北师大版八年级上册第一章探索勾股定理精讲
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理勾股定理的应用课件
解：在Rt△ABO中， ∵AB＝25 m，AO＝24 m， ∴OB2＝AB2－AO2＝252－242＝49. ∴OB＝7 m. 同理，在Rt△COD中， DO2＝CD2－CO2＝252－202＝152， ∴DO＝15 m， ∴BD＝OD－OB＝15－7＝8(m)． 故梯子的底部B在水平方向滑动了8 m.
A. 9
B. 13
C. 14
D. 25
3. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，
已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直
角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ D ）
A. x2＋y2＝49
B. x－y＝2
C. 2xy＋4＝49 D. x＋y＝13
9. 如图，一次“台风”过后，一根旗杆被 台风从离地面9 m处吹断，倒下的旗杆的顶端落在 离旗杆底部12 m处，那么这根旗杆被吹断前有多 高？
解：如下图所示，
∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角 形，
∴BC2＝AB2＋AC2＝225，∴BC＝15 m. ∴旗杆的高＝AB＋BC＝9＋15＝24 (m)， 故这根旗杆被吹断前有24 m高．
1. 一根竹竿插到水池中离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，
若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问
水池的深度为（ A ）
A. 2m
B. 2.5m
C. 2.25 m
D. 3m
2. 一直角三角形的斜边比一直角边长2，另一直角边长为6，则斜边长
为( C )
A. 4
B. 8
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理复习与小结课件
P
M
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
典例3 如图,长方形 ABCD 中,AB=3,AD=9,将此长方形折叠,使点 D与点B
重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积。
A
B
E
D
F
C
教学过程——典例精析
第一章 勾股定理
听一听
A
解析：折叠问题中，要找到折叠前
后相等的线段或角，注意这些线段
与其他线段的关系，再利用勾股定
D. 若、、是的△ABC的三边，且 − = ，则∠A=90°
第一章 勾股定理
基础训练
第一章 勾股定理
2. 如图是商场的台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是20cm，每级台
阶的高度都是15cm，则连接AB的线段长为（ B ）
A. 100cm
B. 150cm
C. 200cm
D. 250cm
解：(1)供水站P的位置如图所示.
(2)过B作BM⊥，过A’作A’M⊥BM于M.
B
A
由已知可得A’M=8，BM=2+4=6.
在Rt△AMB中，
A’B2=AM2+BM2=82+62=100
解得A’B=10
5000×10+50000=100000.
故供水站修建完成后共计要花100000元.
∙∙
A’
∙
是直角三角形.
知识梳理
第一章 勾股定理
内容：直角三角形两
直角边的平方和等于
斜边的平方.
探索勾
股定理
表达式：用
和分别表示直角三
角形的两直角边和斜
边，那么
验证方法：面积法
北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 课件 探索勾股定理(1)
上面大家由特例归纳猜想最后得到重要定 理—勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b,斜 边c，那么a²+b²=c²
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方。
我国古代把直角三角
形中较短的直角边称为勾，勾
弦
较长的边称为股，斜边称
为弦。
股
一．填空题 1．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=________； （2） 若a=15，c=25，则b=________； （3） 若c=61，b=60，则a=________； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=________， b=________； （5） 若c=81/2，b=71/2，则a=________；
想一想
小明妈妈买了一部29英 寸（74厘米）的电视机。 小明量了电视机的屏幕后， 发现屏幕只有58厘米长和 46厘米宽，他觉得一定是 售货员高错了。你同意他的
小结
这节课我们在方格纸上通过计 算面积的方法探索勾股定理.我们通 过作出以直角三角形三边为边的三 个正方形的面积的计算,比较这三个 正方形的面积由此得到直角三角形 三边的关系—勾股定理希望大家好 好记住这个重要数学定理.
勾第 股一 定章 理
一.探索勾股定理 很多具有古老文化的民族和国家 都会说:我们首先认识的数学定理 是勾股定理.因此我们这学期首先 学习勾股定理.
