第六章应力状态
6第六章-梁的应力详解精选全文完整版

需要注意的是,型钢规格表中所示的x轴是我们所标示 的z轴。
Ⅱ. 纯弯曲理论的推广
工程中实际的梁大多发生横力弯曲,此时梁的横截面
由于切应力的存在而发生翘曲。此外,横向力还使各纵向
线之间发生挤压。因此,对于梁在纯弯曲时所作的平面假
设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性
力学的分析结果表明,受分布荷载的矩形截面简支梁,当
A
将
E
y
r
代入上述三个静力学条件,有
FN
dA E
A
r
y d A ESz
A
r
0
(a)
M y
z d A E
A
r
yz d A EIyz
A
r
0
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EIz
A
r
M
(c)
以上三式中的Sz,Iyz,Iz都是只与截面的形状和尺寸相 关的几何量,统称为截面的几何性质,而
图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力[]=152 MPa 。试
选择工字钢的号码。
(a)
(b)
解:在不计梁的自重的情况下,弯矩图如图所示 Mmax 375kN m
强度条件 Mmax 要求:
Wz
Wz
M max
第六章 应力状态分析

1(
3
1+
2
+
3
)
图b
3 -m 图c
单元体的体积改变比能 为:
1- 2
6E
1
+
2
+3
2
形状改变比能或畸变能密度:
1+
6E
1 + 2 2 + 2 + 3 2 + 3 + 1 2
§6-8 应用举例
例题5-1 已知应力状态如图中所示。试: 1.写出主应力 1 、 2 、 3 的表达式;
2时.若针已方知向σ旋x=转63θ.7=M12p0a0,后τ至xy=x‘7、6.4yM’,p求a,当坐 x标' 、轴 yx 、、yxy逆
问题:(1)用什么模型描述一点处的应力状态?(2)如 何确定任一个方向面上的正应力与切应力?
§6-1 一点处应力状态描述及其分类
单元体或称微元: 构件内的点的代表物,是包围被研究点的无限小的几何体,通常 用正六面体微元。一旦确定了微元三对互相垂直面上的应力,过这一点任意方向面上的 应力均可由平衡方法确定。进而,还可以确定这些应力中的最大值和最小值以及它们的 作用面。因此,一点处的应力状态可用围绕该点的微元及其三对互相垂直面上的应力来 描述。在选取代表一点的微元时,应该尽量使其三对互相垂直面上的应力为已知的或容 易由基本变形下的应力公式算出的。
1
3
II 2
xy
3
O
II
1
x
平行于2的方向面-其上之应力与2无关. 由1 、 3可作出应力圆II
2
III 1 3
xy
II
I
3 2
O
III
1
x
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析

F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度,最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
第6章 弯曲应力

称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt,max yc,max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁( l/h > 5 ),纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况,其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解:
由弯曲曲率公式 可得:
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式:
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中,可根 据截面上弯矩的方向,直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力,哪一侧产生 压应力,而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max
基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设,纵向纤维间无正应 力。
中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知,梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区,中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层,称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。
第六章 岩体的初始应力状态

T0
(三)根据水压致裂法试验结果计算地应力
(1)一般来讲 z h 作为地主应力之一。我 们可以将 z 与 2 h 作比较,若 z 1h ,则 可以肯定此时 2 h 为最小主应力;进一步将 与 z 1h 作比较,也就可以以此确定地应力的 三个主应力。
因为开裂点方位或开裂裂缝方向可以确定 2 h 的方位或 1h 的方向,所以三个地主应力的 方位也就可以相应确定。 (2)如果 2 h h ,并且孔壁开裂后孔内 岩体出现水平裂缝,则此时 z h 为最小 地应力, 2 h 与 1h 各为中间主应力及最大 地主应力,垂直开裂方向即为最大地应力方向。
T z E 0.03 10 5 10 4 zMPa 0.003 zMPa
z--深度/m。
温度应力是同深度的垂直应力的1/9,并呈静 水压力状态。 返回
第三节 岩体初始应力状态的现场量测方法 一、岩体应力现场量测方法概述 1.目的: (1)了解岩体中存在的应力大小和方向 (2)为分析岩体的工程受力状态以及为 支护及岩体加固提供依据 (3)预报岩体失稳破坏以及预报岩爆的 有力工具
工作步骤
应变观测系统
(2)套孔应力解除法
•孔径变形测试,孔壁应力解除法,均属于 套孔应力解除法。前者测试套孔应力解除 后的孔径变化;后者测试套孔应力解除后 的孔壁应变。其操作步骤和原理基本相同
原理要点 对岩体中某点进行应力量测时,
先向该点钻进一定深度的超前小孔,在此 小孔中埋设钻孔传感器,再通过钻取一段 同心的管状岩芯而使应力解除,根据恢复 应变及岩石的弹性常数,即可求得该点的 应力状态。
直角应 变花
等边三角 形应变花
应力解除槽
表面应力解除法
钻孔的深 度必须超 过开挖 影 响区,才 能测到岩 体内的原 始应力, 否则测出 的是二次 应力。
第六章岩体的初始应力状态讲义

