椭圆知识点与性质大全
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
椭圆与方程
【知识梳理】 1、椭圆的定义
平面内,到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆,其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点,定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。此定义为椭圆的第一定义。 2、椭圆的简单性质
3、焦半径
椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地,若00(,)P x y 为椭圆
()22
2210x y a b a b +=>>上的任意一点,1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-,其中c e a =.
4、通径
过椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线,交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径,且
2
2b AB a =。
P 为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上的任意一点,1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,称12PF F ∆为椭圆的焦点三角
形,其周长为:1222F PF C a c ∆=+,若12F PF θ∠=,则焦点三角形的面积为:122tan 2F PF S b θ
∆=.
6、过焦点三角形
直线l 过椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ,与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点,称2ABF ∆为椭圆的过焦点三
角形,其周长为:24ABF C a ∆=,面积为212y y c S ABF -=∆.
7、点与椭圆的位置关系
()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>:若2200221x y a b +=,则P 在椭圆上;若22
00221x y a b +>,则P 在椭圆外;若2200
221x y a b
+<,则P 在椭圆内。
8、直线与椭圆的位置关系
直线:0l Ax By C ++=,椭圆Γ:22
221(0)x y a b a b +=>>,则
l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>;
l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=;
l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<.
9、焦点三角形外角平分线的性质(*)
点(,)P x y 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点, M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且
【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠:交椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>于C D 、两点,交直线22l y k x =:于点E .若E 为
CD 的中点,则2
122b k k a =-.
11、中点弦的斜率
()()000,0M x y y ≠为椭圆()22
2210x y a b a b +=>>内的一点,直线l 过M 与椭圆交于,A B 两点,且AM BM =,则直线
l 的斜率20
20
AB
b x k a y =-。
12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值
若A 、B 为椭圆C :()22
2210x y a b a b
+=>>上的两个动点,O 为坐标原点,且OA OB ⊥.则
2211||||OA OB +=定值
22
11
a b +
.
【典型例题】
例1、直线1y kx =+与椭圆
22
15x y m
+=恒有公共点,则m 的取值范围是__________. 【变式1】已知方程
1352
2-=-+-k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围__________. 【变式2】椭圆
12
2x y 的两个焦点坐标分别为__________.
例2、已知圆()1003:22=++y x A ,圆A 内一定点()3,0B ,圆P 过点B 且与圆A 内切,求圆心P 的轨迹方程。
【变式1】已知圆()11:2
2
1=++y x O ,圆()91:2
2
2=+-y x O ,动圆M 分别与圆1O 相外切,与圆2O 相内切。
求动圆圆心M 所在的曲线的方程。
【变式2】已知ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -,ABC ∆的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为__________.
程.
例3、若P 是椭圆13
42
2=+y x 上的点,1F 和2F 是焦点,则 (1)21PF PF ⋅的取值范围为__________. (2)12PF PF ⋅的取值范围为__________.
(3)2
2
12PF PF +的取值范围为__________.
【变式1】点(,)P x y 是椭圆22
194
x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的焦点,M 是1PF 的中点,且12PF =,O 为坐标原点,则OM =_______。
【变式2】点(,)P x y 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点,M 是12F PF ∠的外角平分线
上一点,且20F M MP ⋅=,则动点M 的轨迹方程为________.
例4、已知椭圆
22
12516
x y +=内有一点()2,1A ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求PA PF +的最大值与最小值__________.
【变式】若椭圆17
162
2=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,过点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则B AF 2∆的周长为__________.