拐点的判定条件
高数上凹向、拐点、作图
2 y 36 x 24 x 36 x x 3 2 2 0 3 得 x 0 , x 令y 0 1 2 · · 3 x 0时， y 0; 在区间（－∞，0]内曲线是凹的。 2 2 0 x 时， y 0 ; 在区间[0， ]上曲线是凸的。 3 3 2 x 时， y 0. 在区间[ 2 ，＋∞）内曲线是凹的。 3 3 2 11 0 , 1、 , 是拐点. 3 27
x2 2
得到曲线上的两个点 （0 ,
1 2
）、（ 1，
1
另外f 2
1 , 2 2 e
1
加辅助点 ( 2 ,
2e 1 ). 2 2 e
）
1
2
注：本例特点 （1）利用函数的奇偶性； （2）补充点（0 ，y ( 0 ) ），（2 ，y ( 2 ) ）； （3）有水平渐近线。
f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) f ' ( x3 ),
f x 递减
f x 0
f x 0
在有些教材中，凹的（曲线）又叫“上凹”，凸的又叫“下凹”。
连续曲线上，不同凹向曲线段的分界点，称为曲线的拐点。 注意：拐点是曲线上的点，应由两个坐标表示：（ x0 , f ( x0 ) ）. 前面讲过的极值点，是取得极值时自变量的值，记 为 x = xi。 两者不同。 2、曲线凹向的判定 P106定理3.8 函数y = f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续,在开区间内二阶可导， 则当 仍可用“雨水法则” f ”( x ) > 0 时，曲线上凹（凹）； 帮助记忆 f ”( x ) < 0 时，曲线下凹（凸）。
曲线的凹向与拐点
第六讲Ⅰ 授课题目：§4.6 曲线的凹向与拐点 Ⅱ 教学目的与要求：1.了解曲线的凹向和拐点的含义，会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点， 掌握已知函数的拐点求函数的待定系数做题型的求法；2.会利用函数的凹凸性证明不等式。
Ⅲ 教学重点与难点：判断函数图形的凹凸性，证明不等式。
Ⅳ 讲授内容：一、曲线凹凸的定义问题: 如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段 图形上任意弧段位于所张弦的下方 位于所张弦的上方定义,,,)(21x x I I x f 上任意两点如果对上连续在区间设．的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那末称如果恒有的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那末称恒有I x f x f x f x x f I x f x f x f x x f )(,2)()()2(;)(,2)()()2(21212121+>++<+;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果b a x f b a b a x f二、曲线凹凸的判定递增)(x f '0>''y 递减)(x f '0<''y定理 内若在内具有一阶和二阶导数在上连续在如果),(,),(,],[)(b a b a b a x f .],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则b a x f x f b a x f x f <''>''例1 .3的凹凸性判断曲线x y =解 ,32x y ='Θ,6x y =''时，当0<x ,0<''y 为凸的；在曲线]0,(-∞∴ 时，当0>x ,0>''y 为凹的；在曲线),0[+∞∴ 注意到,.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点 二、 曲线的拐点及其求法1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、拐点的求法定理 如果)(x f 在),(00δδ+-x x 内存在二阶导 数,则点())(,00x f x 是拐点的必要条件是0)(0"=x f . ,))(,(00是拐点又x f x Θ,])([)(0两边变号在则x x f x f ''='',)(0取得极值在x x f '∴,条件由可导函数取得极值的 .0)(=''∴x f方法1: ,0)(,)(00=''x f x x f 且的邻域内二阶可导在设函数 ;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁x f x x f x '' .))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁x f x x f x '' 例2 .14334的拐点及凹、凸的区间求曲线+-=x x y 解 ),(:+∞-∞D Θ,121223x x y -=').32(36-=''x x y,0=''y 令.32,021==x x 得x(),0-∞20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 23 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭abxy o )(x f y =BAabABxyo )(x f y =()f x '' + 0 -0 + ()f x凹的拐点)1,0(凸的拐点 )2711,32( 凹的).,32[],32,0[],0,(+∞-∞凹凸区间为 方法2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点是曲线那末而且的邻域内三阶可导在设函数x f y x f x x f x f x x f =≠'''=''例3 .)]2,0([cos sin 的拐点内求曲线πx x y += 解 ,sin cos x x y -=',cos sin x x y --=''.sin cos x x y +-=''',0=''y 令.47,4321ππ==x x 得2)43(='''πf ,0≠2)47(-='''πf ,0≠内曲线有拐点为在]2,0[π∴).0,47(),0,43(ππ注意 .)