椭圆知识点与性质大全

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椭圆与方程

【知识梳理】 1、椭圆的定义

平面内,到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆,其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点,定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。此定义为椭圆的第一定义。 2、椭圆的简单性质

3、焦半径

椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径,且[],PF a c a c ∈-+,特别地,若00(,)P x y 为椭圆

()22

2210x y a b a b +=>>上的任意一点,1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,则10||PF a ex =+,20||PF a ex =-,其中c e a =.

4、通径

过椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线,交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径,且

2

2b AB a =。

P 为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上的任意一点,1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点,称12PF F ∆为椭圆的焦点三角

形,其周长为:1222F PF C a c ∆=+,若12F PF θ∠=,则焦点三角形的面积为:122tan 2F PF S b θ

∆=.

6、过焦点三角形

直线l 过椭圆()22

2210x y a b a b +=>>的左焦点1F ,与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点,称2ABF ∆为椭圆的过焦点三

角形,其周长为:24ABF C a ∆=,面积为212y y c S ABF -=∆.

7、点与椭圆的位置关系

()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>:若2200221x y a b +=,则P 在椭圆上;若22

00221x y a b +>,则P 在椭圆外;若2200

221x y a b

+<,则P 在椭圆内。

8、直线与椭圆的位置关系

直线:0l Ax By C ++=,椭圆Γ:22

221(0)x y a b a b +=>>,则

l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>;

l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=;

l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<.

9、焦点三角形外角平分线的性质(*)

点(,)P x y 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点, M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且

【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠:交椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>于C D 、两点,交直线22l y k x =:于点E .若E 为

CD 的中点,则2

122b k k a =-.

11、中点弦的斜率

()()000,0M x y y ≠为椭圆()22

2210x y a b a b +=>>内的一点,直线l 过M 与椭圆交于,A B 两点,且AM BM =,则直线

l 的斜率20

20

AB

b x k a y =-。

12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值

若A 、B 为椭圆C :()22

2210x y a b a b

+=>>上的两个动点,O 为坐标原点,且OA OB ⊥.则

2211||||OA OB +=定值

22

11

a b +

【典型例题】

例1、直线1y kx =+与椭圆

22

15x y m

+=恒有公共点,则m 的取值范围是__________. 【变式1】已知方程

1352

2-=-+-k y k x 表示椭圆,则k 的取值范围__________. 【变式2】椭圆

12

2x y 的两个焦点坐标分别为__________.

例2、已知圆()1003:22=++y x A ,圆A 内一定点()3,0B ,圆P 过点B 且与圆A 内切,求圆心P 的轨迹方程。

【变式1】已知圆()11:2

2

1=++y x O ,圆()91:2

2

2=+-y x O ,动圆M 分别与圆1O 相外切,与圆2O 相内切。

求动圆圆心M 所在的曲线的方程。

【变式2】已知ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -,ABC ∆的周长为18,则顶点C 的轨迹方程为__________.

程.

例3、若P 是椭圆13

42

2=+y x 上的点,1F 和2F 是焦点,则 (1)21PF PF ⋅的取值范围为__________. (2)12PF PF ⋅的取值范围为__________.

(3)2

2

12PF PF +的取值范围为__________.

【变式1】点(,)P x y 是椭圆22

194

x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的焦点,M 是1PF 的中点,且12PF =,O 为坐标原点,则OM =_______。

【变式2】点(,)P x y 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点,M 是12F PF ∠的外角平分线

上一点,且20F M MP ⋅=,则动点M 的轨迹方程为________.

例4、已知椭圆

22

12516

x y +=内有一点()2,1A ,F 为椭圆的左焦点,P 是椭圆上动点,求PA PF +的最大值与最小值__________.

【变式】若椭圆17

162

2=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,过点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点,则B AF 2∆的周长为__________.

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