第十八讲 与圆有关的计算(含解答)-

第十八讲 与圆有关的计算

【趣题引路】

拿破仑是法国一位卓越的军事家、政治家,又是一个数学爱好者.

一次他在远征埃及的航海途中,问部下:“怎样光用圆规把圆分成四等份?•”大家面面相觑,还是拿破仑自己解了这个谜.聪明的读者你知道他是怎样解的吗? 解析 (1)先用圆规画一个已知圆,如图 (1).

(2)在已知圆中,画4个相同的小圆,它们的直径等于已知圆的半径,如图 (2) (3)在4个小圆相交的图形中,4个偏月牙形就是面积完全相同的图形,如图 (3).

【知识延伸】

与圆有关的计算,着重讲正多边形和圆、圆的面积、周长、弧长,扇形的面积以及圆柱和圆锥侧面展开图的计算问题.对于以上问题,首先要理解概念,熟记公式,法则,其次要会灵活运用各方面的知识.

如正n 边形的计算可以集中在正n 边形的半径、边心距把正n 边形分成2n•个全等的直角三角形中,通过解直角三角形或三角形相似来解决.

例1 如图,正五边形ABCDE 的边长为10,它的对角线分别交于点A 1,B 1,•C 1,D 1,E 1. (1)求证:D 1把线段AE 1分成黄金分割;(2)求五边形A 1B 1C 1D 1E 1的边长. 证明 (1)作正五边形的外接圆O, ∵AB=BC=CD=DE=EA=72°,

∴∠D 1AB=∠D 1BA=•∠E 1BD 1=36°. 又∠BE 1D 1=∠BD 1E 1=72°, ∴AD 1=D 1B=BE.

∵△ABE 1∽△B D 1E 1,

∴

11111AE BE BE D E =, 即11

111

AE AD AD D E =. ∴A D 12=AE 1·D 1E 1,即D 1把线段A E 1分成黄金分割. (2)设D 1E 1=x,则A E 1=AB=10,AD 1=10-D 1E 1=10-x,

∴(10-x)2=10x,即x 2-30x+100=0. 解得,得x 1=15-55,x 2=15+55>10(舍去)

∴D 1E 1=15-55.

点评

对于正多边形的计算,要注意利用相似三角形的性质去解,在本题的计算中,•用到了正五边形的两条对角线的交点是对角线的黄金分割点.

在计算与面积有关问题时,等积变形,•把不规则图形的面积变成规则图形的面积去求,是经常使用的方法.

例2 如图,已知在矩形ABCD 中,AB=1,BC=2,以B 为圆心,BC•为半径画弧交AD 于点F,交BA 的延长线于点F.求阴影部分的面积.

解析 连结BF,∵BF=BC=2,AB=1,∠BAF=90°, ∴∠ABF=60°.

在Rt △ABF 中,AF=22

BF AB -=3,

∴S 阴影=S 扇形BEF -S △ABF

=

2602360π-1

2

×1×3 =23π-

32

. 点评

阴影部分是不规则图形,无法直接计算,设法利用规则图形面积来计算,连结BF,则阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形的面积.

在处理展开图问题时,一定不要弄错对应关系,如圆锥侧面展开图是扇形,•这个扇形的半径等于圆锥的母线长,扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长等.

例2 如图,一个圆锥的高是10cm,侧面开展图是半圆,求圆锥的侧面积. 解析 设圆锥底面半径为r,扇形弧长为C,母线长为L. 由题意,得c=22

l

π ,又∵c=2r π, ∴

22

l

π=2r π,得L=2r. ① 在Rt △SOA 中L 2=r 2+102. ② 由①,②解得r=10

3

3

cm, L=

203

3

cm.

∴所求圆锥的侧面积为S=πrL=π103

3

·

203

3

=

200

3

π

(cm2).

点评

经过圆锥高(即轴)的截面所揭示的母线、高、底面半径.•锥角等元素之间的关系是解题的突破口,也是圆锥中几种量之间的基本关系.

【好题妙解】

佳题新题品味

例1已知如图,AC切⊙O于点A,点B在⊙O上,AB=AC=AO,OC、BC分别交⊙O•于点E、F.求证:EF是⊙O的内接正二十四边形的一边.

证明连结OB,OF,因AC是⊙O的切线,

∴∠OAC=90°,∵AC=AO,∴∠AOC=45°.

∵AB=AO=BD,∴△ABO是等边三角形.

∴∠BAO=60°,∴∠BAC=60°+90°=150°,

∵AB=AC,∴∠ABC=15°.∴∠AOF=2∠ABC=30°.

∴∠EOF=∠AOC-∠AOF=45°-30°=15°.

∵正二十四边形的中心角为360°÷24=15°,

∴EF是正二十四边形的一边.

点评

证明一条弦是正多边形的一边.•需证这条弦所对的圆心角等于这个多边形的中心角.如证一条弦是正三角形的一边,需证这条边所对的圆心角为120°.证一条弦是正六边形的一边,需证这条弦所对的圆心角为60°.

例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过P的直线交⊙O1于点A,交⊙O2于点B,•AC切⊙O2于点C,交⊙O1于点D,且PB、PD的长恰好是关于x的方程x2-16

m+x=0的两根.

求(1)PC的长;(2)若BP BC

=,

且S△PBC:S△APC=1:k,求代数式m(k2-k)的值.

解析 (1)过P作两圆公切线PT,

∵∠A=TPD,∠TPC=∠DCP,

∠DCP=∠1+∠A,∠TPC=∠2+∠TPD.

∴∠1=∠2.已知∠PBC=∠PCD,

∴△PBC∽△PCD.

∴P C2=PB·PD.

而PB,PD是方程x2-16

m+x+4=0的根. ∴PC2=4,∴PC=2.

O2

T

2

1

D

C

B

A

P O

1