())(,(,)(000的拐点也可能是连续曲线点不存在若x f y x f x x f =''例4 .3的拐点求曲线x y =解 ,0时当≠x ,3132-='x y ,9435--=''x y.,,0均不存在是不可导点y y x '''=,0,)0,(>''-∞y 内但在;]0,(上是凹的曲线在-∞ ,0,),0(<''+∞y 内在.),0[上是凸的曲线在+∞.)0,0(3的拐点是曲线点x y =∴Ⅴ 小结与提问：小结：1.曲线的弯曲方向——凹凸性;2.凹凸性的判定.3.改变弯曲方向的点——拐点;4.拐点的求法1, 2.思考题：设)(x f 在),(b a 内二阶可导，且0)(0=''x f ，其中),(0b a x ∈，则,(0x ))(0x f 是否一定为曲线)(x f 的拐点？举例说明. 思考题解答：因为0)(0=''x f 只是,(0x ))(0x f 为拐点的必要条件， 故,(0x ))(0x f 不一定是拐点. 例 4)(x x f =),(+∞-∞∈x 0)0(=''f 但)0,0(并不是曲线)(x f 的拐点.Ⅵ 课外作业：练 习 题 一、填空题：1、 若函数)(x f y =在（b a ,）可导，则曲线)(x f 在(b a ,)内取凹的充要条件是____________.2、 曲线上____________的点，称作曲线的拐点 .3、 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________.4、 曲线)1ln(x y +=拐点为_______. 二、求曲线x e y arctan =的拐点及凹凸区间 . 三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22y x yx ee e +>+ )(y x ≠.四、求曲线⎩⎨⎧==θθ2sin 2cot 2a y a x 的拐点 . 五、试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上 .六、问a 及b 为何值时，点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点？ 七、试决定22)3(-=x k y 中k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点 . 练习题答案一、1.),()(b a x f 在'内递增或0)(),,(>''∈x f b a x ； 2.凹凸部分的分界点；3.]2,(),,2[),2,2(2-∞+∞e； 4.)2ln ,1(),2ln ,1(-.二、拐点),21(21arctan e ,在]21,(-∞内是凹的, 在),21[+∞内是凸的.四、拐点)23,332(a a 及)23,332(a a -.五、).)32(431,32(),)32(431,32(),1,1(+++-----六、2,2=-=b a .七、 82±=k。
函数凸凹性与拐点关于
§5函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, 读者已经熟悉函数2)(x x f =和x x f =)(的图象。
它们不同的特点是：曲线2x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。
定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ （1）则称f 为I 上的凸函数. 反之，如果总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ （2） 则称f 为I 上的凹函数。
如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。
图6-12中的（a ）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中B AC x f B x f A x x x )1(),(),(,)1(2121λλλλ-+===-+=。
容易证明：若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。
引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （3） (析) 必要性 要证(3)式成立, 需证)()()()()()(123212223x f x x x f x x x f x x -≤-+-)()(312x f x x -+即. ),()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤- 记1323x x x x --=λ，则312)1(x x x λλ-+=，由f 的凸性易知上式成立.充分性 在I 上任取两点),(,3131x x x x <在],[31x x 上任取一点)1(12λλ-+=x x ·),1,0(,3∈λx 即1323x x x x --=λ，由必要性的推导逆过程，可证得 )())1((131x f x x f λλλ≤-+)()1(3x f λ-+,故f 为I 上的凸函数。
函数的凹凸性与拐点的定义与求法
f ′′( x0 ) = 0, 而 f ′′′( x0 ) ≠ 0 , 那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y = f ( x ) 的拐点.
