椭圆知识点与性质大全
椭圆的相关知识点
椭圆的相关知识点椭圆是数学中一个非常重要的几何形状。
它在各个领域中都有广泛的应用，如天文学、物理学、工程学等。
本文将详细介绍椭圆的相关知识点，包括椭圆的定义、性质、方程和应用。
一、定义与性质椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个固定点分别称为椭圆的焦点，连接两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。
在椭圆上任取一点P，连接P到两个焦点的距离之和等于常数，记为PF1 + PF2 = 2a（a为常数）。
椭圆的性质如下：1. 所有点到两个焦点的距离之和等于常数。
2. 主轴是椭圆上最长的一段线。
3. 所有点到椭圆中心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
4. 与椭圆的长轴垂直的线段称为短轴，长轴和短轴的长度之比称为椭圆的离心率。
离心率小于1的椭圆称为椭圆，等于1的椭圆称为抛物线，大于1的椭圆称为双曲线。
二、椭圆的方程椭圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程。
1. 标准方程以椭圆的中心为原点，椭圆的长轴与x轴平行。
设椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 12. 一般方程一般方程是对标准方程进行平移和旋转得到的。
设椭圆的中心为(h, k)，椭圆的标准方程为：((x-h)^2)/a^2 + ((y-k)^2)/b^2 = 1其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
三、椭圆的应用椭圆在众多领域中有广泛的应用。
1. 天文学在天文学中，行星和卫星的轨道往往是椭圆。
开普勒定律描述了行星运动的规律，其中第一定律指出行星和太阳之间的轨道是一个椭圆。
2. 物理学在牛顿力学中，椭圆是一种机械能守恒的轨迹。
当质点在万有引力下运动时，其轨迹为椭圆。
3. 工程学在建筑工程中，椭圆的形状经常被利用于设计桥梁、隧道以及建筑物的拱形结构。
椭圆形的结构能够提供更好的均匀分布重量的能力，提高结构的稳定性和承载能力。
4. 地理学椭圆也常常用于地理学中，用来表示地球的形状。
椭圆知识点总结手写
椭圆知识点总结手写一、定义椭圆是平面内一点到两个定点的距离之和等于常数的点集合。
这两个定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为焦距，常数称为椭圆的半长轴长度。
椭圆也可以看作是平面内一个固定点到平面内任意一点的距离之和等于常数的点构成的轨迹。
二、性质1. 椭圆的性质：（1）任意一椭圆的离心率均小于1；（2）椭圆的几何焦点在长轴的两端；（3）椭圆的平行于短轴的直径称为短轴；（4）椭圆有两个对称轴：长轴和短轴；（5）椭圆对角线相交于椭圆的中心点。
2. 椭圆的焦点：椭圆的焦点是椭圆上的特殊点，其性质包括：（1）椭圆的两个焦点在长轴上；（2）两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长度；（3）椭圆上每个点到两个焦点的距离之和等于常数。
3. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为：（x/a）^2 + (y/b)^2 = 1其中a和b分别为椭圆的两个半轴的长度。
4. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度，t为参数。
5. 椭圆的切线和法线：椭圆上任意一点处的切线与法线的性质包括：（1）切线与法线在椭圆上的任意一点垂直；（2）切线的斜率等于椭圆上对应点处的导数；（3）法线与切线的乘积等于-1。
6. 椭圆的导数：椭圆上任意一点处的导数为：dy/dx = -x/y7. 椭圆的应用：椭圆在日常生活和工程应用中有着广泛的应用，如轨迹分析、天文学、通信技术、计算机图形学、医学成像等领域。
本文总结了椭圆的定义、性质、方程、焦点、参数方程、切线与法线、导数、应用等知识点，希望对读者有所帮助。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。
它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。
一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。
具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。
二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。
3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。
4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。
5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。
四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。
焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。
焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。
2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。
3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。
4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。
