第六章应力状态

第六章
应力状态
§6-1
应力状态的概念
应力状态的研究是强度计算、稳定分析和认识构 应力状态的研究是强度计算、 造现象的基础 一、一点应力状态 由杆件的基本变形分析可知，一般情况下， 由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不 同截面存在不同的应力，同一截面上， 同截面存在不同的应力，同一截面上，不同的点应 力也不一样，即使同一点， 力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不 一样。 一样。 无论是强度分析还是刚度分析， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应 力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向， 力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向， 需要对各点的应力情况做出分析， 需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个方 向上的应力分布就是一点的应力状态。 向上的应力分布就是一点的应力状态。
σ x −σ y
sin 2α 0 = tg 2α 0 ⋅ cos 2α 0 = ±
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
− 2τ x
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
2 ） + τ x （6- 4）
2
σ max σ x + σ y σ x −σ y ± = 2 2 σ min
三、应力圆的求证（略） 应力圆的求证（
结论
圆上点、块上面，点面相对 圆上点、块上面， 应，面转动，点相从，转角 面转动，点相从， 二倍转向同。 二倍转向同。
四、利用应力圆求主应力、最大剪应力和主向角 利用应力圆求主应力、
从应力圆，也可以推出主应力，主向角和最大剪应力 从应力圆，也可以推出主应力， 的计算公式
这就是计算主应力的公式
由上式计算得到的2 由上式计算得到的2个应力极值是主 应力，但是究竟是3 应力，但是究竟是3个主应力中的哪 两个，需要比较后才能下结论。 两个，需要比较后才能下结论。
σ1 −σ3
2
最大剪应力
τ max =
（6-5） ）
例6-2 试求例 中所示单元体的主应力和最大剪应力。 试求例6-1中所示单元体的主应力和最大剪应力 中所示单元体的主应力和最大剪应力。
（6-1） ）
τα =
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
（6-2） ）
例6-1 应力。 应力。
一单元体如图所示， 一单元体如图所示，试求在α = 30°的斜截面上的 °
30MPa 20MPa
σ x = 10 MPa , σ y = 30MPa , τ x = 20MPa, τ y = −20 MPa ,α = 30°
σ
Dy σα Dβ σx σ1
σ1
τxy
α0
图6-2
(2)选取比例尺，原则是在纸面能容下的前提下，所画 (2)选取比例尺，原则是在纸面能容下的前提下， 选取比例尺 的应力圆越大越好. 的应力圆越大越好. (3)量取OK=σx ,DK=τxy 得到对应于x截面的Dx点;量 (3)量取 量取OK=σ ,DK=τ 得到对应于x截面的D 取OK=σy ,DK=τyx得到对应于y截面的Dy点. OK= 得到对应于y截面的D (4)以 (4)以 Dx Dy为直径;以其中点C为圆心作圆,此圆就是所 为直径;以其中点C为圆心作圆, 求的应力圆. 求的应力圆. 应用应力圆,可以求出单元体任一截面上的应力, 应用应力圆,可以求出单元体任一截面上的应力,如果斜截面 向外法线N 则从圆D , Šõ 向外法线N和x向正应力 σx6 α角,则从圆Dx ,7 αˆ?• Œ‰•圆 Dx、Dα‚H它 对 圆 角∠DxCDα为2 α . 得Dαˆ„ˆ?横、纵 角∠ 标OKα、DαKαŠù•ç别代 该 、 应 σα 、τα . 此外，应力圆还可以量出主应力、最大剪应力和主向角. 此外，应力圆还可以量出主应力、最大剪应力和主向角.
应力状态的分类
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 ）单向应力状态： （2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零 ）平面应力状态： （3）空间应力状态：三个主应力都不等于零 ）空间应力状态： 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
二、主平面和主应力的概念
τ = 0的平面叫作主平面 的平面叫作主平面 的平面叫作
主平面上的正应力叫作主应力 主平面上的正应力叫作主应力 主应力采用符号： 主应力采用符号： σ 1 , σ 2 , σ 3 并且规定： 并且规定：
σ1 ≥ σ
2
≥σ
3
可以证明，弹性体内任意一点的主平面和主应 可以证明， 力一定存在，并且一定是唯一存在。 力一定存在，并且一定是唯一存在。
§6-2
平面应力状态
2τ xy Dx K x tan 2α 0 = − =− CK x σ x −σ y
（6-8） ）
最大剪应力
τ max
σ x −σ y 2 = CD0 = CDx = + τ xy 2
2
（6-9） ）
例6.3 已知下图所示单元体的σx =40MPa,σy =已知下图所示单元体的σ 40MPa,σ 60MPa,τ 60MPa,τxy=-50MPa,求此单元体α=30°截面上的应 50MPa,求此单元体 求此单元体α=30° 力。
=0
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的截面上，正应力具有极值（最大或者最小） 的截面上，正应力具有极值（最大或者最小）
主平面
主应力
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α = 0
2τ x tg 2α 0 = − （6-3） ） σ x −σ y
α0
′ = α 0 + 90 o α0
cos 2α 0 =
由剪应力互等定理可知， 由剪应力互等定理可知， 两个主平面相互垂直， 两个主平面相互垂直， 因此， 因此，主应力也一定互 相垂直。 相垂直。
