与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧

焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用
提示：会推导、会运用，可以简化运算
(一）焦半径
有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。

1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式
椭圆： （图1) （图2）
F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A(x ，y)，A 与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2,根据椭圆第二定义有:
2111'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=+⋅=+ 左焦半径
2222'()''AF r a e r AA e x e a ex AA AA c
==⇒=⋅=-⋅=- 右焦半径
椭圆的焦半径：左加右减.
长轴在y 轴上可以比照，易得上减下加。

左边下边都为负，不足都要加。

双曲线：
（图3）（图4）
双曲线为双支,焦半径可能在一支上，也可能在两支上.在一支上时，称之为内焦半径，通常
也叫焦半径。

在两支上叫外焦半径。

以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式.设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有:
2111'(''''')()''F A r a e r AA e AA A A e x e a ex AA AA c ==⇒=⋅=-=--⋅=--
同理，右支2
211'()''F A r a e r AA e x e a ex AA AA c
=
=⇒=⋅=-⋅=-+ 双曲线焦半径,与椭圆有两点相反,左减右加，半长轴取反。

实轴在y 轴上,可以比照，易得上加下减。

联想特征：左边下边都为负,要减一起减。

可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。

以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有：
2
122'(""')()''F B r a e r BB e BB B B e x e a ex BB BB c
==⇒=⋅=+⋅=+⋅=+
同理,以右焦点为起点的外焦半径公式：
2222'()''F B r a e r BB e x e a ex BB BB c
==⇒=⋅=-+⋅=-
双曲线外焦半径，与椭圆相同。

不作要求,高考中未见。

抛物线:
抛物线2
2(0)y px p =>，C （x,y ）为抛物线上的一点，焦半径｜CF ｜=｜x|+
2
p
. 例1 （2000年高考（理工）22题)已知梯形ABCD 中，｜AB ｜=2｜CD|，点E 分有向线段AC 所成的比为λ ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。

当23
34
λ≤≤ ,求双曲线的离心率的取值范围。

解析:
这是一道高考压轴题,难度较大.
建立坐标系，给出A 、B 坐标，由|AB|=2｜CD ｜和对称性可知C 的坐标为(
,2
c
h ），h 为梯形的高。

由定比分点公式可求出E 的坐标,而E 、C 都在双曲线上，代入双曲线方程。

这是常规处理方式，很费事。

常规解法见https://wenku 。

baidu 。

com/view/8065957ea45177232f60a263.html 。

这里用焦半径概念求解.根据向量知识或定比分点公式，先求出E 、C 的横坐标,再求焦半径AE 、AC,这样，只用处理λ 和c 的关系，关系简单纯粹. AE= E ex a -- ，AC= C ex a +，EC=AC-AE=()2C E e x x a ++，()2E C E ex a AE EC e x x a
λ--=
=++ 将(2)212(1)E c c c x λλλλ-+⋅
-+=
=++ ，2C
c x = 代入上式,则(2)2(1)(2)[]222(1)
c e a c c e a λλλλλ-+--+=-++++ 即2
22(2)
1
2132(1)
21(2)11[]222(1)
e e e λλλλλλλλ-+--++=⇒==-+-+--+++。