z z
n
z i hi i 1
若认为岩体为均质、连续且各向同性体,各岩体单 元横向变形为0,即x= y=0,则由广义胡克定律:
x
1 E
x
y z
y
1 E
y
z
x
解上式得水平应力x、 y为:
5、水压致裂法测定系统
6、应力计算
两向受不相等的均布力σ1、σ2作用时的应力分量:
1
2
2
(1
r2
2
)
1
2
2
(1
r2
2
)(1
3
r
2 2
)
cos
2
2
1
2
2
(1
r2 ) 1 2
2
2
(1
3 r 4 )cos 2 4
岩浆侵入或者随着深度的增加,温度升高,使岩 体膨胀,产生热应力,增加初始应力;
若地温梯度α=3°C/100m,岩体热膨胀系数β约 为10-5,一般岩体弹性模量E=10GPa,则地温引起的温 度应力T约为:
T =αβE Z=0.03×10-5×104 Z=0.003 Z MPa
Z为研究点处的深度,m。
x
y
1
z
z
其中λ为侧压力系数,
岩体(0.2-0.3),则(0.25-0.43);
另外, xy yz zx 0
岩体自重应力随着深度呈线性增加,浅部处 于弹性状态;超某一临界深度(砂岩500m、花岗 岩2500m),岩体处于潜塑状态或塑性状态(开 挖前为弹性,开挖后呈塑性),此时,其近于 0.5,则近于1.0,岩体所受垂直与水平应力相 等,即静水压力状态,该现象瑞士地质学家海姆 (A.Heim)1987年在研究阿尔卑斯山深大隧道时 发现,称为海姆假说。
第二篇第六章(第十章)应力状态与强度理论

第⼆篇第六章(第⼗章)应⼒状态与强度理论第⼗章应⼒状态与强度理论第⼀节概述前述讨论了构件横截⾯上的最⼤应⼒与材料的试验许⽤应⼒相⽐较⽽建⽴了只有正应⼒或只有剪应⼒作⽤时的强度条件。
但对于分析进⼀步的强度问题是远远不够的。
实际上,不但横截⾯上各点的应⼒⼤⼩⼀般不同,即使同⼀点在不同⽅向的截⾯上,应⼒也是不同的。
例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截⾯上的应⼒.上例说明构件在复杂受⼒情况下,最⼤应⼒并不都在横截⾯上,从⽽需要分析⼀点的应⼒状态。
⼀、⼀点的应⼒状态凡提到“应⼒”,必须指明作⽤在哪⼀点,哪个(⽅向)截⾯上。
因为不但受⼒构件内同⼀截⾯上不同点的应⼒⼀般是不同的。
即使通过同⼀点不同(⽅向)截⾯上应⼒也是不同的。
⼀点处的应⼒状态就是指通过⼀点不同截⾯上的应⼒情况的总和。
或者说我们把过构件内某点所有⽅位截⾯上应⼒情况的总体称为⼀点的应⼒状态。
下图为通过轴向拉伸构件内某点不同(⽅向)截⾯上的应⼒情况。
⽽本章就是要研究这些不同⽅位截⾯上应⼒随截⾯⽅向的变化规律。
并以此为基础建⽴复杂受⼒(既有正应⼒,⼜有剪应⼒)时的强度条件。
⼆、⼀点应⼒状态的描述1、微元法:在⼀般情况下,总是围绕所考察的点作⼀个三对⾯互相垂直的微正六⾯体,当各边边长充分⼩并趋于零时,六⾯体便趋于宏观上的“点”,这种六⾯体称为“微单元体”,简称“微元”。
当微元三对⾯上的应⼒已知时,就可以应⽤截⾯法和平衡条件,求得过该点任意⽅位⾯上的应⼒。
因此,通过微元及其三对互相垂直的⾯上的应⼒情况,可以描述⼀点的应⼒状态。
上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。
根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则,微元体(代表⼀个材料点)各微⾯上应⼒特点如下:(1)各微⾯上应⼒均匀分布;(2)相互平⾏的两个侧⾯上应⼒⼤⼩相等、⽅向相反;(3)互相垂直的两个侧⾯上剪应⼒服从剪切互等定律。
(在相互垂直的两个平⾯上,剪应⼒必然成对存在,且⼤⼩相等,两者都垂直于两个平⾯的交线,⽅向则共同指向或共同背离这⼀交线。
清华大学 材料科学基础——作业习题第六章