1.先了解其历史背景:
勾股定理是人类认识的最早的几何经
典定理.这个定理在中国称为勾股定理或 叫商高定理,在西方称为毕达哥斯定理.这 是因为有人认为是古希腊数学家毕达哥 拉斯的,或者至少是他最先从理论上证明 的.据说发现者们为了庆祝这一重要成就 宰杀了一百头牛,因而又称为百牛定理.由 此又演绎出一句科学典故:“每当科学有 重大发现时,牛就会发抖！”据史料考证, 大约在公元前1700年,古代的巴比伦人己 经发现和使用了勾股定理.
北师大数学八年级上册第一章1.1探索勾股定理讲义
1.1探索勾股定理勾股定理的证明知识精讲定理如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222a b c+=．举例如图，在Rt ABC△中，A B C∠∠∠、、的对边分别用字母a、b、c来表示，则有：222a b c+=其中，当34a b==，时，则有斜边222223425c a b=+=+=变形22c a b=+，22a c b=-，22b c a=-．证明方法一：（赵爽弦图）22 2222222214()214()222ABCDS c ab b a c ab b ac ab b a abc b a==⨯+-∴=⨯+-=++-=+正方形证明方法二：（等面积法）()2222222214222ABCDS a b ab ca b ab ab ca b c=+=⨯+∴++=+∴+=正方形cbaCBA cabAFDCBEHG证明方法三：（总统证法）()()222222211222222ABCD a b a b S ab c a ab b ab c a b c ++==⨯+∴++=+∴+=梯形三．易错点：1. 运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式。
如∠C=90°时，公式为222a b c +=，∠A=90°时，公式为222c b a +=，∠B=90°时，公式为222a c b +=。
2. 1212化简不完全 3. 注意隐含条件。
如已知直角三角形的两边长为3cm,4cm ，求第三边长。
不能理所当然的认为3cm,4cm 为直角边，应考虑多种情况，3cm 一定为直角边，但4cm 可能为直角边，也可能为斜边4. 忽视判断三角形形状。
不确定该三角形是否为直角三角形时，不可以使用勾股定理三点剖析一．勾股定理逆定理1．如果三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222a b c +=”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．二．勾股数1．满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数． 2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10； 7、24、25；8、15、17； 9、40、41．证明例题1、 下列说法中正确的是（ ）A.已知a ，b ，c 是三角形的三边，则a 2＋b 2＝c 2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2D.在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，所以a 2＋b 2＝c 2 【答案】 C【解析】 在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角． A 、不确定c 是斜边，故本命题错误，即A 选项错误；B 、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B 选项错误；C 、∠C ＝90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C 选项正确；abcabccbD、∠B＝90°，所以斜边为b，所以a2＋c2＝b2，故本命题错误，即D选项错误．例题2、我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么ab的值为（）A.49B.25C.12D.1【答案】C【解析】如图，∵大正方形的面积是25，∴c2=25，∴a2+b2=c2=25，∵直角三角形的面积是（25﹣1）÷4=6，又∵直角三角形的面积是12ab=6，∴ab=12．故选：C．例题3、如图是“赵爽弦图”，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD的和EFGH都是正方形．根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD=c，AE=a，DE=b，c=10，a﹣b=2．（1）正方形EFGH的面积为，四个直角三角形的面积和为．（2）求（a+b）2的值．（3）a+b=，a=，b=．【答案】（1）4，96（2）196（3）14，8，6．【解析】（1）正方形EFGH的面积为（a﹣b）2=22=4，四个直角三角的面积和为102﹣4=100﹣4=96．（2）（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=100+96=196．（3）a+b=196=14①，∵（a﹣b）2=22=4，∴a﹣b=2②，联立142a ba b+=⎧⎨-=⎩，解得86a b =⎧⎨=⎩．故答案为： 14，8，6．例题4、 阅读下列解题过程已知a 、b 、c 为△ABC 为三边，且满足a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状 解∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4① ∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2﹣b 2）（a 2+b 2） ② ∴c 2=a 2+b 2③∴△ABC 是直角三角形 回答下列问题（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号___． （2）错误原因为________．（3）本题正确结论是什么，并说明理由． 