轨迹方程
(σα −
σx +σy
2
) +τα = (
2 2
σx −σy
2
)2 +τxy2 （6-6） ）
应力圆做法
(1)取 (1)取σ为横坐标 、 τ为纵坐标轴的直角坐标系（图6-2） 为纵坐标轴的直角坐标系（
τ σ2 O Ky Kβ σy DO Dα Dτ τα τyx σ2 σα
τyx
B σy
2α 2α τxy C Kα Kx A
一个微分六面体可以简化为平面单元体
1、斜截面上的应力
一个空间楔形体可以简化为平面三角形， 一个空间楔形体可以简化为平面三角形，斜面简化 为斜边，并作受力分析， 为斜边，并作受力分析，建立静力平衡方程
∑ Fn = 0 σα =
∑ Ft = 0
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos2α −τ x sin2α
sin 2α + τ x cos 2α
2、 最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
1 =±
± 1 + tg 2α 0
2
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
σ x −σ y
sin 2α 0 = tg 2α 0 ⋅ cos 2α 0 = ±
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
− 2τ x
cos 2α 0 =
1 ± 1 + tg 2 2α 0
=±
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
2
(a)
拉应力） + 42.4MPa（拉应力） = 压应力） - 2.4MPa（压应力）
σ 1 42.4 σ 2 = 0 MPa σ 3 − 2.4
确定主平面的位置
− 2τ x − 2 × 20 tg 2α 0 = =2 = σ x − σ y 10 − 30
2α 0
在第三象限
2α 0 = 180 + 63 26′
最大主应力位置
σ1
α0
σ3
α 0 = 121°43'
σ3
（2）求最大剪应力 ）
σ 1 42.4 σ 2 = 0 MPa σ 3 − 2.4
σ1
(a)
τ max =
σ1 − σ 3
2
= 22.4 MPa
3、 纯剪切应力状态
（1）求主应力 ）
σ x = 10MPa, σ y = 30MPa,τ x = 20MPa σ max σ x + σ y σ x −σ y + τ x2 = ± 2 2 σ min
2
10 + 30 = ± 2
10 − 30 2 + 20 2
研究应力状态的方法
在构件内部取微分单元体，代表一个点， 在构件内部取微分单元体，代表一个点， 个微面上的应力， 分析 6 个微面上的应力，并且假设相互平 行的微面上，应力相等。 行的微面上，应力相等。 每个微面上的应力可以分解 为1 个正应力和 2个剪应力 个剪应力 应力符号： 应力符号：
拉为 应 拉为 、压为负 应 绕单 顺 、 负
τ y σy τyx 30° τxy σ30° τxy τ30° σy σx x A2 B C O 60° 60° Dx A A1 Dy Dα τ30° σ σ30°
答案：σ 30 = 58.3MPa，τ 30 = 18.3MPa
例6.4 已知下图所示单元体的σx =80MPa,σy =已知下图所示单元体的σ 80MPa,σ 40MPa,τ 40MPa,τxy=-60MPa,用应力圆法求主应力、最大剪应 60MPa,用应力圆法求主应力 用应力圆法求主应力、 主向角，并在单元体上画出主面。 力、主向角，并在单元体上画出主面。
此现象称为纯剪切
关于一点应力状态的讨论
1、互相垂直截面上应力关系 2、互相平行截面上的应力关系 2τ xy 3、主向角 α 0 ， tg 2α 0 = − σ − σ
x
y
§6-3
求应力的图解法— 求应力的图解法—应力圆
一、应力圆：在二向应力状态中采用图形表示应力。 应力圆：在二向应力状态中采用图形表示应力。 应力圆的作法： 二、应力圆的作法： 如果二向应力状态互相垂直应力已知，任意α 如果二向应力状态互相垂直应力已知，任意α截面 上应力σ 的函数，从式(6-1)、(6-2)中消去 上应力σα 、τα 是α的函数，从式(6-1)、(6-2)中消去 α变量，得到σα 、τα的轨迹方程。 变量，得到σ 的轨迹方程。
y τ D0 σy τyx τxy σx σ2 Dx α0 x A2 B O C Dy
A 2α0 A1 σ
σ 1 = OA1 = 105MPa，σ 2 = OA2 = −65MPa， 答案： τ max = CD0 = 85MPa，∠DxCA = 2α 0 = 45 。
习题： 已知应力状态如下图所示（应力单位：Mpa）， ），求 习题： 已知应力状态如下图所示（应力单位：Mpa），求： 指定斜截面上的应力；（ ；（2 主应力；（ ；（3 主向角， （1）指定斜截面上的应力；（2）主应力；（3）主向角，并 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（ ；（4 最大剪应力。 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；（4）最大剪应力。
− 2τ x tg 2α 0 = → −∞ σ x −σ y
α 0 = 1350
′ α 0 = 450
2
σ1 = τ
135
σ 3 = −τ
σ max σ x + σ y σ x −σ y +τ x2 ± = 2 2 σ min
τx
σ max = σ 1 = τ x σ min = σ 3 = −τ x
σα = σ x +σ y
+
n
σ x −σ y
2 2 10 + 30 10 − 30 = + cos 60° − 20 sin 60° 2 2 = −2.32MPa
cos 2α − τ x sin 2α
30° ° 10MPa -20MPa
τα =
σ x −σ y
2 10 − 30 = × sin 60° + 20 cos 60° 2 = 1.33MPa
σ 1 OA = = OC ± CA = OC ± CK x2 + Dx K x2 σ 2 OB
=
σx +σ y
2
±
σ x −σ y 2
2
2 + τ xy
（6-7） ）
由上式，用解析方法亦可计算σ１，σ２． 由上式，用解析方法亦可计算σ 因为∠ CA是负向 因为∠DxCA是负向,所以 是负向,