第六章目录6.1 要点扫描 (1)6.1.1 金属的弹性变形 (1)6.1.2 单晶体的塑性变形 (2)6.1.3 多晶体的塑性变形与细晶强化 (8)6.1.4 纯金属的塑性变形与形变强化 (10)6.1.5 合金的塑性变形与固溶强化和第二相强化 (14)6.1.6 冷变形金属的纤维强化和变形织构 (16)6.1.7 冷变形金属的回复与再结晶 (17)6.1.8 热变形、蠕变和超塑性 (20)6.1.9 断裂 (22)6.2 难点释疑 (25)6.2.1 从原子间结合力的角度了解弹性变形。
(25)6.2.2 从分子链结构的角度分析粘弹性。
(25)6.2.3 FCC、BCC和HCP晶体中滑移线的区别。
(25)6.2.4 Schmid定律与取向规则的应用。
(26)6.2.5 孪生时原子的运动特点。
(27)6.2.6 Zn单晶任意的晶向[uvtw]方向在孪生后长度的变化情况 (29)6.3 解题示范 (30)3.4 习题训练 (33)参考答案 (38)第六章 金属与合金的形变6.1 要点扫描6.1.1 金属的弹性变形1. 弹性和粘弹性所谓弹性变形就是指外力去除后能够完全恢复的那部分变形。
从对材料的力学分析中可以知道,材料受力后要发生变形,外力较小时发生弹性变形,外力较大时产生塑性变形,外力过大就会使材料发生断裂。
对于非晶体,甚至某些多晶体,在较小的应力时,可能会出现粘弹性现象。
粘弹性变形即与时间有关,又具有可恢复的弹性变形,即具有弹性和粘性变形两方面的特性。
2. 应力状态金属的弹性变形服从虎克定律,应力与应变呈线性关系:γτεσG E == 其中: yx G E εενν-==+,)1(2 E 、G 分别为杨氏模量和剪切模量,v 为泊松比。
工程上,弹性模量是材料刚度的度量。
在外力相同的情况下,E 越大,材料的刚度越大,发生弹性形变的形变量就越小。
3. 弹性滞后由于应变落后于应力,使得εσ-曲线上的加载线和卸载线不重合而形成一个闭合回路,这种现象称为弹性滞后。
6、岩体的初始应力状态

第六章 岩体的初始应力状态第一节 初始应力状态的概念与意义岩体的初始应力,是指岩体在天然状态下所存在的内在应力,在地质学中,通常又称它为地应力。
岩体的初始应力主要是由岩体的自重和地质构造运动所引起的。
岩体的地质构造应力是与岩体的特性(例如,岩体中的裂隙发育密度与方向,岩体的弹性、塑性、粘性等)有密切关系,也与正在发生过程中的地质构造运动以及与历次构造运动所形成的各种地质构造现象(例如,断层、褶皱等)有密切关系。
因此,岩体中每一单元的初始应力状态随该单元的位置不同而有所变化。
此外,影响岩体初始应力状态的因素还有地形、地质构造形态、水、温度等,但这些因素大多是次要的,只是在特定的情况下才需考虑。
对于岩体工程来说,主要考虑自重应力和构造应力,二者叠加起来构成岩体的初始应力场。
地面和地下工程的稳定状态与岩体的初始应力状态密切相关。
岩体的初始应力状态可以指在没有进行任何地面或地下工程之前,在岩体中各个位置及各个方向所存在的应力的空间分布状态,它是不取决于人类开挖活动的自然应力场。
在岩体中进行开挖以后,改变了岩体的初始应力状态,使岩体中的应力重新分布,引起岩体变形,甚至破坏。
在高地应力地区,开挖后常会出现岩爆、洞壁剥离、钻孔缩径等地质灾害。
对于地下洞室工程来讲,我们把与洞室本身稳定密切相关的周围岩体称为围岩。
洞室的开挖引起围岩的应力重分布和变形,这不仅会影响洞室本身的稳定状态,而且为了维持围岩的稳定,需施作一定的支护结构或衬砌。
合理地设计支护结构,确定经济合理的衬砌尺寸,是与岩体的初始应力状态紧密相关。
所以,研究岩体的初始应力状态,就是为了正确地确定开挖过程中岩体的应力变化,合理地设计岩体工程的支护结构和措施。
第二节 组成岩体初始应力状态的各种应力场及其计算一、岩体自重应力场及计算地心对岩体的引力,使原岩体处于受力状态,由此而引起的岩体应力称为重力应力。
它可以通过计算获得,其计算理论一般是建立在假定岩体为均匀连续介质的基础之上的。
材料力学——第6章(应力状态分析及强度理论)