总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。
通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。
掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结一、椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的焦点到中心的距离是c，满足c^2 = a^2 - b^2。
二、椭圆的性质1. 椭圆对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。
2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 长短轴性质：椭圆的长轴和短轴互相垂直，长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。
4. 离心率：椭圆的离心率e定义为c/a，表示椭圆拉伸的程度，离心率介于0到1之间。
5. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t为参数。
6. 弦长：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，因此椭圆上任意一条弦的长度小于或等于2a。
7. 焦准线性质：椭圆上任意一点到两个准线的距离之差等于常数2a。
三、椭圆与圆的关系1. 圆是椭圆的特殊情况：当椭圆的长轴和短轴相等时，椭圆就变成了圆。
2. 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率等于0时，椭圆就是一个圆。
因此，椭圆和圆可以看作是同一种几何图形的不同特例。
四、椭圆的应用1. 天体运动：椭圆轨道是描述天体运动的重要数学工具，如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动等。
2. 光学：椭圆镜片和椭圆抛物面反射器是光学领域常用的元件，用于聚焦和成像。
3. 工程设计：椭圆的性质在设计椭圆形建筑、椭圆形机械零件、椭圆形轨迹等方面有重要应用。
4. 地理测量：椭圆在地图投影和地理测量中有广泛应用，如椭球面测量、椭圆地图投影等。
五、椭圆的求解1. 椭圆的参数方程可以通过消除参数t来得到椭圆的标准方程。
2. 根据椭圆的焦点性质和准线性质，可以求解椭圆的焦点和准线方程。
3. 椭圆的面积可以通过积分求解，面积公式为S = πab。
4. 椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程求解，周长公式为L = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分。
六、椭圆的变换1. 平移变换：椭圆的平移变换可以用矩阵形式表示，通过平移变换可以将椭圆移动到任意位置。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
(完整版)椭圆的基本知识
椭圆的基本知识一、基本知识点知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积1、定义1:（和）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距,定值为_______________________ .2、定义2：（比）到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。
定点为焦点，定直线为准线，定值为。
3、定义3：（积）到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆.两定点是长轴端点,定值为m = e 2 —1（-1< m <0）.知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在％轴上时，椭圆的标准方程为，其中C2 = a2 -b2。
2、当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为，其中c 2 = a 2 - b 2.知识点三:椭圆的参数方程兰+2=1（a > b >0）的参数方程为___________________ 。
a2 b2知识点四：椭圆的一些重要性质（1）对称性：椭圆的标准方程是以％轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线x = ±a和y= ±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足凶 < a,| y| < b。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点；②椭圆土+二=1（a > b >0）与坐标轴的四个顶点分别为________________________________ 。
a2 b2③椭圆的长轴和短轴.2c c（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e = 一二—。
2a a②因为a>c>0,所以e的取值范围是0V e<1.（5）焦半径：椭圆上任一点P（x ,y）到焦点的连线段叫做焦半径.对于焦点在x轴上的椭圆，左焦半径00r - a + ex，右焦半径r = a - ex .10 20（6）准线方程：x二士一c（7）焦准距：焦点到准线的距离，用p表示，记作p二一。
椭圆知识点详细总结
椭圆知识点详细总结椭圆是平面上的一个特殊几何图形，其形状和性质具有独特的特点。
在学习椭圆的知识时，我们需要了解它的定义、性质、方程和应用等方面的内容。
一、椭圆的定义和性质：1.定义：在平面上给定一对焦点F1和F2以及一个距离2a（长轴）,该点到两个焦点F1和F2的距离之和是常数2a（2a>0）。
