函数的定义域和值域的求法

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求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法

求函数的定义域与值域的常用方法在数学中,函数的定义域和值域是非常重要的概念。

定义域是指函数可以接受的输入值的集合,而值域则是函数能够取得的输出值的集合。

正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键,下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。

一、函数的定义域的常用方法:1. 显式定义法:对于一些常见的函数,我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。

例如,对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c,其定义域可以是实数集或者区间。

2.隐式定义法:对于一些函数可能没有明确的表达式,或者函数的定义域和表达式没有直接的关系,我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。

例如,对于分式函数f(x)=1/(x-1),我们可以得知分母不能为0,所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。

3.已知条件法:有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。

例如,对于一个连续函数f(x),如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0,那么可以确定该区间为函数的定义域。

4.集合运算法:当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时,我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。

例如,对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1),我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域,然后求出它们的交集。

二、函数的值域的常用方法:1.考察函数表达式法:对于一些常见的函数,我们可以观察其表达式,根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。

例如,对于平方函数f(x)=x^2,我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数,所以其值域是[0,+∞)。

2.定义域与函数性质法:当我们已经确定了函数的定义域后,可以根据函数的性质来确定其值域。

例如,对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少,我们可以确定函数在该区间上取值范围。

3.极限与极大极小值法:利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。

例如,对于函数f(x)=x^3-3x+2,我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3,然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点,从而确定其值域。

值域和定义域的求法

值域和定义域的求法

值域和定义域的求法在数学中,函数是一个非常重要的概念。

函数的值域和定义域是函数中的两个重要概念。

值域指的是函数的所有可能输出值的集合,而定义域则指的是函数的所有可能输入值的集合。

在解决函数的问题时,我们需要了解如何求出函数的值域和定义域。

一、定义域的求法定义域是函数的输入值的集合。

定义域的求法主要有以下几种: 1. 显式定义法如果函数的定义是显式的,那么其定义域也是显式的。

例如,函数f(x) = x + 2的定义域为所有实数。

2. 分段定义法如果函数在不同的区间内有不同的定义,那么其定义域就是所有区间的交集。

例如,函数f(x) = {x,x<0;x+1,x>=0}的定义域为(-∞,0)∪[0,∞)。

3. 根式定义法如果函数中存在根式,那么其定义域要满足根式中的表达式大于等于0。

例如,函数f(x) = √(x-1)的定义域为[x,∞)。

4. 分式定义法如果函数中存在分式,那么其定义域要满足分母不为0。

例如,函数f(x) = 1/(x-1)的定义域为(-∞,1)∪(1,∞)。

5. 对数定义法如果函数中存在对数,那么其定义域要满足对数中的表达式大于0。

例如,函数f(x) = log(x-1)的定义域为(1,∞)。

二、值域的求法值域是函数的输出值的集合。

值域的求法主要有以下几种:1. 图像法通过作出函数的图像,可以直观地看出函数的值域。

例如,函数f(x) = x^2的图像为开口向上的抛物线,其值域为[0,∞)。

2. 导数法如果函数在某一区间内单调递增或单调递减,那么其值域就是该区间的端点对应的函数值的集合。

例如,函数f(x) = x^2在区间[0,1]内单调递增,其值域为[0,1]。

3. 最值法如果函数在某一区间内存在最大值或最小值,那么其值域就是最大值或最小值对应的函数值的集合。

例如,函数f(x) = -x^2+2x在区间[0,1]内的最大值为f(1)=1,其值域为(-∞,1]。

4. 解析法有些函数可以通过解析的方法求出其值域。

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)
解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。
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实用标准
因为CD=AB=2x,所以CDx,所以
2
L2xxx
y2x

22
LABCDL2xx
AD,
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
,定义域(0,
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为[-2,2],求f(x1)
的定义域。
2
解:令2x12
2
,得1x3
2
,即0x3
,因此0|x|3,从而
3x3,故函数的定义域是{x|3x3}。
(2)已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域。
其解法是:已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由axb,求
恒成立,解得
3
0k;
4
②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要
加倍注意,并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式,并求函
数的定义域。
1
解:设矩形一边为x,则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之
一,在求函数的值域中同样发挥作用。

高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法

高中数学必修一专题:求函数的定义域与值域的常用方法

函数的定义域与值域的常用方法(一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系,是函数与自变量建立联系的一座桥梁,其一般形式是y = f (x),不能把它写成f (x, y) = 0;2、求函数解析式一般要写出定义域,但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时,可以不标出定义域;一般地,我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形;3、求函数解析式的一般方法有:( 1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。