例3 求曲线 y = sin x + cos x ([0,2π ]内) 的拐点. 解 y′ = cos x − sin x , y′′ = − sin x − cos x ,
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 注意 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 2.拐点的求法 2.拐点的求法
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向 问题 如何研究曲线的弯曲方向? 如何研究曲线的弯曲方向
y
C
B
A
o
x
y
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
( 定义 设f ( x)在 a, b)内连续, 如果对(a, b)内任意 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )< , 两点x1, x2 , 恒有 f ( 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凹的; 如果对 a, b)内任意两点 x1, x2 , 恒有 ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) f( )> , 2 2 ( 那末称 f ( x)在 a, b)内的图形是凸的;
函数的极值与拐点
函数的极值与拐点函数在数学中扮演着重要的角色，它描述了数学中数量间的关系。
其中，函数的极值和拐点是函数的重要特征，它们提供了函数图像的关键信息。
在本文中，我们将详细讨论函数的极值和拐点，并解释它们的定义、性质和应用。
一、极值极值是函数在特定区间内取得的最大值和最小值。
对于函数f(x)，如果存在一个实数x0，使得在x0的某个邻域内，f(x)的值不超过（或不低于）f(x0)，那么称f(x0)为函数f(x)的极大值（或极小值）。
极大值和极小值统称为极值。
1.1 极大值和极小值的判定首先，我们需要了解一些判定极大值和极小值的条件。
设f(x)在区间I的内部可导，且在I的端点（若存在）或无穷远处的极限存在（有限或无穷），则：- 若f'(x)在I的内部从正数变为负数，则f(x)在该点取得极大值。
- 若f'(x)在I的内部从负数变为正数，则f(x)在该点取得极小值。
- 若f'(x)在I的内部不变号，则f(x)在该点不取得极值。
1.2 求解极值的方法求解函数的极值是一个重要的问题。
对于一般的函数，我们可以通过以下步骤来求解极值：1）求函数f(x)的导函数f'(x)；2）求解方程f'(x)=0，找到导函数的驻点；3）根据判定条件，确定驻点是否为极值点；4）将所有的驻点和区间端点的函数值进行比较，找到函数的极值。
二、拐点拐点是函数图像中出现曲线凹凸性改变的点，也称为拐点。
在拐点处，函数的二阶导数发生变化。
通过分析函数的拐点可以帮助我们了解函数曲线的特征。
2.1 拐点的定义与判定设函数f(x)在区间I上可导，若存在实数x0，使得f''(x0)=0，且f''(x)在x0的邻域内两侧的导数符号相反，那么称x0为函数f(x)的拐点。
2.2 求解拐点的方法求解函数的拐点也是一个关键问题。
一般来说，我们可以通过以下步骤来求解拐点：1）求函数f(x)的二阶导函数f''(x)；2）解方程f''(x)=0，找到二阶导函数的零点；3）根据判定条件，确定零点是否为拐点。
论曲线的拐点
注 ：二阶导数不存在 的点和二阶 导数等于零的点不一定是拐点． ３ 拐点的充分条件 命题 １ 设 Ｙ＝ ｘ 在 Ｕ（ｏ 内连续 ，在 。 ｏ 内二阶可导 ，在 ｊ 可 导或 ／（ｏ ＝∞ ，则有 ： ｆ（） ｘ） （） Ｘ ｃ ０ ） Ｘ １ ）若在 。 和 。Ｘ） ｆ （） （ ） （ｏ 内 的符号相反 ，则 （ｏｆ Ｘ） 是曲线 Ｙ＝ｆ ｘ 的拐点． ｘ， （ｏ） （） ２若在 。 和 。Ｘ） ） （ ） （ｏ 内ｆ （） 的符号相 同，则 （ｏｆ Ｘ）不是 曲线 Ｙ＝ｆ ｘ 的拐点． Ｘ， （ｏ） （） 命题 ２ 若 Ｙ＝ｆ ｘ 在某 Ｕ（ｏ ） （） ｘ， 内二阶可导且 厂 （ｏ ＝０，三 阶单侧导数 ） Ｘ １ ）若 ） ， ） 同号 ，则点 （ｏｆ Ｘ）是 曲线 Ｙ＝ｆ ｘ 的拐点 ． ｘ， （ｏ） （） ） ， ｊ） ｃ 存在 ，则有 ： ０
（） ０；当 ． Ｘ，ｏ ） ／ （） ＜ ］ ｏＸ 十 时 ＞０．从而点 （ｏｆ Ｘ）是 曲线 Ｙ＝ｆ ｘ 的拐点 ． ｃ ∈（ Ｘ ， （ｏ） （）
收稿 日期 ：２０－９２ ０ ９０ ．８
基 金项 目：衡水 学院科 研基 金 资助课题 （０９４ ） ２００ ９
作 者简 介 ：孙兰敏 （９ ３） 女， １６一 ， 河北 深州 人， 衡水 学 院数学 与计 算机 学院 教授
ｆ Ａ ｌ １ ） ＞ （ ＋ １ Ａ ｆ ｘ ） （ ｘ＋（＿ ） 厂 ） （一 ） （２ ，则称 ，（） 区间 ，上 的严格 下凹 函数 ，也称 曲线 Ｙ＝ 是 严格下 是 （）
凹 曲线．