以两个焦点F1、F2和连接它们的直线段为轴的点的轨迹，构成了一个椭圆。
2.性质：a)长轴和短轴：椭圆的长轴是两个焦点之间的距离2a，短轴是通过中点M的两条焦半径之间的距离2b。
b)焦点关系：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
c)中点关系：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之差等于长轴的长度。
d)准线：椭圆上的点到两条焦半径的距离之和等于准线的长度。
e) 离心率：椭圆的离心率ε的定义为eccentricity=e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
f)焦半径和法线：椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于该点到准线的距离，即焦半径等于法线。
二、椭圆的方程和参数方程：1.方程：a)标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a是长轴的长度，b是短轴的长度。
b) 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cosθ, y = b*sinθ，其中θ为参数。
2.其他形式的方程：椭圆还可以通过平移、旋转和缩放等变换得到其他形式的方程。
比如椭圆的中心在坐标原点的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1三、椭圆的性质：1.对称性：椭圆具有相对于两个轴的对称性，即关于x轴和y轴对称。
2.离心角和弧长：任意两个焦点之间的线段所对应的圆心角等于椭圆上的弧的长度。
3.焦点面积和弧长：椭圆上两个焦点和一点的连线所围成的三角形面积等于以该点为焦点的椭圆弧长的一半。
4.弦：椭圆上的弦的长度是准线的长度小于2a。
5.游程：椭圆上两个焦点之间的距离等于椭圆上两个点之间的最短路径长度。
6.光学性质：椭圆是一个反射光线的特殊曲面，具有反射原则和等角反射原理。
复习椭圆相关知识点总结
复习椭圆相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一条封闭曲线，其定义为到两个给定点的距离之和等于常数（椭圆的长轴）。
即设两点F1（-c, 0）、F2（c, 0）（c为常数）,过F1、F2点分别作两条互相垂直的直线，这两条直线交于一点O，任意取一点M，连接M到两点的距离之和是常数，即|MF1| + |MF2| = 2a(常数)，则点M的轨迹称为椭圆。
二、椭圆的性质1.椭圆的离心率椭圆的离心率是指椭圆焦点到中心点的距离与长轴之比，其数值范围在0到1之间。
2.椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴上，并向短轴的对称位置。
而椭圆的长轴和短轴之间的距离称为椭圆的直径。
3.椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)，y = b * sin(t)。
其中，a和b分别为椭圆的长短轴长度，t为参数。
4.椭圆的切线和法线椭圆上的切线与法线分别垂直于轨迹曲线，在切点处切线的斜率等于轨迹曲线的斜率，法线的斜率是切线斜率的相反数。
5.椭圆的焦点位置椭圆的焦点位置可以通过以下公式计算得出： c = sqrt(a^2 - b^2)。
三、椭圆的应用椭圆在数学和物理学中都有着广泛的应用，例如在天文学中，椭圆常用来描述行星、卫星和彗星的运动轨迹；在工程学中，椭圆常用来描述电子束的运动轨迹；在通信领域中，椭圆常用来描述无线信号的传播路径等。
四、椭圆的计算1.椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得出：S = π * a * b。
2.椭圆的周长椭圆的周长可以通过以下公式计算得出：C = 4a * E(e)。
其中，E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分，e是椭圆的离心率。
3.椭圆的焦距椭圆的焦距可以通过以下公式计算得出：f = 2a * e。
五、椭圆的变换椭圆可以通过平移、旋转、缩放等变换来得到新的椭圆，这些变换可以通过矩阵运算来表示，从而方便进行计算和分析。
综上所述，椭圆是一种经典的几何图形，在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆知识点归纳总结
椭圆知识点归纳总结椭圆的定义可以用数学表达式表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中a和b分别表示椭圆的主轴长度和次轴长度，椭圆的标准方程为椭圆定点到F1、F2的距离之和等于常数2a的定点轨迹的数学描述。
椭圆是一种非常基本的几何图形，具有许多独特的性质和特点。
本文将对椭圆的性质、参数方程、焦点、直径、离心率、焦距、渐近线、面积等方面进行归纳总结。
第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的对称性1.4 椭圆的离心率和焦点第二部分：椭圆的参数方程和一般方程2.1 参数方程和一般方程的含义2.2 椭圆的参数方程2.3 椭圆的一般方程第三部分：椭圆的焦点、直径和离心率3.1 椭圆的焦点特点3.2 椭圆的直径特点3.3 椭圆的离心率特点第四部分：椭圆的焦距和渐近线4.1 椭圆的焦距含义4.2 椭圆的渐近线含义4.3 椭圆的焦距和渐近线的性质第五部分：椭圆的面积和周长5.1 椭圆的面积公式5.2 椭圆的周长公式5.3 椭圆的面积和周长的计算方法第六部分：椭圆的相关定理和实例分析6.1 椭圆的凸性定理和实例分析6.2 椭圆的垂直切线定理和实例分析6.3 椭圆的切线与法线定理和实例分析结论部分：椭圆的应用和拓展7.1 椭圆在日常生活中的应用7.2 椭圆的拓展和推广第一部分：椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的主轴长度。