再由2334λ≤≤,得到
3341λ≤
≤-，372101λ
≤-+≤-,710e ≤≤。

2）焦半径 根据离心率、焦准距、倾斜角计算,焦半径的统一公式 长焦半径r=
1cos ep e θ- ,短焦半径r=1cos ep
e θ
+。

根据图象判断，如椭圆的左上支，椭圆的右下支，就是长焦半径，无需记忆。

同样，双曲线、抛物线也是根据图象判断长短。

外焦半径，只有双曲线才有,比较复杂，且高考中,暂未发现此类题目,只简单介绍。

（图5） (图6）
内外焦半径推导如下:
椭圆的左半边、双曲线右支、开口向右的抛物线的内分焦半径推导:
111cos 1cos AF AF AF AF ep
e AF AA AA A M MA p AF e θθ
====⇒=++- (＊） 椭圆的右半边、双曲线左支、开口向左的抛物线的内分焦半径推导：
111cos 1cos BF BF BF BF ep
e BF BB BB NB NB p BF e θθ
====⇒=--+ BF 也可根据AF 直接写出，θ 为线段与正方向的夹角，这时θ为θ+π. 外分焦半径，仅双曲线拥有，这里以从左焦点伸向右支为例（不作要求):
11cos cos 1
AF AF AF ep
e AF AA AM A M AF p e θθ===⇒=--- P 叫焦准距，p=2b c
（椭圆、双曲线) 。

例2 （2012 江苏高考19题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>> 的
左右焦点分别为F1(—c,0），F2（c ，0）。

已知（1，e ）和（e 3
e 为椭圆的离心率。

（1） 求椭圆的方程;
（2） 设A ，B 是椭圆上位于X 轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行，AF2、BF1
交于点P 。

（i ） 若AF1—BF2=
6
2
,求直线AF1的斜率； （ii ）
求证PF1+PF2是定值。

解析：这道题压轴题，很难,据闻得分率很低。

（1)代入两已知点易求得a 、b 的值；
（2）的(i ）按通法应设出AF1、BF2方程，分别与椭圆方程联立，得出AF1、BF2的长.可设x=my —1或x=my+1.（ii)一看就知可能要用平面几何的平行线性质。

显然用焦半径的统一公式或者焦半径的代数形式能简化运算.
解:（1）将两已知点代入椭圆方程有222
2222222222
224
21111
233
14411e a b a b a a b a b e a b a b a b ⎧⎧-+=+=⎪⎪⎧=⎪⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨=⎪⎩⎪⎪-+=+=⎪⎪⎩⎩ 所以椭圆方程是2
212
x y += 。

（2)解一:焦半径的统一形式 (i ）设∠AF1X=θ,则
21212222cos ,,1cos 1cos 1cos 2
ep ep e p AF BF AF BF e e e θθθθ==-==-+- ，
又22
221(),12c b e p a c ===== ，代入上式解得
cos θθ==（舍） 所以AF1的斜率
=tan θ=
. 解二：焦半径的代数形式 设A （x1，y1）、B （x2，y2）,∠AF1X=θ， 则AF1=a+ex1,BF2=a —ex2。

121212()AF BF a ex a ex x x -=+--=
⇒+=又AF1∥BF2，所以
12122112
11
23()40x x x x x x a ex a ex +-=⇒+--=+- 。

联立则得2
11115
2(640,122
x x x x +-+-=⇒=
=（舍)
所以111
1cos x a ex θ++===+因为A 、B 在X 轴上方，且AF1＞BF2，所以k ＞0, 即
k=tan θ=
=
=。

(ii ）
1111111211212
F P AF F P AF AF F B
F P PB BF F B AF BF AF BF ⋅=⇒=⇒=++
2222222121212F P BF F P BF AF F B
F P AP AF F A AF BF AF BF ⋅=⇒=⇒=++，所以 1122121212
12121212
(2)(2)22AF F B AF F B AF a BF a AF F B AF BF F P F P a AF BF AF BF AF BF ⋅+⋅⋅-+-⋅⋅+=
==-
+++解一：焦半径的统一形式 将12,1cos 1cos ep ep
AF BF e e θθ
=
=
-+代入上式得
: 222
122
21cos 1cos 222221cos 1cos ep ep c b b e e F P F P a a ep a a ep ep a c a e e θθθθ⋅⋅
-++=-=-=-⋅=-==
+
-+解二：焦半径的代数形式
AF1=a+ex1，BF2=a-ex2
，由前知道12x x =
=
将2
a e ==一起代入,则AF1·BF2=34，
，所以
123
2*
43F P F P +==解三:向量方法 设A （x1，y1）、B(x2，y2）、P(x0，y0），
121122211221211221
(,)(,)()AF BF x c y x c y x y x y c y y x y x y y y ⇒+-⇒-=+⇒-=+AF2的方程11(1)1y y x x =
--，BF1的方程22(1)1
y
y x x =++， 解得y0=
121221121212
2y y y y
x y x y y y y y =-+++。