定义 ３ 设 曲线 ＝ｆ ｘ 在点 （ｏｆ Ｘ）处有穿过 曲线的切线 ，且在切点近旁 ，曲线在切线 的两侧分别 Ⅲ （） Ｘ ， （ｏ） 是严格下 凸和严格下凹 的，这时称点 （ｏｆ Ｘ）是 曲线 Ｙ＝ｆ ｘ 的拐点 ． Ｘ， （ｏ） （） 由定义可见拐点是 曲线下凸部分和 下凹部分 的分界点 ．
曲线的凹凸性和拐点
9节曲窝族畝拐点 I 忖一曲线百四的定义/H\ \二曲线凹凸：的判定「、三曲线的驾蛙姜护-一、曲线凹凸的定义如何研究曲线的弯曲方向?位于所张弦的下方问题图形上任意弧段位于所张弦的上方上—页卞一页返叵定义设/'（X）在（sZ＞）内连续，如果对S上）内任意两点r严“恒2 2 那末称/（乂）在（6巧内的图形是凹的；如果恒有八巴上2）＞八&）+八兀2）2那末称/（X）在@,巧内的图形是凸的。
上—页下—夷E?凹弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。
凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
上—页下—夷I& E?曲线凹凸的判定X, +X,3畐eg __ ),2, ,X, +X, ―X. +X, — X,/(")-/(— )=广(刍)(兀- ')=厂(£)— -2 2 2X, +X.3^2 €( " 2 ),2X, +x\ X,十*. X, -X.定理1如果/•(*)在0上］上连续，在("0)内具有二阶导数，若在仗上)内(1)/"(x)>0,则八工)在|«,A1上的图形是凹的,(2)/^7x)<0,则八丄)在B上］上的图形是凸的。
上—页下—页证明：(1)分析:即证任取两点兀］宀(" < 兀2)要证八2 — 2X, + X予X. + X.————)1 >«2 2—X上—页下—页返叵/(©)-/(—)=厂©)(*2---—2 厂©)—-2 2 2上—页下页逅叵上—页 下—页 返叵两式相加为:X, X- + 七 X, —X, 1/(和-/( ~)]+[/(©)-[/烷)-/("】 ~-2 22即证；厂（务）一厂（£）＞o V V 务）事实上：（冬一気）同理可证明（2）上—页.•・曲线在【U,y ＞）为凹的; 而 厂(G>0 ••・/'(§) 一厂(G>0（纟 ＜塩）例1判断曲线y = 的凹凸性解.•・• = 3厂，y" = 6x,当XV 0时，y"vO,・•・曲线在（-00,0］为凸的当x>0时，y">0,注意，点（0,0）是曲线由凸变凹的分界点。
高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点
§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的．为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系．什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性．如函数y 所表示的曲线是向上凸的，而2y x =所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的．或更准确地说：从几何上看，若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方．如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A 、B ，设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ，弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈，有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--，可简化为(0,1)λ∀∈，12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，从而有以下定义：一、 凸（凹）函数的定义及判定1 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数．注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可．2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证：有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- （4） 如果f 是I 上的可导函数，则进一步有：2 定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导，则进一步有：3定理6．14（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<），x I ∈． 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．注：拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6．