( 2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;(3)换元法:若给出了复合函数 f [g (x)的表达式,求f (x)的表达式时可以令t = g (x),以换元法解之;(4)构造方程组法:若给出f (x)和f (—x),或f (x)和f (1/x)的一个方程,则可以x代换一x (或1/x),构造出另一个方程,解此方程组,消去 f (—x)(或f (1/x))即可求出f (x)的表达式;(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻找或构造它们之间的等量关系,列出等式,解出y 的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限定外,还受其实际意义限定。

(二)求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型是由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量的范围,最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外,还受实际意义限制,如时间变量一般取非负4、对复合函数y = f [ g (x)]的定义域的求解,应先由y = f (u)求出u的范围,即g ( x)的范围,再从中解出x的范围1仁再由g (x)求出y= g (x)的定义域a, l i和I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域;(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示;2、在函数f: A^B中,集合B未必就是该函数的值域,若记该函数的值域为C,则C是B的子集;若C =B,那么该函数作为映射我们称为"满射”;3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集;4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论;叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述;5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集;6、求函数值域的方法十分丰富,应注意总结;(四) 求函数的最值1设函数y = f (x )定义域为 A ,则当x € A 时总有f ( x ) Wf( x o )=M ,则称当x = x 。

函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结(精彩)

函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零(2)偶次根式的被开方数非负。

(3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1(5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域:①21)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ xx x f -++=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义, ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解:要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域:①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解:①要使函数有意义,必须:142≥-x 即: 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为: [3,3-]②要使函数有意义,必须:⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为:}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为:{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为:}37|{-≠x x 例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ,求实数a 的取值范围解:∵定义域是R,∴恒成立,012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于例4 若函数)(x f y =的定义域为[1,1],求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域第一页解:要使函数有意义,必须:43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

常见函数解析式定义域值域的求法总结

常见函数解析式定义域值域的求法总结

常见函数解析式定义域值域的求法总结
一、常见函数解析式
1、二次函数
解析式:y=ax2+bx+c
定义域:全实数集
值域:ax2+bx+c的值
2、三角函数
解析式:y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx
定义域:全实数集
值域:[-1,1]
3、反三角函数
解析式:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,
y=arcsecx,y=arccscx
定义域:-[1,1],(-∞,+∞)
值域:[-π/2,π/2]
4、双曲函数
解析式:y=sinhx,y=coshx,y=tanhx,y=cothx,y=sechx,y=cschx 定义域:全实数集
值域:[-1,1]
5、对数函数
解析式:y=lgx,y=lnx
定义域:x>0
值域:(-∞,+∞)
6、指数函数
解析式:y=ex
定义域:全实数集
值域:(0,+∞)
二、定义域和值域的求法
1、函数的定义域
定义域的求法:一般取出函数的变量,求出它所在的域,如果有多个变量,一般要满足多个变量的取值范围,才能满足函数的定义域,比如:函数f(x,y)=x2+y2,则它的定义域就是x,y取得所有实数
2、函数的值域
值域的求法:一般取定义域,将变量取不同的值,将函数求出不同的值并且收集,得到函数的值域,比如:函数f(x)=x2+x+2,值域就是1,3,5,7……。

第二讲 函数的定义域和值域的求解方法

第二讲 函数的定义域和值域的求解方法

第二讲 函数的定义域和值域的求解方法一、定义域的求解方法:(1)若()x f 为整式,则定义域为R ;(2)若()x f 是分式,则其定义域是分母不为0的实数集合;(3)若()x f 是偶次根式,则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合;(4)指数函数的定义域(也就是指数部分)为R ;(5)对数函数的定义域(真数部分)为R +;(6)幂函数的定义域要视指数的情况而定,如:2()f x x =与12()f x x =;(7)若()x f 是由几部分组成的,其定义域是使各部分都有意义的实数的集合;(*)实际问题中,确定定义域要考虑实际问题例:1、求下列函数的定义域: (1)2322---=x x x y ; (2)x x y -⋅-=11; (3)x y --=113;(4)2253x x y -+-=; (5)()⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x f 23412、已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。

3、若函数()3123++-=mx mx x x f 的定义域是R ,求m 的取值范围。

练习:1.求下列函数的定义域:(1)()142--=x x f ; (2)()21432-+--=x x x x f(3)()x x f 11111++=; (4)()()x x x x f -+=01已知()x f 的定义域为[]1,0,求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=342x f xf y 的定义域。

