

-

≥

-a

a

，即

3

4

≤

a.