t min
2t x tan 2 0 = s x s y
t max s max s min = R半 径 = 2 t min
s x s y 2 2 ( ) t x 2
25
[例6-4]求 ⑴图示单元体α =300 斜截面上的应力 ⑵主应力、主平面(单位:MPa)。
40
§6–1 应力状态概述
§6-2 平面应力状态分析
§6-3 三向应力状态分析 §6-4 广义胡克定律 §6-5 工程中常用的四种强度理论
1
拉压
扭转
弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉 s max
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax smax
MT
t max
M
t max
2
S平面
n
F
1
sx 面上的应力(s ,t )
tx
y x t n D( s , t C O B(sy ,ty) 2 O
面的法线
两面夹角 两半径夹角2 ; 且转向一致。 x
A(sx ,tx)
s
23
ty
sy s t
n
t D = DC sin[ 180 ( 2 0 2 )]
O
sx sy
图2
ty
px t
同理: t = p x sin p y cos
= s x cos t y sin sin t y cos s y sin cos
经简化 得
s x s y t = sin 2 t x cos 2 2
s
sx sy
材料力学第六章 应力状态理论和强度理论

单元体的各个面均为主平面,其上的主应力为: 单元体的各个面均为主平面,其上的主t
9
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
3、三向应力状态(空间应力状态) 、三向应力状态(空间应力状态) 定义:三个主应力均不为零。 定义:三个主应力均不为零。 例如:导轨与滚轮接触点处,取导轨表面任一点 的单元体 的单元体, 例如:导轨与滚轮接触点处,取导轨表面任一点A的单元体, 它各侧面均受到压力作用,属于三向应力状态。 它各侧面均受到压力作用,属于三向应力状态。
工程力学
Engineering mechanics
第六章 应力状态理论 和强度理论
1
工程力学
Engineering mechanics
引
言
前面的分析结果表明, 前面的分析结果表明,在一般情况下杆件横截面上不同点 的应力是不相同的,过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 的应力是不相同的,过一点不同方向面上的应力也是不相同的。 因此,当提及应力时,必须明确“哪一个面上哪一点” 因此,当提及应力时,必须明确“哪一个面上哪一点”的应力或 哪一点哪一个方向面上”的应力。 者“哪一点哪一个方向面上”的应力。 如果危险点既有正应力,又有切应力,应如何建立其强度 如果危险点既有正应力,又有切应力, 条件? 条件? 如何解释受力构件的破坏现象? 如何解释受力构件的破坏现象? 对组合变形杆应该如何进行强度计算? 对组合变形杆应该如何进行强度计算? 要全面了解危险点处各截面的应力情况。 要全面了解危险点处各截面的应力情况。
2
工程力学
Engineering mechanics
§6-1 应力状态理论的概念 和实例
一、一点的应力状态 定义:过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 定义:过受力体内一点所有方向面上应力的集合。 一点的应力状态的四要素 四要素: 一点的应力状态的四要素: )、应力作用点的坐标 (1)、应力作用点的坐标; )、应力作用点的坐标; )、过该点所截截面的方位 (2)、过该点所截截面的方位; )、过该点所截截面的方位; )、应力的大小 (3)、应力的大小; )、应力的大小; )、应力的类型 (4)、应力的类型。 )、应力的类型。 二、研究应力状态的目的 对受到轴向拉伸(压缩)、扭转、弯曲等基本变形的杆件, 对受到轴向拉伸(压缩)、扭转、弯曲等基本变形的杆件, )、扭转 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态,受力简单, 其危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态,受力简单,可直 接由相应的试验确定材料的极限应力,建立相应的强度条件。 接由相应的试验确定材料的极限应力,建立相应的强度条件。
第六章 应力应变状态分析