二、值域的求解方法:1、直接法:直接根据函数表达式来求值域。

例:4y x =, (2,3)x ∈2、单调性法:利用函数的单调性来求值域。

例:2y x =3、图象法:利用函数图象来求值域。

例:2y x =,2(2,5)y x x =∈-4、配方法:把函数化简成二次函数的形式,利用二次函数的性质来求。

例:221x x y x x -=-+5、判别式法:把式子化成一元二次方程的形式,利用判别式法来求。

函数定义域值域求法总结

函数定义域值域求法总结

函数定义域值域求法总结函数的定义域(Domain)和值域(Range)是函数的基本性质之一,它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。

在数学中,定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。

本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法,并提供一些示例。

一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则:根据函数的定义和规则,确定函数所能接受的变量范围。

例如,对于一个有理函数(Rational Function) f(x) = 1/(x-2),由于分母不能为零,所以定义域为除去 x=2 的所有实数。

2. 图像法:绘制函数的图像,观察函数在整个定义域上是否有意义。

一般来说,如果函数在一些点处没有定义或出现断点,则这个点不属于定义域。

例如,对于一个分段函数(Piecewise Function)f(x) = ,x,其图像是一条 V 型曲线,因此定义域为所有实数。

3.非负实数法:有些函数定义域存在特定的限制,负数、零或者正数。

例如,对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3),它的定义域要求x-3≥0,即x≥34. 根式定义域法:对于一些函数,如开方函数、对数函数,可以通过求解不等式来确定函数的定义域。

例如,对于对数函数 f(x) = log(x),由于 log 函数的定义域要求 x > 0,所以它的定义域为所有正实数。

5.分式的定义域法:对于一个分式函数,要求分母不为零。

因此,可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。

例如,对于一个分式函数f(x)=2/(x+1),由于分母要求不等于零,所以定义域为除去x=-1的所有实数。

二、函数值域的求法方法1. 观察法:通过观察函数的定义和规则,或者通过观察函数的图像,推测函数的值域。

例如,对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c,如果 a > 0,那么函数的值域是 (−∞, f(v)],其中 f(v) 是顶点的纵坐标。

函数定义域值域求法总结精彩

函数定义域值域求法总结精彩

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求函数的定义域需要从这几个方面入手: (1)分母不为零(2)偶次根式的被开方数非负。

(3)对数中的真数部分大于0。

(4)指数、对数的底数大于0,且不等于1 (5)y=tanx 中x ≠k π+π/2;y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

常用的求值域的方法:(1)直接法 (2)图象法(数形结合) (3)函数单调性法(4)配方法 (5)换元法 (包括三角换元) (6)反函数法(逆求法) (7)分离常数法 (8)判别式法 (9)复合函数法 (10)不等式法 (11)平方法等等三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域:① 21)(-=x x f ;② 23)(+=x x f ;③ xx x f -++=211)( 解:①∵x-2=0,即x=2时,分式21-x 无意义,而2≠x 时,分式21-x 有意义,∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0,即x<-32时,根式23+x 无意义,而023≥+x ,即32-≥x 时,根式23+x 才有意义,∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且,即1-≥x 且2≠x 时,根式1+x 和分式x-21同时有意义,∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解:要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域:①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y解:①要使函数有意义,必须:142≥-x 即: 33≤≤-x ∴函数14)(2--=x x f 的定义域为: [3,3-]②要使函数有意义,必须:⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为:{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义,必须: 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧x x x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为:}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为:{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义,必须: ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为:}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ,求实数a 的取值范围 解:∵定义域是R,∴恒成立,012≥+-aax ax 第一页∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1],求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域解:要使函数有意义,必须:43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为:⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[-1,1],求f(2x -1)的定义域。