【答案】 （1）③；（2）除式可能为零（3）见解析 【解析】 （1）③； （2）除式可能为零；（3）∵a 2c 2﹣b 2c 2=a 4﹣b 4， ∴c 2（a 2﹣b 2）=（a 2+b 2）（a 2﹣b 2）， ∴a 2﹣b 2=0或c 2=a 2+b 2， 当a 2﹣b 2=0时，a=b ； 当c 2=a 2+b 2时，∠C=90°，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形随练1、 以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形的是（ ） A.a ＝2，b ＝3，c ＝4 B.a ＝1，3b =，c ＝2 C.a ＝4，b ＝5，c ＝6 D.a ＝2，b ＝2，6c = 【答案】 B【解析】 A 、32＋22≠42，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；B 、2212(3)2+=，故是直角三角形，故本选项符合题意；C 、42＋52≠62，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；D 、22222(2)+≠，故不是直角三角形，故本选项不符合题意．随练2、 已知直角三角形的两边长为3cm 、5cm ，则它的第三边长为 ． 【答案】 4或34① 【解析】 当5是直角边时，斜边=223534+=，此时第三边为34；② 当5为斜边时，此时第三边=22534-=，综上可得第三边的长度为4或34．故答案为：4或34．随练3、 中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为S 3，S 2，S 1，若S 1+S 2+S 3=18，则正方形EFGH 的面积为（ ）A.9B.6C.5D.9 2【答案】B【解析】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=18，∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，∴S1+S2+S3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S2=x+4y=6，即正方形EFGH的面积为6．故选：B．随练4、如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4= ．【答案】 3.65【解析】∵斜放置的三个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，∴AC=CF=1，FH=LH=1.1，PR=SR=1.2．∠ACD=∠FHL=∠PRS=90°，∴∠ACB=∠CED，∠FHG=∠HLM，∠PRN=∠RST，∴△ABC≌△CDE，△FGH≌△HML，△PNR≌△RTS，∴AB=CD，BC=DE，FG=HM，GH=ML，PN=RT，NR=ST，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，FG2+GH2=FH2，NP2+NR2=PR2，∴S1+S2=1.0，S2+S3=1.21，S3+S4=1.44，∴S1+S2+S2+S3+S3+S4=1+1.21+1.44=3.65，∴S1+2S2+2S3+S4=3.65．故答案为：3.65．随练5、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．∠S四边形ADCB=S∠ ACD+S∠ ABC=12b2+12ab．又∠S四边形ADCB=S∠ ADB+S∠ DCB=12c2+12a（b-a）∠1 2b2+12ab=12c2+12a（b-a）∠a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°． 求证：a 2+b 2=c 2 证明：连结____． ∠S 五边形ACBED =____． 又∠S 五边形ACBED =____． ∠____． ∠a 2+b 2=c 2．【答案】 （1）BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF=b -a （2）S ∠ ACB +S ∠ ABE +S ∠ ADE =12ab+12b 2+12ab ，（3）S ∠ ACB +S ∠ ABD +S ∠ BDE =12ab+12c 2+12a （b -a ）（4）12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b -a ） 【解析】证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF=b -a ，∠S 五边形ACBED =S ∠ ACB +S ∠ ABE +S ∠ ADE =12ab+12b 2+12ab ， 又∠S 五边形ACBED =S ∠ ACB +S ∠ ABD +S ∠ BDE =12ab+12c 2+12a （b -a ），∠12ab+12b 2+12ab=12ab+12c 2+12a （b -a ）， ∠a 2+b 2=c 2．勾股定理例题1、 下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A.9，12，15 B.3，5，7 C.7，24，25 D.6，8，10【答案】 B【解析】 A 、92+122=152，能组成直角三角形，不符合题意； B 、32+52≠72，不能组成直角三角形，符合题意； C 、72+242=252，能组成直角三角形，不符合题意； D 、62+82=102，能组成直角三角形，不符合题意．例题2、 若直角三角形的两条边长为a 、b ，且满足269|4|0a a b -++-=，则该直角三角形的斜边长为________ 【答案】 5或4【解析】 由题意得，当边长为4的边是直角边，根据勾股定理得斜边为5；边长为4的边也可作为斜边， 例题3、 如图，数轴上的点A 表示的数是－1，点B 表示的数是1，CB ⊥AB 于点B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A.2.8B.C.1D.1【答案】 C【解析】 由题意可得， AB ＝2，BC ＝2，AB ⊥BC ，∴AC =∴AD =∴点D 表示数为：1．例题4、 如图，字母B 所代表的正方形的面积是（ ）A.12 cm 2B.15 cm 2C.144 cm 2D.306 cm 2【答案】 C【解析】 如图，∵a 2+b 2=c 2， 而a 2=81，c 2=225， ∴b 2=225﹣81=144，∴字母B 所代表的正方形的面积为144cm 2．例题5、 若一个直角三角形的面积为6cm 2，斜边长为5cm ，则该直角三角形的周长为________cm ． 