又
00
122121221
,,,1y y PF PF AF a ex BF a ex BF y AF y ===-=+ ， 所以PF1+PF2=
0000000012212121212121
()()()()y y y y y y y y
BF AF a ex a ex a e x x y y y y y y y y ⋅+⋅=⋅++⋅-=++⋅-⋅ 将y0值代入,
则有0000212121()()22
y y y y a e x x a e y y y y ++⋅-⋅=+==。

注：
1、也可以把BF2迁移为F1A1,然后用参数方程来解。

或者迁移后用通法解决。

2、要指明k ＞0或者说明k ＞0的理由。

3、应能根据题设条件知道，P 点实际上在另一个椭圆上。

按此求解，可把问题转化为12,F P PB AP PF λλ== 。

然后设出A （x1，y1）
、B （x2，y2)、P(x ，y ），求出x1、y1、x2、y2用x 、y 表示的表达式，然后代入椭圆方程整理可得到22
19188
x y += 4、这道题的（ii)可以直接算出，因为AF1、BF2已经求出，所以AF2、BF1都能求出,进而可以求得PF1、PF2的长度。

（二）焦点弦
焦点弦长=两个焦半径的和。

1)根据离心率e 和坐标，代数形式
特别地,抛物线2
2(0)y px p =>，焦点弦长=｜x1｜+｜x2｜+p 。

2)根据离心率、焦准距和倾斜角 ,统一形式 AB=
2221cos 1cos 1cos ep ep ep
e e e θθθ
+=
-+- 通径，过焦点且垂直于长轴或实轴的弦称为通径。

令θ=90°，则得椭圆、双曲线的通径为2ep=2
2b a
，抛物线的通径为2p 。

特别地，抛物线的焦点弦长=
22sin p
θ
例3 过双曲线22193x y -= 的右焦点作一倾斜角为3
π 的直线l ，求l 被双曲线截得的弦长。

解析：
这个弦长，与一般的弦长有所不同，那就是过焦点。

当然可以把它当成普通的弦长来处理：直线方程与双曲线联立，检验△后，用韦达定理的固定套路来解决。

12|x x -=。

也可以用直线的参数方程代入双曲线方程,然后|t1—t2｜就是所求的线段长.
这里用焦点弦的弦长公式计算：
e=22c a b p c a c c ===-== ，
由直线l 的倾斜角知道，这是一种内分弦,焦点弦长L=
22
21cos ep
e θ
-。

L=
222
233
2*
*
23231cos 2311(*)
32
ep e θ==-- . 这种处理，比联立方程简单多了。

也可以不区分内分弦、外分弦,统一用含绝对值的公式即可。

（三）焦点三角形
推导如下：
椭圆的焦点三角形（上左图） ∠F1PF2=θ，F1F2=2c,由余弦定理得 :
2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅⋅
到了这里，对上式的变形非常重要，即把2212PF PF +配成2
1212()2PF PF PF PF +-⋅。

22221212121212122cos ()22cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθ=+-⋅⋅=+-⋅-⋅⋅即解得2
2
2
121222(1cos )(2)(2)1cos b PF PF a c PF PF θθ
+⋅=-⇒⋅=+，
所以三角形面积=2212112sin sin tan 221cos 2
b PF PF b θ
θθθ⋅⋅=⋅
⋅=+ 双曲线的焦点三角形（上右图） ∠F1PF2=θ，F1F2=2c ，由余弦定理得 ：
2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅⋅
到了这里，对上式的变形非常重要，即把2212PF PF +配成2
1212()2PF PF PF PF +-⋅.
22221212121212122cos ()22cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθ
=+-⋅⋅=-+⋅-⋅⋅
即解得2
2
2
121222(1cos )(2)(2)1cos b PF PF c a PF PF θθ
-⋅=-⇒⋅=-,
所以三角形面积=2212112sin sin cot 221cos 2
b PF PF b θ
θθθ⋅⋅=⋅
⋅=- 。