函数定义域及值域的求法

函数定义域及值域的求法
2
对应练习2
1 y 2 x 5, x 1,3 2 y 3 x 1, x [2,5)
1 3 y , x (0,4) x 1 4 y , x ,1 1, x
小结:其他函数在给定区间求值域,都可以通过数形结 合的方式解决。
叫做这个函数的值域(用区间或集合表示)
区间表示:
开区间:(a,b) 闭区间:[ a,b ] 半开半闭区间:(a,b] 实数集R用区间表示:
,
一、求函数定义域:
例1.根据解析式求定义域
① 解:要使函数有意义, 则必须满足
x 2 0 x 4 0 解得:x 2且x 4
总结:
(1)求函数定义域: 对于具体函数求定义域,要保证式子有意义
(2)求函数值域:
求基本函数在R上或某一区间上的值域,通常数形结合
对应练习1:
1 f ( x) x 5 x 6, x R 2 2 f x 2 x 4 x 5, x 2,5 2 3 f x 2 x 3x 1, x 1,2 2 4 f x x 3x 4, x (0,3]
x 2 x 4且x 4
x2 1y x 4
x x 2且x 4 定义域为
小结:对于二次根号下的式子必须保证大于等于零 对于分式要保证分母不等于零
对应练习:
1y
x 1
1 x2
x2 2y x 3 8
3 f ) x 1 x 2
二、求函数值域:
例2.
函数f x x 3 x 4,
2
1x R, 求函数值域 2x 1,5, 求函数值域 3x 3,5, 求函数值域
小结:对于二次函数 在R上求值域,需要考虑顶点的纵坐标和开口方向; 对于在某一区间求值域,要考虑对称轴在区间内还 是在区间外,数形结合。

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。

| x 3| 8解:要使函数有意义,则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。

③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。

故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。

例 2 求函数1ysin x的定义域。

216 x解:要使函数有意义,则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ,kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分,得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4, ] (0, ]评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。

(1)已知 f (x) 的定义域,求 f[g(x )] 的定义域。

(2)其解法是:已知 f (x) 的定义域是[a ,b ]求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ,即为所求的定义域。

2 例3 已知 f (x) 的定义域为[-2,2],求 f ( x 1)的定义域。

2 解:令 2 x 1 2 2 ,得 1 x 32,即 0x3,因此 0 | x |3 ,从而3 x 3 ,故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。