15（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=．综上知：(00,()x f x )的拐点，则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导．3定理6．16 设f 在点0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导，若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．；注：(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点，但y ＝f(x)在点0x的导数不一定存在，如y =在x ＝0的情形．三、应用举例（1）利用上述等价命题验证函数的凹凸性，确定凹凸区间．例1 讨论函数()arctan f x x =的凸（凹）性及拐点．（2）证明不等式例2：（Jensen 不等式）若f 为],[b a 上凸函数，则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ，有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式：,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业：P153 1（2）（4），2，3，4，5。
拐点的第二充分条件的证明
拐点的第二充分条件的证明在数学中，函数的拐点是指函数图像在该点处从凸向上弯曲为凹的点。
拐点是函数曲线中的一个重要特征，可以帮助我们了解函数在该点附近的性质。
但是，仅知道函数存在拐点是不够的，我们还需要判断这个拐点是不是临界点，即是否满足拐点的第二充分条件。
接下来，我将对拐点的第二充分条件进行详细证明。
首先，我们重新定义拐点的概念：若函数 $f(x)$ 在$x=c$ 处连续，且在 $x=c$ 的邻域内连续可导，且$f''(c)=0$，则称 $x=c$ 是 $f(x)$ 的一个拐点。
接下来，我们来证明拐点的第二充分条件：如果$f''(x)$ 在 $x=c$ 处从正数变为负数，则 $x=c$ 是$f(x)$ 的一个临界点。
要证明这个结论，我们需要引入“几何的构想”。
假设函数 $f(x)$ 在 $x=c$ 处存在一个拐点，并且$f''(c)=0$。
我们在这个点附近取两个点 $A$ 和 $B$，$A$ 比 $B$ 靠近 $c$，并且 $A$ 和 $B$ 都在函数的上凸部分。
我们假设 $f''(x)$ 在 $(c-\delta,c)$ 区间内是正数，在 $(c,c+\delta)$ 区间内是负数，其中$\delta$ 是一个足够小的正数。
根据 $f''(x)$ 的定义，我们可以得到：$$f''(A) > 0, f''(B) < 0$$因此，我们可以得到两个结论：1. 在 $c\pm\delta$ 区间内，函数 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$ 在 $A$ 和 $B$ 处分别为正值和负值。
2. 在 $c\pm\delta$ 区间内，函数 $f(x)$ 的导函数$f''(x)$ 是单调下降的。
现在，我们来看一下这两个结论的意义。
结论1告诉我们在 $c$ 的左侧，函数 $f(x)$ 的斜率越来越大，而在$c$ 的右侧，函数 $f(x)$ 的斜率越来越小。
19 函数的凹凸性与拐点
H ( p)
p3
p3 (1
p)3
,0
p 1
预示他所在的党在这届众议院里将得到的席位占总席位数的比率。我们分析一下 House 函
数的凹凸性。有 H ( p) 在 (0, 1 ) 内是凹的，在 ( 1 ,1) 内是凸的， p 1 是拐点。
2
2
2
注 House 函数基本反映了美国众议院席位的实际情形。例如在 1936 年的选举中罗斯福赢
ln
x1
x2
xn n
ln x1
ln x2 ln xn n
1
ln(x1 x2 xn ) n
即n
x1 x2 xn
x1
x2
n
xn
例 10．利用函数图形的凹凸性，证明不等式 e x
ey
x y
e 2 ,(x
y)
2
证 因为 f (x) e x 在 R 内为凹。由凹函数的定义即可得。
得 61%的选票，由 House 函数估计民主党在众议院中分得席位的比率是
H (0.61)
0.613 0,613 0.393
0.793(79.3%)
实际上，当年民主党在众议院获得 333 个席位，占总席位的 78.9%，与预测结果相差无 几。当然，它也并不总是非常准确的。最大的差别出现在 1984 年里根连任时。里根得到了 59%的选票，由 House 函数计算共和党在众议院可以得到约 75%的席位，但实际只得到 48% 的席位，相差 25 个百分点。这是由多方面的原因造成的。
列表:
x
(, 1)
1
( 1 , 0)
0
5
5
5
y
－
0
+
4.2 函数的凸性与拐点
f '' ( x )
即有
f '' ( x ) 0
例
讨论
3 2 y 12 x 12 x ,
的凹凸区间.