【答案】 12【解析】 设直角三角形的两直角边长分别为a 、b ， 则162ab =，即ab ＝12， 由勾股定理得，a 2＋b 2＝25， 则（a ＋b ）2－2ab ＝25， 解得，a ＋b ＝7，∴该直角三角形的周长＝a ＋b ＋c ＝12．例题6、 如图，OP ＝1，过P 作PP 1⊥OP ，得1OP =P 1作P 1P 2⊥OP 1且P 1P 2＝1，得2OP =；又过P 2作P 2P 3⊥OP 2且P 2P 3＝1，得OP 3＝2；…依此法继续作下去，得OP 2012＝________．【答案】【解析】 由勾股定理得：24215OP =+=，∵12OP =；得23OP =； 依此类推可得1n OP n =+， ∴20122013OP =．随练1、 如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则△ABC 的周长为=_____，面积为_____【答案】 62610+；36【解析】 该题考查的是勾股定理和三角形面积计算． 由勾股定理得：2239310AB =+=，226662BC =+=，2239310AC =+=，所以△ABC 的周长为62610AB AC BC ++=+，1199662393622ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=△随练2、 已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB c =，BC a =，AC b =．如果26c =，:5:12a b =，求a 、b 的值． 【答案】 10a =，24b =【解析】 ∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，26c =，:5:12a b =，可设5a x =，则12b x =，∴()()22251226x x +=，解得2x =，∴10a =，24b =．拓展1、 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）A.黄金分割B.垂径定理C.勾股定理D.正弦定理【答案】 C【解析】 本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明． “弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明． “弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理． 故选：C ．2、 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a 与较长的直角边b 的比值为_____．【答案】2 3【解析】∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13，∴设大正方形的面积是13，边长为c，∴c2=13，∴a2+b2=c2=13，∵直角三角形的面积是1314-=3，又∵直角三角形的面积是12ab=3，∴ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25，∴a+b=5．∵小正方形的面积为（b﹣a）2=1，∴b=3，a=2，∴23ab=．3、如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A.76B.72C.68D.52【答案】A【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169所以x=13所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：A．4、阅读材料：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以对平方差公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2给予解释．图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C＝90°，人们很早就发现直角三角形的三边a，b，c满足a2＋b2＝c2的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图丙）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．请回答：下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有________．（直接填写图序号）【答案】③④【解析】暂无解析5、在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a2+b2=c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt △ADB中，AD2=c2﹣（a﹣x）2∴a2+b2=c2+2ax∵a＞0，x＞0∴2ax＞0∴a2+b2＞c2∴当△ABC为锐角三角形时，a2+b2＞c2所以小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系．（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．（3）证明你猜想的结论是否正确．【答案】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，（3）证明见解析【解析】（1）当△ABC为钝角三角形时，a2+b2与c2的大小关系为：a2+b2＜c2；（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，（3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2﹣x2，在Rt△ADB中，AD2=c2﹣（a+x）2∴a2+b2=c2﹣2ax∵a＞0，x＞011 ∴2ax ＞0∴a 2+b 2＜c 2∴当△ABC 为钝角三角形时，a 2+b 2＜c 2．6、 如图，点E 在正方形ABCD 内，满足90AEB ∠=︒，6AE =，8BE =，则阴影部分的面积是（ ）A.48B.60C.76D.80【答案】 C【解析】 211100687622ABE ABCD S S S AB AE BE ∆=-=-⨯⨯=-⨯⨯=正方形阴影部分．故选C ．E A CB D。
1.1探索勾股定理课件北师大版初中数学八年级上册
为“驴桥定理”，
埃及称它为“埃及三角形”等。 但他们发现的时间都比我国要