椭圆的主轴长度决定了椭圆的大小和形状。
椭圆的参数包括主轴长度a、次轴长度b、焦距2c、离心率e等。
其中焦距2c和主轴长度a之间有关系：c^2 = a^2 - b^2。
离心率e的计算公式为：e = c/a。
主轴长度a和次轴长度b决定了椭圆的形状，焦距2c和离心率e描述了椭圆与焦点之间的距离关系。
1.2 椭圆的性质椭圆具有许多特殊的性质，如平行轴定理、离心角定理、矩形椭圆定理等。
对口数学椭圆知识点总结
对口数学椭圆知识点总结一、椭圆的定义在数学中，椭圆是指到定点距离之和等于常数的点的集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，而与定点的距离之和等于这个常数的直线称为椭圆的长轴。
另一方面，椭圆的短轴长度是椭圆的长轴长度的一半，并且长轴和短轴所在的直线相互垂直。
椭圆的定点称为焦点，两个焦点之间的距离等于椭圆的长轴长度。
椭圆的数学符号为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆的长轴和短轴长度。
在平面直角坐标系中，椭圆的中心点为原点(0,0)，椭圆的长轴沿着x轴方向，短轴沿着y轴方向。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于x轴和y轴对称的性质。
即椭圆关于x轴对称时，其上半部分和下半部分关于x轴对称；椭圆关于y轴对称时，其左半部分和右半部分关于y轴对称。
2. 离心率：椭圆的离心率e定义为焦点到中心的距离与半长轴之比。
离心率是一个重要的因数，它可以用来定义椭圆的形状，离心率越接近于0，椭圆的形状越接近于圆。
3. 外切矩形：椭圆的外切矩形是指外切于椭圆，并且长轴和短轴作为两边的矩形。
椭圆的外切矩形的面积是椭圆的面积的上限。
4. 焦点性质：椭圆的焦点是指到椭圆上所有点的距离之和等于椭圆的长轴长度的定点。
焦点与椭圆的长轴上的一个特殊点的连线称为准径，椭圆上任意一点到焦点的距离与到准径的距离的和是常数。
5. 弦长定理：椭圆上任意两点的连线与长轴的交点A和B的连线的长度之和等于椭圆的长轴长度。
6. 双曲线与椭圆的关系：椭圆是双曲线的一种特殊情况，当椭圆的离心率为0时，椭圆就是双曲线的两分支相互重合的情况。
三、椭圆的方程椭圆的一般方程为(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴长度。
如果椭圆的中心点不在原点，可以通过平移变换将椭圆的中心点移到原点，然后再求解出椭圆的方程。
椭圆的标准方程为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的轨迹。
这两个定点叫做椭圆的焦点，常数2a叫做椭圆的长轴。
将F1F2的中点O为原点，x轴为椭圆的长轴线，y轴为椭圆的短轴线，椭圆的方程可以写成(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
二、椭圆的性质1. 对称性：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。
椭圆关于x轴、y轴对称的焦点、焦斜率等均相等。
椭圆中心的对称轴上都有一个点。
2. 焦点性质：椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴长。
3. 四边形定理：对于椭圆上的任意一点P, 则焦点连线与椭圆的法线与椭圆的法线，这三线共点。
4. 儆功：椭圆焦点与椭圆上任意点构成的两个与正切线互为正交。
5. 现行性质：s忧圆上的点处的切线与椭圆的法线垂直。
三、椭圆的方程椭圆的标准方程是(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a为椭圆的长半轴，b为椭圆的短半轴。
椭圆的方程也可以用直角坐标系表示，通常我们会通过平移、旋转等操作将椭圆方程转化成标准方程。
四、椭圆的图形特征在平面直角坐标系中，椭圆的图像是一个闭合曲线，呈现出椭圆形的形状。
椭圆的长轴和短轴决定了椭圆的大小和形状，而椭圆的焦距和离心率则决定了椭圆的位置和离心程度。
椭圆和圆的关系：椭圆是圆的一种特殊形式，当椭圆的长轴和短轴长度相等时，即a=b时，椭圆就变成了圆。
因此，圆可以看作是具有无穷大长轴的椭圆。
六、椭圆的相关运用椭圆作为一种特殊的几何曲线，在实际生活和科学技术中有着广泛的应用。
在建筑设计中，一些建筑物的拱形结构就采用了椭圆的形状；在椭圆周长和面积的计算中，椭圆的数学性质也得到了广泛的应用；在天文学中，行星的轨道也可以被理想化为椭圆形。
综上所述，椭圆是数学中的重要内容，具有丰富的性质和特征。
通过对椭圆相关知识点的总结和了解，我们可以更好地理解和应用椭圆的性质，在数学学习的过程中取得更好的效果。
椭圆及知识点总结
椭圆及知识点总结一、椭圆的定义椭圆是一个平面上距离两个定点的距离之和等于常数的所有点的轨迹。
这两个定点称为焦点，两个焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数的这个常数称为椭圆的长轴。
椭圆的长度长的半轴即长轴，另一个短的半轴即椭圆的短轴。
椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的参数，它等于焦距与长轴之比。
二、椭圆的性质1. 横坐标a，纵坐标b，a>b2. 椭圆两焦点（-c,0）和（c,0）。
3. 椭圆的离心率e，e=c/a。
4. 椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1。
5. 椭圆的周长C=4aE(e)，其中E(e)表示第二类椭圆积分。
6. 椭圆的面积S=πab。
三、椭圆的方程椭圆的方程可以通过直角坐标系下的坐标点和离心率来表示，一般来说，椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)为坐标系原点的坐标，a为长轴的长度，b为短轴的长度。