解 D ( , )
36 x ( x 2 3)
时， y 0
2 (0, 0 3) 0 2 3
当 x1 0 , x2 列表
2 3
x ( ,0) y y 凸
由于 f () 0 , 可知
o
f ( x ) f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
x0
x
性质2
f ( x )是[a, b]上二阶可导的凸函数,[ x1 , x2 ]是[a, b]的
f ( x) x x2 x x1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 x2 x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x0 ) f ' (1 ) ( x1 x0 ) f '(1 ) , x1 1 x0 2
x2 x1 f ( x2 ) f ( x0 ) f ' ( 2 ) ( x2 x0 ) f '( 2 ) , x0 2 x 2 2 相加得 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) 2 f ( x0 ) [ f ' ( 2 ) f ' (1 )]( x 2 x1 ) 2 由于 f (x) 单调增 , 2 > 1 , 知 f (2) > f (1)
§4.2 函数的凸性与拐点
前面我们研究了单调性, 然而我们注意到仅知 道单调性对了解函数的性态是不够的
(1)单调增 (2)单调增
o
a
驻点、极值点、拐点、鞍点的区别与联系
驻点、极值点、拐点、鞍点的区别与联系 最近有些考研的⼩伙伴问到我这个问题，正好也给⾃⼰梳理⼀下思路，毕竟在机器学习⾥⾯这4个概念也是⾮常重要的，不过这⾥由于知识所限，就只整理跟考研部分⽐较相关的知识点了。
既然是4种点，⾸先就需要将其进⾏⼤致的分类，⼤致来说如下。
$$ \begin {cases} ⼀元函数 \quad \begin {cases} ⼀阶导数f'(x) \quad 驻点、极值点、鞍点 \\[3ex] ⼆阶导数f''(x) \quad 拐点 \end {cases} \\[3ex] 多元函数 \quad 极值点、鞍点 \end {cases} $$⼀元函数 在⼀元函数有3种点——驻点、极值点和拐点。
要想完全理解这三个定义的话就需要从函数的性质⼊⼿，对于函数来说，与极值点相关的就是函数的极⼤值、极⼩值、最⼤值和最⼩值。
因此⾸先可以来看极⼤值、极⼩值的定义。
(Def1 极值) 设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去⼼邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任意⼀个$x$，有$$f(x)<f(x_0) \quad (或f(x)>f(x_0))$$那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的⼀个极⼤值(极⼩值)。
从上述定义就可以看到，极⼤值和极⼩值其实和导数是没有任何关系的，所以如果真的要判断极⼤值和极⼩值的话，最为本质的⽅法应该是⽐较在待观察点邻域内函数值的变化情况，那么，导数在这⾥起到了什么作⽤呢？这是由极值的⼀个必要条件得到的。
(Thm2 极值的必要条件) 设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x=x_0$处取得极值，那么有$f'(x_0)=0$。
注意⼀下这个是必要条件，也就是说从可导的极值点才有导数值为0，这句话并不能⽤于通过导数去判断极值，也就是充分条件。
但是⾄少给了我们⼀个思考的⽅向，那就是当思考从导数去判断极值的时候，我们应该要去寻找哪些点。
拐点边界条件-概述说明以及解释
拐点边界条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拐点边界条件是指在某种条件下，系统或者过程会经历从一种状态到另一种状态的转变，即从平稳过渡到非平稳，或者相反的过程。
在科学研究和实际应用中，拐点边界条件被广泛应用于各个领域，如物理学、化学、经济学等。
本文旨在探讨拐点边界条件的定义、作用以及研究现状。
首先，我们将对拐点边界条件进行明确的定义，以便读者对于后续内容有一个清晰的认识和理解。
接下来，我们将深入探讨拐点边界条件的作用。
拐点边界条件在许多系统和过程中具有重要的作用，它能够反映系统或者过程从一种稳定状态到另一种非稳定状态的转变。
通过研究拐点边界条件，我们可以更好地理解系统或者过程的演化规律，为解决实际问题提供科学依据。
此外，我们将回顾拐点边界条件的研究现状。
在过去的研究中，学者们已经提出了各种不同的方法和模型，用于描述和分析拐点边界条件。
这些研究成果为我们深入理解拐点边界条件的特性和机制提供了重要的参考。
最后，本文将总结拐点边界条件的重要性，并展望未来对拐点边界条件的研究方向。
希望通过本文的阐述，能够加深对于拐点边界条件的理解和认识，促进相关领域的研究和应用发展。
总之，本文将围绕拐点边界条件展开讨论，通过深入剖析其定义、作用和研究现状，旨在为读者提供关于拐点边界条件的全面了解，并对未来的研究方向进行展望。
希望本文能够对于相关领域的学者和从业人员有所启发和帮助。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分的目的是介绍整篇长文的组织结构，让读者了解每个章节的主要内容和相互之间的关系。