迟得多。
美国总統的证明 伽菲尔德
1881 年成为美国第 20 任总统 1876 年提出有关证明， 证法称为“总统”证法
二、新课讲授
1、自主探究 （1）视察图1-1
正方形A中含有 9 个
B
C
三角形三边长度之 间存在什么关系吗？ 与同伴进行交流。
图1-3
A
B
图1-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一
个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中
的规律对这个三角形仍然成立吗？
归纳结论
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,
斜边为c，那么
B
a2 b2 c2
a
C
c
A
b
即:直角三角形两直角边的 勾 弦 平方和等于斜边的平方。
5、练一练
1、在△ABC中，∠C=90°。若a=6，b=8，则 c= _1_0__ 。
2、在△ABC中，∠C=90°。若c=13，b=12，则 a= __5__ 。
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三 边长的平方为（ D ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
三、小结
1、你这节课的主要收获是什么？ 2、该定理揭示了哪一类三角形中的什么元
B 图1-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
2、做一做
你是怎样得 到表中的结 果的？与同 伴交流交流。
（1）视察图 1-3、图1-4， 并填写右表：
北师大版八年级数学上册第一章全部课件
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－练
1 用四个边长均为a，b，c的直角三角板，拼成如
（来自《典中点》）
知2－导
知识点 2 勾股定理的应用
例2 我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一 辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得 汽车与他相距400m，10s后，汽车与他相距500m,你能 帮小王计算敌方汽车的速度吗？
分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A表示小王所在位置， 点C、点B表示两个时刻敌方 汽车的位置.
弦 勾
股 图1
北师大版八年级数学上册
C A
B C
图2-1
A
B
图2-2
(图中每个小方格代表一个单位面积)
知1－导
(1)观察图2-1 正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积 是 9 个单位面积. 正方形B的面积是 9 个单位面积.
正方形C的面积是 18 个单位面积.
北师大版八年级数学上册
C A
B C
（来自《点拨》）
知1－讲
总结
勾股定理的验证主要是通过拼图法利用面积的 关系完成的，拼图又常以补拼法和叠合法两种方式拼 图，补拼是要无重叠，叠合是要无空隙；而用面积法 验证的关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形、 正方形、梯形)的面积之和等于整个图形的面积，从 而达到验证的目的．
（来自《点拨》）
知1－讲
1 课堂讲解 2 课时流程
1.1探索勾股定理课件 北师大版数学八年级上册
即BC 2 =30 2 + 402，
所以 BC=50
Rt △ CDE中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2
即CE 2 =50 2 + 1202，
所以 CE=130
所以 BE=BC+CE=180 KM
180 x 100=18000 万元
即：该沿江高速的造价估计是18000 万元
探索新知
(1) 如图，在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系， 那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系 呢？
A
（2）你能发现直角三 角形三边长度之间存 在什么关系吗？与同 伴进行交流。
B
图1-3
C A
B
图1-4
A a
Bb c
C
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间 的关系
a2+b2=c2
你能验证你的猜想吗？
动手画一画
分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直 角三角形，并测量斜边的长度。以上猜想对 这个三角形仍然成立吗？
返回
C A
（2）在图1-2中，正方形A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面 积各是多少？
B C
图1-1
A
（3）你能发现图1-1、图1-2中三 个正方形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
B
图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
B
图1-3
C A
B
图1-4
分割成若干个直角边为 整数的三角形
（2）图1-3、图1-4
中三个正方形A，B， C的面积之间有什
A
1.1 探索勾股定理(1)教学课件(共23张PPT) 八年级数学上册北师大版
探究新知
数格子法探索勾股定理
A
B
图1
C
C A
B
图2
16
9
25
4
9
13
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的大正方形的面积． 也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
C A
B SA SB SC
随堂练习
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8
cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且
与AE重合，求CD的长．
A
解：由勾股定理，得
E
AB
10 ，S△ABC
1 68 2
24 ，
CD
B
S△ABC
S△ABD
S△ACD
1 10DE＋ 1 6CD
2
2பைடு நூலகம்
24．
(3)三个正方形的面积之间有什么关系?