还可以通过参数方程来表示椭圆，参数方程为：x=a*cos(t)+hy=b*sin(t)+k其中(t为参数，a、b分别为长短半轴，(h,k)为椭圆的中心点。
四、椭圆的应用1. 天体运动：开普勒定律描述行星和卫星绕太阳和行星绕行星运动的轨道为椭圆。
2. 工程建筑：椭圆的形状被广泛运用在建筑设计中，例如拱门、拱桥的设计。
3. 数学物理：椭圆的性质在物理学和工程学中有着重要的应用，例如在电磁场和引力场的研究中。
五、椭圆的知识点总结1. 椭圆的定义：椭圆是平面上距离两个定点的距离之和等于常数的轨迹。
2. 椭圆的性质：椭圆有特定的横纵坐标、焦点坐标、离心率、方程、周长和面积等特性。
3. 椭圆的方程：椭圆的标准方程和参数方程可以描述椭圆的形状和特性。
4. 椭圆的应用：椭圆在天体运动、工程建筑和数学物理等领域都有着重要的应用价值。
综上所述，椭圆是一种重要的圆锥曲线，具有独特的形状和性质，在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用价值。
高三知识点总结椭圆
高三知识点总结椭圆一、椭圆的定义椭圆是平面上一个动点到两个不同的固定点的距离之和等于常数的轨迹。
这两个固定点分别称为焦点，这个常数称为椭圆的半长轴的长度。
椭圆的定义可以用数学表达式表示为：椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)$其中，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度，且椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆定义的两个焦点到椭圆曲线上的任意一点的距离之和等于常数2a。
2. 直径性质：椭圆的任意一条直径上任意一点到焦点的距离与到准位线的距离之和等于直径的长。
3. 对称性质：椭圆具有关于x轴、y轴和原点对称的性质。
4. 离心率：椭圆的离心率为$e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，它描述了椭圆的扁平程度，离心率越接近于0，椭圆越圆。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以表示为：$x=a \cos t$$y=b \sin t$其中，t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
四、椭圆的焦点与准位线椭圆的焦点和准位线是椭圆的重要性质之一，它们在椭圆的图形、方程和计算中起着重要作用。
1. 焦点的坐标：椭圆的焦点坐标为$(\pm \sqrt{a^2 - b^2},0)$2. 准位线方程：椭圆的准位线方程为$x=\pm a \epsilon$，其中ε为椭圆的离心率。
五、椭圆的相关定理1. 椭圆的直径定理：椭圆的所有直径的长度之和为常数2a。
2. 椭圆的离心率定理：椭圆的离心率e的平方等于1减去b平方除以a平方。
六、椭圆的应用椭圆在生活和工程领域中有着广泛的应用，例如：1. 太阳系中行星的轨迹一般为椭圆，椭圆的性质可以帮助我们更好地理解天体运动规律。
2. 椭圆在工程中的应用：例如建筑、机械、航天等领域都会涉及到椭圆的应用，例如在建筑设计中椭圆形的圆顶结构、在机械制造中椭圆齿轮的设计等等。
椭圆知识点性质大全
椭圆知识点性质大全椭圆是数学中的一个重要概念，具有丰富的性质和应用。
下面是关于椭圆的知识点性质的详细介绍：1.定义：椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
2.基本元素：椭圆由两个焦点和连接两个焦点的线段组成。
以及连接焦点和椭圆上任意一点的线段，这条线段称为半径。
3.中心：椭圆的两个焦点的中点称为椭圆的中心，位于椭圆的对称轴上。
4.对称轴：椭圆上与两个焦点的连线垂直的直线称为椭圆的对称轴。
对称轴上的中心对称的两个点称为对称点。
5.长轴：椭圆的两个焦点所在的直线称为椭圆的长轴，长轴的长度称为椭圆的长轴长度。
6.短轴：椭圆的长轴的中垂线称为椭圆的短轴，短轴的长度称为椭圆的短轴长度。
7.半焦距：椭圆的长轴长度的一半称为椭圆的半焦距，半焦距与离心率之间存在关系。
8.离心率：椭圆的离心率是一个正实数，表示离心率与半焦距的比值。
离心率小于1时，椭圆为椭圆体；离心率等于1时，椭圆为抛物线；离心率大于1时，椭圆为双曲线。
9.焦点定理：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
10.顶点定理：椭圆上的任意一点到离它最近的直线的距离等于椭圆的离心率与该点到两个焦点的距离之差的绝对值。
11.弦的性质：椭圆上任意两个焦点之间的直线称为弦。
椭圆上任意一点到两个焦点的连线与该点的切线所围成的角等于椭圆上该点与焦点所在的主半径所围成的角。
12.切线的性质：椭圆上任意一点的切线与焦点连线的夹角等于椭圆上该点与焦点所在的主半径的夹角。
13.弦愈的结论：椭圆上通过两个焦点且长度相等的弦所对的两条弦是相等的。
14.垂线的性质：椭圆上任意一点的垂线与两个焦点所在直线的夹角等于该点与两个焦点所在的主半径的夹角。
15.渐屈线性质：椭圆上任意一点到两个焦点所连的线段与该点的切线所围成的角是一个常数，称为渐屈线角。
渐屈线角的大小与离心率有关。
16.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程是描述椭圆上的点坐标的方程，通常用参数t表示角度。
椭圆基础知识点
椭圆基础知识点椭圆是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、几何等领域。
本文将介绍椭圆的基础知识点，包括定义、性质、参数方程、焦点与准线等内容。
一、椭圆的定义椭圆是平面上一条封闭曲线，其上各点到两个定点的距离之和恒定。
这两个定点称为焦点，连接两焦点的线段称为主轴，主轴的中点为椭圆的中心，主轴长度的一半称为半长轴，垂直于主轴的线段称为次轴，次轴长度的一半称为半短轴。