x y
2 300 3 200 200 2
min
2 0 2 0
max
0 28.2 0或 - 151.8 0
Dx 200,300, D y 200,300
Dx
14
x y x y cos2 xy sin 2 2 2
x y sin 2 xy cos 2 2
max x y min 2
x y 2 xy 2
2
2 xy 1 0 arctan tan 2 0 2 x y y x
D13
D12
D23 D3
D2
D1
2
max 13
1 3
2
13作用面?
答: bdhf
a
b f d h
c
e
g
1
3
18
例题3-1:图示单元体,求:(1)主应力和最大切应力; (2)画出三向应力圆。 y
40Mpa x
z
解: 1.先把它转化为一个平面应力状态
x 120MPa , y 40MPa , xy 30MPa
2
E
1 1 11 12 13 1 2 3 E 1 2 21 22 23 2 3 1 E 1 3 31 32 33 3 1 2 E
x y x y 2 2 2
2
2 xy 面存在一一对应关系。
材料力学习题第六章应力状态分析答案详解

材料⼒学习题第六章应⼒状态分析答案详解第6章应⼒状态分析⼀、选择题1、对于图⽰各点应⼒状态,属于单向应⼒状态的是(A )。
20(MPa )20d20(A )a 点;(B )b 点;(C )c 点;(D )d 点。
2、在平⾯应⼒状态下,对于任意两斜截⾯上的正应⼒αβσσ=成⽴的充分必要条件,有下列四种答案,正确答案是( B )。
(A ),0x y xy σστ=≠;(B ),0x y xy σστ==;(C ),0x y xy σστ≠=;(D )x y xy σστ==。
3、已知单元体AB 、BC ⾯上只作⽤有切应⼒τ,现关于AC ⾯上应⼒有下列四种答案,正确答案是( C )。
(A )AC AC /2,0ττσ==;(B )AC AC /2,/2ττσ==;(C )AC AC /2,/2ττσ==;(D )AC AC /2,/2ττσ=-=。
4、矩形截⾯简⽀梁受⼒如图(a )所⽰,横截⾯上各点的应⼒状态如图(b )所⽰。
关于它们的正确性,现有四种答案,正确答案是( D )。
(b)(a)(A)点1、2的应⼒状态是正确的;(B)点2、3的应⼒状态是正确的;(C)点3、4的应⼒状态是正确的;(D)点1、5的应⼒状态是正确的。
5、对于图⽰三种应⼒状态(a)、(b)、(c)之间的关系,有下列四种答案,正确答案是( D )。
τ(a) (b)(c)(A)三种应⼒状态均相同;(B)三种应⼒状态均不同;(C)(b)和(c)相同;(D)(a)和(c)相同;6、关于图⽰主应⼒单元体的最⼤切应⼒作⽤⾯有下列四种答案,正确答案是( B )。
(A) (B) (D)(C)解答:maxτ发⽣在1σ成45o的斜截⾯上7、⼴义胡克定律适⽤范围,有下列四种答案,正确答案是( C )。
(A)脆性材料;(B)塑性材料;(C)材料为各向同性,且处于线弹性范围内;(D)任何材料;8、三个弹性常数之间的关系:/[2(1)]G E v =+ 适⽤于( C )。
材料力学应力状态

2
y
2
x
y
2 xy
J12 4
J2
R2
sin
2 0
xy
R
c os 2 0
(
x
R
y
)
/
2
x
y
2
R cos(2
20 )
R sin(2 20 )
x
2
y
2
2
R2
x
2
y
2
2 xy
6.2 平面应力状态
H ( , )
B
O
yx
y E
2
R
2
C 2 0
( x y ) / 2 x
y
y yx n
40
30 z
( MPa )
80
x
z 30MPa (主应力) x 80MPa y 40MPa
(1)求主应力
xy 40MPa
~m ~m
ax in
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
104.72 15.28
(MPa)
1 104 .72MPa 2 15.28MPa 3 30MPa
3
2
-30 O 15.28
( 3 1)( 3 2 )
2 n
(
n
2
2
3
)
2
2
3
(
n
2
2
3
)
2
2
3
0
n
2
2
3
2
2 n
2
2
3
2
O
c1
3 2
c2 c3
第6章局部应力应变分析法