探究新知
数格子法探索勾股定理
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的大正方形的面积．
也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
AB
C SA SB SC
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个 单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.
问题思考：(1)运用此定理的前提条件是什么? (2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
北师大版八上数学第一章：第1节 探索勾股定理第一课时（课件ppt）
探激索趣新知导 入
（1）. 图1中正方 形A的面积是_9__, 正方形B的面积是 __9_,你能否计算 出正方形C的面 积？C ABC
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C A
B C
图1
A
B 图2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
方法1：分割成若 干个直角边为整数 的三角形.
S正方形C
北师大版八年级上册第一章《勾股定理》
第一节：探索勾股定理（1）
情激境趣导入导 入 如图，从电线杆离地面8m处向地面拉 一条钢索，如果这个钢索到地面的固定点 距离电线杆6m,那么需要多长的钢索？
事实上，在直角三角形中任意两边确定了， 那么第三边也就确定了，让我们一起来探索吧！
探激索趣新知导 入 1.画一个直角三角形，使直角边长分别为3 cm 和4cm，测量一下斜边长是多少？
解析：由勾股定理可知： S1+S2=S3，则可得 S1=S3-S2=2.
3.小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视 机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘 米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你 能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29英寸 或74厘米的电视机，是指 其荧屏对角线的长度
解:∵ 582 462 5480
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
742 5476
解答情境导入问题：
如图，从电线杆离地面8m处向地面拉 一条钢索，如果这个钢索到地面的固定点 距离电线杆6m,那么需要多长的钢索？
解：钢索长度的平方 = 62 +82 =102
∴钢索的长度等于10m.
拓激展趣提高导 入
SA = 4 SB = 4 SC =8
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共18张PPT)-PPT精品文档
说一说你所了解的勾股定理
在中国古代大约是战国时期西汉的数学
著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一 段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股 修四，经隅五。”即：当直角三角形的两条 直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径 隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事 实说成“勾三股四弦五”。故称之为“勾股 定理”或“商高定理”
勾股定理的几何证明
1955年希腊发行的一枚纪念一位 数学家的邮票
环节二：我来证证勾股定理
交流预习展示
要求：1、 一名同学展示拼图； 2、一名同学负责画图； 3、 一名同学负责板书； 4、 一名同学负责讲解。
这是中国古代著名的数学家赵爽证明勾股定理的方法， 被称为赵爽弦图。该图不仅代表了中国古代曾经为世界 数学的发展做出过重要贡献，同时该图也反映了数学的 简洁之美，因此被第24届国际数学家大会组委会确定大 会的会标。
在西方，希腊数学家欧几里德（Euclid， 公元前三百年左右）在编著《几何原本》时， 认为这个定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以 他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，以 后就流传开了。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学 家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五 百多年。
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的 证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此， 又有“百牛定理”之称。
作业：
查询勾股定理的其他证明 方法（不同于本节课）制 作数学手抄报，全班展示
无字证明
青出
青方
青 出
青 入
朱
朱方 出
朱入 青入
青出
⑤
④
b
c
③
a
①②
无字证明
Thanks
八年级数学上册 1.1.1 探索勾股定理课件 (新版)北师大版
A.5
B.6
C.7
D.25
A
关闭
答
4
3.斜边长为17 cm,一条直角边长为8 cm的直角三角形的面积是
.
因为 172-82=152,所以另一条直角边长为 15 cm.
所以该直角三角形的面积为12×15×8=60(cm2). 60 cm2
关闭 关闭
解析 答案
4.求下列图中阴影部分的面积: (1)
答案
1.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾
为
股 ,斜边弦称为
.
2.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
,较长的直角边称 平方 .如果用a,b和
c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 a2+b2=c2 .
3.在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长的平方为( B )
轻松尝试应用
1
2
3
4
(2)
关闭
解:(1)由题图,得 132-122=25(cm2),则阴影部分的面积为 25 cm2.