(2)已知 f [g( x)] 的定义域,求 f(x) 的定义域。

其解法是:已知 f [g(x )] 的定义域是[a , b ],求 f(x) 定义域的方法是:由 a x b ,求g(x)的值域,即所求 f(x) 的定义域。

例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为[1,2],求 f(x) 的定义域。

1函数定义域值域求法总结

1函数定义域值域求法总结

1函数定义域值域求法总结函数的定义域和值域是数学中常用的概念,在解析函数的性质和特点时非常重要。

下面将总结函数定义域和值域的求法。

首先,我们来看函数的定义域。

定义域是函数中自变量的取值范围,即能使函数有意义的输入值的集合。

对于不同类型的函数,求解定义域的方法也有所不同。

1.有理函数的定义域:有理函数是指多项式函数与多项式函数的商,即f(x)=p(x)/q(x),其中p(x)和q(x)是多项式函数。

求有理函数的定义域,需要考虑到分母q(x)不能为0,因此需要排除使得q(x)=0的x值。

将q(x)=0的方程求解,即可得到定义域。

2.根式函数的定义域:根式函数包括平方根函数、立方根函数等。

根式函数的定义域需要满足根式内部的表达式有意义,即根式内部不能为负数或使得分母等于0。

因此,将根式内部的表达式求解,使其不小于0,并且将整个根式函数形式中分母为0的情况排除,即可得到定义域。

3.指数函数和对数函数的定义域:指数函数的定义域为实数集,即所有实数都可以作为指数函数的输入。

对数函数的定义域需要满足对数底数大于0且不等于1,因此需要排除底数小于等于0或等于1的情况。

4.三角函数和反三角函数的定义域:三角函数的定义域为实数集,即所有实数都可以作为三角函数的输入。

反三角函数的定义域需要使得其在该区间内有定义,即反三角函数的取值范围在[-1,1]之间。

接下来,我们来看函数的值域。

值域是函数的输出值的范围,即函数在定义域内的取值集合。

求函数的值域有不同的方法。

1.分析法:通过对函数的性质进行分析,可以大致确定函数的值域。

例如,对于多项式函数,根据函数的最高次项的系数和项数的奇偶性,可以确定其值域的范围。

2.增减法:通过求解函数的导数,找出函数的极值点和增减区间,可以确定函数的值域的范围。

函数在增减区间内递增或递减,可以推断函数的值域的变化。

3.图像法:通过绘制函数的图像,观察函数在定义域内的变化情况,可以确定函数的值域的范围。

函数定义域与值域求法总结

函数定义域与值域求法总结

函数定义域与值域求法总结一:函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是:(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么,函数有意义的准则一般有:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③0x y =要求0≠x .(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.2.抽象函数的定义域(1)已知)(x f 的定义域为A ,求())(x f ϕ的定义域,其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ,求出x 的取值范围.(2)已知())(x f ϕ的定义域为B ,求)(x f 的定义域,其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ,求出)(x ϕ的范围,此范围就是)(x f 的定义域.例1.求出下列函数的定义域(1)32+=x y ; (2)21)(+=x x f ; (3)xx f -=21)(;(4)x x y -+-=11; (5)11)(2-+=x x x f ; (6)02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域(1)设)(x f y =的定义域是[0,2],求)3(+x f 的定义域; (2)设)3(+x f 的定义域是[0,2],求)(x f 的定义域; (3)设)3(+x f 的定义域是[0,2],求)2(-x f 的定义域.巩固练习:1.求下列函数的定义域: (1)=)(x f 21+x ; (2)=)(x f 23+x ; (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-,则函数)23(x f -的定义域为________.二:函数值域的求法考查角度1 配方法求值域(此种方法适用于求二次函数或可化为二次函数的函数的值域) 【例1】当1≤x ≤2时,求函数y =﹣x 2﹣x +1值域.【练1.1】已知二次函数245y x x =-+,分别求下列条件下函数的值域:(1)[1x ∈-,0];(2)(1,3)x ∈;(3)(4x ∈,5].【练1.2】已知函数2()41f x x x =-+,求函数[()]y f f x =的值域.【练1.3】求函数222()21f x a x a x =-+在[1-,2]的值域.【考查角度2 分离常数法求值域】【例2】(1)求函数2331x y x -=-+的值域.(2)已知函数1()2x f x x +=+,求()f x 的值域.【练2.1】(1)求下列函数的值域:)1(132≥++=x x x y .(2)求函数321xy x -=-的值域.【练2.2】(1)求下列函数的值域:2132x y x -=+. (2)求函数225941x x y x ++=-的值域.【练2.3】(1)求函数22223x xy x x -=-+的值域.(2)求函数2221()3x f x x -=+的值域.考查角度3 换元法求值域【例3】求2y x =【练3.1】求下列函数的值域.(1)22y x =-(2)5y x =+(3)y x =+.【练3.2】求下列函数的值域.(1)22221(2)x x y x x -+=>(2)2854y x x =-+【练3.3】求函数()f x 的值域.考查角度4 判别式法求值域【例4】利用判别式求函数231xy x x =-+的值域.【练4.1】已知3x >,求函数22173x y x -=-的值域.【练4.2】求函数的值域:22221x x y x x -+=++.考查角度5 列分段函数求值域【例4】求函数的值域:|1||4|y x x =-++.【练5.1】求函数的值域:|1||21|y x x =+--【练5.2】已知函数224,(03)()6,(20)x x x f x x x x ⎧-=⎨+-⎩()()0230<≤-<≤x x ,求()f x 的值域.【练5.3】求函数24||3(33)y x x x =---<<的值域.【趁热打铁】1. 按要求求下列函数的值域:(1)1y =(观察法); (2)y =(配方法);(3)2y x =-+; (4)211x y x -+=-(分离常数法).(5)28(45)y x x =÷-+(判别式法).2. 求值域:(1)22566x x y x x -+=+-; (2)2224723x x y x x +-=++;(3)()f x x = (4)()f x =3. 求下列函数的值域:(1)2()231f x x x =--; (2)222()x xf x x x+=-;(3)()f x x =+ (4)()2f x x =(5)221()1x f x x -=+; (6)()5f x x =-+.4. 求下列函数的值域:(1)y x =(2)y x =+(3)4241y x x =++ (4)6y =.5. 求下列函数的值域.(1)31y x =+,[1x ∈,2]; (2)245y x x =--,[1x ∈-,1];(3)11x y x +=-; (4)2211x y x -=+;(5)2y x =+.6. 求函数|3||5|y x x =+--的值域.7.求下列函数值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ; (2)1-=x y ; (3)y =x 2-4x +6,x ∈[1,5);(4)y =5x -14x +2; (5)y =x +x ; (6)12++=x x y .三:函数解析式的求法1.待定系数法:如果已知函数类型,可设出函数解析式,再代入条件解方程(组),求出参数,即可确定函数解析式.2.配凑法:已知))((x g f 的解析式,要求)(x f 的解析式时,可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ,即用)(x g 来表示,再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法:已知))((x g f 的解析式,要求)(x f 的解析式时,也可令t =)(x g ,再求出)(t f 的解析式,然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法:常见的含有)(x f 与)(x f -,)(x f 与)1(xf 时,将原式中的x 用x -(或x 1)代替,从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -,)(x f 与)1(xf 的关系式,将这两个关系式联立,列方程组解出)(x f .例4.(1)已知,求; 3311()f x x x x+=+()f x(2)已知是一次函数,且满足,求;(3)已知满足,求)(x f .巩固练习:1.已知)(x f 是一次函数,且34))((+=x x f f ,求)(x f .2.已知()x x x f21+=+,求)(x f .3.设函数f (x )满足f (x )+2f (x1)=x (x ≠0),求f (x ).课后练习1.函数f (x )=x-21的定义域为M ,g (x )=2+x 的定义域为N ,则M ∩N =( ) A .[-2,+∞) B .[-2,2) C .(-2,2)D .(-∞,2) 2.设f (x )=x -1x +1,则f (x )+)1(xf =( ) A .1-x 1+x B .1x C .1 D .0()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x +=3.若函数y =21-x 的定义域是A ,函数y =62+x 的值域是B ,则A ∩B =________. 4.若定义运算a ⊙b =⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )=x ⊙(2-x )的值域为________. 5.求函数的值域(1)113+-=x x y ; (2)112-++=x x y .6.求下列函数的定义域,并用区间表示:(1)y =(x +1)2x +1-x -1;(2)y =35--x x .7.求下列函数的解析式(1)已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ,求)(x f ;(2)若函数)0(1)1(22≠+=-x x x x x f ,求)(x f ;(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+,求)(x f .8.已知函数f (x )=2211xx -+, (1)求f (x )的定义域; (2)若f (a )=2,求a 的值; (3)求证:)1(x f =)(x f -.。