第6章局部应力应变分析法局部应力应变分析法是一种常用于研究材料力学行为的方法。
它通过对材料局部区域的应力应变分布进行分析,可以揭示材料的应力集中、强化、局部损伤等性质。
在材料力学行为中,通过施加外力,材料会产生应力和应变。
当外力作用在材料的其中一个局部区域时,这个局部区域会发生应力集中现象。
应力集中会导致局部应变的增大,进而可能引起材料的局部破坏。
因此,研究局部应力应变分布对于了解局部区域的强度和稳定性至关重要。
局部应力应变分析法首先需要确定所研究的局部区域。
可以通过实验和数值模拟等方法,对材料在不同应力条件下的局部区域进行观测和测量。
在实验中,可以利用光学、电子显微镜等仪器对材料进行观察;在数值模拟中,可以利用有限元分析等方法进行模拟计算。
在确定了局部区域后,局部应力应变分析法可以通过测量和计算的方法来分析局部区域的应力应变分布。
在实验中,可以使用应力计、应变计等仪器来测量应力和应变的大小;在数值模拟中,可以通过有限元分析等方法来计算应力和应变的数值。
通过对局部应力应变分布的分析,可以得到一些重要的结论。
首先,可以了解材料在局部区域的应力集中程度。
应力集中的程度越大,材料的强度和稳定性越低,可能会发生局部破坏。
其次,可以了解材料在局部区域的应力强化情况。
材料的局部区域在受力作用下,可能会发生应力强化,增加材料的强度和稳定性。
最后,可以了解材料在局部区域的局部损伤情况。
材料在受到外力作用时,可能会发生局部破坏,通过分析应力应变分布可以得到这些破坏的位置和形态。
总之,局部应力应变分析法是一种重要的研究材料力学行为的方法。
通过对材料局部区域的应力应变分布进行分析,可以揭示材料的应力集中、强化、局部损伤等性质。
这些研究结果对于材料的设计和应用具有重要的指导意义。
材料力学第6章应力状态与强度理论

6.2 平 面 应 力 状 态 分析 6.3 三 向 应 力 状 态 分 析 6.4 广 义 胡 克 定 律 6.5 一般应力状态下的应变必能 6.6 工程中常用的四种强度理论
6.1 应 力 状 态 概 述
6.1.1、应力状态概念 (1)、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象 P M 低碳钢 铸铁拉伸
图c单元体的应变能为 : d: 畸变能密度 (Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion)
1 2 2 2 ud s 1 s 2 s 2 s 3 s 3 s 1 6E —— 形状改变比能(歪形能) s 1 -s m
2t xy
s x s y
0 45
s x s y 2 2 t max ( )t xy t 2 t min
s x s y tg21 0 1 0 2t xy
破坏分析
低碳钢: s s 240MPa;
t s 200MPa
低碳钢
灰口铸铁 : s Lb 98 ~ 280MPa
6.5.2 线弹性体的应变能
作用在弹性杆件上的力,其加力点的位移,随着杆件受力和 变形的增加而增加,这种情形下,力所作的功为变力功。
0
FP
FP
Δ Δ
O
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆件, 作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时,力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
不考虑加载过程中的能量损耗,则外力功将转化为弹性变形能
s x s y 0
t
s
2
xy
材料力学第六章应力状态与强度理论