(2)设半圆的直径为 d cm,由勾股定理,得 d2=252-72=576,则 d=24,S 半圆=12 π
������ 2
2
=
12π×122=72π(cm2),即阴影部分的面积为 72π cm2.
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
第一课时 探索勾股定理
学前温故 新课早知
快乐预习感知
1.直角三角形:有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形. 2.直角三角形的两个锐角 互余 . 3.三角形的三边关系:三角形任意两边之和 大于 第三边,任意两边之差
小于 第三边.
学前温故 新课早知
八年级数学北师大版上册课件：第1章 1.探索勾股定理(共16张PPT)
A．6 米 C．6.8 米
B．8.4 米 D．9.6 米
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 6:17:32 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/102021/9/102021/9/10Sep-2110-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/102021/9/102021/9/10Friday, September 10, 2021
13．如图，居民小区内有一块边长 AC＝60 米的正方形草坪，在草坪 B 处有 健身器材，有的居民从 A 处去 B 处锻炼身体时，为了贪近，在草坪内踏出一 条路 AB，居委会王大妈想在 A 处立一个写有“少走 米，踏之何忍”的警 示牌，她在 处填上适当的数字应是 十 .
14．如图，直线 l 上有三个正方形 a、b、c，若 a、c 的面积为 5 和 11，则 b 的面积为 16 .
5.∴BD＝10＋x＝15 m．
答：这棵树高 15 m.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
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勾股定理第一节 探索勾股定理●应知 基础知识1、勾股定理（1）勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的 等于 的平方．（2）勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有 。
2、理解（1）勾股定理存在和运用的前提条件是在直角三角形中，如果不是直角三角形，那么三边之间不存在这种关系。
（2）勾股定理把“图形”与“数量”有机地结合起来，即把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想的典型代表之一。
（3）利用勾股定理，可以在直角三角形中已知两边长的情况下，求出未知的第三边长。
一般情况下，用,a b 表示直角边，c 表示斜边，则有：222222222a b c b c a a c b +==-=- 在运用勾股定理求第三边时，首先应确定是求直角边还是求斜边，在选择利用勾股定理的原形公式还是变形公式。
【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=， （1）若3,4,a b ==则c = ； （2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。
【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，求以第三边为边长的正方形的面积。
3、勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。
【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾 股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所 示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长 直角边为b ，那么2()a b 的值为（ ）．A ．13B ．19C ．25D ．169 ●应会 基本方法1、如何利用勾股定理求长度利用勾股定理求长度，关键是找出直角三角形或构造直角三角形，把实际问题转化为直 角三角形问题。
在已知两边求第三边时，关键是弄清已知什么边，要求什么边，用平方和还 是平方差。
【例4】如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？【例5】已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ，∠D 是Rt ∠，∠A=45°．若DC=2cm ， AB=5cm ，求AD 和BC 的长．【例6】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…． （1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；（2）归纳出第n 个等腰直角三角形的斜边长．（n 为正整数）2、如何利用勾股定理求面积利用勾股定理求面积，关键是注意转化思想的应用，把所求得面积转化到已知的数量关 系中去，有时还要注意整体思想的应用。
【例7】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°○，以△ABC 各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3 =225，则S 2= 。
S1CAS2S3B变式：将△ABC外的三个正方形换成其它图形是否有类似结论呢？如图，以直角三角形的三边为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S1、S2、S3之间的关系是______．【例8】下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．94【例9】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
3、勾股定理与方程相结合的应用在进行直角三角形的有关计算中，如果不能直接运用勾股定理求解时，往往通过勾股定理列方程求解。
【例10】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD 对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【例11】如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．【例12】为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区在如图9所示AB所在的直线上建一图书阅览室，本社区有两所学校所在的位置在点C和D处．CA⊥AB于A，DB ⊥AB于B，已知A B=25km，CA=15km，DB=10km，试问：阅览室E应建在距A多少㎞处，才能使它到C、D两所学校的距离相等？【例13】一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子顶端离墙底端为7米。
