三角恒等变换

第五节三角恒等变换

[考纲要求]

1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．

突破点一三角函数求值

[基本知识]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2.

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．()

(2)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．()

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都

成立．( )

(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 二、填空题

1．已知tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π

4＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝13. 答案：1

3

2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．

解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝1

2.

法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝1

2.

答案：1

2

3.3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.

解析：3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝ 2. 答案： 2

4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________． 解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，

∴tan 2α＝

2tan α1－tan 2α

＝－4

3. 答案：－4

3

[全析考法]

考法一 三角函数式的化简求值

1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．

2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等． [例1] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°＝( )

A ．－3

2

B ．－12

C.12

D.32

(2)化简：2cos 2α－1

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________ .

[解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°

＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°

＝sin 30°＝1

2.

(2)法一：原式

＝cos 2α－sin 2α

2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2

＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)

(1－tan α)(cos α＋sin α)2

＝

(cos 2α－sin 2α)⎝⎛⎭

⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭

⎫1－sin αcos α(cos α＋sin α)2

＝1.

法二：原式＝cos 2α

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α

＝cos 2α

2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α

＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2α

cos 2α＝1.

[答案] (1)C (2)1

[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则

考法二 三角函数的给值求值(角)

[例2] (1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－11

14，则sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝( ) A ．－1

2

B.12

C ．－

32

D.

32

(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.3π

4 B.5π4 C.7π4

D.7π6

[解析] (1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π. ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－11

14，

∴sin α＝437，sin(α＋β)＝53

14

.

∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝1

2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝－cos 2β＝1－2cos 2β＝1

2.故选B. (2)因为sin 2A

2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510， 所以

1－cos A 2＋12cos A －3

2sin A ＝5－1510

， 即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝5

5. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－

⎝⎛⎭

⎫552＝－255.

由sin B ＝

10

10，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－

⎝⎛⎭

⎫10102＝－31010.

所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55

×1010

＝

2

2

. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π

4，故选C. [答案] (1)B (2)C [方法技巧]

1．给值求值问题的求解思路 (1)化简所求式子．

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． 2．给值求角问题的解题策略