e
xy
x
b
a
a
f
y
yx
第6章
应力状态与强度理论
斜截面应力
由图 d 所示体元上各面上的力的平衡,参考法 线n和切线t方向可得:
(d)
e
xy dA cosa xdA cosa
b yx dA sina
adA
n
adA
f t
n 0
y dA sina
⇒
a dA x dA cos a cosa xy dA cos a sin a
x y
2
x y
2
因此,C点坐标为应力圆圆心坐标,并且
B1B2 2 x y 2 CD1 B1D1 xy 2 2
该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述 圆确为应力圆。
2
2
第6章
应力状态与强度理论
由图b可见,A1、A2两点的横坐标为:
OA1 OC CA1
OA2 OC CA2
第6章
应力状态与强度理论
主应力
由此可得两个主应力值为:
应力圆
2
1
x y
2
x y 2 2 xy
x y 2 2 xy
⇒
其中dA为斜截面ef的面积。 由此可得,任一斜截面上的应力分量为:
a
x y
2
x y
2
cos 2a xy sin 2a
a
x y
2
sin 2a xy cos 2a
第6章
应力状态与强度理论
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± 1 + tg 2α 0
2
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
σ x −σ y
sin 2α 0 = tg 2α 0 ⋅ cos 2α 0 = ±
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
− 2τ x
cos 2α 0 =
1 ± 1 + tg 2 2α 0
=±
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
τ y σy τyx 30° τxy σ30° τxy τ30° σy σx x A2 B C O 60° 60° Dx A A1 Dy Dα τ30° σ σ30°
答案:σ 30 = 58.3MPa,τ 30 = 18.3MPa
例6.4 已知下图所示单元体的σx =80MPa,σy =已知下图所示单元体的σ 80MPa,σ 40MPa,τ 40MPa,τxy=-60MPa,用应力圆法求主应力、最大剪应 60MPa,用应力圆法求主应力 用应力圆法求主应力、 主向角,并在单元体上画出主面。 力、主向角,并在单元体上画出主面。
σ
Dy σα Dβ σx σ1
σ1
τxy
α0
图6-2
(2)选取比例尺,原则是在纸面能容下的前提下,所画 (2)选取比例尺,原则是在纸面能容下的前提下, 选取比例尺 的应力圆越大越好. 的应力圆越大越好. (3)量取OK=σx ,DK=τxy 得到对应于x截面的Dx点;量 (3)量取 量取OK=σ ,DK=τ 得到对应于x截面的D 取OK=σy ,DK=τyx得到对应于y截面的Dy点. OK= 得到对应于y截面的D (4)以 (4)以 Dx Dy为直径;以其中点C为圆心作圆,此圆就是所 为直径;以其中点C为圆心作圆, 求的应力圆. 求的应力圆. 应用应力圆,可以求出单元体任一截面上的应力, 应用应力圆,可以求出单元体任一截面上的应力,如果斜截面 向外法线N 则从圆D , Šõ 向外法线N和x向正应力 σx6 α角,则从圆Dx ,7 αˆ?• Œ‰•圆 Dx、Dα‚H它 对 圆 角∠DxCDα为2 α . 得Dαˆ„ˆ?横、纵 角∠ 标OKα、DαKαŠù•ç别代 该 、 应 σα 、τα . 此外,应力圆还可以量出主应力、最大剪应力和主向角. 此外,应力圆还可以量出主应力、最大剪应力和主向角.
σα = σ x +σ y
+
n
σ x −σ y
2 2 10 + 30 10 − 30 = + cos 60° − 20 sin 60° 2 2 = −2.32MPa
cos 2α − τ x sin 2α
30° ° 10MPa -20MPa
τα =
σ x −σ y
2 10 − 30 = × sin 60° + 20 cos 60° 2 = 1.33MPa
三、应力圆的求证(略) 应力圆的求证(
结论
圆上点、块上面,点面相对 圆上点、块上面, 应,面转动,点相从,转角 面转动,点相从, 二倍转向同。 二倍转向同。
四、利用应力圆求主应力、最大剪应力和主向角 利用应力圆求主应力、
从应力圆,也可以推出主应力,主向角和最大剪应力 从应力圆,也可以推出主应力, 的计算公式
轨迹方程
(σα −
σx +σy
2
) +τα = (
2 2
σx −σy
2
)2 +τxy2 (6-6) )
应力圆做法
(1)取 (1)取σ为横坐标 、 τ为纵坐标轴的直角坐标系(图6-2) 为纵坐标轴的直角坐标系(
τ σ2 O Ky Kβ σy DO Dα Dτ τα τyx σ2 σα
τyx
B σy
2α 2α τxy C Kα Kx A
研究应力状态的方法