本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
在概述部分，我们将介绍拐点边界条件的概念和重要性。
文章结构部分则是当前所在的章节，将详细说明整篇文章的组织结构和各个部分的功能。
最后的目的部分将明确本文的研究目的，即对拐点边界条件进行综述和展望。
正文部分将重点关注拐点边界条件的定义、作用和现状三个方面。
曲线的凹凸性与拐点
x
y′′
( −∞ , 0)
0
1 (0, ) 4
1 4
1 ( , + ∞) 4
＋
不存在
拐点(0,0)
－
0
1 1 拐点( , f ( )) 4 4
＋
y
1 内是上凹的; 结论: 结论: 曲线在 ( −∞ , 0) ∪ ( , +∞ ) 内是上凹的; 曲线在 4
1 1 3 ( 0 , ) 内是下凹的; 拐点为(0, 0)和 ( , − 内是下凹的; 拐点为 ). 和 3 4 4 16 16
曲线上任意一点( x0 , f ( x0 ))的切线方程为,
y= ƒ(x)
y = f ( x0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 )
a o
•
• }( x, y) •%%
x x 设( % , f ( % ))为曲线上的另一个任意点, 则
x 由f ( x )在 x0 与 % 之 间满足拉 格朗日 中值定 理
o y
y=ƒ(x)
x
x1 + x2 1 ) > (或 <) [ f ( x1 ) + f ( x2 )] ∀x1 ≠ x2 ∈ (a, b), 均有 f ( 2 2
凹的. 则称曲线在该区间内是下 (上)凹的.
4
y
1 [ f (x )+ f (x2)] 2 1
y
A
• •
y = ƒ(x)
y = ƒ(x)
Q f ′′( x ) > 0, f ′( x )在 (a, b) 内单调增加
∴ 由 ∆ x < 0知 , 有 f ′ ( x 0 + θ ∆ x ) − f ′ ( x 0 ) < 0
专题 三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型(学生版)-2025年中考数学常见几何模型
三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线+拐点模型(猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
目录例题讲模型模型1.猪蹄模型(M型与锯齿型)模型2.铅笔头模型模型3.牛角模型模型4.羊角模型模型5.蛇形模型(“5”字模型)习题练模型例题讲模型模型1.猪蹄模型(M型与锯齿型)先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。
①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。
图1图2图3条件：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②条件：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.证明：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A=∠APQ，∠B=∠BPQ，∴∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB，即：∠APB=∠A+∠B．条件：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.证明：根据图1中结论可得，∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3，条件：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.证明：由图2的规律得，∠A+∠B+∠P2+⋯+P2n=∠P1+∠P3+∠P5+⋯+∠P2n+11.(2024·山西·二模)如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束AB与DC平行射入接收天线，经反射聚集到焦点O处，若∠ABO=38°，∠DCO=45°，则∠BOC的度数为()A.90°B.83°C.76°D.73°2.(2024九年级下·辽宁·学业考试)如图，AB∥CD，AE=EF,∠A=25°,∠EFC=130°，则∠C的度数为．3.(2023春·河南驻马店·九年级专题练习)已知AB∥CD，∠EAF=13∠EAB，∠ECF=13∠ECD，若∠E=66°，则∠F为()A.23°B.33°C.44°D.46°4.(2023·广东深圳·校联考模拟预测)北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，当人脚与地面的夹角∠CDE=60°时，求出此时上身AB与水平线的夹角∠BAF的度数为()A.60°B.45°C.50°D.55°5.(23-24七年级下·广东云浮·期末)小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线AB∥CD，直线AC是直线AB，CD的第三条截线，AK，CK分别是∠BAC，∠DCA的平分线，并且相交于点K．问题解决：(1)∠BAC，∠DCA的平分线AK，CK所夹的∠K的度数为；问题探究：(2)如图2，∠BAK，∠DCK的平分线相交于点K1，请写出∠AK1C与∠AKC之间的等量关系，并说明理由；拓展延伸：(3)在图3中作∠BAK1，∠DCK1的平分线相交于点K，作∠BAK2，∠DCK2的平分线相交于点K3，依此类推，作∠BAK2023，∠DCK2023的平分线相交于点K2024，求出∠K2024的度数．6.(2024·上海·八年级校考期中)已知，直线AB∥CD。