面积公式中的半角易当成整个角.
例4 （2004湖北高考）已知椭圆
22
1169
x y += 的左右焦点分别是F1、F2，点P 在椭圆上,若P 、F1、F2是直角三角形的顶点，则点P 到X 轴的距离为( ）。

A.
95 B. 977 C 。

94 D 。

9
4
或977
解析：
求高，用2倍三角形的面积除以底边长即可得到。

这里的直角顶点显然不是确定的，要分类讨论。

若F1、F2是直角顶点，显然高为半通径=
29
4
b a = .若点P 是直角顶点，θ=90°，面积= 2tan
2
b θ
=9。

又面积=
1272c h ch h ⋅⋅== ，所以h=977。

答案是D. 如果不记得面积公式，但知道用余弦定理,并知道配成（PF1+PF2)的平方,也能求出。

例5 （2007年高考全国Ⅰ卷21题）如图，已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B ，D 两点,过F2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，交
点为P 。

（I ）
设P 点坐标为（x0，y0），证明:22
00132
x y +< （II ） 求四边形面积的最小值.
解析： 压轴题，(II ）难度较大.
（I ）P 在F1F2为直径的圆上，因此易证结论. （II ）解法一：常规解法
BD 不会平行于x 轴和y 轴,可设BD 斜率为K ，写出直线方程，与椭圆方程联立,根据韦达定理和弦长公式得出BD 的表
达式。

因为AC ，BD 有交点，且互相垂直,所以直接把k 替换成1
k
-就是AC 的表达式。

解法二:焦点弦方程
由已知条件知，2221b e p c ==== 。

设DB 倾斜角为θ,则AC 的倾斜角为90θ︒+。

222222222,1cos 1cos (90)1sin ep ep ep
DB AC e e e θθθ
=
==--︒++ ，所以
1
2
DB ·AC=2222222222
2
224961cos 1sin 1cos 1sin 25()2
ep ep e p e e e e θθθθ⋅≥=-+--- 用焦半径的统一形式或代数形式，都可以避开斜率是否存在的讨论. 练习:
1、 已知椭圆22
21(1)x y a a
+=> 的两个焦点为F1、F2,P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒ ，
则｜PF1｜｜PF2｜的值为( ）。

A. 1 B 。

13 C. 43 D 。

2
3
2、已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P 为椭圆上一点,且
12111
2||||
PF PF
PF PF ⋅=-
，
△F1PF2，准线方程为x=，求椭圆的标准方程. 注意：演算后会得到两个方程，但有个方程的F1PF2的角度最大为60°，不合要求舍弃.
标准方程：22
14
x y += ，22143
x y +=(舍弃）。

3、(2014湖北)已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且∠F1PF2=3
π
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_________。

解析:
这道题告诉我们，不是所有与焦点有关的题目，用焦半径公式都方便。

设椭圆的长轴是2a,双曲线实轴为2a ’，共同焦距为2c 。

不妨设F1P>F2P ，由题意知，F1P+F2P=2a,F1P —F2P=2a'，所以F1P=a+a ’,F2P=a-a'。

在△F1PF2中，由余弦定理得：
222222*********cos (2)(')(')2(')(')cos 60F F F P F P F P F P F PF c a a a a a a a a =+-⋅∠⇒=++--+-︒
把快乐学习进行下去
整
理并应用柯西定理得:
2222222222121212
'13131113'40()3()44()(1)()3a a a a c c c e e e e e e +-=⇒+=⇒+=⇒++≥+
所以222121************(
)()(1)333e e e e e e +≤++=⇒+≤.。