在构件内部取微分单元体,代表一个点, 在构件内部取微分单元体,代表一个点, 个微面上的应力, 分析 6 个微面上的应力,并且假设相互平 行的微面上,应力相等。 行的微面上,应力相等。 每个微面上的应力可以分解 为1 个正应力和 2个剪应力 个剪应力 应力符号: 应力符号:
拉为 应 拉为 、压为负 应 绕单 顺 、 负
− 2τ x tg 2α 0 = → −∞ σ x −σ y
α 0 = 1350
′ α 0 = 450
2
σ1 = τ
135
σ 3 = −τ
σ max σ x + σ y σ x −σ y +τ x2 ± = 2 2 σ min
τx
σ max = σ 1 = τ x σ min = σ 3 = −τ x
2
(a)
拉应力) + 42.4MPa(拉应力) = 压应力) - 2.4MPa(压应力)
σ 1 42.4 σ 2 = 0 MPa σ 3 − 2.4
确定主平面的位置
− 2τ x − 2 × 20 tg 2α 0 = =2 = σ x − σ y 10 − 30
y τ D0 σy τyx τxy σx σ2 Dx α0 x A2 B O C Dy
A 2α0 A1 σ
σ 1 = OA1 = 105MPa,σ 2 = OA2 = −65MPa, 答案: τ max = CD0 = 85MPa,∠DxCA = 2α 0 = 45 。
习题: 已知应力状态如下图所示(应力单位:Mpa), ),求 习题: 已知应力状态如下图所示(应力单位:Mpa),求: 指定斜截面上的应力;( ;(2 主应力;( ;(3 主向角, (1)指定斜截面上的应力;(2)主应力;(3)主向角,并 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;( ;(4 最大剪应力。 在单元体上绘出主平面位置及主应力方向;(4)最大剪应力。
σ x −σ y
sin 2α 0 = tg 2α 0 ⋅ cos 2α 0 = ±
(σ
2 − σ y ) + 4τ x x 2
− 2τ x
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
2 ) + τ x (6- 4)
2
σ max σ x + σ y σ x −σ y ± = 2 2 σ min
(1)求主应力 )
σ x = 10MPa, σ y = 30MPa,τ x = 20MPa σ max σ x + σ y σ x −σ y + τ x2 = ± 2 2 σ min
2
10 + 30 = ± 2
10 − 30 2 + 20 2
σ 1 OA = = OC ± CA = OC ± CK x2 + Dx K x2 σ 2 OB
=
σx +σ y
2
±
σ x −σ y 2
2
2 + τ xy
(6-7) )
由上式,用解析方法亦可计算σ1,σ2. 由上式,用解析方法亦可计算σ 因为∠ CA是负向 因为∠DxCA是负向,所以 是负向,
sin 2α + τ x cos 2α
2、 最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
主平面上的正应力叫作主应力 主平面上的正应力叫作主应力 主应力采用符号: 主应力采用符号: σ 1 , σ 2 , σ 3 并且规定: 并且规定:
σ1 ≥ σ
2
≥σ
3
可以证明,弹性体内任意一点的主平面和主应 可以证明, 力一定存在,并且一定是唯一存在。 力一定存在,并且一定是唯一存在。
§6-2
平面应力状态
应力状态的分类
(1)单向应力状态:三个主应力中只有一个不为零 )单向应力状态: (2)平面应力状态:若三个主应力中有两个不为零 )平面应力状态: (3)空间应力状态:三个主应力都不等于零 )空间应力状态: 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
二、主平面和主应力的概念
τ = 0的平面叫作主平面 的平面叫作主平面 的平面叫作
一个微分六面体可以简化为平面单元体
1、斜截面上的应力
一个空间楔形体可以简化为平面三角形, 一个空间楔形体可以简化为平面三角形,斜面简化 为斜边,并作受力分析, 为斜边,并作受力分析,建立静力平衡方程
∑ Fn = 0 σα =
∑ Ft = 0
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos2α −τ x sin2α
这就是计算主应力的公式
由上式计算得到的2 由上式计算得到的2个应力极值是主 应力,但是究竟是3 应力,但是究竟是3个主应力中的哪 两个,需要比较后才能下结论。 两个,需要比较后才能下结论。
σ1 −σ3
2
最大剪应力
τ max =
(6-5) )
例6-2 试求例 中所示单元体的主应力和最大剪应力。 试求例6-1中所示单元体的主应力和最大剪应力 中所示单元体的主应力和最大剪应力。
=0
的截面上,正应力具有极值(最大或者最小) 的截面上,正应力具有极值(最大或者最小)
主平面
主应力
σ x −σ y
2
sin2α +τ x cos2α = 0
2τ x tg 2α 0 = − (6-3) ) σ x −σ y