高中数学拐点解题技巧
高中数学拐点解题技巧在高中数学学习过程中，拐点题是一类常见而又具有一定难度的题型。
掌握解题技巧对于学生来说至关重要。
本文将通过具体的例子来说明拐点题的考点和解题方法，并给出一些指导性建议，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类题目。
一、一元二次函数的拐点问题一元二次函数是高中数学中的重点内容，而拐点问题是其中的一个难点。
考虑以下例题：例题1：已知函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a > 0。
若函数的图象在点 (1, 2) 处有一个拐点，求 a、b、c 的值。
解析：拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，即函数的二阶导数为零的点。
因此，我们需要求出函数的二阶导数，并根据给定的条件解方程。
首先，求出函数 f(x) 的一阶导数和二阶导数：f'(x) = 2ax + bf''(x) = 2a由题目可知，在点 (1, 2) 处有一个拐点，即 f''(1) = 0。
代入得到：2a = 0a = 0由于a > 0，所以a 不能为零。
因此，我们得出结论：不存在满足条件的a、b、c 的值，该题无解。
通过这个例题，我们可以看出拐点问题的考点是函数的二阶导数为零的点，解题方法是通过求导并代入给定条件解方程。
在解题过程中，要注意排除无解的情况，即使得 a > 0 的条件。
二、三角函数的拐点问题除了一元二次函数，三角函数也是高中数学中常见的拐点题考点。
考虑以下例题：例题2：已知函数 f(x) = sin(x) + cos(x)，求 f(x) 的拐点。
解析：拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，即函数的二阶导数为零的点。
因此，我们需要求出函数的一阶导数和二阶导数，并解方程 f''(x) = 0。
首先，求出函数 f(x) 的一阶导数和二阶导数：f'(x) = cos(x) - sin(x)f''(x) = -sin(x) - cos(x)解方程 f''(x) = 0，得到：-sin(x) - cos(x) = 0sin(x) + cos(x) = 0由于 sin(x) 和 cos(x) 的周期都是2π，因此我们可以通过观察解的形式来得到答案。
函数的凹凸区间和拐点
函数的凹凸区间和拐点
①求出函数一阶导。
②求出函数二阶导。
③求拐点，令二阶导数等于0，在二阶导数零点处右极限异号。
④二阶导数大于0，凹区间，反之凸区间。
扩展资料：
可导，即设y=f(x)是一个单变量函数，如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。
如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。
只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
拐点的判定条件
拐点，就是指某一特定的时间点，该时间点可以标志一个特殊的变化，一般是在该时间点前的变化趋势和后的变化趋势相反，所以也可称为变化点。
拐点的出现受多方因素的影响，如政策因素、经济因素、市场因素、技术因素等。
科学判定拐点，需要遵循几个关键条件：
第一，多个变量间存在着统计学上的显著性差异，换言之，就是拐点出现的时刻，受影响的变量比较明显和众多。
第二，变量的改变有一定的可持续性。
比如，处于拐点之后的变量出现明显的、可持续的变化，而拐点之前的变量则没有明显的变化，反映出了非常明显的变化模式。
第三，变量变化的情况与相关因素有着直接的关联。
变量变化绝不是毫无联系和原因的，一定会存在一些有影响变量变化的因素，这些因素可以是政策因素、经济因素、市场因素、技术因素等。
第四，以上三项条件，都必须符合统计分析的特定要求，即控制统计偏差、消除外部干扰等。
以上就是拐点的判定条件，在实践中，需要充分综合考虑这些条件，识别变化的趋势，正确判断拐点的位置，以有效的抓住转折点的机会，实现变革。
许多时候，拐点的出现表明了一个时期的结束，也预示着新的变革时代的到来，例如1978年中国改革开放政策，从经济社会发展层面来看已经形成了一个重要的拐点。
这一拐点说明，中国从一个封闭
式社会过渡到了一个开放的市场经济，这对整个国家的发展将产生深远的影响。
在中国公司的业务中，也经常会出现拐点的情况，比如某家公司在开发一款新型产品，经过了一段时间的投入，但是至今仍未取得成功，此时就可以判定出一个拐点，表明该公司需要重新调整战略，以获得成功。
以上只是拐点判定条件的一些概括，在实际应用中，还需要更多的具体因素，比如针对不同变量的趋势、预测结果的分析等。
拐点的判定，不仅关乎依据的正确与否，也包括这些依据的合理性，只有建立在客观数据分析的基础上，才能准确判断出拐点的位置，为变革的实现指明正确的方向。