二、椭圆的性质1. 弦长定理：椭圆上任意两点连线的长度之和等于两焦点之间的距离。
2. 焦点定理：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点之间的距离。
3. 反射定理：从椭圆上一点出发的光线经过反射后，会经过另一个焦点。
4. 离心率：椭圆的离心率e是一个0到1之间的实数，定义为焦距与半长轴之间的比值。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以用参数θ表示，如下所示：x = a * cosθy = b * sinθ其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
四、椭圆的焦点与准线1. 焦点：椭圆上的焦点是满足椭圆定义的两个定点，记为F1和F2。
焦点与椭圆的离心率e有关，可以通过公式e = c / a计算，其中c为焦距，a为半长轴。
2. 准线：椭圆上到两个焦点距离之和等于椭圆长轴长度的两条直线称为准线，记为L1和L2。
五、应用领域1. 天体运动：行星、卫星等天体围绕太阳、行星等轨道呈椭圆形。
2. 光学：椭圆抛物面反射镜和透镜用于天文望远镜、摄影镜头等光学仪器中。
3. 电子学：椭圆偏振器在液晶显示器等领域有广泛应用。
4. 地理测量：在地球上，纬线和经线的组合形成椭圆，用来表示地球的形状。
六、总结椭圆作为一种几何形状，具有丰富的性质和广泛的应用。
本文介绍了椭圆的定义、性质、参数方程以及焦点与准线等内容。
椭圆在数学、物理、工程等领域中都有重要的应用，对于理解和解决相关问题具有重要意义。
希望本文能够帮助读者对椭圆有更深入的了解。
椭圆几何性质知识点总结
椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
即PF1+PF2=2a。
其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。
椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。
椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。
2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。
椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。
离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。
一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。
其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。
4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。
5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。
c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。
d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。
6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。
7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。
标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。
8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。
因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。
椭圆知识点总结加例题
椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。
1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。
（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。
（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。
（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。
（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。
1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。
通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。
1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。
椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。
二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。
2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。
椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。
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椭圆与方程【知识梳理】 1、椭圆的定义平面内，到两定点1F 、2F 的距离之和为定长()1222,0a F F a a <>的点的轨迹称为椭圆，其中两定点1F 、2F 称为椭圆的焦点，定长2a 称为椭圆的长轴长,线段12F F 的长称为椭圆的焦距。