(1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？【规律总结】第二节勾股定理逆定理●应知基础知识1、勾股定理逆定理的内容：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是，且最长边所对的角为。
总结：到目前为止判定直角三角形的方法有多少种了？2、理解：（1）勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
（2）如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形：首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）其次验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的三角形；若c2<a2+b2，则△ABC是以∠C为锐角三角形。
3．勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为．显然，一组勾股数必须满足两个条件：①满足；②都是。
若(a ，b ，c)为一组基本勾股数，则(ka ，kb ，kc)也为勾股数，其中k 为正整数。
即将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数仍是一组勾股数。
【例1】若三角形三边长分别为1,2,3m m m +++，当m = 时，此三角形为直角三角形。
【例2】①7,24,25；②8,15,19；③0.6,0.8,1.0；④3,4,5(1n n n n >，且为自然数）。
上面各组数中，勾股数有 （填序号）。
● 应会 基本方法1、利用非负数的性质判断三角形的形状【例3】已知2212(13)10250x y z z -+-+-+=，试判断以,,x y z 为三边长的三角形的形状。
【练习】如果一个三角形的三边长,,a b c 满足222200121620a b c a b c +++=++，试说明这个三角形是直角三角形。
【例4】请阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b+2c 2=a 4-b 4，试判断△ABC 的形状．解：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，A∴c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2），B ∴c 2=a 2+b 2，C∴△ABC 为直角三角形．D问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误： ； （2）错误的原因是： ； （3）本题正确的结论是： ．【规律总结】2、勾股数【例5】观察下表： 列举猜想3，4，5 32=4+5 5，12，13 52=12+13 7，24，25 72=24+25 …13，b，c 132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．BCPA3、勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用勾股定理及勾股定理逆定理的综合应用主要体现在下面几个方面： （1）利用勾股定理及勾股定理逆定理解决生活中的实际问题； （2）计算图形中的线段、角度以及面积的大小； （3）证明线段垂直或成平方和关系。
【例7】如图，四边形ABCD 中，已知∠BAD =90°，且AB=3，BC=12，CD=13，DA=4．求四边形的面积．变式：如图所示，在四边形ABCD 中，已知：AB ：BC ：CD ：DA=2：2：3：1，且∠ B=90°，求∠DAB 的度数．【例8】如图，在正方形ABCD 中，边长为4a ，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且CE= BC ，问：AF 与EF 会垂直吗？若垂直，说明理由；若不垂直，请举出反例．【例9】如图，在ABC ∆中，,90AB AC BAC ︒=∠=，P 是BC 上任一点。
求证：2222PB PC PA +=。
提示：作AE 垂直于BC 因为AE=BE=CEBP 2+CP 2=(BE+PE)2+(BE-PE)2=2BE 2+2PE 2因为勾股定理BE 2+PE 2=AP 2所以BP 2+CP 2=2AP 2【例10】矩形ABCD 的边长AB =6，BC =4，点F 在DC 上，DF =2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿线段DA 、线段BA 向点A 的方向运动，当动点Ｍ运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连续FM 、FN 。
设点M 、N 的运动速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒，问：当ｘ为多少时，FN FM ?【规律总结】第三节 蚂蚁怎样走最近● 应知、应会 基础知识及基本方法遇到蚂蚁怎样走最近的问题时要明确应把立体图形展开转化为平面图形来解决，除了用到侧面展开图的知识外，也用到勾股定理和线段公理等基本数学知识，在展开后我们会发现多个不同的答案需要进行比较，选择最短的．1、长方体（或正方体）面上的两点间的最短距离长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏。
一般来说，需要讨论三种情况——前面和右面展开；前面和上面展开；左面和上面展开，从而比较取其最小值即可。
【例1】如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A 处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G 处，若AB=3cm ，BC=5cm ，BF=6cm ，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？ＦＮ ＭＣＢＡ Ｄ【例2】在桌面上放了一个正方体的盒子，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？2、圆柱体（或圆锥体）面上的两点间的最短距离将圆柱体（或圆锥体）的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决。
【例3】桌上有一圆柱形玻璃杯高12cm，底面周长18cm，在杯内壁离杯口3cm的A处有一滴密糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至密糖相对方向离桌面3cm的B处时（即A、B在底面的射影的連线段经过底面的圆心O），突然发现了密糖，问小虫怎样爬到达密糖最近？它至少爬多少路才能到达密糖所在位置．3、生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答。