函数的定义域和值域的求法

方法一、 方法一、直接法
例1.已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1,2,3,5}, 1.已知函数f(x)=2x－ 已知函数f(x)=2x 求f(x)的值域 f(x)的值域
方法二、 方法二、分离常数法
2x + 1 例2 : 求函数 y = x−3 的值域
(a≠0)函数
cx+d 方法归纳： 方法归纳：形如y= ax+b
均可用此方法求。 均可用此方法求。
练习： 1 求y=-x2-2x+3(-5≤x ≤ -2)的值域。 练习： y=- 2x+3(2)的值域。 的值域
2 求 y= -x2+x+2 的值域。 的值域。
方法七、 方法七、换元法
例7.求下列函数的值域 7.求下列函数的值域
y = 5 − x + 3x −1
1 解：令t = 3 x − 1 , 则x = （t 2 + 1) 3 且t ≥ 0, 1 1 3 65 ∴ y = 5 − ( t 2 + 1) + t = − ( t − ) 2 + 3 3 2 12 3 65 Q > 0,∴ ymax = 2 12 65 ∴ 值域为( −∞， ] 12
解： 由题意知:
−1 < x ≤ 5
∴ −3 < 2 x − 1 ≤ 9
∴ f ( x )的定义域为
(− 3, 9 ]
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练习 已知 f ( 2 x − 1)的定义域 (− 1, 5], 求 f ( 2 − 5 x )的定义域
解： 由题意知:
−1 < x ≤ 5
∴−3 < 2x −1≤ 9
∴ −3 < 2 − 5x ≤ 9
函数的定义域指自变量的取值集 合。中学数学中涉及的求定义域问题 一般有两大类： 一般有两大类：一类是求初等函数的 定义域问题； 定义域问题；一类是求抽象函数的定 义域问题。 义域问题。
使函数有意义的x 使函数有意义的x的取值范围 R 分式： 使分母不为0 2、分式： 使分母不为0的x的集合 3、偶次根式： 被开方式≥0 偶次根式： 被开方式≥ 4、零次幂式： 底式不等于0 零次幂式： 底式不等于0 列方程组（ 列方程组（不等 5、几个因式的和（差、积）的形式： 几个因式的和（ 的形式： 式组） 式组）求交集 1、整式： 整式：
1、函数值的集合我们叫函数的值域。 、函数值的集合我们叫函数的值域。 2、求函数的值域通常有： 、求函数的值域通常有： 直接法； 分离常数法； （１）直接法； （２）分离常数法； 逆求法； 图像法； （３）逆求法； （４）图像法； 判别式法；（ ；（６ 配方法； （５）判别式法；（６）配方法； 换元法； （７）换元法；
例题讲解
用区间表示) 例1、求下列函数的定义域 (用区间表示)
1 (1) y = 4x + 7 2 (3) y = x + 1 + x −1
(5) y = 1 1 1+ x + (3 x − 2) 0
(2) y = 1 − x + x + 3 − 1
(4) y = x + 2 ⋅ x − 2
1− x (6) y = 2 2 x − 3x − 2
−x + 2 , x ∈ [−3, −1) U (−1, 2] 练习： 练习：求函数 y = x +1
的值域
方法五、 方法五、判别式法
例5.求函数y= 5.求函数y= 求函数
x2-x+3 的值域 x2-x+1
a1x2+b1x+c1 方法归纳：形如y= ≠0或 方法归纳：形如y= a x2+b x+c（a1≠0或a2 ≠0) 2 2 2 的值域的求法。一般可用判别式△ 的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。 求得。
7 ∴ − ≤ x < 1 5
∴ f (2 − 5 x )的定义域是 [ −
7 ,1) 5
总结： 总结： 已知f(x)的定义域为A，求f[g(x)]的定 的定义域为A 已知 的定义域为 f[g(x)]的定 义域：实质是由g(x)∈A g(x)∈A求 的范围。 义域：实质是由g(x)∈A求x的范围。 已知f[g(x)] 的定义域为A，求f(x)的定 f(x)的定 已知f[g(x)] 的定义域为A 义域：实质是由x的范围求g(x)的范围。 义域：实质是由x的范围求g(x)的范围。 g(x)的范围
题型 (一 ) :已知 f ( x )的定义域 , 求 f [ g ( x )]的定义域 例1.若 f ( x )的定义域是 [0,2], 求 f ( 2 x − 1)的定义域
解: 由题意知:
0 ≤ 2x −1 ≤ 2
1 3 ∴ ≤ x ≤ 2 2
故 : f ( 2 x − 1 )的定义域是
1 3 {x ≤ x ≤ } 2 2
练习 : 若f ( x )的定义域是 [0,2], 求f ( x 2 )的定义域
解： 由题意知:
0 ≤ x2 ≤ 2
∴− 2 ≤ x ≤ 2
故 : f x 2 的定义域是
( )
[−
2,
2]
(题型二) :已知f [g (x )]的定义域, 求f ( x)的定义域
例2.已知f (2 x − 1)的定义域(−1,5], 求f ( x)的定义域
归纳总结：形如y=ax+b± ≠0)均可用代数换元法 均可用代数换元法。 归纳总结：形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。 y=ax+b 练习：求函数y=2x+ 1的值域。 练习：求函数y=2x+ 1-2x 的值域。
c 的值域： y y ≠ , 且y ∈ R a
方法三、 方法三、逆求法
3− x 3.求下列函数的值域 求下列函数的值域： 例3.求下列函数的值域： y = 2x +1
3− x 练习： 练习：求函数 y = 2 的值域 2x +1
2
方法四、 方法四、图像法
3− x ( x ≥ 0) 4.求下列函数的值域 求下列函数的值域： 例4.求下列函数的值域： y = 2x +1
练习： 求函数y= 练习：1 求函数y= 3x 的值域 x2+4 的值域
+4x2x2+4x-7 2 求函数y= 求函数y= x2+2x+3
方法六、 方法六、配方法
的值域。 例6.求函数y=x2+2x+5的值域。 6.求函数y=x +2x+5的值域 求函数
方法归纳：形如y=ax +bx+c（a≠0)的值域 的值域， 方法归纳：形如y=ax2+bx+c（a≠0)的值域，