此定义为椭圆的第一定义。
2、椭圆的简单性质3、焦半径椭圆上任意一点P 到椭圆焦点F 的距离称为焦半径，且[],PF a c a c ∈-+，特别地，若00(,)P x y 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的任意一点，1(,0)F c -,2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，则10||PF a ex =+，20||PF a ex =-,其中c e a =.4、通径过椭圆()222210x y a b a b+=>>焦点F 作垂直于长轴的直线，交椭圆于A 、B 两点,称线段AB 为椭圆的通径，且22b AB a =。
P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为椭圆的左右焦点，称12PF F ∆为椭圆的焦点三角形,其周长为：1222F PF C a c ∆=+，若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122tan 2F PF S b θ∆=.6、过焦点三角形直线l 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F ，与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，称2ABF ∆为椭圆的过焦点三角形，其周长为：24ABF C a ∆=，面积为212y y c S ABF -=∆.7、点与椭圆的位置关系()00,P x y 为平面内的任意一点,椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>：若2200221x y a b +=，则P 在椭圆上;若2200221x y a b +>，则P 在椭圆外；若2200221x y a b+<，则P 在椭圆内。
8、直线与椭圆的位置关系直线:0l Ax By C ++=，椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔+>；l 与Γ相切22222a A b B C ⇔+=；l 与Γ相离22222a A b B C ⇔+<.9、焦点三角形外角平分线的性质（＊）点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点,12,F F 是椭圆的焦点, M 是12F PF ∠的外角平分线上一点,且【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交椭圆()222210x y a b a b+=>>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E 为CD 的中点,则2122b k k a =-.11、中点弦的斜率()()000,0M x y y ≠为椭圆()222210x y a b a b +=>>内的一点，直线l 过M 与椭圆交于,A B 两点,且AM BM =，则直线l 的斜率2020ABb x k a y =-。
12、相互垂直的半径倒数的平方和为定值若A 、B 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上的两个动点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．则2211||||OA OB +=定值2211a b +．【典型例题】例1、直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是__________． 【变式1】已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围__________． 【变式2】椭圆122x y 的两个焦点坐标分别为__________．例2、已知圆()1003:22=++y x A ，圆A 内一定点()3,0B ，圆P 过点B 且与圆A 内切,求圆心P 的轨迹方程。
【变式1】已知圆()11:221=++y x O ,圆()91:222=+-y x O ,动圆M 分别与圆1O 相外切，与圆2O 相内切。
求动圆圆心M 所在的曲线的方程。
【变式2】已知ABC ∆的两个顶点坐标为(4,0),(4,0)A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为__________．程．例3、若P 是椭圆13422=+y x 上的点，1F 和2F 是焦点，则 (1)21PF PF ⋅的取值范围为__________． （2）12PF PF ⋅的取值范围为__________．（3)2212PF PF +的取值范围为__________．【变式1】点(,)P x y 是椭圆22194x y +=上的一点,12,F F 是椭圆的焦点，M 是1PF 的中点,且12PF =，O 为坐标原点，则OM =_______。
【变式2】点(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的动点，12,F F 是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的外角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则动点M 的轨迹方程为________．例4、已知椭圆2212516x y +=内有一点()2,1A ,F 为椭圆的左焦点，P 是椭圆上动点，求PA PF +的最大值与最小值__________．【变式】若椭圆171622=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ,过点1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则B AF 2∆的周长为__________．例5、12,F F 是椭圆2214x y +=的焦点，点P 为其上动点，且1260F PF ∠=︒,则12F PF ∆的面积是__________． 【变式】焦点在轴x 上的椭圆方程为2221(0)x y a a+=>，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点B ，使得122F BF π∠=，那么实数a 的取值范围是________。
