12极限、数学归纳法
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课题：函数的极限与连续性
教学目标：1.使学生掌握当0x x →时函数的极限；
2.了解：0
li m (
)x x f x A →=的充分必要条件是0
lim ()lim ()x x x x f x f x A +
-
→→==掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限
教学重点：掌握当0x x →时函数的极限。运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用。对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解。
教学过程：
一．函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数
)(x f y =无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，
记作A x f x x =→)(lim 0
。
特别地，C C x x =→0
lim ；00
lim x x x x =→
)(→B
x g o
x x
也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.
说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o
o
x x x x →→=
n x x n x x x f x f o
o
)](lim [)]([lim →→=
这些法则对于∞→x 的情况仍然适用.
三 典例剖析
例1．求下列函数在X ＝0处的极限
（1）121lim 22
0---→x x x x （2）x
x x 0lim → （3）22,0
()0,01,0x x f x x x x ⎧>⎪
==⎨⎪+<⎩
例2 求)3(lim 22
x x x +→
例3 求1
1
2lim 231++-→x x x x
例4 求4
16
lim 24--→x x x
分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函
数4
162--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，
由此即可求出函数的极限.
例5 求1
3
3lim 22++-∞→x x x x
分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：),(lim ,lim *N k x x C C k
o
k x x x x o
o
∈==→→ )(01lim
,lim *
N k x C C k
x x ∈==∞→∞
→
例6 求1
34
2lim 232+--+∞→x x x x x
分析：同例5一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以3x ，就可以运用法则计算了。
四 课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）)32(lim 2
1-→x x ； （2）)132(lim 22
+-→x x x
（3）)]3)(12[(lim 4+-→x x x ； （4）1
4312lim 221-++→x x x x
（5）11lim 21+--→x x x （6）9
65lim 223-+-→x x x x
（7）13322lim 232+--+∞→x x x x x （8）5
2lim 32--∞→y y y y 五 小结
1.函数极限存在的条件；如何求函数的极限。
2．有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；
3．函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限
运算时，要特别注意这一点.
4．两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的
极限不一定不存在.
5．在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.
六 作业（求下列极限）
（1）)432(lim 3
1++-→x x x （2）35lim 222-+→x x x （3）12lim 21++→x x x x （4）)14
13(lim 20+-+-→x x x x （5）13lim 2423++-→x x x x （6）2452
30233lim x x x x x x -++→ （7）42lim 22--→x x x （8）11lim 21-+-→x x x （9）6
23lim 2232--++-→x x x x x x （10）x
m m x x 220)(lim -+→ （11）)112(lim 2x x x +-∞→ （12）1221lim 22-++∞→x x x x
（13）13lim 243+++∞→x x x x x （14）2332)2312(lim -+→x x x （15）3526113lim 221--+-→x x x x x （16）3526113lim 22--+-∞→x x x x x （17）3
23
203526lim x x x x x x x ----→ （18）3
23
23526lim x x x x x x x ----∞→