函数定义域值域求法 全十一种

函数定义域值域求法 全十一种

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。

例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分,得 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,,Y评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。

(1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。

(2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。

解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

(2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。

其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。

例4 已知)1x 2(f +的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。

解:因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤,,。

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)

实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。

③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。

故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。

例 2求函数 y sin x1的定义域。

16x 2解:要使函数有意义,则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k,k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分,得4x或 0x故函数的定义域为(4, ](0, ]评注:③和④怎样求公共部分?你会吗?二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。

( 1)已知f (x )的定义域,求f [ g(x )]的定义域。

( 2)其解法是:已知 f (x) 的定义域是[a,b]求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ,即为所求的定义域。

例 3已知 f (x) 的定义域为[-2, 2],求f ( x 21) 的定义域。

解:令 2 x21 2 ,得 1 x2 3 ,即0 x 23,因此0| x | 3 ,从而3 x 3 ,故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。

( 2)已知f [g( x)]的定义域,求f(x) 的定义域。

其解法是:已知 f [g(x )] 的定义域是[a,b],求f(x)定义域的方法是:由a x b,求g(x) 的值域,即所求f(x) 的定义域。

例 4已知 f (2x1) 的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。

解:因为 1 x2,22x4,32x 1 5 。

即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式,求函数的定义域和值域。

解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

例如,对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$,要使函数有意义,则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。

解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$,且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。

将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$,即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。

二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数,需要根据已知条件求解。

一般有两种情况:1)已知 $f(x)$ 的定义域,求 $f[g(x)]$ 的定义域。

解法是:已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$,则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。

例如,已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$,求 $f(x^2-1)$ 的定义域。

令 $-2\leq x^2-1\leq 2$,得 $-1\leq x^2\leq 3$,即 $-|x|\leq x\leq |x|$。

因此,$-3\leq x\leq 3$,即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。

2)已知 $f[g(x)]$ 的定义域,求 $f(x)$ 的定义域。

解法是:已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$,则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。

例如,已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$,求 $f(x)$ 的定义域。

因为 $1\leq x\leq 2$,所以 $2\leq 2x\leq 4$,$3\leq2x+1\leq 5$。

函数定义域值域求法(全十一种)

函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。

例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。

③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。

故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤Y 且。

例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。

解:要使函数有意义,则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,,Y 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。

(1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。

(2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。

例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。

解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。

(2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。

其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤,求g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。

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函数的值域是指函数所有可能取值的集合。求函数的值域是数学分析中的重要问题,有助于我们全面理解函数的性质和图像。求函数值域的方法多种多样,包括直接法,即通过观察函数表达式直接得出值域;分离常数法,适用于分式函数定y的取值范围;图像法,通过绘制函数图像观察y的取值范围;判别式法,主要应用于二次函数,通过判别式的正负判断函数的取值情况。此外,还有配方法和换元法等高级技巧,用于处理更复杂的函数形式。掌握这些求值域的方法,能够提升我们解决数学问题的能力,深化对函数概念的理解。
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