例6、已知椭圆2212x y +=, （1）求过点1122P ⎛⎫⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在的直线的方程；(2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3）过(21)A ，引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．例7、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．例8、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？例9、已知定点()2,0A -,动点B 是圆64)2(:22=+-y x F (F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P 。
（1)求动点P 的轨迹方程;（2）直线13+=x y 交P 点的轨迹于,M N 两点，若P 点的轨迹上存在点C ，使,OC m ON OM ⋅=+求实数m 的值；例10、已知椭圆12222=+by a x (0>>b a ），过点(),0A a -，()0,B b 的直线倾斜角为6π,原点到该直线的距离为23．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过()1,0D -与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；(3）是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过点(1,0)D -？若存在,求出k 的值；若不存在，请说明理由．例11、若AB是经过椭圆2212516x y+=中心的一条弦点，12,F F分别为椭圆的左、右焦点,求1F AB∆的面积的最大值.【变式1】已知直线l与椭圆2213xy+=交于A B、两点，坐标原点O到直线l,求AOB∆的面积的最大值.【变式3】已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标； （2）若30<<a 且||PA 的最小值为1，求实数a 的值.【变式4】如图，椭圆的中心在原点,()()2,0,0,1A B 是它的两个顶点，直线(0)y kx k =>交线段AB 于点D ，交椭圆于,E F 两点.D（1)若6ED DF =，求直线的斜率k ； （2）求四边形AFBE 的面积S 的最大值。
【变式5】椭圆()222104x y b b+=>的一个焦点是()1,0F - （1）求椭圆的方程；（2）已知点P 是椭圆上的任意一点，定点M 为x 轴正半轴上的一点,若PM 的最小值为85，求定点M 的坐标; （3）若过原点O 作互相垂直两条直线，交椭圆分别于,A C 与,B D 两点,求四边形ABCD 面积的取值范围。
【变式6】在平面直角坐标系xOy中,动点P到定点()),的距离之和为4,设点P的轨迹为曲线C,直线l E-，且与曲线C交于,A B两点.过点(1,0)（1)求曲线C的方程;（2）以AB为直径的圆能否通过坐标原点？若能通过，求此时直线l的方程,若不能，说明理由.∆的面积是否存在最大值？若存在,求出面积的最大值，以及此时的直线方程，若不存在，请说明理由. (3）AOB例12、已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4． （1）求椭圆C 的方程;（2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点,试问,是否存在x 轴上的点(),0M m ,使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标,若不存在，说明理由。
【变式1】过椭圆22182x y +=长轴上某一点(),0S s （不含端点）作直线l (不与x 轴重合）交椭圆于,M N 两点，若点(),0T t 满足:8OS OT ⋅=,求证:MTS NTS ∠=∠.【变式2】已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上,长轴长为4，且点⎛ ⎝⎭在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量()2,1d =的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22PA PB +为定值．【变式3】如图，A 为椭圆()2222+10x y a b a b =>>上的一个动点，弦,AB AC。
当AC x ⊥轴时,恰好123AF AF =(1）求ca的值（2）若111AF F B λ=,222AF F C λ=，试判断12λλ+是否为定值？若是，求出定值;若不是，说明理由.【变式4】线段,A B 分别在x 轴,y 轴上滑动,且3AB =，M 为线段AB 上的一点,且1AM =，M 随,A B 的滑动而运动（1）求动点M 的轨迹方程E ;（2）过N 的直线交曲线E 于,C D 两点,交y 轴于P ，1PC CN λ=，2PD DN λ=，试判断12λλ+是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由。